Final update for Algoritmi distribuiti

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   ]
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0 - Generale/arco di un grafo.md

@@ -0,0 +1,10 @@
+---
+aliases:
+  - arco
+  - archi
+  - edge
+  - edges
+---
+Entità di informazione [[duale]] in un [[grafo]].
+
+Connette due [[entità|nodi]].

0 - Generale/cammino di un grafo.md

@@ -0,0 +1,8 @@
+---
+aliases:
+  - cammino
+  - walk
+---
+
+
+[[Lista]] di [[arco di un grafo|archi]] di un [[grafo]] che connettono una [[lista]] di [[nodo di un grafo|nodi]].

0 - Generale/circuito di un grafo.md

@@ -0,0 +1,8 @@
+---
+aliases:
+  - circuito
+  - circuit
+---
+
+
+[[percorso di un grafo]] che inizia e finisce allo stesso [[nodo di un grafo|nodo]].

0 - Generale/nodo di un grafo.md

@@ -0,0 +1,13 @@
+---
+aliases:
+  - nodo
+  - nodi
+  - vertice
+  - vertici
+  - vertice di un grafo
+  - vertex
+  - vertexes
+---
+Entità di informazione [[scalare]] in un [[grafo]].
+
+Può essere connesso ad altri nodi attraverso [[arco di un grafo|archi]].

0 - Generale/percorso di un grafo.md

@@ -0,0 +1,8 @@
+---
+aliases:
+  - percorso
+  - trail
+  - path
+---
+
+[[cammino di un grafo]] senza [[arco di un grafo|archi]] ripetuti.

0 - Template/◍ algoritmo di approssimazione.md

@@ -21,17 +21,17 @@
 
 ==[Come è stato determinato?]==
 
-## [[Costo computazionale]]
+## [[costo computazionale]]
 
 | Costo | [[notazione O-grande]] | 
 |-|-|
-| [[spazio]] | ==[O()]== |
-| [[tempo]] | ==[O()]== |
+| [[9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/spazio]] | ==[O()]== |
+| [[9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/tempo]] | ==[O()]== |
 
-### [[9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi/spazio|Spazio]]
+### [[9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/spazio|Spazio]]
 
 ==[Dimostrazione del costo di spazio]==
 
-### [[9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi/tempo|Tempo]]
+### [[9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/tempo|Tempo]]
 
 ==[Dimostrazione del costo di tempo]==

0 - Template/◍ algoritmo distribuito.md

@@ -5,7 +5,7 @@
 - **==[Categoria]==**
 	- ==[Restrizione]==
 
-## [[Comportamento]]
+## [[comportamento]]
 
 > [!Summary]
 > ==[Riassunto]==
@@ -31,12 +31,12 @@
 | Costo | [[notazione O-grande]] | 
 |-|-|
 | [[comunicazione]] | ==[O()]== |
-| [[tempo]] | ==[O()]== |
+| [[9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/tempo]] | ==[O()]== |
 
-### [[Comunicazione]]
+### [[comunicazione]]
 
 ==[Dimostrazione del costo di comunicazione]==
 
-### [[Tempo]]
+### [[9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/tempo]]
 
 ==[Dimostrazione del costo di tempo]==

8 - Sistemi complessi/4 - Grafi/distanza tra nodi di un grafo.md

@@ -1,6 +1,6 @@
 [[Misura]] in un [[grafo]].
 
-Corrisponde alla [[lunghezza]] di ciascun [[percorso]] tra due [[nodo di un grafo|nodi]].
+Corrisponde alla [[lunghezza]] di ciascun [[percorso di un grafo]] tra due [[nodo di un grafo|nodi]].
 $$
 \def \source {{\color{cyan} src}}
 \def \destination {{\color{magenta} dst}}

8 - Sistemi complessi/4 - Grafi/percorso euleriano.md

@@ -1 +1 @@
-Particolare [[percorso]] in un [[grafo]] che attraversa ogni [[arco di un grafo|arco]] una volta sola.
+Particolare [[percorso di un grafo]] che attraversa ogni [[arco di un grafo|arco]].

9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/algoritmo corretto.md

@@ -4,6 +4,6 @@ aliases:
 ---
 
 
-[[Algoritmo]] che per ogni [[istanza]] restituisce sempre la [[soluzione]] corrispondente.
+[[algoritmo]] che per ogni [[istanza]] restituisce sempre la [[9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/soluzione]] corrispondente.
 
 > Un algoritmo non è *corretto* non solo se c'è qualche istanza per cui restituisce la soluzione sbagliata, ma anche se c'è qualche istanza **per cui non termina mai**!

9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/certificato per un'istanza.md

@@ -0,0 +1,6 @@
+Sequenza di caratteri [[polinomiale]].
+
+Dimostra che una data [[istanza]] è un'[[istanza positiva]].
+
+> Nel problema di [[esistenza di circuito hamiltoniano]], un [[certificato per un'istanza]] positiva è una sequenza di nodi attraversati che risulta in un [[ciclo hamiltoniano]].
+

9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/classe di problemi NP-completi.md

@@ -4,7 +4,6 @@ aliases:
   - NP-complete
   - problema NP-complete
 ---
-
 [[Insieme]] di [[problema decisionale|problemi decisionali]] equivalenti tra loro.
 
 Tutti i problemi della [[classe di problemi NP]] possono essere [[riduzione di Karp|ridotti]] ad essi:

9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/classe di problemi NP-difficili.md

@@ -18,3 +18,4 @@ $$
 \end{cases}
 $$
 
+Alternativamente, si può dimostrare che un singolo problema [[classe di problemi NP-completi|NP-complete]] sia riducibile ad esso.

9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/costo computazionale.md

@@ -7,7 +7,7 @@ aliases:
 [[Misura]] che quantifica le [[risorsa|risorse]] necessarie a risolvere l'[[istanza]] peggiore di un [[problema computazionale]] in funzione della [[dimensione dell'input|dimensione del suo input]].
 
 Può essere relativo a:
-- [[tempo]]
-- [[spazio]]
+- [[9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/tempo]]
+- [[9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/spazio]]
 
 > È spesso interessante studiarne i limiti, in particolare il limite inferiore.

9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/dimensione dell'input.md

@@ -0,0 +1,5 @@
+[[Misura]] relativa ai [[9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/parametro|parametri]] che ne astrae la dimensione.
+
+Calcolata in base a vari criteri:
+- [[criterio di costo logaritmico]]
+- [[criterio di costo uniforme]]

9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/insieme delle soluzioni.md

@@ -0,0 +1,5 @@
+[[insieme]] di tutte le [[9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/soluzione|soluzioni]] di un [[problema computazionale]]:
+
+$$
+\Huge S
+$$

9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/problema di ricerca.md

@@ -0,0 +1 @@
+[[problema computazionale]] che cerca una qualsiasi [[9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/soluzione]].

9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/riduzione di Karp.md

@@ -30,6 +30,8 @@ $$
 \end{cases}
 $$
 
+---
+
 Se un problema non è [[polinomiale]], e può essere ridotto ad un altro, anche l'altro non è [[polinomiale]]:
 $$
 \large
@@ -46,6 +48,8 @@ $$
 \end{cases}
 $$
 
+---
+
 Infine, se due problemi possono ridursi a vicenda uno all'altro, essi sono [[problemi equivalenti|equivalenti]]:
 $$
 \large

9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/soluzione ottima.md

@@ -0,0 +1,11 @@
+---
+aliases:
+  - ottimale
+---
+
+
+[[9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/soluzione]] ad un [[problema di ottimizzazione]] in cui si cerca di trovare massimi e minimi di una [[funzione obiettivo]].
+
+$$
+\Huge Result_{Optimal}
+$$

9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/verifica.md

@@ -0,0 +1,3 @@
+[[problema decisionale]].
+
+Data una [[istanza]] di un [[problema computazionale]], e un [[certificato per un'istanza|certificato per la stessa]], determina se l'[[istanza]] è [[istanza positiva|positiva]] oppure no.

9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/★ problemi algoritmici.canvas

@@ -1,49 +1,48 @@
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 	]
 }

9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi/certificato per un'istanza.md

@@ -1,6 +0,0 @@
-Sequenza di caratteri [[polinomiale]].
-
-Dimostra che una data [[istanza]] è un'[[istanza positiva]].
-
-> Nel problema di [[ricerca di ciclo hamiltoniano]], un [[certificato per un'istanza]] positiva è una sequenza di nodi attraversati che risulta in un [[ciclo hamiltoniano]].
-

9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi/circuito di un grafo.md

@@ -1 +0,0 @@
-[[Percorso di un grafo]] che inizia e finisce allo stesso [[nodo di un grafo|nodo]].

9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi/dimensione dell'input.md

@@ -1,5 +0,0 @@
-[[Misura]] relativa ai [[parametro|parametri]] che ne astrae la dimensione.
-
-Calcolata in base a vari criteri:
-- [[criterio di costo logaritmico]]
-- [[criterio di costo uniforme]]

9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi/insieme delle soluzioni.md

@@ -1,5 +0,0 @@
-[[insieme]] di tutte le [[soluzione|soluzioni]] di un [[problema computazionale]]:
-
-$$
-\Huge S
-$$

9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi/problema del commesso viaggiatore.md

@@ -1,61 +0,0 @@
----
-aliases:
-  - traveling salesman problem
-  - TSP
----
-[[problema di ottimizzazione]] appartenente alla [[classe di problemi NP-difficili]].
-## Enunciato
-
-Dato un [[grafo completo]] pesato, qual è il [[ciclo hamiltoniano]] di costo minimo?
-
-### Verifica
-
-Dato un [[grafo completo]] pesato, e un [[ciclo hamiltoniano]], esso è quello di costo minimo?
-
-## Dimostrazione della [[classe di problemi NP-difficili]]
-
-Si può fare uso della [[ricerca di ciclo hamiltoniano]] per dimostrare la classe di appartenenza di questo problema.
-$$
-\def \varGraphA {{\color{DarkSalmon} Graph_{Hamilton}}}
-\def \varEdgesA {{\color{LightSalmon} Edges_{Hamilton}}}
-\def \varGraphB {{\color{Orchid} Graph_{Salesman}}}
-\def \varEdgesB {{\color{Thistle} Edges_{Salesman}}}
-\def \varCost {{\color{MediumPurple} Cost_{Salesman}}}
-\def \varNodes {{\color{SpringGreen} Nodes_{Shared}}}
-
-\tiny\color{Gray} [Definizione\ variabili\ \TeX\ qui]
-$$
-
-Partiamo dal [[grafo]] semplice della [[ricerca di ciclo hamiltoniano]], che definiamo così:
-$$
-\varGraphA = (\varNodes, \varEdgesA)
-$$
-
-Vogliamo associare ogni [[istanza]] di esso a un'[[istanza]] di problema del commesso viaggiatore, che però richiede che il grafo sia [[grafo completo|completo]] e pesato:
-$$
-\varGraphB = (\varNodes, \varEdgesB)
-$$
-
-Allora, sfruttiamo i pesi a nostro vantaggio per creare un grafo in cui gli archi di $\varGraphA$ siano sempre preferiti nella scelta del percorso:
-$$
-\forall\ edge \in \varEdgesB : cost(edge) = \begin{cases}
-\textrm{if}\ edge \in \varEdgesA & 0
-\\\\
-\textrm{else} & 1
-\end{cases}
-$$
-Una volta determinata la soluzione del problema del commesso viaggiatore, giungeremo a conoscenza del costo minimo del percorso che attraversa tutti i nodi:
-$$
-travelingSalesmanProblem(\varGraphB) = \varCost
-$$
-
-In base al costo minimo $\varCost$ risultante, possiamo determinare la risposta al problema di [[ricerca di ciclo hamiltoniano]].
-
-Infatti, se una soluzione ad esso esiste, il problema del commesso viaggiatore darà $\varCost = 0$, in quanto tutti gli archi di $\varGraphA$ sono preferiti per via del loro peso minore; viceversa, se una soluzione ad esso non esiste, l'output sarà $\varCost > 0$, che significa che è necessario aggiungere il dato numero di archi ulteriori per formare un [[ciclo hamiltoniano]]:
-$$
-\begin{cases}
-	\textrm{if}\ \varCost = 0 & \exists\ hamiltonianCycle(\varGraphA)
-	\\\\
-	\textrm{else} & \not\exists\ hamiltonianCycle(\varGraphA)
-\end{cases}
-$$

9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi/problema di ricerca.md

@@ -1 +0,0 @@
-[[problema computazionale]] che cerca una qualsiasi [[soluzione]].

9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi/soluzione ottima.md

@@ -1,5 +0,0 @@
-[[soluzione]] ad un [[problema di ottimizzazione]] in cui si cerca di trovare massimi e minimi di una [[funzione obiettivo]].
-
-$$
-\Huge Result_{Optimal}
-$$

9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi/verifica.md

@@ -1,3 +0,0 @@
-[[problema decisionale]].
-
-Data una [[istanza]] di un [[problema computazionale]], e un blob di dati, determina se l'istanza è [[istanza positiva|positiva]] oppure no.

9 - Algoritmi distribuiti/2 - Algoritmi di approssimazione/1 - Concetti di approssimazione/branch-and-bound.md

@@ -0,0 +1,15 @@
+---
+aliases:
+  - branch
+  - bound
+  - pruning
+  - branch-and-bound-and-pruning
+  - branch-bound-pruning
+---
+
+Tecnica [[algoritmo|algoritmica]] di [[algoritmo di approssimazione|approssimazione]] per [[problema di ottimizzazione|problemi di ottimizzazione]].
+
+Consiste in iterativamente:
+1. **Branch**: dividere lo spazio delle soluzioni in sottospazi più piccoli
+2. **Bound**: determinare il [[limite]] [[limite inferiore|inferiore]] o [[limite superiore|superiore]] di ciascun sottospazio
+3. **Pruning**: selezionare il sottospazio migliore per l'iterazione successiva, ed eliminare gli altri

9 - Algoritmi distribuiti/2 - Algoritmi di approssimazione/1 - Concetti di approssimazione/execution tree.md

@@ -0,0 +1,3 @@
+[[albero]] che rappresenta i sottospazi delle soluzioni creati dal [[branch-and-bound]].
+
+Le foglie che hanno subito [[branch-and-bound|pruning]] sono dette *morte*, le altre *vive*.

9 - Algoritmi distribuiti/2 - Algoritmi di approssimazione/1 - Concetti di approssimazione/integrality gap.md

@@ -0,0 +1 @@
+Misura di quanto una soluzione [[relax-and-round|rilassata]] dista dalla [[soluzione ottima]].

9 - Algoritmi distribuiti/2 - Algoritmi di approssimazione/1 - Concetti di approssimazione/relax-and-round.md

@@ -0,0 +1,3 @@
+Tecnica [[algoritmo|algoritmica]] di [[algoritmo di approssimazione|approssimazione]] per [[problema di ottimizzazione]] [[linearità|lineare]] [[campo degli interi|intera]].
+
+Consiste nello spostare temporaneamente il problema nel [[campo dei reali]], risolverlo in quel modo, e poi arrotondare per tornare nel [[campo degli interi]].

9 - Algoritmi distribuiti/2 - Algoritmi di approssimazione/1 - Concetti di approssimazione/schema di approssimazione.md

@@ -1,5 +1,5 @@
 [[algoritmo di approssimazione]] che prende in input non solo un'[[istanza]] ma anche il [[fattore di approssimazione]] desiderato.
 
-## [[Costo computazionale]]
+## [[costo computazionale]]
 
 Per determinare il [[costo computazionale]] di uno schema di approssimazione, si considerano tutti i [[fattore di approssimazione|fattori di approssimanzione]] che esso può accettare.

9 - Algoritmi distribuiti/2 - Algoritmi di approssimazione/1 - Concetti di approssimazione/soluzione approssimata.md

@@ -0,0 +1,6 @@
+Una [[9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/soluzione|soluzione ammissibile]] peggiore della [[soluzione ottima]].
+
+$$
+\Huge
+Result_{Approximated}
+$$

9 - Algoritmi distribuiti/2 - Algoritmi di approssimazione/1 - Concetti di approssimazione/★ concetti di approssimazione.canvas

@@ -0,0 +1,31 @@
+{
+	"nodes":[
+		{"id":"f27083423b5ce0b0","type":"group","x":340,"y":-1060,"width":1000,"height":1000,"label":"Tecniche algoritmiche"},
+		{"id":"9451981bfdd2a981","type":"file","file":"9 - Algoritmi distribuiti/2 - Algoritmi di approssimazione/1 - Concetti di approssimazione/relax-and-round.md","x":360,"y":-1040,"width":400,"height":400},
+		{"id":"fbf5dbbfad6f9348","type":"file","file":"9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/classe di problemi NP-difficili.md","x":-200,"y":-1600,"width":400,"height":400},
+		{"id":"68c6aaac015c3c1b","type":"file","file":"9 - Algoritmi distribuiti/2 - Algoritmi di approssimazione/1 - Concetti di approssimazione/algoritmo di approssimazione.md","x":-200,"y":-480,"width":400,"height":400},
+		{"id":"25e770ef03bf6f6a","type":"file","file":"9 - Algoritmi distribuiti/2 - Algoritmi di approssimazione/1 - Concetti di approssimazione/soluzione approssimata.md","x":-760,"y":-480,"width":400,"height":400},
+		{"id":"3b3a3fee0c686002","type":"file","file":"9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/soluzione ottima.md","x":-760,"y":-1040,"width":400,"height":400},
+		{"id":"d3a66736ae1b4178","type":"file","file":"9 - Algoritmi distribuiti/2 - Algoritmi di approssimazione/1 - Concetti di approssimazione/branch-and-bound.md","x":360,"y":-480,"width":400,"height":400},
+		{"id":"a2aa2311769dcada","type":"file","file":"9 - Algoritmi distribuiti/2 - Algoritmi di approssimazione/1 - Concetti di approssimazione/execution tree.md","x":920,"y":-480,"width":400,"height":400},
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+		{"id":"75c5c12b132e10d6","type":"file","file":"9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/istanza.md","x":360,"y":80,"width":400,"height":400},
+		{"id":"c4962bc76f879e6a","type":"file","file":"9 - Algoritmi distribuiti/2 - Algoritmi di approssimazione/1 - Concetti di approssimazione/schema di approssimazione.md","x":-200,"y":640,"width":400,"height":400},
+		{"id":"3a20406700085b56","type":"file","file":"9 - Algoritmi distribuiti/2 - Algoritmi di approssimazione/1 - Concetti di approssimazione/schema di approssimazione interamente polinomiale.md","x":-200,"y":1200,"width":400,"height":400},
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+	],
+	"edges":[
+		{"id":"014d3b710b06d441","fromNode":"fbf5dbbfad6f9348","fromSide":"bottom","toNode":"68c6aaac015c3c1b","toSide":"top"},
+		{"id":"63fcf31ba1d446d8","fromNode":"68c6aaac015c3c1b","fromSide":"left","toNode":"25e770ef03bf6f6a","toSide":"right"},
+		{"id":"931731cb3eb43519","fromNode":"68c6aaac015c3c1b","fromSide":"bottom","toNode":"c4962bc76f879e6a","toSide":"top"},
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+		{"id":"3fb773cdf50d71a5","fromNode":"3b3a3fee0c686002","fromSide":"bottom","toNode":"25e770ef03bf6f6a","toSide":"top"},
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+		{"id":"af1dac33e491fbc2","fromNode":"68c6aaac015c3c1b","fromSide":"right","toNode":"9451981bfdd2a981","toSide":"left"},
+		{"id":"93eb9d5bfbf5c5bc","fromNode":"9451981bfdd2a981","fromSide":"right","toNode":"0ee41dbc522181e0","toSide":"left"}
+	]
+}

9 - Algoritmi distribuiti/2 - Algoritmi di approssimazione/2 - Approssimazione di vertex cover/abbinamento massimale.md

@@ -0,0 +1,8 @@
+---
+aliases:
+  - "maximal matching"
+---
+
+Particolare [[abbinamento]].
+
+È tale che non vi possono essere aggiunti altri [[arco di un grafo|archi]].

9 - Algoritmi distribuiti/2 - Algoritmi di approssimazione/2 - Approssimazione di vertex cover/abbinamento perfetto.md

@@ -0,0 +1,8 @@
+---
+aliases:
+  - "perfect matching"
+---
+
+Particolare [[abbinamento]].
+
+L'[[unione]] di tutti i loro [[nodo di un grafo|nodi]] adiacenti coincide con i [[nodo di un grafo|nodi]] presenti nel [[grafo]] stesso.

9 - Algoritmi distribuiti/2 - Algoritmi di approssimazione/2 - Approssimazione di vertex cover/abbinamento.md

@@ -0,0 +1,6 @@
+---
+aliases:
+  - "matching"
+---
+
+[[Insieme]] di [[arco di un grafo|archi]] senza [[nodo di un grafo|nodi]] in comune.

9 - Algoritmi distribuiti/2 - Algoritmi di approssimazione/2 - Approssimazione di vertex cover/approssimazione a 2 di minimal vertex cover con relax-and-round.md

@@ -0,0 +1,74 @@
+[[algoritmo di approssimazione]] di [[minimal vertex cover problem]] che fa uso di [[relax-and-round]].
+
+## Funzionamento
+
+> [!Summary]
+> Si converte il problema da [[campo degli interi|intero]] a [[continuo]], lo si risolve con un algoritmo di [[programmazione lineare]], e poi si arrotonda la soluzione in direzione opposta a quella dell'ottimizzazione che si sta effettuando.
+
+### Definizione
+
+Si chiede di assegnare una variabile booleana $Optimal_{Node}$ a ciascun [[nodo di un grafo|nodo]]:
+- $0$ se il [[nodo di un grafo|nodo]] non è parte della [[soluzione ottima]]
+- $1$ se lo è
+
+Si stabilisce un vincolo per descrivere un [[vertex cover]]:
+
+$$
+\def \varNodeA {{\color{LightCoral} Node_A}}
+\def \varNodeB {{\color{Coral} Node_B}}
+
+\forall\ (\varNodeA, \varNodeB) \in Edges :
+\begin{cases}
+	\\
+	Optimal_{\varNodeA} + Optimal_{\varNodeB} \geq 1
+	\\\ 
+\end{cases}
+$$
+
+> [!Tip]- Significato del vincolo
+> "Per ogni [[arco di un grafo|arco]], scegli almeno uno dei due [[nodo di un grafo|nodi]] ai suoi estremi.
+
+Infine, si definisce la [[funzione obiettivo]] come:
+$$
+\min \sum_{Node}^{Nodes} Optimal_{Node}
+$$
+
+### [[relax-and-round|Rilassamento]]
+
+Invece di richiedere di assegnare variabili [[numero booleano|booleane]], richiediamo al risolutore di [[programmazione lineare]] di assegnare variabili [[numero reale|reali]]:
+$$
+0 \leq Relaxed_{Node} \leq 1
+$$
+
+### [[relax-and-round|Arrotondamento]]
+
+Si selezionano tutti i [[nodo di un grafo|nodi]] tali che:
+$$
+\frac{1}{2} \leq Relaxed_{Node}
+$$
+
+## [[algoritmo corretto|Correttezza]]
+
+> [!Success]
+> Si forma un [[vertex cover]] valido.
+
+## [[fattore di approssimazione|Fattore di approssimazione]]
+
+Possiamo notare che, da come abbiamo effettuato l'arrotondamento:
+$$
+Relaxed_{Node} \leq \frac{1}{2} \cdot Optimal_{Node}
+$$
+Portando dall'altra parte:
+$$
+2 \cdot Relaxed_{Node} \leq Optimal_{Node}
+$$
+
+Allora, questa disuguaglianza sarà applicabile anche alla [[funzione costo]]:
+$$
+2 \cdot \sum_{Node}^{Nodes} Relaxed_{Node} \leq \sum_{Node}^{Nodes} Optimal_{Node}
+$$
+
+Questo significa che il [[funzione costo|costo]] della versione rilassata è al massimo il doppio di quella [[soluzione ottima|ottimale]], e che quindi il [[fattore di approssimazione]] è:
+$$
+\Large 2
+$$

9 - Algoritmi distribuiti/2 - Algoritmi di approssimazione/2 - Approssimazione di vertex cover/approssimazione a 2 di minimal vertex cover standard.md

@@ -1,4 +1,4 @@
-[[algoritmo di approssimazione]] di [[vertex cover]].
+[[algoritmo di approssimazione]] di [[minimal vertex cover problem]].
 
 ## Funzionamento
 
@@ -8,6 +8,8 @@
 > 2. aggiungi i due [[nodo di un grafo|nodi]] che lo collegano al [[vertex cover]]
 > 3. rimuovi dal [[grafo]] tutti gli [[arco di un grafo|archi]] adiacenti ai [[nodo di un grafo|nodi]] aggiunti
 
+Gli [[arco di un grafo|archi]] selezionati formano un [[abbinamento massimale]].
+
 ## [[algoritmo corretto|Correttezza]]
 
 > [!Success]
@@ -17,21 +19,23 @@
 
 ## [[fattore di approssimazione|Fattore di approssimazione]]
 
-Il [[vertex cover]] [[soluzione ottima|ottimale]] ==something something metà dei nodi==
+Il [[vertex cover]] [[soluzione ottima|ottimale]] deve toccare tutti gli [[arco di un grafo|archi]], inclusi quelli selezionati dall'algoritmo.
 
-Il [[fattore di approssimazione]] è:
+Perchè ciò avvenga, almeno uno dei due [[nodo di un grafo|nodi]] che essi connettono devono essere selezionati dall'[[soluzione ottima]].
+
+Pertanto, il [[fattore di approssimazione]] è:
 $$
 \Huge 2
 $$
 
-## [[Costo computazionale]]
+## [[costo computazionale]]
 
 | Costo | [[notazione O-grande]] | 
 |-|-|
-| [[spazio]] | ... |
-| [[tempo]] | $O(Edges)$ |
+| [[9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/spazio]] | ... |
+| [[9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/tempo]] | $O(Edges)$ |
 
-### [[9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi/tempo|Tempo]]
+### [[9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/tempo|Tempo]]
 
 Nel caso peggiore, il numero di iterazioni effettuate è pari alla metà del numero degli [[arco di un grafo|archi]], cioè:
 $$

9 - Algoritmi distribuiti/2 - Algoritmi di approssimazione/2 - Approssimazione di vertex cover/minimal vertex cover problem.md

@@ -8,4 +8,4 @@ Dato un [[grafo]], si vuole determinare il [[vertex cover]] composto dal numero
 
 ### Di approssimazione
 
-- [[algoritmo senza nome approssimato greedy di vertex cover]]
+- [[approssimazione a 2 di minimal vertex cover standard]]

9 - Algoritmi distribuiti/2 - Algoritmi di approssimazione/2 - Approssimazione di vertex cover/vertex cover.md

@@ -0,0 +1,6 @@
+Particolare [[insieme]] di [[nodo di un grafo|nodi]].
+
+L'[[unione]] di tutti i loro [[arco di un grafo|archi]] adiacenti coincide con gli [[arco di un grafo|archi]] presenti nel [[grafo]] stesso.
+
+> [!Tip]
+> Un insieme di [[nodo di un grafo|nodi]] che toccano tutti gli [[arco di un grafo|archi]].

9 - Algoritmi distribuiti/2 - Algoritmi di approssimazione/2 - Approssimazione di vertex cover/★ approssimazione di vertex cover.canvas

@@ -0,0 +1,21 @@
+{
+	"nodes":[
+		{"id":"6221db7b45511f2d","type":"group","x":780,"y":-340,"width":1000,"height":1000,"label":"Creando un abbinamento massimale"},
+		{"id":"74f5796de3293a66","x":780,"y":780,"width":1000,"height":1000,"type":"group","label":"Tramite relax-and-round"},
+		{"id":"73a99c0a14178a2b","type":"file","file":"9 - Algoritmi distribuiti/2 - Algoritmi di approssimazione/2 - Approssimazione di vertex cover/minimal vertex cover problem.md","x":-320,"y":-320,"width":960,"height":960},
+		{"id":"48fd7f9755552296","type":"file","file":"9 - Algoritmi distribuiti/2 - Algoritmi di approssimazione/2 - Approssimazione di vertex cover/vertex cover.md","x":-40,"y":-880,"width":400,"height":400},
+		{"id":"7ba621fac863e8d2","type":"file","file":"9 - Algoritmi distribuiti/2 - Algoritmi di approssimazione/2 - Approssimazione di vertex cover/approssimazione a 2 di minimal vertex cover standard.md","x":800,"y":-320,"width":960,"height":960},
+		{"id":"970bd24b72f8c5f2","type":"file","file":"9 - Algoritmi distribuiti/2 - Algoritmi di approssimazione/2 - Approssimazione di vertex cover/abbinamento.md","x":1080,"y":-1440,"width":400,"height":400},
+		{"id":"72fb1bbb10967056","type":"file","file":"9 - Algoritmi distribuiti/2 - Algoritmi di approssimazione/2 - Approssimazione di vertex cover/abbinamento perfetto.md","x":1640,"y":-880,"width":400,"height":400},
+		{"id":"fa8df1320b3ed088","type":"file","file":"9 - Algoritmi distribuiti/2 - Algoritmi di approssimazione/2 - Approssimazione di vertex cover/abbinamento massimale.md","x":1080,"y":-880,"width":400,"height":400},
+		{"id":"f96879f056fe7aa8","x":800,"y":800,"width":960,"height":960,"type":"file","file":"9 - Algoritmi distribuiti/2 - Algoritmi di approssimazione/2 - Approssimazione di vertex cover/approssimazione a 2 di minimal vertex cover con relax-and-round.md"}
+	],
+	"edges":[
+		{"id":"4c850dafac1de915","fromNode":"48fd7f9755552296","fromSide":"bottom","toNode":"73a99c0a14178a2b","toSide":"top"},
+		{"id":"93de889933822bfc","fromNode":"970bd24b72f8c5f2","fromSide":"bottom","toNode":"fa8df1320b3ed088","toSide":"top"},
+		{"id":"c9e31190f4515460","fromNode":"970bd24b72f8c5f2","fromSide":"bottom","toNode":"72fb1bbb10967056","toSide":"top"},
+		{"id":"f67fbfb93a1d887e","fromNode":"fa8df1320b3ed088","fromSide":"bottom","toNode":"6221db7b45511f2d","toSide":"top"},
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+		{"id":"e92e7e13b95d340b","fromNode":"73a99c0a14178a2b","fromSide":"right","toNode":"74f5796de3293a66","toSide":"left"}
+	]
+}

9 - Algoritmi distribuiti/2 - Algoritmi di approssimazione/3 - Approssimazione di commesso viaggiatore/1-tree.md

@@ -0,0 +1,6 @@
+[[sottografo]].
+
+Determinato dall'[[unione]] di:
+- un [[minimum spanning tree]] 
+- un [[nodo di un grafo|nodo]] esterno ad esso 
+- due [[arco di un grafo|archi]] che connettono il [[entità|nodo]] esterno al [[minimum spanning tree]]

9 - Algoritmi distribuiti/2 - Algoritmi di approssimazione/3 - Approssimazione di commesso viaggiatore/algoritmo di Christofides.md

@@ -0,0 +1,140 @@
+[[algoritmo di approssimazione]] di [[problema del commesso viaggiatore|minimizzazione di circuito hamiltoniano]], che migliora la [[approssimazione a 2 di problema del commesso viaggiatore con costo degli archi triangolare]].
+
+## Restrizioni aggiuntive
+
+- [[costo degli archi triangolare]]
+
+## Funzionamento
+
+> [!Summary]+ Summary ma non troppo
+> Si effettuano i seguenti passi:
+> 1. si crea un [[minimum spanning tree]] del [[grafo]];
+> 2. da esso, si crea un [[sottografo]] [[induzione di sottografo|indotto]] dai [[nodo di un grafo|nodi]] che nel [[minimum spanning tree]] hanno [[grado di un nodo|grado]] dispari;
+> 3. si determina l'[[abbinamento perfetto]] di [[funzione costo|costo]] [[problema di minimizzazione|minimo]] del sottografo;
+> 4. si [[unione|uniscono]] [[minimum spanning tree]] e [[abbinamento perfetto]] [[problema di minimizzazione|minimo]] per creare un [[grafo]] temporaneo su cui effettuare i calcoli;
+> 5. si usa l'[[algoritmo di Fleury per circuito euleriano]] per trovare un [[circuito euleriano]] sul [[grafo]] temporaneo;
+> 6. grazie al [[costo degli archi triangolare]] si rimuovono tutte le visite ripetute ai [[nodo di un grafo|nodi]], ottenendo un [[circuito hamiltoniano]].
+
+## [[algoritmo corretto|Correttezza]]
+
+> [!Success] ==Sì==
+
+## [[fattore di approssimazione|Fattore di approssimazione]]
+
+Esiste un [[circuito hamiltoniano]] [[soluzione ottima|ottimale]] di costo:
+$$
+\def \varOptimal {{\color{Gold} Optimal}}
+\large \varOptimal
+$$
+
+---
+
+Si [[induzione di sottografo|induce]] un [[sottografo]] da tutti i [[nodo di un grafo|nodi]] con [[grado di un nodo|grado]] dispari nel [[minimum spanning tree]].
+
+Essendo il [[grafo]] originale [[grafo completo|completo]], anche il [[sottografo]] lo sarà, pertanto, dovrà sicuramente esistere in esso un [[circuito hamiltoniano]] [[problema di minimizzazione|minimo]] di peso:
+$$
+\def \varSubHamilton {{\color{DarkKhaki} SubHamilton}}
+\large \varSubHamilton
+$$
+Avendo tolto dei [[nodo di un grafo|nodi]] dal [[grafo]] iniziale, per la [[costo degli archi triangolare|proprietà triangolare per il costo degli archi]] possiamo dire che:
+$$
+\varSubHamilton \leq \varOptimal
+$$
+
+---
+
+Dividiamo gli [[arco di un grafo|archi]] del sotto-[[circuito hamiltoniano]] [[problema di minimizzazione|minimo]] in due [[insieme|insiemi]], visitandoli e alternandoli uno ad uno nel primo e nel secondo insieme, ottenendo così due [[abbinamento perfetto|abbinamenti perfetti]] (non minimi) di [[funzione costo|costo]]:
+$$
+\def \varMatchingA {{\color{Lime} Matching_A}}
+\def \varMatchingB {{\color{LawnGreen} Matching_B}}
+\large \varMatchingA \qquad \varMatchingB
+$$
+
+Li mettiamo a confronto con l'[[abbinamento perfetto]] di [[funzione costo|costo]] [[problema di minimizzazione|minimo]] realizzato dall'algoritmo:
+$$
+\def \varMatchingOpt {{\color{PaleGreen} Matching}}
+\large \varMatchingOpt
+$$
+
+Essendo l'[[abbinamento]] [[problema di minimizzazione|minimo]] ed il [[grafo]] [[grafo completo|completo]], abbiamo che:
+$$
+\varMatchingOpt \leq \varMatchingA
+$$
+$$
+\varMatchingOpt \leq \varMatchingB
+$$
+E quindi:
+$$
+2 \cdot \varMatchingOpt \leq \varMatchingA + \varMatchingB
+$$
+Dato che i due [[abbinamento perfetto|abbinamenti perfetti]] contengono tutti gli [[arco di un grafo|archi]] del sotto-[[circuito hamiltoniano]] [[problema di minimizzazione|minimo]]:
+$$
+2 \cdot \varMatchingOpt \leq \varSubHamilton
+$$
+E quindi:
+$$
+2 \cdot \varMatchingOpt \leq \varOptimal
+$$
+Cioè:
+$$
+\varMatchingOpt \leq \frac{1}{2} \cdot \varOptimal
+$$
+
+---
+
+Definiamo la somma dei pesi del [[minimum spanning tree]] utilizzato inizialmente come:
+$$
+\def \varTree {{\color{SpringGreen} Tree}}
+\large \varTree
+$$
+Dato che possiamo anche ottenerlo rimuovendo un singolo [[canale di comunicazione|arco]] qualsiasi dal [[circuito hamiltoniano]] [[soluzione ottima|ottimale]]:
+$$
+\varTree \leq \varOptimal
+$$
+
+---
+
+Il [[circuito euleriano]] restituito dall'[[algoritmo di Fleury per circuito euleriano|algoritmo di Fleury]] ha un peso totale di:
+$$
+\def \varFleury {{\color{Purple} Fleury}} 
+\large \varFleury
+$$
+Dato che esso attraversa tutti gli [[arco di un grafo|archi]] del [[minimum spanning tree]] e dell'[[abbinamento perfetto]], possiamo dire che:
+$$
+\varFleury = \varTree + \varMatchingOpt
+$$
+
+---
+
+Possiamo usare però la [[costo degli archi triangolare|proprietà triangolare per il costo degli archi]] per rimuovere tutti i [[nodo di un grafo|nodi]] che compaiono due volte, ottenendo così un [[circuito hamiltoniano]], che sarà sicuramente più breve del [[circuito euleriano]]:
+$$
+\def \varApprox {{\color{Magenta} Approx}}
+\large \varApprox
+$$
+Ottenendo che:
+$$
+\varApprox \leq \varFleury 
+$$
+E quindi che:
+$$
+\varApprox \leq \varTree + \varMatchingOpt
+$$
+Continuando a sostituire:
+$$
+\varApprox \leq \varOptimal + \frac{1}{2} \cdot \varOptimal
+$$
+Ovvero:
+$$
+\varApprox \leq \frac{3}{2} \cdot \varOptimal
+$$
+
+Il [[fattore di approssimazione]] quindi è:
+$$
+\Large \frac{3}{2}
+$$
+
+
+## Altre fonti
+
+> [!Quote]- Di Snowy
+> ![[Pasted image 20231209021058.png]]

9 - Algoritmi distribuiti/2 - Algoritmi di approssimazione/3 - Approssimazione di commesso viaggiatore/algoritmo di Fleury per circuito euleriano.md

@@ -0,0 +1,9 @@
+---
+aliases:
+  - algoritmo di Fleury
+---
+
+[[algoritmo]] di [[ricerca di circuito euleriano]].
+
+> [!Summary]
+> Parte da un [[nodo di un grafo|nodo]], e continua a selezionare [[arco di un grafo|archi]] non già attraversati fino a quando non sono stati attraversati tutti.

9 - Algoritmi distribuiti/2 - Algoritmi di approssimazione/3 - Approssimazione di commesso viaggiatore/approssimazione a 2 di problema del commesso viaggiatore con costo degli archi triangolare.md

@@ -0,0 +1,92 @@
+[[algoritmo di approssimazione]] di [[problema del commesso viaggiatore|minimizzazione di circuito hamiltoniano]].
+
+## Restrizioni aggiuntive
+
+- [[costo degli archi triangolare]]
+
+## Funzionamento
+
+> [!Summary]+ Summary ma non troppo
+> Si effettuano i seguenti passi:
+> 1. si crea un [[minimum spanning tree]] del [[grafo]], e ne si seleziona un [[nodo di un grafo|nodo]] qualsiasi che ne diventi la radice;
+> 2. poi, si effettua una [[depth-first search]] sul [[grafo]], aggiungendo in [[pre-visita]] i [[nodo di un grafo|nodi]] a una lista, determinando così un [[percorso hamiltoniano]];
+> 3. infine, si connettono primo e ultimo [[nodo di un grafo|nodo]], ottenendo così un [[circuito hamiltoniano]]. 
+
+## [[algoritmo corretto|Correttezza]]
+
+> [!Success]
+> L'[[algoritmo]] produce sempre una [[9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/soluzione|soluzione ammissibile]] in tempo finito.
+
+## [[fattore di approssimazione|Fattore di approssimazione]]
+
+Definiamo la somma dei pesi del [[minimum spanning tree]] utilizzato come:
+$$
+\def \varTree {{\color{SpringGreen} Tree}}
+\large \varTree
+$$
+
+---
+
+Effettuando una [[depth-first search]] sul [[minimum spanning tree]] e aggiungendo ad una [[lista]] tutti i [[nodo di un grafo|nodi]] attraversati in [[pre-visita]] e [[post-visita]], otteniamo un [[circuito hamiltoniano]]:
+$$
+\def \varFullWalk {{\color{Purple} FullWalk}} 
+\large \varFullWalk
+$$
+Esso attraversa tutti gli [[arco di un grafo|archi]] due volte:
+$$
+\varFullWalk 
+= 
+2 \cdot \varTree
+$$
+
+---
+
+Possiamo usare però la [[costo degli archi triangolare|proprietà triangolare per il costo degli archi]] per rimuovere tutti i [[nodo di un grafo|nodi]] che compaiono due volte, ottenendo un [[circuito hamiltoniano]] più breve:
+
+$$
+\def \varApprox {{\color{Magenta} Approx}}
+\large \varApprox
+$$
+Ottenendo che:
+$$
+\varApprox \leq \varFullWalk 
+$$
+E quindi che:
+$$
+\varApprox \leq 2 \cdot \varTree
+$$
+
+---
+
+Consideriamo il costo del [[circuito hamiltoniano]] [[soluzione ottima|ottimale]]:
+$$
+\def \varOptimal {{\color{Gold} Optimal}}
+\large \varOptimal
+$$
+Da esso, possiamo ottenere uno [[spanning tree]] rimuovendo un [[canale di comunicazione|arco]] qualsiasi:
+$$
+\varTree \leq \varOptimal
+$$
+Pertanto, abbiamo che:
+$$
+\frac{1}{2} \cdot \varFullWalk \leq \varOptimal
+$$
+Portando dall'altra parte:
+$$
+\varFullWalk \leq 2 \cdot \varOptimal
+$$
+Quindi:
+$$
+\varApprox \leq 2 \cdot \varOptimal
+$$
+Ottenendo così un [[fattore di approssimazione]] di:
+$$
+\Large 2
+$$
+
+## [[costo computazionale]]
+
+| Costo | [[notazione O-grande]] | 
+|-|-|
+| [[9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/spazio]] | $O(Nodes)$ |
+| [[9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/tempo]] | polinomiale |

9 - Algoritmi distribuiti/2 - Algoritmi di approssimazione/3 - Approssimazione di commesso viaggiatore/approssimazione di problema del commesso viaggiatore con branch-and-bound.md

@@ -0,0 +1,61 @@
+[[algoritmo di approssimazione]] di [[problema del commesso viaggiatore]].
+
+## Funzionamento
+
+> [!Summary]
+> Il [[grafo]] viene diviso in più [[sottografo|sottografi]], di cui si cercano i rispettivi [[circuito hamiltoniano|circuiti hamiltoniani]] [[problema di minimizzazione|minimi]].
+
+### [[branch-and-bound|Branch]]
+
+Si seleziona un [[nodo di un grafo|nodo]]:
+- se questa è la prima iterazione, se ne seleziona uno qualsiasi;
+- altrimenti, uno che ha grado $\geq 3$ nell'[[1-tree]];
+- se non ce ne sono, abbiamo trovato il [[circuito hamiltoniano]] [[minimo locale]].
+
+Per ciascuna selezione possibile di due [[arco di un grafo|archi]] incidenti su di esso, si crea un nuovo [[branch-and-bound|branch]] che esclude tutti gli altri.
+
+> [!Example]-
+> 
+> #### 1-tree con nodi selezionabili evidenziati
+> 
+> ![[Branch 1.svg]]
+> 
+> #### Tre dei sei branch risultanti
+> 
+> ![[Branch 1A.svg]]
+> 
+> ![[Branch 1B.svg]]
+> 
+> ![[Branch 1C.svg]]
+
+
+### [[branch-and-bound|Bound]]
+
+Per ciascun [[branch-and-bound|branch]]:
+1. si crea un [[sottografo]] escludendo il [[nodo di un grafo|nodo]] in questione tutti gli [[arco di un grafo|archi]] incidenti su esso
+2. si determina il [[minimum spanning tree]] del grafo
+3. si selezionano i due [[arco di un grafo|archi]] pertinenti al [[branch-and-bound|branch]] in questione
+4. si [[unione|uniscono]] [[minimum spanning tree]] e due [[arco di un grafo|archi]], formando un **[[1-tree]]**
+5. si usa come valore di bounding il [[funzione costo|costo]] dell'[[1-tree]]
+
+> [!Example]-
+> 
+> #### Grafo pesato iniziale
+> ![[Grafo pesato iniziale.svg]]
+> 
+> #### Selezionato il nodo 1
+> ![[Bound 1.svg]]
+
+> [!Success] Correttezza
+> 
+> Il [[funzione costo|costo]] di un [[circuito hamiltoniano]] può essere visto come la somma di:
+> - il [[funzione costo|costo]] di un [[percorso di un grafo|percorso]] che collega i [[nodo di un grafo|nodi]] del [[sottografo]] del [[branch-and-bound|branch]] (uno [[spanning tree]])
+> - il [[funzione costo|costo]] dei due [[arco di un grafo|archi]] che collegano il [[nodo di un grafo|nodo]] escluso e il [[sottografo]]
+> 
+> Nell'effettuare il [[branch-and-bound|bounding]], non siamo sicuri che il [[minimum spanning tree]] determinato sia anche un [[circuito hamiltoniano]], ma sappiamo che qualsiasi altra selezione di archi avrà sicuramente un costo maggiore.
+
+### [[branch-and-bound|Pruning]]
+
+Vengono eliminati i [[branch-and-bound|branch]]:
+- con un [[entità|nodo]] di [[grado di un nodo|grado]] $\leq 1$
+- senza un [[grafo connesso]]