mirror of
https://github.com/Steffo99/appunti-magistrali.git
synced 2024-11-22 10:44:17 +00:00
49 lines
2.2 KiB
TeX
49 lines
2.2 KiB
TeX
|
\documentclass{article}
|
||
|
|
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||
|
|
\usepackage{mathtools}
|
||
|
|
\usepackage{amssymb}
|
||
|
|
\usepackage{centernot}
|
||
|
|
% New symbols
|
||
|
|
\let\oldsqrt\sqrt
|
||
|
|
\def\sqrt{\mathpalette\DHLhksqrt}
|
||
|
|
\def\DHLhksqrt#1#2{%
|
||
|
|
\setbox0=\hbox{$#1\oldsqrt{#2\,}$}\dimen0=\ht0
|
||
|
|
\advance\dimen0-0.2\ht0
|
||
|
|
\setbox2=\hbox{\vrule height\ht0 depth -\dimen0}
|
||
|
|
{\box0\lower0.4pt\box2}}
|
||
|
|
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}\mkern1mu}
|
||
|
|
% End new symbols
|
||
|
|
\begin{document}
|
||
|
|
|
||
|
|
\section{Teorema di Weierstrass}
|
||
|
|
|
||
|
|
\paragraph{Ipotesi}
|
||
|
|
\footnotesize Devo scrivere per forza qualcosa qua.\\\normalsize
|
||
|
|
\([a, b]\) intervallo \textit{chiuso} e \textit{limitato}\\
|
||
|
|
\(f\) continua su \([a, b]\)
|
||
|
|
|
||
|
|
\paragraph{Tesi}
|
||
|
|
\(f\) ha \textit{massimo} e \textit{minimo} su \([ a, b ]\)\\
|
||
|
|
\[\exists x_M, \exists x_n : f(x_M) \leq f(x) \leq f(x_n)\]
|
||
|
|
|
||
|
|
\paragraph{Tabella lettere}
|
||
|
|
\footnotesize Per capirci qualcosa in più.\\\normalsize
|
||
|
|
\(f\) \quad funzione\\
|
||
|
|
\(M\) \quad reale, estremo superiore della funzione\\
|
||
|
|
\(x_M\) \quad reale, punto in cui la funzione raggiunge il valore di \(M\)\\
|
||
|
|
\(x_n\) \quad successione, ???\\
|
||
|
|
\(y_n\) \quad successione, ???
|
||
|
|
|
||
|
|
\paragraph{Dimostrazione}
|
||
|
|
\footnotesize Dimostrazione per il minimo omessa, in quanto opposta di questa.\\\\\normalsize
|
||
|
|
Sia \(M = sup(f) = sup \{f(x) : x \in [a, b]\}\).\\\\
|
||
|
|
Devo dimostrare che M venga raggiunto in almeno un punto della funzione: \(\exists x_M \in [a, b]\) tale che \(f(x_M) = M\).\\\\
|
||
|
|
\(M\) è il minimo dei maggioranti; se considero un qualsiasi numero \(y_n < M\), questo \textit{non è un maggiorante} per la definizione di estremo superiore.\\\\
|
||
|
|
Allora, creo una successione \(x_n\) in modo che \(y_n < f(x_n) \leq M\).\\\\
|
||
|
|
Dato che \(y_n\) tende ad \(M\), per il \textsc{Teorema dei Carabinieri} \(f(x_n) \to M\).\\\\
|
||
|
|
Il fatto che \(x_n\) sia \(\in [a, b]\) ci fa dire che la successione sia \textit{limitata}.\\\\
|
||
|
|
Essendo limitata, per il \textsc{Teorema di Bolzano-Weierstrass} possiamo estrarre sicuramente una sottosuccessione \(x_{n_k}\) tale che essa tenda a un valore finito \(\to x_M\).\\\\
|
||
|
|
Essendo \(f\) una funzione continua, allora \(f(x_{n_k} \to f(x_n)\).\\\\
|
||
|
|
Dato che tutte le sottosuccessioni estratte tendono allo stesso valore, allora possiamo dire che \(M = f(x_M)\).
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{document}
|