mirror of
https://github.com/Steffo99/appunti-magistrali.git
synced 2024-11-21 18:34:18 +00:00
Study quantum
This commit is contained in:
parent
b4bd88d3e7
commit
89c814c9cf
GPG key ID:
5ADA3868646C3FC0
13 changed files with 683 additions and 550 deletions
1
0 - Generale/diagonale principale.md
Normal file
1
0 - Generale/diagonale principale.md
Normal file
|
|
@ -0,0 +1 @@
|
|||
L'[[insieme]]
|
||||
|
|
@ -6,3 +6,6 @@ $$
|
|||
\Huge
|
||||
e^{\varI \varX} = \cos \varX + \varI \sin \varX
|
||||
$$
|
||||
|
||||
> [!Note]
|
||||
> Si può notare che è la formula di una circonferenza sul [[piano di Gauss]]!
|
||||
|
|
|
|||
16
0 - Generale/matrice identità.md
Normal file
16
0 - Generale/matrice identità.md
Normal file
|
|
@ -0,0 +1,16 @@
|
|||
---
|
||||
aliases:
|
||||
- trasformazione identità
|
||||
---
|
||||
|
||||
Particolare [[matrice quadrata]] avente [[elemento neutro|elementi neutri]] della [[moltiplicazione]] sulla [[diagonale principale]], ed [[elemento nullo|elementi nulli]] della [[moltiplicazione]] altrove.
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\Large
|
||||
\mathbf{I}_{(\mathbb{N}^3)} =
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
1 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 1 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 1
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
$$
|
||||
1
0 - Generale/matrice quadrata.md
Normal file
1
0 - Generale/matrice quadrata.md
Normal file
|
|
@ -0,0 +1 @@
|
|||
[[matrice]] avente lo stesso numero di [[righe]] e [[colonne]].
|
||||
11
0 - Generale/matrice unitaria.md
Normal file
11
0 - Generale/matrice unitaria.md
Normal file
|
|
@ -0,0 +1,11 @@
|
|||
---
|
||||
aliases:
|
||||
- trasformazione unitaria
|
||||
---
|
||||
|
||||
Particolare [[matrice quadrata]] il cui [[prodotto matriciale]] tra sè stessa e la sua [[coniugata trasposta]] è uguale alla [[matrice identità]].
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\Huge
|
||||
\mathbf{M} \times \mathbf{M}^{*} = \mathbf{I}
|
||||
$$
|
||||
|
|
@ -2,29 +2,32 @@ Un [[gate quantistico]] che permette di effettuare una rotazione su asse arbitra
|
|||
|
||||
Usando la [[formula di Eulero]], esso corrisponde a:
|
||||
$$
|
||||
\def \varX {{\color{coral} \theta}}
|
||||
\def \varY {{\color{cornflowerblue} \phi}}
|
||||
\def \varZ {{\color{yellowgreen} \lambda}}
|
||||
\def \varX {{\color{coral} a}}
|
||||
\def \varY {{\color{cornflowerblue} b}}
|
||||
\def \varZ {{\color{yellowgreen} c}}
|
||||
\def \varI {{\color{hotpink} i}}
|
||||
\Huge
|
||||
\mathbf{U}(\varX, \varY, \varZ) = \begin{bmatrix}
|
||||
\cos \left( \frac{\varX}{2} \right) &
|
||||
- e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right) \\
|
||||
e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right) &
|
||||
e^{\varI \varY + \varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)
|
||||
e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Espanso, sarebbe:
|
||||
$$
|
||||
\def \varX {{\color{coral} \theta}}
|
||||
\def \varY {{\color{cornflowerblue} \phi}}
|
||||
\def \varZ {{\color{yellowgreen} \lambda}}
|
||||
\def \varX {{\color{coral} a}}
|
||||
\def \varY {{\color{cornflowerblue} b}}
|
||||
\def \varZ {{\color{yellowgreen} c}}
|
||||
\def \varI {{\color{hotpink} i}}
|
||||
\mathbf{U}(\varX, \varY, \varZ) = \begin{bmatrix}
|
||||
\cos \frac{\varX}{2} &
|
||||
- (\cos \varZ + \varI \sin \varZ) \cdot \sin \frac{\varX}{2} \\
|
||||
(\cos \varY + \varI \sin \varY) \cdot \sin \frac{\varX}{2} &
|
||||
(cos (\varY + \varZ) + \varI \sin (\varY + \varZ)) \cdot \sin \frac{\varX}{2}
|
||||
(cos (\varY + \varZ) + \varI \sin (\varY + \varZ)) \cdot \cos \frac{\varX}{2}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
> [!Note]
|
||||
> Il parametro $\varX$ modifica il valore del [[qbit]], mentre i parametri $\varY$ e $\varZ$ ne modificano la fase!
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -2,8 +2,10 @@
|
|||
aliases:
|
||||
- quantum gate
|
||||
---
|
||||
[[Matrice unitaria]] che può essere applicata a un [[qbit]] per modificarne lo [[qbit|stato]].
|
||||
|
||||
[[Trasformazione unitaria]] che può essere applicata a un [[qbit]] per modificarne lo [[stato di un'entità|stato]].
|
||||
> [!Note]
|
||||
> Deve essere unitaria perchè così lo [[qbit|stato]] del [[qbit]] a cui viene applicata rimane [[vettore normalizzato|normalizzato]].
|
||||
|
||||
## Visualizzazioni
|
||||
|
||||
|
|
@ -17,4 +19,4 @@ Un qubit a cui viene applicato un gate ruota il proprio vettore nella [[sfera di
|
|||
|
||||
## Particolarità
|
||||
|
||||
Essendo una [[trasformazione unitaria]], è sempre reversibile applicandolo nuovamente.
|
||||
Essendo una [[matrice unitaria]], è sempre reversibile applicandolo nuovamente.
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -1,8 +1,8 @@
|
|||
[[gate quantistico universale]] che opera condizionalmente su un [[qbit]] in base allo stato di un altro [[qbit]]:
|
||||
[[gate quantistico universale]] che opera condizionalmente su un [[qbit]] in base allo stato di un altro [[qbit]], in modo simile a un [[controlled Pauli X gate]]:
|
||||
$$
|
||||
\def \varX {{\color{coral} \theta}}
|
||||
\def \varY {{\color{cornflowerblue} \phi}}
|
||||
\def \varZ {{\color{yellowgreen} \lambda}}
|
||||
\def \varX {{\color{coral} a}}
|
||||
\def \varY {{\color{cornflowerblue} b}}
|
||||
\def \varZ {{\color{yellowgreen} c}}
|
||||
\def \varI {{\color{hotpink} i}}
|
||||
\Huge
|
||||
\mathbf{U}_{0 \to 1}(\varX, \varY, \varZ)
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -1 +1,11 @@
|
|||
{}
|
||||
{
|
||||
"nodes":[
|
||||
{"id":"83b167f0651931c0","x":-240,"y":-240,"width":400,"height":400,"type":"file","file":"7 - Introduction to quantum information processing/3 - Gates complessi/gate quantistico controllato universale.md"},
|
||||
{"id":"5739222b912c063f","x":-240,"y":-800,"width":400,"height":400,"type":"file","file":"7 - Introduction to quantum information processing/3 - Gates complessi/controlled Pauli X gate.md"},
|
||||
{"id":"d9195579b92fed88","x":-780,"y":-800,"width":400,"height":400,"type":"file","file":"7 - Introduction to quantum information processing/3 - Gates complessi/Swap gate.md"}
|
||||
],
|
||||
"edges":[
|
||||
{"id":"3015f20dc65f044d","fromNode":"5739222b912c063f","fromSide":"bottom","toNode":"83b167f0651931c0","toSide":"top"},
|
||||
{"id":"4c1f6d8795404986","fromNode":"5739222b912c063f","fromSide":"left","toNode":"d9195579b92fed88","toSide":"right","toEnd":"none"}
|
||||
]
|
||||
}
|
||||
|
|
@ -506,4 +506,60 @@ Richiederebbe però $\sum_{i=1}^n n$ gates $\mathbf{U}$, e degli $\mathbf{U}$ ga
|
|||
|
||||
|
||||
|
||||
</aside>
|
||||
</aside>
|
||||
|
||||
|
||||
---
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
1. Determinare la somma dei quadrati dei coefficienti:
|
||||
$$
|
||||
\frac{\sqrt{\kzero^2 + \ktwo^2}}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}}
|
||||
$$
|
||||
$$
|
||||
\frac{\sqrt{\kone^2 + \kthree^2}}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}}
|
||||
$$
|
||||
4. Determinare i parametri del [[gate quantistico universale]] per il secondo qbit $\mathbf{U}_\noteB (\theta, \phi, \lambda)$:
|
||||
$$
|
||||
\large
|
||||
\displaylines{
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\cos \frac{\phi}{2} &=& \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}} \\
|
||||
e^{i \theta} \sin \frac{\phi}{2} &=& \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}} \\
|
||||
\end{cases}
|
||||
\\\\\updownarrow\\\\
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\phi &=& 2 \arccos \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}} \\
|
||||
\theta &=& 0 \\
|
||||
\lambda &=& 0
|
||||
\end{cases}
|
||||
}
|
||||
$$
|
||||
5. Determinare la somma dei quadrati dei coefficienti quando il bit $\noteB$ è $\ket{0}$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\large
|
||||
\begin{matrix}
|
||||
\ket{0}_\noteA \otimes \ket{0}_\noteB & : & \frac{3}{\sqrt{12}} \\
|
||||
\ket{1}_\noteA \otimes \ket{0}_\noteB & : & \frac{1}{\sqrt{12}}
|
||||
\end{matrix}
|
||||
$$
|
||||
6. Determinare i parametri del [[gate quantistico universale]] per il primo qbit $\mathbf{U}_\noteA$:
|
||||
$$
|
||||
\large
|
||||
\displaylines{
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\cos \frac{\phi}{2} &=& \frac{3}{\sqrt{12}} \\
|
||||
e^{i \theta} \sin \frac{\phi}{2} &=& \frac{1}{\sqrt{12}} \\
|
||||
\end{cases}
|
||||
\\\\\updownarrow\\\\
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\phi &=& 2 \arccos \frac{3}{\sqrt{10}} \\
|
||||
\theta &=& 0 \\
|
||||
\lambda &=& 0
|
||||
\end{cases}
|
||||
}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
==TODO: Non lo so, mi sono perso.==
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -1,77 +1,99 @@
|
|||
Per creare un [[Hardy state]] partendo da $\ket{00}$, è necessario:
|
||||
Si vuole creare un [[Hardy state]] su due [[qbit]] nello stato neutro applicandovi due [[gate quantistico universale|gate quantistici universali]].
|
||||
|
||||
==TODO: Formattare con sintassi matematica decente.==
|
||||
## Obiettivo
|
||||
|
||||
1. Separare i [[qbit]] nell'equazione dello stato:
|
||||
$$
|
||||
\def \noteA {{\color{grey} a}}
|
||||
\def \noteB {{\color{grey} b}}
|
||||
Si vogliono quindi trovare i valori di $\mathbf{T}$ e $\mathbf{U}$ per cui:
|
||||
$$
|
||||
\def \kzero {{\color{darkgreen} 3}}
|
||||
\def \kone {{\color{forestgreen} 1}}
|
||||
\def \ktwo {{\color{limegreen} 1}}
|
||||
\def \kthree {{\color{lightgreen} -1}}
|
||||
|
||||
\large
|
||||
{\color{mediumpurple} \mathbf{T}}
|
||||
{\color{mediumorchid} \mathbf{U}}
|
||||
\ket{00}
|
||||
=
|
||||
\frac{
|
||||
\kzero \cdot \ket{00} +
|
||||
\kone \cdot \ket{01} +
|
||||
\ktwo \cdot \ket{10} +
|
||||
\kthree \cdot \ket{11}
|
||||
}{\sqrt{12}}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Ovvero:
|
||||
$$
|
||||
{\color{mediumpurple} \mathbf{T}}
|
||||
\times
|
||||
{\color{mediumorchid} \mathbf{U}}
|
||||
\times
|
||||
{
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
1\\
|
||||
0\\
|
||||
0\\
|
||||
0
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
}
|
||||
=
|
||||
\frac{1}{\sqrt{12}}
|
||||
\cdot
|
||||
{
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\kzero\\
|
||||
\kone\\
|
||||
\ktwo\\
|
||||
\kthree
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
## Separazione e raccolta nell'[[Hardy state]]
|
||||
|
||||
Ricordando che è possibile separare i [[qbit]]:
|
||||
$$
|
||||
\def \noteA {{\color{orangered} \Leftarrow}}
|
||||
\def \noteB {{\color{dodgerblue} \Rightarrow}}
|
||||
|
||||
\displaylines{
|
||||
\ket{00} = \ket{0}_\noteA \otimes \ket{0}_\noteB \\
|
||||
\ket{01} = \ket{0}_\noteA \otimes \ket{1}_\noteB \\
|
||||
\ket{10} = \ket{1}_\noteA \otimes \ket{0}_\noteB \\
|
||||
\ket{11} = \ket{1}_\noteA \otimes \ket{1}_\noteB
|
||||
}
|
||||
$$
|
||||
2. Raccogliere i bit dello stato:
|
||||
$$
|
||||
\frac{1}{\sqrt{12}}
|
||||
\cdot
|
||||
{\LARGE(\ }
|
||||
(\ 3 \ket{0}_\noteA + 1 \ket{1}_\noteA\ ) \otimes \ket{0}_\noteB
|
||||
+
|
||||
(\ 1 \ket{0}_\noteA - 1 \ket{1}_\noteA\ ) \otimes \ket{1}_\noteB
|
||||
{\ \LARGE)}
|
||||
$$
|
||||
3. Determinare la somma dei quadrati dei coefficienti:
|
||||
$$
|
||||
\large
|
||||
\begin{matrix}
|
||||
\ket{0}_\noteB & : & \frac{\sqrt{3^2 + 1^2}}{\sqrt{12}} &=& \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}} \\
|
||||
\ket{1}_\noteB & : & \frac{\sqrt{1^2 + 1^2}}{\sqrt{12}} &=& \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}}
|
||||
\end{matrix}
|
||||
$$
|
||||
4. Determinare i parametri del [[gate quantistico universale]] per il secondo qbit $\mathbf{U}_\noteB (\theta, \phi, \lambda)$:
|
||||
$$
|
||||
\large
|
||||
\displaylines{
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\cos \frac{\phi}{2} &=& \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}} \\
|
||||
e^{i \theta} \sin \frac{\phi}{2} &=& \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}} \\
|
||||
\end{cases}
|
||||
\\\\\updownarrow\\\\
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\phi &=& 2 \arccos \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}} \\
|
||||
\theta &=& 0 \\
|
||||
\lambda &=& 0
|
||||
\end{cases}
|
||||
}
|
||||
$$
|
||||
5. Determinare la somma dei quadrati dei coefficienti quando il bit $\noteB$ è $\ket{0}$:
|
||||
\displaylines{
|
||||
\ket{00} = \ket{0}_\noteA \otimes \ket{0}_\noteB \\
|
||||
\ket{01} = \ket{0}_\noteA \otimes \ket{1}_\noteB \\
|
||||
\ket{10} = \ket{1}_\noteA \otimes \ket{0}_\noteB \\
|
||||
\ket{11} = \ket{1}_\noteA \otimes \ket{1}_\noteB
|
||||
}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\large
|
||||
\begin{matrix}
|
||||
\ket{0}_\noteA \otimes \ket{0}_\noteB & : & \frac{3}{\sqrt{12}} \\
|
||||
\ket{1}_\noteA \otimes \ket{0}_\noteB & : & \frac{1}{\sqrt{12}}
|
||||
\end{matrix}
|
||||
$$
|
||||
6. Determinare i parametri del [[gate quantistico universale]] per il primo qbit $\mathbf{U}_\noteA$:
|
||||
$$
|
||||
\large
|
||||
\displaylines{
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\cos \frac{\phi}{2} &=& \frac{3}{\sqrt{12}} \\
|
||||
e^{i \theta} \sin \frac{\phi}{2} &=& \frac{1}{\sqrt{12}} \\
|
||||
\end{cases}
|
||||
\\\\\updownarrow\\\\
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\phi &=& 2 \arccos \frac{3}{\sqrt{10}} \\
|
||||
\theta &=& 0 \\
|
||||
\lambda &=& 0
|
||||
\end{cases}
|
||||
}
|
||||
$$
|
||||
Possiamo separare i [[qbit]] dell'[[Hardy state]] in:
|
||||
$$
|
||||
\frac{1}{\sqrt{12}}
|
||||
\cdot
|
||||
\left\{
|
||||
\begin{matrix}
|
||||
\kzero & \cdot & (\ket{0}_\noteA \otimes \ket{0}_\noteB) \\
|
||||
& + \\
|
||||
\kone & \cdot & (\ket{0}_\noteA \otimes \ket{1}_\noteB) \\
|
||||
& + \\
|
||||
\ktwo & \cdot & (\ket{1}_\noteA \otimes \ket{0}_\noteB) \\
|
||||
& + \\
|
||||
\kthree & \cdot & (\ket{1}_\noteA \otimes \ket{1}_\noteB)
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\right\}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
==TODO: Non lo so, mi sono perso.==
|
||||
Poi, possiamo raccogliere lo stato di uno dei due [[qbit]], per esempio $\noteB$, ottenendo:
|
||||
$$
|
||||
\frac{1}{\sqrt{12}}
|
||||
\cdot
|
||||
\left\{
|
||||
\begin{matrix}
|
||||
(\ \kzero \cdot \ket{0}_\noteA + \ktwo \cdot \ket{1}_\noteA\ ) & \otimes & \ket{0}_\noteB \\
|
||||
& + \\
|
||||
(\ \kone \cdot \ket{0}_\noteA + \kthree \cdot \ket{1}_\noteA\ ) & \otimes & \ket{1}_\noteB
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\right\}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
## Determinare gli elementi di ${\color{mediumorchid}\mathbf{U}}$
|
||||
|
||||
==TODO==
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -4,7 +4,7 @@
|
|||
{"id":"96c7d797bc15d6e1","type":"file","file":"7 - Introduction to quantum information processing/5 - Cose strane/no-approximation theorem.md","x":60,"y":-760,"width":400,"height":400},
|
||||
{"id":"f5f1124784cec784","type":"file","file":"7 - Introduction to quantum information processing/5 - Cose strane/spooky action at a distance.md","x":-500,"y":-200,"width":400,"height":400},
|
||||
{"id":"8b258eb2d00ed5d1","type":"file","file":"7 - Introduction to quantum information processing/5 - Cose strane/Hardy state.md","x":-500,"y":360,"width":400,"height":400},
|
||||
{"id":"d2d7c26dfbb69410","x":60,"y":360,"width":400,"height":400,"type":"file","file":"7 - Introduction to quantum information processing/5 - Cose strane/costruire un Hardy state.md"}
|
||||
{"id":"d2d7c26dfbb69410","type":"file","file":"7 - Introduction to quantum information processing/5 - Cose strane/costruire un Hardy state.md","x":60,"y":80,"width":960,"height":960}
|
||||
],
|
||||
"edges":[
|
||||
{"id":"97ecf707335a9c9f","fromNode":"5aeaa4ce3c4d70d8","fromSide":"right","toNode":"96c7d797bc15d6e1","toSide":"left"},
|
||||
|
|
|
|||
930
file-index.json
930
file-index.json
File diff suppressed because it is too large
Load diff
Loading…
Reference in a new issue