mirror of
https://github.com/Steffo99/appunti-magistrali.git
synced 2024-11-22 02:44:17 +00:00
78 lines
2.6 KiB
Markdown
78 lines
2.6 KiB
Markdown
|
# Albero radicato
|
||
|
|
|
||
|
|
Un _albero radicato_ è una struttura dati di **natura ricorsiva** che organizza i dati in maniera **non-lineare**.
|
||
|
|
|
||
|
|
## Proprietà
|
||
|
|
|
||
|
|
- Ogni nodo dell'albero ha un **unico genitore**: `∀ (padre, figlio), (padre' figlio) ∈ E \implies padre = padre'`
|
||
|
|
- Ogni nodo dell'albero può avere **un numero qualsiasi di figli**.
|
||
|
|
<!---->
|
||
|
|
- I **nodi superiori al padre** vengono chiamati _antenati_.
|
||
|
|
- I **nodi inferiori ai figli** vengono chiamati _discendenti_.
|
||
|
|
<!---->
|
||
|
|
- Nodi **senza padre** sono detti _radice_: `\notexists (padre, radice) ∈ E`
|
||
|
|
- Nodi **con padre e figli** sono detti _rami_ o interni.
|
||
|
|
- Nodi **senza figli** sono detti _foglie_.
|
||
|
|
<!---->
|
||
|
|
- La **distanza** tra il nodo radice e i suoi discendenti è detta _livello_:
|
||
|
|
- I figli immediati sono di livello 1.
|
||
|
|
- I "nipoti" (figli dei figli) sono di livello 2.
|
||
|
|
- I figli dei nipoti sono livello 3.
|
||
|
|
- E così via.
|
||
|
|
- Il **livello massimo** all'interno di un albero è detto _altezza_, _profondità_ oppure _h_, ed è sempre `1 ≤ h ≤ n-1`.
|
||
|
|
<!---->
|
||
|
|
- Un albero ha sempre `n-1` archi.
|
||
|
|
|
||
|
|
## Alberi particolari
|
||
|
|
|
||
|
|
### Alberi `d`-ari
|
||
|
|
|
||
|
|
Un albero _`d`-ario_ è un particolare tipo di albero che **limita il numero massimo di figli di un nodo** a `d`.
|
||
|
|
|
||
|
|
> Un albero _binario_ può avere **massimo 2 figli** per ogni nodo; un albero _ternario_ ne può avere **3**; un albero _`17`-ario_ ne potrà avere **17**
|
||
|
|
|
||
|
|
#### Alberi completi
|
||
|
|
|
||
|
|
Un albero `d`-ario si dice _completo_ se **tutti i nodi hanno 0 o `d` figli**, e mai una numero in mezzo.
|
||
|
|
|
||
|
|
#### Alberi bilanciati
|
||
|
|
|
||
|
|
Un albero `d`-ario si dice _bilanciato_ se **tutti i livelli eccetto l'ultimo** hanno il numero massimo di figli.
|
||
|
|
|
||
|
|
#### Alberi perfettamente bilanciati
|
||
|
|
|
||
|
|
Un albero `d`-ario si dice _perfettamente bilanciato_ se **tutti i livelli incluso l'ultimo** hanno il numero massimo di figli.
|
||
|
|
|
||
|
|
##### Particolarità degli alberi binari perfettamente bilanciati
|
||
|
|
|
||
|
|
Si può dimostrare per induzione che:
|
||
|
|
- Hanno sempre `2^h` foglie.
|
||
|
|
- Hanno sempre `2^{h+1}-1` (`\sum_i=0^n 2^i`) nodi.
|
||
|
|
- L'altezza è in `Θ(log n)`.
|
||
|
|
|
||
|
|
## Implementazione degli alberi
|
||
|
|
|
||
|
|
Possiamo scegliere se usare una rappresentazione con array o con nodi e puntatori: ognuna ha vantaggi e svantaggi diversi.
|
||
|
|
|
||
|
|
### Implementazione tramite array
|
||
|
|
|
||
|
|
E' suggerito se l'albero è regolare; più è simile a un albero d-ario completo, meglio è.
|
||
|
|
|
||
|
|
### Implementazione tramite nodi e puntatori
|
||
|
|
|
||
|
|
Più adatta ad alberi irregolari.
|
||
|
|
|
||
|
|
Se l'albero è regolare, creiamo il numero esatto di campi:
|
||
|
|
|
||
|
|
- Valore
|
||
|
|
- Figlio1
|
||
|
|
- Figlio2
|
||
|
|
- _Opzionale:_ Padre
|
||
|
|
|
||
|
|
Se un albero è irregolare, creiamo una specie di lista:
|
||
|
|
|
||
|
|
- Valore
|
||
|
|
- Primo figlio
|
||
|
|
- Prossimo fratello
|
||
|
|
- _Opzionale:_ Padre
|