appunti-steffo/8 - Crittografia applicata/3 - Comunicazione asimmetrica/1 - Teoria dei gruppi/gruppo.md

Astrazione che rappresenta le "categorie" di numeri.

È composto da un [[insieme]] e un'[[operazione binaria]], tali che il gruppo sia:
- ***chiuso***: qualsiasi risultato dell'operazione è parte dell'insieme
- ***associativo***: catene dell'operazione possono essere risolte in qualsiasi ordine
- ***con identità***: un certo elemento dell'insieme viene "ignorato" dall'operazione
- ***con inverso***: ogni elemento dell'insieme ne ha un'altro tale che se vengono combinati si ottiene l'*identità*

## Esempi

### *Gruppo* [[gruppo additivo|additivo]] dei numeri interi

$$
\Large \mathbb{Z} = 
+, \left\{ 
\dots, -1, {\color{orange} 0}, 1, \dots
\right\}
$$
$$
\begin{matrix}
	\mathrm{identità} & 1 + {\color{orange} 0} = 1\\
	\mathrm{inverso} & -1 + 1 = {\color{orange} 0}
\end{matrix}
$$

### *Gruppo* [[gruppo moltiplicativo|moltiplicativo]] [[gruppo ciclico|ciclico]] arbitrario

$$
\Large \mathbb{a} = 
\times, \left\{ 
{\color{orange} 1}, 2, 3, 4
\right\} \mod 5
$$
$$
\begin{matrix}
	\mathrm{identità} & 2 \times {\color{orange} 1} = 2 = 2 \mod 5\\
	\mathrm{inverso} & 2 \times 3 = 6 = {\color{orange} 1} \mod 5
\end{matrix}
$$