Study quantum

0 - Generale/diagonale principale.md

@@ -0,0 +1 @@
+L'[[insieme]]

0 - Generale/formula di Eulero.md

@@ -6,3 +6,6 @@ $$
 \Huge
 e^{\varI \varX} = \cos \varX + \varI \sin \varX
 $$
+
+> [!Note]
+> Si può notare che è la formula di una circonferenza sul [[piano di Gauss]]!

0 - Generale/matrice identità.md

@@ -0,0 +1,16 @@
+---
+aliases:
+  - trasformazione identità
+---
+
+Particolare [[matrice quadrata]] avente [[elemento neutro|elementi neutri]] della [[moltiplicazione]] sulla [[diagonale principale]], ed [[elemento nullo|elementi nulli]] della [[moltiplicazione]] altrove.
+
+$$
+\Large
+\mathbf{I}_{(\mathbb{N}^3)} =
+\begin{bmatrix}
+	1 & 0 & 0 \\
+	0 & 1 & 0 \\
+	0 & 0 & 1
+\end{bmatrix}
+$$

0 - Generale/matrice quadrata.md

@@ -0,0 +1 @@
+[[matrice]] avente lo stesso numero di [[righe]] e [[colonne]].

0 - Generale/matrice unitaria.md

@@ -0,0 +1,11 @@
+---
+aliases:
+  - trasformazione unitaria
+---
+
+Particolare [[matrice quadrata]] il cui [[prodotto matriciale]] tra sè stessa e la sua [[coniugata trasposta]] è uguale alla [[matrice identità]].
+
+$$
+\Huge
+\mathbf{M} \times \mathbf{M}^{*} = \mathbf{I}
+$$

7 - Introduction to quantum information processing/2 - Gates semplici/gate quantistico universale.md

@@ -2,29 +2,32 @@ Un [[gate quantistico]] che permette di effettuare una rotazione su asse arbitra
 
 Usando la [[formula di Eulero]], esso corrisponde a:
 $$
-\def \varX {{\color{coral} \theta}}
+\def \varX {{\color{coral} a}}
-\def \varY {{\color{cornflowerblue} \phi}}
+\def \varY {{\color{cornflowerblue} b}}
-\def \varZ {{\color{yellowgreen} \lambda}}
+\def \varZ {{\color{yellowgreen} c}}
 \def \varI {{\color{hotpink} i}}
 \Huge
 \mathbf{U}(\varX, \varY, \varZ) = \begin{bmatrix}
 	\cos \left( \frac{\varX}{2} \right) &
 	- e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right) \\
 	e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right) &
-	e^{\varI \varY + \varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)
+	e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)
 \end{bmatrix}
 $$
 
 Espanso, sarebbe:
 $$
-\def \varX {{\color{coral} \theta}}
+\def \varX {{\color{coral} a}}
-\def \varY {{\color{cornflowerblue} \phi}}
+\def \varY {{\color{cornflowerblue} b}}
-\def \varZ {{\color{yellowgreen} \lambda}}
+\def \varZ {{\color{yellowgreen} c}}
 \def \varI {{\color{hotpink} i}}
 \mathbf{U}(\varX, \varY, \varZ) = \begin{bmatrix}
 	\cos \frac{\varX}{2} &
 	- (\cos \varZ + \varI \sin \varZ) \cdot \sin \frac{\varX}{2} \\
 	(\cos \varY + \varI \sin \varY) \cdot \sin \frac{\varX}{2} &
-	(cos (\varY + \varZ) + \varI \sin (\varY + \varZ)) \cdot \sin \frac{\varX}{2}
+	(cos (\varY + \varZ) + \varI \sin (\varY + \varZ)) \cdot \cos \frac{\varX}{2}
 \end{bmatrix}
 $$
+
+> [!Note]
+> Il parametro $\varX$ modifica il valore del [[qbit]], mentre i parametri $\varY$ e $\varZ$ ne modificano la fase!

7 - Introduction to quantum information processing/2 - Gates semplici/gate quantistico.md

@@ -2,8 +2,10 @@
 aliases:
   - quantum gate
 ---
+[[Matrice unitaria]] che può essere applicata a un [[qbit]] per modificarne lo [[qbit|stato]].
 
-[[Trasformazione unitaria]] che può essere applicata a un [[qbit]] per modificarne lo [[stato di un'entità|stato]].
+> [!Note]
+> Deve essere unitaria perchè così lo [[qbit|stato]] del [[qbit]] a cui viene applicata rimane [[vettore normalizzato|normalizzato]].
 
 ## Visualizzazioni
 
@@ -17,4 +19,4 @@ Un qubit a cui viene applicato un gate ruota il proprio vettore nella [[sfera di
 
 ## Particolarità
 
-Essendo una [[trasformazione unitaria]], è sempre reversibile applicandolo nuovamente.
+Essendo una [[matrice unitaria]], è sempre reversibile applicandolo nuovamente.

7 - Introduction to quantum information processing/3 - Gates complessi/gate quantistico controllato universale.md

@@ -1,8 +1,8 @@
-[[gate quantistico universale]] che opera condizionalmente su un [[qbit]] in base allo stato di un altro [[qbit]]:
+[[gate quantistico universale]] che opera condizionalmente su un [[qbit]] in base allo stato di un altro [[qbit]], in modo simile a un [[controlled Pauli X gate]]:
 $$
-\def \varX {{\color{coral} \theta}}
+\def \varX {{\color{coral} a}}
-\def \varY {{\color{cornflowerblue} \phi}}
+\def \varY {{\color{cornflowerblue} b}}
-\def \varZ {{\color{yellowgreen} \lambda}}
+\def \varZ {{\color{yellowgreen} c}}
 \def \varI {{\color{hotpink} i}}
 \Huge
 \mathbf{U}_{0 \to 1}(\varX, \varY, \varZ)

7 - Introduction to quantum information processing/3 - Gates complessi/★ gates complessi.canvas

@@ -1 +1,11 @@
-{}
+{
+	"nodes":[
+		{"id":"83b167f0651931c0","x":-240,"y":-240,"width":400,"height":400,"type":"file","file":"7 - Introduction to quantum information processing/3 - Gates complessi/gate quantistico controllato universale.md"},
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+	],
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+	]
+}

7 - Introduction to quantum information processing/5 - Cose strane/costruire un Hardy state, old.md

@@ -506,4 +506,60 @@ Richiederebbe però $\sum_{i=1}^n n$ gates $\mathbf{U}$, e degli $\mathbf{U}$ ga
 
   
 
-</aside>
+</aside>
+
+
+---
+
+
+
+1. Determinare la somma dei quadrati dei coefficienti:
+   $$
+   \frac{\sqrt{\kzero^2 + \ktwo^2}}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}}
+   $$
+   $$
+   \frac{\sqrt{\kone^2 + \kthree^2}}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}}
+   $$
+4. Determinare i parametri del [[gate quantistico universale]] per il secondo qbit $\mathbf{U}_\noteB (\theta, \phi, \lambda)$:
+   $$
+   \large
+   \displaylines{
+	   \begin{cases}
+		\cos \frac{\phi}{2} &=& \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}} \\
+		e^{i \theta} \sin \frac{\phi}{2} &=& \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}} \\
+	   \end{cases}
+	   \\\\\updownarrow\\\\
+	   \begin{cases}
+		\phi &=& 2 \arccos \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}} \\
+		\theta &=& 0 \\
+		\lambda &=& 0
+	   \end{cases}
+   }
+   $$
+5. Determinare la somma dei quadrati dei coefficienti quando il bit $\noteB$ è $\ket{0}$:
+
+   $$
+   \large
+   \begin{matrix}
+	   \ket{0}_\noteA \otimes \ket{0}_\noteB & : & \frac{3}{\sqrt{12}} \\
+	   \ket{1}_\noteA \otimes \ket{0}_\noteB & : & \frac{1}{\sqrt{12}}
+   \end{matrix}
+   $$
+6. Determinare i parametri del [[gate quantistico universale]] per il primo qbit $\mathbf{U}_\noteA$:
+   $$
+	\large
+	\displaylines{
+	   \begin{cases}
+		  \cos \frac{\phi}{2} &=& \frac{3}{\sqrt{12}} \\
+		  e^{i \theta} \sin \frac{\phi}{2} &=& \frac{1}{\sqrt{12}} \\
+	   \end{cases}
+	   \\\\\updownarrow\\\\
+	   \begin{cases}
+		  \phi &=& 2 \arccos \frac{3}{\sqrt{10}} \\
+		  \theta &=& 0 \\
+		  \lambda &=& 0
+	   \end{cases}
+	}
+   $$
+
+==TODO: Non lo so, mi sono perso.==

7 - Introduction to quantum information processing/5 - Cose strane/costruire un Hardy state.md

@@ -1,77 +1,99 @@
-Per creare un [[Hardy state]] partendo da $\ket{00}$, è necessario:
+Si vuole creare un [[Hardy state]] su due [[qbit]] nello stato neutro applicandovi due [[gate quantistico universale|gate quantistici universali]].
 
-==TODO: Formattare con sintassi matematica decente.==
+## Obiettivo
 
-1. Separare i [[qbit]] nell'equazione dello stato:
+Si vogliono quindi trovare i valori di $\mathbf{T}$ e $\mathbf{U}$ per cui:
-   $$
+$$
-   \def \noteA {{\color{grey} a}}
+\def \kzero {{\color{darkgreen} 3}}
-   \def \noteB {{\color{grey} b}}
+\def \kone {{\color{forestgreen} 1}}
+\def \ktwo {{\color{limegreen} 1}}
+\def \kthree {{\color{lightgreen} -1}}
+
+\large
+{\color{mediumpurple} \mathbf{T}}
+{\color{mediumorchid} \mathbf{U}}
+\ket{00} 
+= 
+\frac{
+	\kzero \cdot \ket{00} +
+	\kone \cdot \ket{01} +
+	\ktwo \cdot \ket{10} +
+	\kthree \cdot \ket{11}
+}{\sqrt{12}}
+$$
+
+Ovvero:
+$$
+{\color{mediumpurple} \mathbf{T}}
+\times
+{\color{mediumorchid} \mathbf{U}}
+\times
+{
+	\begin{bmatrix}
+		1\\
+		0\\
+		0\\
+		0
+	\end{bmatrix}
+}
+=
+\frac{1}{\sqrt{12}}
+\cdot
+{
+	\begin{bmatrix}
+		\kzero\\
+		\kone\\
+		\ktwo\\
+		\kthree
+	\end{bmatrix}
+}
+$$
+
+## Separazione e raccolta nell'[[Hardy state]]
+
+Ricordando che è possibile separare i [[qbit]]:
+$$
+\def \noteA {{\color{orangered} \Leftarrow}}
+\def \noteB {{\color{dodgerblue} \Rightarrow}}
    
-	\displaylines{
+\displaylines{
-	   \ket{00} = \ket{0}_\noteA \otimes \ket{0}_\noteB \\
+	\ket{00} = \ket{0}_\noteA \otimes \ket{0}_\noteB \\
-	   \ket{01} = \ket{0}_\noteA \otimes \ket{1}_\noteB \\
+	\ket{01} = \ket{0}_\noteA \otimes \ket{1}_\noteB \\
-	   \ket{10} = \ket{1}_\noteA \otimes \ket{0}_\noteB \\
+	\ket{10} = \ket{1}_\noteA \otimes \ket{0}_\noteB \\
-	   \ket{11} = \ket{1}_\noteA \otimes \ket{1}_\noteB
+	\ket{11} = \ket{1}_\noteA \otimes \ket{1}_\noteB
-	}
+}
-   $$
+$$
-2. Raccogliere i bit dello stato: 
-   $$
-   \frac{1}{\sqrt{12}}
-   \cdot
-   {\LARGE(\ }
-	   (\ 3 \ket{0}_\noteA + 1 \ket{1}_\noteA\ ) \otimes \ket{0}_\noteB
-	   + 
-	   (\ 1 \ket{0}_\noteA - 1 \ket{1}_\noteA\ ) \otimes \ket{1}_\noteB
-   {\ \LARGE)}
-   $$
-3. Determinare la somma dei quadrati dei coefficienti:
-   $$
-   \large
-   \begin{matrix}
-	   \ket{0}_\noteB & : & \frac{\sqrt{3^2 + 1^2}}{\sqrt{12}} &=& \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}} \\
-	   \ket{1}_\noteB & : & \frac{\sqrt{1^2 + 1^2}}{\sqrt{12}} &=& \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}}
-   \end{matrix}
-   $$
-4. Determinare i parametri del [[gate quantistico universale]] per il secondo qbit $\mathbf{U}_\noteB (\theta, \phi, \lambda)$:
-   $$
-   \large
-   \displaylines{
-	   \begin{cases}
-		\cos \frac{\phi}{2} &=& \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}} \\
-		e^{i \theta} \sin \frac{\phi}{2} &=& \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}} \\
-	   \end{cases}
-	   \\\\\updownarrow\\\\
-	   \begin{cases}
-		\phi &=& 2 \arccos \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}} \\
-		\theta &=& 0 \\
-		\lambda &=& 0
-	   \end{cases}
-   }
-   $$
-5. Determinare la somma dei quadrati dei coefficienti quando il bit $\noteB$ è $\ket{0}$:
 
-   $$
+Possiamo separare i [[qbit]] dell'[[Hardy state]] in:   
-   \large
+$$
-   \begin{matrix}
+	\frac{1}{\sqrt{12}} 
-	   \ket{0}_\noteA \otimes \ket{0}_\noteB & : & \frac{3}{\sqrt{12}} \\
+	\cdot 
-	   \ket{1}_\noteA \otimes \ket{0}_\noteB & : & \frac{1}{\sqrt{12}}
+	\left\{
-   \end{matrix}
+		\begin{matrix}
-   $$
+			\kzero & \cdot & (\ket{0}_\noteA \otimes \ket{0}_\noteB) \\
-6. Determinare i parametri del [[gate quantistico universale]] per il primo qbit $\mathbf{U}_\noteA$:
+			& + \\
-   $$
+			\kone & \cdot & (\ket{0}_\noteA \otimes \ket{1}_\noteB) \\
-	\large
+			& + \\
-	\displaylines{
+			\ktwo & \cdot & (\ket{1}_\noteA \otimes \ket{0}_\noteB) \\
-	   \begin{cases}
+			& + \\
-		  \cos \frac{\phi}{2} &=& \frac{3}{\sqrt{12}} \\
+			\kthree & \cdot & (\ket{1}_\noteA \otimes \ket{1}_\noteB)
-		  e^{i \theta} \sin \frac{\phi}{2} &=& \frac{1}{\sqrt{12}} \\
+		\end{matrix}
-	   \end{cases}
+	\right\}
-	   \\\\\updownarrow\\\\
+$$
-	   \begin{cases}
-		  \phi &=& 2 \arccos \frac{3}{\sqrt{10}} \\
-		  \theta &=& 0 \\
-		  \lambda &=& 0
-	   \end{cases}
-	}
-   $$
 
-==TODO: Non lo so, mi sono perso.==
+Poi, possiamo raccogliere lo stato di uno dei due [[qbit]], per esempio $\noteB$, ottenendo:
+$$
+\frac{1}{\sqrt{12}}
+\cdot
+\left\{
+	\begin{matrix}
+	(\ \kzero \cdot \ket{0}_\noteA + \ktwo \cdot \ket{1}_\noteA\ ) & \otimes & \ket{0}_\noteB \\
+	& + \\
+	(\ \kone \cdot \ket{0}_\noteA + \kthree \cdot \ket{1}_\noteA\ ) & \otimes & \ket{1}_\noteB
+	\end{matrix}
+\right\}
+$$
+
+## Determinare gli elementi di ${\color{mediumorchid}\mathbf{U}}$
+
+==TODO==

7 - Introduction to quantum information processing/5 - Cose strane/★ cose strane.canvas

@@ -4,7 +4,7 @@
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