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aliases:
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- traveling salesman problem
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- TSP
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- minimizzazione di circuito hamiltoniano
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[[problema di minimizzazione]].
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Appartiene alla [[classe di problemi NP-difficili]].
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## Definizione
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Dato un [[grafo completo]] pesato, qual è il [[circuito hamiltoniano]] di costo minimo?
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### Verifica
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Dato un [[grafo completo]] pesato, e un [[circuito hamiltoniano]], esso è quello di costo minimo?
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## [[costo computazionale|Complessità computazionale]] [[classe di problemi NP-difficili|NP-hard]]
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Per dimostrare che questo problema è [[classe di problemi NP-difficili|NP-hard]], si può [[riduzione di Karp|ridurre]] un qualsiasi [[classe di problemi NP-completi|problema NP-complete]] ad esso.
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In questo caso, usiamo la [[esistenza di circuito hamiltoniano]].
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Partendo dal [[grafo]] semplice della [[esistenza di circuito hamiltoniano]], che definiamo così:
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\def \varGraphA {{\color{DarkSalmon} Graph_{Hamilton}}}
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\def \varEdgesA {{\color{LightSalmon} Edges_{Hamilton}}}
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\def \varNodes {{\color{SpringGreen} Nodes_{Shared}}}
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\varGraphA = (\varNodes, \varEdgesA)
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$$
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Vogliamo associare ogni [[istanza]] di esso a un'[[istanza]] di problema del commesso viaggiatore, che però richiede che il grafo sia [[grafo completo|completo]] e pesato:
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$$
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\def \varGraphB {{\color{Orchid} Graph_{Salesman}}}
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\def \varEdgesB {{\color{Thistle} Edges_{Salesman}}}
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\varGraphB = (\varNodes, \varEdgesB)
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$$
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Allora, sfruttiamo i pesi a nostro vantaggio per creare un [[grafo]] in cui gli [[arco di un grafo|archi]] di $\varGraphA$ siano sempre preferiti:
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\def \varEdge {{\color{Lavender} edge}}
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\forall\ \varEdge \in \varEdgesB : \mathrm{cost}(\varEdge) = \begin{cases}
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\textrm{if}\ \varEdge \in \varEdgesA & 0
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\\\\
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\textrm{if}\ \varEdge \not\in \varEdgesA & 1
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\end{cases}
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$$
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Una volta determinata la soluzione al problema del commesso viaggiatore, giungeremo a conoscenza del [[funzione costo|costo]] [[problema di minimizzazione|minimo]] del [[percorso hamiltoniano]] che attraversa tutti i nodi:
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$$
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\def \varCost {{\color{MediumPurple} Cost_{Salesman}}}
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travelingSalesmanProblem(\varGraphB) = \varCost
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$$
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In base al costo minimo $\varCost$ risultante, possiamo determinare la risposta al problema di [[esistenza di circuito hamiltoniano]].
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Infatti, se una soluzione ad esso esiste, il problema del commesso viaggiatore darà $\varCost = 0$, in quanto tutti gli archi di $\varGraphA$ sono preferiti per via del loro peso minore;
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viceversa, se una soluzione ad esso non esiste, l'output sarà $\varCost > 0$, che significa che è necessario aggiungere il dato numero di [[arco di un grafo|archi]] ulteriori per formare un [[ciclo hamiltoniano]]:
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$$
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\begin{cases}
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\textrm{if}\ \varCost = 0 & \exists\ hamiltonianCycle(\varGraphA)
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\\\\
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\textrm{if}\ \varCost \neq 0 & \not\exists\ hamiltonianCycle(\varGraphA)
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\end{cases}
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$$
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Pertanto, il problema appartiene alla [[classe di problemi NP-difficili]].
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## [[algoritmo di approssimazione|Algoritmi di approssimazione]]
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- **Sfruttando il [[costo degli archi triangolare]]**
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- [[approssimazione a 2 di problema del commesso viaggiatore con costo degli archi triangolare]]
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- [[algoritmo di Christofides]]
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