From 89b3a26aa731c64a66cc907e8367dac050d65ec3 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Stefano Pigozzi <me@steffo.eu>
Date: Tue, 4 Jun 2024 08:16:05 +0200
Subject: [PATCH] Progressi in IQIP
---
0 - Generale/formula di Eulero.md | 8 +
0 - Generale/operatore aggiunto.md | 22 +
.../1 - Concetti base/bra.md | 9 +
.../1 - Concetti base/proiezione inversa.md | 15 +
.../1 - Concetti base/proiezione.md | 14 +
.../1 - Concetti base/qbit.md | 1 +
.../regola di Born generalizzata.md | 8 +
.../stato base di un qbit.md | 21 +
.../stato base di un qubit.md | 16 -
.../1 - Concetti base/★ concetti base.canvas | 25 +-
.../circuito quantistico a caso.png | Bin 0 -> 6151 bytes
.../circuito quantistico.md | 12 +
.../gate quantistico universale.md | 30 ++
.../2 - Gates semplici/gate quantistico.md | 4 +
.../★ gates semplici.canvas | 10 +-
.../3 - Gates complessi/Swap gate.md | 13 +
.../controlled Pauli X gate.md | 18 +
...gate quantistico controllato universale.md | 17 +
...zione uguale.md => equal superposition.md} | 6 -
.../modello computazionale generale.md | 2 +-
.../★ modello computazionale.canvas | 2 +-
.../5 - Cose strane/Hardy state.md | 15 +
.../costruire un Hardy state, old.md | 509 ++++++++++++++++++
.../costruire un Hardy state.md | 77 +++
.../no-approximation theorem.md | 0
.../no-cloning theorem.md | 50 +-
.../spooky action at a distance.md | 23 +
.../5 - Cose strane/★ cose strane.canvas | 14 +
.../6 - Teoremi/★ teoremi.canvas | 4 +
29 files changed, 908 insertions(+), 37 deletions(-)
create mode 100644 0 - Generale/formula di Eulero.md
create mode 100644 0 - Generale/operatore aggiunto.md
create mode 100644 7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/proiezione inversa.md
create mode 100644 7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/proiezione.md
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rename 7 - Introduction to quantum information processing/4 - Modello computazionale/{superposizione uguale.md => equal superposition.md} (86%)
create mode 100644 7 - Introduction to quantum information processing/5 - Cose strane/Hardy state.md
create mode 100644 7 - Introduction to quantum information processing/5 - Cose strane/costruire un Hardy state, old.md
create mode 100644 7 - Introduction to quantum information processing/5 - Cose strane/costruire un Hardy state.md
rename 7 - Introduction to quantum information processing/{5 - Teoremi => 5 - Cose strane}/no-approximation theorem.md (100%)
rename 7 - Introduction to quantum information processing/{5 - Teoremi => 5 - Cose strane}/no-cloning theorem.md (59%)
create mode 100644 7 - Introduction to quantum information processing/5 - Cose strane/spooky action at a distance.md
create mode 100644 7 - Introduction to quantum information processing/5 - Cose strane/★ cose strane.canvas
create mode 100644 7 - Introduction to quantum information processing/6 - Teoremi/★ teoremi.canvas
diff --git a/0 - Generale/formula di Eulero.md b/0 - Generale/formula di Eulero.md
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index 0000000..832e701
--- /dev/null
+++ b/0 - Generale/formula di Eulero.md
@@ -0,0 +1,8 @@
+[[Formula]] che mette in relazione [[funzione trigonometrica|funzioni trigonometriche]] alla [[funzione esponenziale complessa]].
+
+$$
+\def \varX {{\color{yellow} x}}
+\def \varI {{\color{hotpink} i}}
+\Huge
+e^{\varI \varX} = \cos \varX + \varI \sin \varX
+$$
diff --git a/0 - Generale/operatore aggiunto.md b/0 - Generale/operatore aggiunto.md
new file mode 100644
index 0000000..d03e8c7
--- /dev/null
+++ b/0 - Generale/operatore aggiunto.md
@@ -0,0 +1,22 @@
+[[Operazione]] [[numero complesso|complessa]] [[matrice|matriciale]] che consiste nella combinazione dell'[[operatore coniugato]] e dell'[[operatore trasposto]].
+
+$$
+\huge \mathbf{M}^\dagger = \mathbf{M}'^{*}
+$$
+
+$$
+\begin{bmatrix}
+1 + {\color{hotpink}1i} & 1 + {\color{hotpink}2i} \\
+2 + {\color{hotpink}1i} & 2 + {\color{hotpink}2i}
+\end{bmatrix}^\dagger
+=
+\begin{bmatrix}
+(1 + {\color{hotpink}1i})^* & (2 + {\color{hotpink}1i})^* \\
+(1 + {\color{hotpink}2i})^* & (2 + {\color{hotpink}2i})^*
+\end{bmatrix}
+=
+\begin{bmatrix}
+1 - {\color{hotpink}1i} & 2 - {\color{hotpink}1i} \\
+1 - {\color{hotpink}2i} & 2 - {\color{hotpink}2i}
+\end{bmatrix}
+$$
diff --git a/7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/bra.md b/7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/bra.md
index 58187c3..8758414 100644
--- a/7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/bra.md
+++ b/7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/bra.md
@@ -91,3 +91,12 @@ $$
\bra{11111111} = \bra{255}_8
}
$$
+Corrispondono all'[[operatore aggiunto]] applicato ad un [[ket]]:
+$$
+\Huge
+\bra{0} = \ket{0}^\dagger
+$$
+$$
+\Huge
+\ket{0} = \bra{0}^\dagger
+$$
\ No newline at end of file
diff --git a/7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/proiezione inversa.md b/7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/proiezione inversa.md
new file mode 100644
index 0000000..9108ce5
--- /dev/null
+++ b/7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/proiezione inversa.md
@@ -0,0 +1,15 @@
+[[Operazione]] che restitusce il coefficiente dello stato $\ket{1}$ di un dato [[qbit]].
+
+$$
+\Huge
+\mathbf{\dot{n}}_0
+=
+\begin{bmatrix}
+0 & 0 \\
+0 & 1
+\end{bmatrix}
+=
+1 -
+\ket{0}
+\bra{0}
+$$
diff --git a/7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/proiezione.md b/7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/proiezione.md
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index 0000000..559efec
--- /dev/null
+++ b/7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/proiezione.md
@@ -0,0 +1,14 @@
+[[Operazione]] che restitusce il coefficiente dello stato $\ket{0}$ di un dato [[qbit]].
+
+$$
+\Huge
+\mathbf{n}_0
+=
+\begin{bmatrix}
+1 & 0 \\
+0 & 0
+\end{bmatrix}
+=
+\ket{0}
+\bra{0}
+$$
diff --git a/7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/qbit.md b/7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/qbit.md
index 707d862..052b7a5 100644
--- a/7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/qbit.md
+++ b/7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/qbit.md
@@ -4,6 +4,7 @@ aliases:
- qubit
- stato di un qbit
- fase di un qbit
+ - stato
---
[[Valore]] di un sistema quantistico che può trovarsi contemporaneamente in due [[stato di un qbit|stati]] con intensità complementari tra loro.
diff --git a/7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/regola di Born generalizzata.md b/7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/regola di Born generalizzata.md
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index 0000000..33b0ebe
--- /dev/null
+++ b/7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/regola di Born generalizzata.md
@@ -0,0 +1,8 @@
+Generalizzazione della [[regola di Born]] a più [[qbit]].
+
+$$
+\mathrm{measure}\ \ket{x} \rightarrow
+\begin{cases}
+ \Psi & il\braket{x | \Psi}\ delle\ volte
+\end{cases}
+$$
diff --git a/7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/stato base di un qbit.md b/7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/stato base di un qbit.md
new file mode 100644
index 0000000..b3ff37f
--- /dev/null
+++ b/7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/stato base di un qbit.md
@@ -0,0 +1,21 @@
+Quando un [[qbit]] si trova in uno stato con massima intensità, si dice che esso si trova in uno stato base:
+
+$$
+\Large
+\begin{bmatrix}
+ 1\\
+ 0
+\end{bmatrix}
+\qquad
+\begin{bmatrix}
+ 0\\
+ 1
+\end{bmatrix}
+$$
+
+Gli stati base solitamente vengono rappresentati con un [[ket]] dedicato:
+
+$$
+\LARGE
+\ket{0} \qquad \ket{1}
+$$
\ No newline at end of file
diff --git a/7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/stato base di un qubit.md b/7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/stato base di un qubit.md
deleted file mode 100644
index c3594f0..0000000
--- a/7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/stato base di un qubit.md
+++ /dev/null
@@ -1,16 +0,0 @@
-Quando un [[qbit]] si trova in uno [[stato di un qbit|stato]] con massima intensità, si dice che esso si trova in uno stato base:
-
-$$
-\Huge
-\begin{bmatrix}
- 1\\
- 0
-\end{bmatrix}
-\qquad
-\begin{bmatrix}
- 0\\
- 1
-\end{bmatrix}
-$$
-
-Si trovano rappresentati spesso in notazione [[ket]].
diff --git a/7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/★ concetti base.canvas b/7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/★ concetti base.canvas
index c0bd93e..46f78c2 100644
--- a/7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/★ concetti base.canvas
+++ b/7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/★ concetti base.canvas
@@ -3,28 +3,37 @@
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index 0000000..f97c358
--- /dev/null
+++ b/7 - Introduction to quantum information processing/2 - Gates semplici/circuito quantistico.md
@@ -0,0 +1,12 @@
+Combinazione di più [[gate quantistico|gate quantistici]].
+
+In notazione matematica, vengono eseguiti da destra verso sinistra:
+
+$$
+\Huge
+\mathbf{4\ 3\ 2\ 1} \ket{\psi} = (\ \mathbf{4} (\ \mathbf{3} (\ \mathbf {2} (\ \mathbf{1} \ket{\psi}\ )\ )\ )\ )
+$$
+
+Nei diagrammi di circuito, vengono eseguiti da sinistra verso destra:
+
+![[circuito quantistico a caso.png]]
\ No newline at end of file
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--- /dev/null
+++ b/7 - Introduction to quantum information processing/2 - Gates semplici/gate quantistico universale.md
@@ -0,0 +1,30 @@
+Un [[gate quantistico]] che permette di effettuare una rotazione su asse arbitrario.
+
+Usando la [[formula di Eulero]], esso corrisponde a:
+$$
+\def \varX {{\color{coral} \theta}}
+\def \varY {{\color{cornflowerblue} \phi}}
+\def \varZ {{\color{yellowgreen} \lambda}}
+\def \varI {{\color{hotpink} i}}
+\Huge
+\mathbf{U}(\varX, \varY, \varZ) = \begin{bmatrix}
+ \cos \left( \frac{\varX}{2} \right) &
+ - e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right) \\
+ e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right) &
+ e^{\varI \varY + \varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)
+\end{bmatrix}
+$$
+
+Espanso, sarebbe:
+$$
+\def \varX {{\color{coral} \theta}}
+\def \varY {{\color{cornflowerblue} \phi}}
+\def \varZ {{\color{yellowgreen} \lambda}}
+\def \varI {{\color{hotpink} i}}
+\mathbf{U}(\varX, \varY, \varZ) = \begin{bmatrix}
+ \cos \frac{\varX}{2} &
+ - (\cos \varZ + \varI \sin \varZ) \cdot \sin \frac{\varX}{2} \\
+ (\cos \varY + \varI \sin \varY) \cdot \sin \frac{\varX}{2} &
+ (cos (\varY + \varZ) + \varI \sin (\varY + \varZ)) \cdot \sin \frac{\varX}{2}
+\end{bmatrix}
+$$
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--- a/7 - Introduction to quantum information processing/2 - Gates semplici/gate quantistico.md
+++ b/7 - Introduction to quantum information processing/2 - Gates semplici/gate quantistico.md
@@ -14,3 +14,7 @@ Un gate quantistico è rappresentato in un circuito quantistico come un quadrato
### Nella [[sfera di Bloch]]
Un qubit a cui viene applicato un gate ruota il proprio vettore nella [[sfera di Bloch]] attorno a un determinato asse dipendente dal gate.
+
+## Particolarità
+
+Essendo una [[trasformazione unitaria]], è sempre reversibile applicandolo nuovamente.
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@@ -6,7 +6,9 @@
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+ {"id":"1e804405023e0376","type":"file","file":"7 - Introduction to quantum information processing/2 - Gates semplici/Identity gate.md","x":-800,"y":-320,"width":400,"height":400},
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+++ b/7 - Introduction to quantum information processing/3 - Gates complessi/Swap gate.md
@@ -0,0 +1,13 @@
+[[gate quantistico complesso]] che scambia gli [[qbit|stati di due qbit]].
+
+$$
+\Huge
+\mathbf{S}_{0 \leftrightarrow 1}
+=
+\begin{bmatrix}
+1 & 0 & 0 & 0 \\
+0 & 0 & 1 & 0 \\
+0 & 1 & 0 & 0 \\
+0 & 0 & 0 & 1
+\end{bmatrix}
+$$
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--- /dev/null
+++ b/7 - Introduction to quantum information processing/3 - Gates complessi/controlled Pauli X gate.md
@@ -0,0 +1,18 @@
+---
+aliases:
+ - CNOT gate
+ - quantum controlled NOT gate
+ - Feynman gate
+---
+[[Pauli X gate]] che opera condizionalmente su un [[qbit]] in base allo stato di un altro [[qbit]]:
+$$
+\Huge
+\mathbf{X}_{0 \to 1}
+=
+\begin{bmatrix}
+1 & 0 & 0 & 0 \\
+0 & 1 & 0 & 0 \\
+0 & 0 & 0 & 1 \\
+0 & 0 & 1 & 0
+\end{bmatrix}
+$$
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--- /dev/null
+++ b/7 - Introduction to quantum information processing/3 - Gates complessi/gate quantistico controllato universale.md
@@ -0,0 +1,17 @@
+[[gate quantistico universale]] che opera condizionalmente su un [[qbit]] in base allo stato di un altro [[qbit]]:
+$$
+\def \varX {{\color{coral} \theta}}
+\def \varY {{\color{cornflowerblue} \phi}}
+\def \varZ {{\color{yellowgreen} \lambda}}
+\def \varI {{\color{hotpink} i}}
+\Huge
+\mathbf{U}_{0 \to 1}(\varX, \varY, \varZ)
+=
+\begin{bmatrix}
+1 & 0 & 0 & 0 \\
+0 & 1 & 0 & 0 \\
+0 & 0 & e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right) & e^{\varI \varY + \varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right) \\
+0 & 0 & \cos \left( \frac{\varX}{2} \right) &
+ - e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)
+\end{bmatrix}
+$$
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--- a/7 - Introduction to quantum information processing/4 - Modello computazionale/superposizione uguale.md
+++ b/7 - Introduction to quantum information processing/4 - Modello computazionale/equal superposition.md
@@ -1,9 +1,3 @@
----
-aliases:
- - equal superposition
----
-
-
Particolare [[entanglement]] usato per computare in parallelo tanti possibili [[9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/parametro|input]] a un problema.
$$
diff --git a/7 - Introduction to quantum information processing/4 - Modello computazionale/modello computazionale generale.md b/7 - Introduction to quantum information processing/4 - Modello computazionale/modello computazionale generale.md
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--- a/7 - Introduction to quantum information processing/4 - Modello computazionale/modello computazionale generale.md
+++ b/7 - Introduction to quantum information processing/4 - Modello computazionale/modello computazionale generale.md
@@ -1,6 +1,6 @@
Per effettuare una [[computazione quantistica]] si procede per passi:
-1. Si crea una [[superposizione uguale]] sui [[qbit]] in [[9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/parametro|input]].
+1. Si crea una [[equal superposition]] sui [[qbit]] in [[9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/parametro|input]].
2. Si introducono [[qbit]] di [[risultato|output]] inizializzati a un valore costante.
3. Si applica un [[gate complesso]] che effettua la computazione classica con i [[qbit]] in [[9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/parametro|input]].
4. Si [[misura|misurano]] i [[qbit]] in [[risultato|output]].
diff --git a/7 - Introduction to quantum information processing/4 - Modello computazionale/★ modello computazionale.canvas b/7 - Introduction to quantum information processing/4 - Modello computazionale/★ modello computazionale.canvas
index 43dcf4b..1d12b0a 100644
--- a/7 - Introduction to quantum information processing/4 - Modello computazionale/★ modello computazionale.canvas
+++ b/7 - Introduction to quantum information processing/4 - Modello computazionale/★ modello computazionale.canvas
@@ -1,6 +1,6 @@
{
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+ {"id":"d1d50a48dd6ecf09","type":"file","file":"7 - Introduction to quantum information processing/4 - Modello computazionale/equal superposition.md","x":-220,"y":-200,"width":400,"height":400},
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],
"edges":[
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--- /dev/null
+++ b/7 - Introduction to quantum information processing/5 - Cose strane/Hardy state.md
@@ -0,0 +1,15 @@
+Particolare [[qbit|stato]] di due [[qbit]] composto nel seguente modo:
+
+$$
+\Huge
+\ket{\Phi}
+=
+\frac{
+ 3 \cdot \ket{00} +
+ 1 \cdot \ket{01} +
+ 1 \cdot \ket{10} -
+ 1 \cdot \ket{11}
+}{\sqrt{12}}
+$$
+
+Se ad entrambi i qbit viene applicato un [[Hadamard gate]], gli stati $\ket{01}$ e $\ket{10}$ cessano di essere possibili, dando origine al fenomeno della [[spooky action at a distance]].
\ No newline at end of file
diff --git a/7 - Introduction to quantum information processing/5 - Cose strane/costruire un Hardy state, old.md b/7 - Introduction to quantum information processing/5 - Cose strane/costruire un Hardy state, old.md
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index 0000000..df73e4c
--- /dev/null
+++ b/7 - Introduction to quantum information processing/5 - Cose strane/costruire un Hardy state, old.md
@@ -0,0 +1,509 @@
+
+
+Dobbiamo determinare i parametri dei gate da utilizzare per costruire il seguente stato:
+
+
+
+$$
+
+\ket{\Phi}_2 = \frac{1}{\sqrt{12}}\ (\ 3 \ket{00} + 1 \ket{01} + 1 \ket{10} - 1 \ket{11}\ )
+
+$$
+
+
+
+### Costruzione del gate $\mathbf{U_A}$ da applicare al qbit 0
+
+
+
+Vogliamo usare un gate $\mathbf{U_0}(\theta, \phi, \lambda)$ per configurare il bit più a destra dello stato, assumendo che lo stato iniziale sia $\ket{00}$.
+
+
+
+Raccogliamo il qbit più a destra:
+
+
+
+$$
+
+\ket{\Phi}_2 = \frac{1}{\sqrt{12}} \ (\ {\color{orange} (3\ket{0} + 1 \ket{1})}\ {\color{red} \ket{0}} + {\color{lime} (1\ket{0} - 1 \ket{1})}\ {\color{green} \ket{1}}\ )
+
+$$
+
+
+
+Ignorando il valore del qbit di sinistra, abbiamo che:
+
+
+
+$$
+
+\frac{1}{\sqrt{12}} \ \left(\ {\color{orange} \sqrt{3^2 + 1^2}}\ {\color{red} \ket{\_0}} + {\color{lime} \sqrt{1^2 + (-1)^2}}\ {\color{green} \ket{\_1}}\ \right) =
+
+\frac{1}{\sqrt{12}} \ \left(\ {\color{orange} \sqrt{10}}\ {\color{red} \ket{\_0}} + {\color{lime} \sqrt{2}} {\color{green}\ \ket{\_1}}\ \right)
+
+$$
+
+
+
+Ricordando che il gate $\mathbf{U}(\theta, \phi, \lambda)$ è composto così:
+
+
+
+$$
+
+\mathbf{U}(\theta, \phi, \lambda) = \left[ \begin{matrix}
+
+{\color{Gray} Out} & {\color{Gray} In_{\ket{\_0}}} & {\color{Gray} In_{\ket{\_1}}} \\\ \\
+
+{\color{Red} \ket{\_0}} & \cos \left( \frac{\theta}{2} \right) & {\color{LightGray} - e^{i\lambda} \sin \left( \frac{\theta}{2} \right)}
+
+\\\ \\
+
+{\color{Green} \ket{\_1}} & e^{i \phi} \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) & {\color{LightGray} e^{i(\phi + \lambda)} \cos \left( \frac{\theta}{2} \right)}
+
+\end{matrix} \right]
+
+$$
+
+
+
+E che vogliamo ottenere il seguente gate:
+
+
+
+$$
+
+\mathbf{U_A} (\theta, \phi, \lambda) \ket{\_0} = \frac{1}{\sqrt{12}} \ \left(\ {\color{orange} \sqrt{10}}\ {\color{red} \ket{\_0}} + {\color{lime} \sqrt{2}} {\color{green}\ \ket{\_1}}\ \right)
+
+$$
+
+
+
+Possiamo portare a destra tutti i termini che non sono il gate, ottenendo:
+
+
+
+$$
+
+\mathbf{U_A} (\theta, \phi, \lambda) = \frac{1}{\sqrt{12}}
+
+$$
+
+
+
+Abbiamo che:
+
+
+
+$$
+
+\mathbf{U_A} (\theta, \phi, \lambda) = \frac{1}{\sqrt{12}} \left[ \begin{matrix}
+
+{\color{Gray} Out} & {\color{Gray} In_{\ket{\_0}}} & {\color{Gray} In_{\ket{\_1}}} \\\ \\
+
+{\color{Red} \ket{\_0}} & {\color{Orange} \sqrt{10}} & {\color{LightGray} ?}
+
+\\\ \\
+
+{\color{Green} \ket{\_1}} &{\color{Lime} \sqrt{2}} & {\color{LightGray} ?}
+
+\end{matrix} \right]
+
+$$
+
+
+
+<aside>
+
+📘 Non ci interessa lo stato $\ket{\_1}$, perchè lo stato iniziale a cui applichiamo il gate $\mathbf{U_A}$ è sempre $\ket{00}$.
+
+
+
+</aside>
+
+
+
+Mettiamo a sistema i valori che ci servono:
+
+
+
+$$
+
+\begin{cases}
+
+{\color{Red} \ket{\_0}}: & \cos \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{{\color{Orange} \sqrt{10}}}{\sqrt{12}}\\\ \\
+
+{\color{Green} \ket{\_1}}: & e^{i \phi} \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{{\color{Lime} \sqrt{2}}}{\sqrt{12}}\\
+
+\end{cases}
+
+$$
+
+
+
+Impostando le due dimensioni non-vincolate $\phi$ e $\lambda$ a $0$, abbiamo che:
+
+
+
+$$
+
+\begin{cases}
+
+\cos \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{{\color{Orange} \sqrt{10}}}{\sqrt{12}}\\
+
+e^i \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{{\color{Lime} \sqrt{2}}}{\sqrt{12}}\\\phi = 0\\
+
+\lambda = 0\\
+
+\end{cases}
+
+$$
+
+
+
+Ci basta risolvere una delle due equazioni per trovare $\theta$, quindi decidiamo di risolvere quella sopra:
+
+
+
+$$
+
+\begin{cases}
+
+\theta = 2 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{{\color{Orange} \sqrt{10}}}{\sqrt{12}}\right) \approx 0.841\\
+
+\phi = 0\\
+
+\lambda = 0\\
+
+\end{cases}
+
+$$
+
+
+
+Per ottenere il bit di destra dello stato $\ket{\Psi}$ dobbiamo usare il gate $\mathbf{U_0}(0.841,\ 0,\ 0)$, che chiameremo $\mathbf{U_A}$!
+
+
+
+### Costruzione del gate $\mathbf{U_B}$ da applicare al qbit 1
+
+
+
+Ora dobbiamo configurare il qbit di sinistra, entangleandolo correttamente con il bit di destra.
+
+
+
+<aside>
+
+📘 Potremmo usare due gate $\mathbf{U}$ controllati, uno che si attiva quando $\mathbf{n_0}$, e uno che si attiva quando $\mathbf{\dot{n}_0}$.
+
+
+
+Visto però che i gate $\mathbf{U}$ controllati sono più costosi di quelli normali, possiamo usare un trucchetto per usare un solo $\mathbf{U}$ controllato e un $\mathbf{U}$ normale.
+
+
+
+Utilizziamo il gate $\mathbf{U}$ normale per configurare “globalmente” il qbit 1 per lo stato $\ket{\_0}$, e poi utilizziamo il gate $\mathbf{U}$ controllato per annullare le modifiche che esso ha apportato e per applicare una configurazione diversa per lo stato $\ket{\_1}$.
+
+
+
+</aside>
+
+
+
+Lo stato $\ket{\_0}$ che avevamo raccolto prima era composto da:
+
+
+
+$$
+
+\frac{1}{\sqrt{10}}\ ({\color{Orange} 3}\ {\color{Red} \ket{0\_}} + {\color{lime} 1}\ {\color{Green} \ket{1\_}})
+
+$$
+
+
+
+Allora, possiamo costruire il gate $\mathbf{U_B}$ usando un gate $\mathbf{U_1}(\theta, \phi, \lambda)$ tale che:
+
+
+
+$$
+
+\mathbf{U_B} \ket{0\_} = \frac{1}{\sqrt{10}}\ ({\color{Orange} 3}\ {\color{Red} \ket{0\_}} + {\color{lime} 1}\ {\color{Green} \ket{1\_}})
+
+$$
+
+
+
+Usiamo lo stesso processo che abbiamo usato prima (saltando alcuni passaggi):
+
+
+
+$$
+
+\begin{cases}
+
+{\color{Red} \ket{0\_}}: & \cos \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{{\color{Orange} 3}}{\sqrt{10}}\\\ \\
+
+{\color{Green} \ket{1\_}}: & e^{i \phi} \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{{\color{lime} 1}}{\sqrt{10}}\\
+
+\end{cases}
+
+$$
+
+
+
+Semplificandoci ancora la vita:
+
+
+
+$$
+
+\begin{cases}
+
+\cos \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{{\color{Orange} 3}}{\sqrt{10}}\\
+
+e^{i \phi} \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{{\color{lime} 1}}{\sqrt{10}}\\
+
+\phi = 0\\
+
+\lambda = 0\\
+
+\end{cases}
+
+$$
+
+
+
+E risolvendo ancora solo l’equazione sopra, abbiamo che:
+
+
+
+$$
+
+\begin{cases}
+
+\theta = 2 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{{\color{orange} 3}}{\sqrt{10}}\right) \approx 0.643\\\phi = 0\\
+
+\lambda = 0\\
+
+\end{cases}
+
+$$
+
+
+
+Per ottenere il bit di sinistra dello stato $\ket{\Psi}$ quando il bit di destra è impostato a zero dobbiamo usare il gate $\mathbf{U_1}(0.643,\ 0,\ 0)$, che chiameremo $\mathbf{U_B}$!
+
+
+
+### Costruzione del gate controllato $\mathbf{U_{C}}$
+
+
+
+Infine, dobbiamo costruire il gate che configura il bit di sinistra dello stato $\ket{\_1}$.
+
+
+
+Esso deve costruire il seguente stato:
+
+
+
+$$
+
+\frac{1}{\sqrt{2}}\ ({\color{DodgerBlue} 1} \ket{0\_} \ {\color{Turquoise} -\ 1}\ \ket{1\_})
+
+$$
+
+
+
+Inoltre, esso deve annullare le modifiche apportate da $\mathbf{U_B}$, ovvero:
+
+
+
+$$
+
+\frac{1}{\sqrt{10}}\ ({\color{OrangeRed} 3} \ket{0\_} + {\color{Goldenrod} 1} \ket{1\_})
+
+$$
+
+
+
+Usiamo un gate $\mathbf{U_{01}}(\theta, \phi, \lambda)$, che chiamiamo $\mathbf{U_C}$.
+
+
+
+Dobbiamo trovare i suoi parametri, in modo tale che:
+
+
+
+$$
+
+\mathbf{U_C}(\theta, \phi, \lambda) \otimes \frac{1}{\sqrt{10}}\ ({\color{OrangeRed} 3} \ket{0\_} + {\color{Goldenrod} 1} \ket{1\_}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\ ({\color{DodgerBlue} 1} \ket{0\_} \ {\color{Turquoise} -\ 1}\ \ket{1\_})
+
+$$
+
+
+
+Abbiamo quindi che:
+
+
+
+$$
+
+\mathbf{U_C} (\theta, \phi, \lambda)\ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}} \left[ \begin{matrix}
+
+{\color{Gray} Out} & {\color{Gray} In_{\ket{\_0}}} & {\color{Gray} In_{\ket{\_1}}} \\\ \\
+
+{\color{Gray} \ket{\_0}} & {\color{OrangeRed} 3}\ \cdot\ {\color{DodgerBlue} 1} & {\color{Goldenrod} 1}\ \cdot\ {\color{DodgerBlue} 1}
+
+\\\ \\
+
+{\color{Gray} \ket{\_1}} &{\color{OrangeRed} 3}\ \cdot\ {\color{Turquoise} -1} & {\color{Goldenrod} 1}\ \cdot\ {\color{Turquoise} -1}
+
+\end{matrix} \right] = 1
+
+$$
+
+
+
+E allora, che: [qual è il passaggio matematico qui?]
+
+
+
+$$
+
+\begin{cases}
+
+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}} & ({\color{OrangeRed} 3}\ \cdot\ {\color{DodgerBlue} 1}) \cos \frac{\theta}{2} & - &({\color{Goldenrod} 1}\ \cdot\ {\color{DodgerBlue} 1})\ e^{i\lambda} \sin \frac{\theta}{2} & = 1\\
+
+\\
+
+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}} & \left({\color{OrangeRed} 3}\ \cdot\ {\color{Turquoise} -1} \right) e^{i \phi} \sin \frac{\theta}{2} & + & ({\color{Goldenrod} 1}\ \cdot\ {\color{Turquoise} -1})\ e^{i\phi + i\lambda} \cos \frac{\theta}{2} & = 1
+
+\end{cases}
+
+$$
+
+
+
+Semplificandoci ancora una volta la vita:
+
+
+
+$$
+
+\begin{cases}
+
+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}} & ({\color{OrangeRed} 3}\ \cdot\ {\color{DodgerBlue} 1}) \cos \frac{\theta}{2} & - &({\color{Goldenrod} 1}\ \cdot\ {\color{DodgerBlue} 1}) \sin \frac{\theta}{2} & = 1\\
+
+\\
+
+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}} & ({\color{OrangeRed} 3}\ \cdot\ {\color{Turquoise} -1}) \sin \frac{\theta}{2} & + & ({\color{Goldenrod} 1}\ \cdot\ {\color{Turquoise} -1}) \cos \frac{\theta}{2} & = 1\\
+
+\\
+
+\phi = 0\\
+
+\\
+
+\lambda = 0
+
+\end{cases}
+
+$$
+
+
+
+E allora:
+
+
+
+$$
+
+\begin{cases}
+
+({\color{OrangeRed} 3}\ \cdot\ {\color{DodgerBlue} 1}) \cos \frac{\theta}{2} & - &({\color{Goldenrod} 1}\ \cdot\ {\color{DodgerBlue} 1}) \sin \frac{\theta}{2} & = &\left({\color{OrangeRed} 3}\ \cdot\ {\color{Turquoise} -1} \right) \sin \frac{\theta}{2} & + & ({\color{Goldenrod} 1}\ \cdot\ {\color{Turquoise} -1}) \cos \frac{\theta}{2}\\
+
+\\
+
+\phi = 0\\
+
+\\
+
+\lambda = 0
+
+\end{cases}
+
+$$
+
+
+
+Che risulta in:
+
+
+
+$$
+
+\begin{cases}
+
+4 \cos \frac{\theta}{2} + 2 \sin \frac{\theta}{2} = 0\\
+
+\phi = 0\\
+
+\lambda = 0
+
+\end{cases}
+
+$$
+
+
+
+Quindi:
+
+
+
+$$
+
+\begin{cases}
+
+\theta \approx -2.214\\
+
+\phi = 0\\
+
+\lambda = 0
+
+\end{cases}
+
+$$
+
+
+
+Per ottenere il bit di sinistra dello stato $\ket{\Psi}$ quando il bit di destra è impostato a uno dobbiamo usare il gate $\mathbf{U_{01}}(-1.571,\ 0,\ 0)$, che chiameremo $\mathbf{U_C}$!
+
+
+
+### Risultato
+
+
+
+
+
+
+
+<aside>
+
+📘 Utilizzando lo stesso procedimento possiamo costruire qualsiasi stato arbitrario costante a $n$ qbit!
+
+
+
+Richiederebbe però $\sum_{i=1}^n n$ gates $\mathbf{U}$, e degli $\mathbf{U}$ gates con doppio controllo, amichevolmente chiamati $\mathbf{U}$-Toffoli dalla chat…
+
+
+
+
+
+
+
+</aside>
\ No newline at end of file
diff --git a/7 - Introduction to quantum information processing/5 - Cose strane/costruire un Hardy state.md b/7 - Introduction to quantum information processing/5 - Cose strane/costruire un Hardy state.md
new file mode 100644
index 0000000..ed1e401
--- /dev/null
+++ b/7 - Introduction to quantum information processing/5 - Cose strane/costruire un Hardy state.md
@@ -0,0 +1,77 @@
+Per creare un [[Hardy state]] partendo da $\ket{00}$, è necessario:
+
+==TODO: Formattare con sintassi matematica decente.==
+
+1. Separare i [[qbit]] nell'equazione dello stato:
+ $$
+ \def \noteA {{\color{grey} a}}
+ \def \noteB {{\color{grey} b}}
+
+ \displaylines{
+ \ket{00} = \ket{0}_\noteA \otimes \ket{0}_\noteB \\
+ \ket{01} = \ket{0}_\noteA \otimes \ket{1}_\noteB \\
+ \ket{10} = \ket{1}_\noteA \otimes \ket{0}_\noteB \\
+ \ket{11} = \ket{1}_\noteA \otimes \ket{1}_\noteB
+ }
+ $$
+2. Raccogliere i bit dello stato:
+ $$
+ \frac{1}{\sqrt{12}}
+ \cdot
+ {\LARGE(\ }
+ (\ 3 \ket{0}_\noteA + 1 \ket{1}_\noteA\ ) \otimes \ket{0}_\noteB
+ +
+ (\ 1 \ket{0}_\noteA - 1 \ket{1}_\noteA\ ) \otimes \ket{1}_\noteB
+ {\ \LARGE)}
+ $$
+3. Determinare la somma dei quadrati dei coefficienti:
+ $$
+ \large
+ \begin{matrix}
+ \ket{0}_\noteB & : & \frac{\sqrt{3^2 + 1^2}}{\sqrt{12}} &=& \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}} \\
+ \ket{1}_\noteB & : & \frac{\sqrt{1^2 + 1^2}}{\sqrt{12}} &=& \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}}
+ \end{matrix}
+ $$
+4. Determinare i parametri del [[gate quantistico universale]] per il secondo qbit $\mathbf{U}_\noteB (\theta, \phi, \lambda)$:
+ $$
+ \large
+ \displaylines{
+ \begin{cases}
+ \cos \frac{\phi}{2} &=& \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}} \\
+ e^{i \theta} \sin \frac{\phi}{2} &=& \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}} \\
+ \end{cases}
+ \\\\\updownarrow\\\\
+ \begin{cases}
+ \phi &=& 2 \arccos \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}} \\
+ \theta &=& 0 \\
+ \lambda &=& 0
+ \end{cases}
+ }
+ $$
+5. Determinare la somma dei quadrati dei coefficienti quando il bit $\noteB$ è $\ket{0}$:
+
+ $$
+ \large
+ \begin{matrix}
+ \ket{0}_\noteA \otimes \ket{0}_\noteB & : & \frac{3}{\sqrt{12}} \\
+ \ket{1}_\noteA \otimes \ket{0}_\noteB & : & \frac{1}{\sqrt{12}}
+ \end{matrix}
+ $$
+6. Determinare i parametri del [[gate quantistico universale]] per il primo qbit $\mathbf{U}_\noteA$:
+ $$
+ \large
+ \displaylines{
+ \begin{cases}
+ \cos \frac{\phi}{2} &=& \frac{3}{\sqrt{12}} \\
+ e^{i \theta} \sin \frac{\phi}{2} &=& \frac{1}{\sqrt{12}} \\
+ \end{cases}
+ \\\\\updownarrow\\\\
+ \begin{cases}
+ \phi &=& 2 \arccos \frac{3}{\sqrt{10}} \\
+ \theta &=& 0 \\
+ \lambda &=& 0
+ \end{cases}
+ }
+ $$
+
+==TODO: Non lo so, mi sono perso.==
diff --git a/7 - Introduction to quantum information processing/5 - Teoremi/no-approximation theorem.md b/7 - Introduction to quantum information processing/5 - Cose strane/no-approximation theorem.md
similarity index 100%
rename from 7 - Introduction to quantum information processing/5 - Teoremi/no-approximation theorem.md
rename to 7 - Introduction to quantum information processing/5 - Cose strane/no-approximation theorem.md
diff --git a/7 - Introduction to quantum information processing/5 - Teoremi/no-cloning theorem.md b/7 - Introduction to quantum information processing/5 - Cose strane/no-cloning theorem.md
similarity index 59%
rename from 7 - Introduction to quantum information processing/5 - Teoremi/no-cloning theorem.md
rename to 7 - Introduction to quantum information processing/5 - Cose strane/no-cloning theorem.md
index 20f47d4..ef64590 100644
--- a/7 - Introduction to quantum information processing/5 - Teoremi/no-cloning theorem.md
+++ b/7 - Introduction to quantum information processing/5 - Cose strane/no-cloning theorem.md
@@ -20,7 +20,7 @@ $$
\mathbf{U}_f \left( \varB \otimes \ket{0} \right) = \varB \otimes \varB
$$
-Creando una [[superposizione]] generica, e usando la [[linearità]] per risolverla:
+Creando una [[superposizione]] generica, e usando [[proprietà distributiva]] data dalla [[linearità]] per risolverla:
$$
\displaylines{
\mathbf{U}_f \left(
@@ -68,8 +68,52 @@ $$
ab \cdot ( \varA \otimes \varB )
+
ab \cdot ( \varB \otimes \varA )
-
}
$$
-I risultati sono diversi, il che è impossibile!
+I risultati possono essere uguali solo se:
+$$
+\small
+a \cdot \left(
+ \varA \otimes \varA
+\right)
++
+b \cdot \left(
+ \varB \otimes \varB
+\right)
+=
+a^2 \cdot ( \varA \otimes \varA )
++
+b^2 \cdot ( \varB \otimes \varB )
++
+ab \cdot ( \varA \otimes \varB )
++
+ab \cdot ( \varB \otimes \varA )
+$$
+Ovvero, quando:
+$$
+\begin{cases}
+a &=& a^2 \\
+b &=& b^2
+\end{cases}
+$$
+Cioè:
+$$
+\begin{cases}
+a \cdot b = 0 \\\\
+a = 0 \\
+b = 1
+\end{cases}
+\quad
+\bigcup
+\quad
+\begin{cases}
+a \cdot b = 0 \\\\
+a = 1 \\
+b = 0
+\end{cases}
+$$
+Il gate $\mathbf{U}_f$ esiste quindi solo per gli stati [[ortogonale|ortogonali]].
+
+> [!Note]
+> Per gli stati $\ket{0}$ e $\ket{1}$, il gate $\mathbf{U}_f$ è il [[controlled Pauli X gate]] $\mathbf{X}_n$!
diff --git a/7 - Introduction to quantum information processing/5 - Cose strane/spooky action at a distance.md b/7 - Introduction to quantum information processing/5 - Cose strane/spooky action at a distance.md
new file mode 100644
index 0000000..3a31c2e
--- /dev/null
+++ b/7 - Introduction to quantum information processing/5 - Cose strane/spooky action at a distance.md
@@ -0,0 +1,23 @@
+Fenomeno particolare che si manifesta con due [[qbit]] in [[entanglement]].
+
+Anche se questi due [[qbit]] vengano fisicamente separati e messi a grande distanza tra loro, le [[gate quantistico|operazioni]] che vengono effettuate su di essi li portano a influenzare immediatamente i risultati delle [[misura|misure]] effettuate su di essi.
+
+> [!Quote] Albert Einstein
+> _“I cannot seriously believe in it because the theory cannot be reconciled with the idea that physics should represent a reality in time and space, free from spooky action at a distance.”_
+
+## Con l'[[Hardy state]]
+
+Sono dati due [[qbit]] a grande distanza nell'[[Hardy state]] e due [[entità]] che li controllano, dette *Alice* e *Bob*, incaricati di [[misura|misurarli]].
+
+Si lascia loro la possibilità di scegliere se prima della misura vada applicato un [[Hadamard gate]] al proprio [[qbit]].
+
+I risultati possibili sono i seguenti:
+
+| Alice | Bob | Stato (non normalizzato) | Note |
+| ------------------------ | ------------------------ | --------------------------------------------------- | -------------------------------------- |
+| $\color{Grey}\mathbf{1}$ | $\color{Grey}\mathbf{1}$ | $3 \ket{00} + 1 \ket{01} + 1 \ket{10} - 1 \ket{11}$ | Tutti i risultati sono possibili. |
+| $\color{Grey}\mathbf{1}$ | $\color{Lime}\mathbf{H}$ | $3 \ket{00} + 1 \ket{01} + \ket{11}$ | È impossibile il risultato $\ket{10}$. |
+| $\color{Lime}\mathbf{H}$ | $\color{Grey}\mathbf{1}$ | $3 \ket{00} + 1 \ket{10} + \ket{11}$ | È impossibile il risultato $\ket{01}$. |
+| $\color{Lime}\mathbf{H}$ | $\color{Lime}\mathbf{H}$ | $\ket{00} + \ket{01} + \ket{10}$ | È impossibile il risultato $\ket{11}$. |
+
+In qualche modo, se si considerano i due [[qbit]] come oggetti fisici separati, essi devono avere trasmesso informazioni in qualche momento per raggiungere a quello stato, o alternativamente deve significare che l'universo non è [[principio di località|locale]].
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