mirror of
https://github.com/Steffo99/appunti-magistrali.git
synced 2024-11-23 18:54:18 +00:00
29 lines
924 B
Markdown
29 lines
924 B
Markdown
|
|
||
|
|
|
||
|
|
### Proposizione
|
||
|
|
Una successione _definitivamente_ limitata e' (sempre) **limitata**.
|
||
|
|
|
||
|
|
##### Ipotesi
|
||
|
|
a(n) definitivamente limitata
|
||
|
|
|
||
|
|
Esistono `M` e `p` tale che, per ogni n maggiore di p, a(n) <= M.
|
||
|
|
|
||
|
|
`\exists M, p | \forall n \geq p, a(n) \leq M`
|
||
|
|
|
||
|
|
##### Tesi
|
||
|
|
a(n) limitata
|
||
|
|
|
||
|
|
Esiste `M'` tale che, per ogni n appartenente ai naturali, a(n) <= M'.
|
||
|
|
|
||
|
|
`\exists M' | \forall n \in N, a(n) \leq M`
|
||
|
|
|
||
|
|
##### Dimostrazione
|
||
|
|
Sia A l'insieme dei risultati di a(n) per tutti i numeri naturali minori di p.
|
||
|
|
A e' non-vuoto; ha un numero finito di elementi: dunque, esiste `max A = M'`.
|
||
|
|
Se `n >= p`, `a(n) \leq M \leq M'`.
|
||
|
|
Se `n < p`, `a(n) \leq M'`.
|
||
|
|
In generale, quindi, `a(n) \leq M`.
|
||
|
|
|
||
|
|
### Successione convergente (__fondamentale per l'esame__)
|
||
|
|
Una successione a(n) e' **convergente** se `\exists l \in R | \forall \epsilon > 0, \exists m : \forall n \geq m, abs(a(n) - l) < \epsilon`, ovvero `l - \epsilon < a(n) < l + \epsilon`
|