Importa Analisi matematica da Steffo99/appunti-universitari

1 - Analisi matematica/1 - Appunti/X - Asintoti.tex

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+{\box0\lower0.4pt\box2}}
+% End new root
+
+\begin{document}
+
+\section{Intorno}
+Si dice \textbf{intorno} di un numero \(x_0 \in \mathbb{R}\) un qualsiasi intervallo aperto del tipo:\\
+\((x_0 - \delta, x_0 + \delta)\)
+
+\section{Punti isolati}
+Si dice \textbf{punto isolato} un numero \(x_0 \in \mathbb{R}\) se esiste un intorno \(U\) di \(x_0\) tale che al suo interno sia presente solo il punto stesso e nient'altro.
+\(U \bigcup A = {x_0}\)
+
+\section{Punti di accumulazione}
+Si dice \textbf{punto di accumulazione} un punto tale che non possano esistere suoi intorni che includano il punto stesso come unico elemento.\\
+Sono gli opposti dei punti isolati.
+\(U \bigcap A \ {X_0} \neq \emptyset\).
+
+\section{Definizione topologica di limite}
+[todo]\\\\
+\(\forall U_l\) intorno di l\\
+\(\exists V_{x_0}\) intorno di \(x_0\)\\
+\(: x \in V_{x_0}\)\\
+\(x \neq x_0 \implies f(x) \in U_l\)
+
+\section{Limite finito all'infinito}
+\(\lim_{x \to +\infty} f(x) = l \in \mathbb{R}\)\\
+\(\forall \epsilon > 0, \exists K > 0 : \forall x > K, l - \epsilon < f(x) < l + \epsilon\)\\\\
+\(\lim_{x \to -\infty} f(x) = l \in \mathbb{R}\)\\
+\(\forall \epsilon > 0, \exists K > 0 : \forall x < K, l - \epsilon < f(x) < l + \epsilon\)\\\\
+\(\epsilon\) è l'ampiezza della "striscia" in cui stanno i valori di f(x), \(K\) è la "barriera" dei valori della x e \(l\) è il valore del limite, ovvero "l'altezza" a cui si trova la striscia.
+
+\section{Limite infinito all'infinito}
+\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \in \mathbb{R}\]
+\[\forall H > 0, \exists K > 0 : \forall x > K, f(x) > H\]\\
+\[\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty \in \mathbb{R}\]
+\[\forall H > 0, \exists K < 0 : \forall x < K, f(x) > H\] \\
+\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty \in \mathbb{R}\]
+\[\forall H < 0, \exists K > 0 : \forall x > K, f(x) < H\]
+\[\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \in \mathbb{R}\]
+\[\forall H < 0, \exists K < 0 : \forall x < K, f(x) < H\]
+
+\section{Asintoto obliquo}
+La funzione f ha la retta \(y = mx + q\) come \textbf{asintoto obliquo} per \(x \to +\infty\) se:
+\[\lim_{x \to +\infty} (f(x) - mx - q) = 0\]
+
+f ha asintoto obliquo se e solo se:
+\[\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = m \neq 0 \neq \infty\]
+\[\lim_{x \to +\infty} (f(x) - mx) = q \neq \infty\]
+\\
+Esempio:
+\(f(x) = e^x + 2x + 1\) ha asintoto obliquo se \(x \to -\infty\):\\
+\[\lim_{x \to -\infty} \frac{e^x + 2x + 1}{x} = 2\]
+\[\lim_{x \to -\infty} (e^x + 2x + 1 - 2x) = 1\]
+
+\section{Limite infinito al finito}
+\[\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty\]
+\[\forall H > 0, \exists \delta > 0 : \forall x \neq x_0, | x - x_0 | < \delta \implies f(x) > H\]
+\[\lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty\]
+\[\forall H < 0, \exists \delta > 0 : \forall x \neq x_0, | x - x_0 | < \delta \implies f(x) < H\]
+
+\section{Asintoto verticale}
+\[\lim_{x \to 0^+} \log x = -\infty\]
+
+\end{document}
+

1 - Analisi matematica/1 - Appunti/X - Complessi.tex

@@ -0,0 +1,94 @@
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+{\box0\lower0.4pt\box2}}
+\newcommand{\iu}{\mathrm{i}\mkern1mu}
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+\begin{document}
+
+\section{Equazioni in \(\mathbb{C}\)}
+Come possiamo fare a risolvere equazioni in numeri complessi?\\
+Una possibile soluzione è quella di applicare la definizione di numero complesso \(z = a + \iu b\).\\
+Effettuiamo le seguenti sostituzioni:
+\[Re z = a\]
+\[Im z = b\]
+\[z = a + \iu b\]
+\[\bar{z} = a - \iu b\]
+Spostando tutti gli elementi al primo membro, giungeremo ad avere al secondo membro \(= 0 + 0i\); possiamo allora fare un sistema con la parte reale e la parte immaginaria del primo membro e risolverlo per a e b; infine, dovremo verificare manualmente tutte le soluzioni trovate in questo modo.
+
+\subsection{Esempio}
+[todo, non l'ho copiato]
+
+\subsection{Altro esempio}
+\[\begin{cases}
+    z \bar{w} = \iu\\
+    |z|^2 w + z = 1
+\end{cases}\]
+Passiamo la seconda equazione ai coniugati.
+\[\bar{|z|^2 w + z = 1} = \bar{1} = 1\]
+\[\bar{|z|^2} \bar{w} + \bar{z} = 1\]
+Vado a ricavare \(z\) dalla prima equazione.\\
+Se \(z \neq 0\), allora...
+\[\bar{w} = \frac{\iu}{z}\]
+E obbligatoriamente \(z \neq 0\), perchè altrimenti l'equazione non sarebbe verificata.\\
+Sappiamo che il modulo \(|z|^2 = (Re z)^2 + (Im z)^2 = z \bar{z}\), dunque tornando alla seconda equazione:
+\[\frac{z \bar{z} \iu}{z} + \bar{z} = 1\]
+\[\bar{z} \iu + \bar{z} = 1\]
+Risolvo la seconda equazione:
+\[a\iu + a + b - b\iu - 1 = 0\]
+\[\begin{cases}
+    a + b - 1 = 0\\
+    a = b
+\end{cases}\]
+\[a = b = \frac{1}{2}\]
+\[z = \frac{1}{2} + \frac{\iu}{2}\]
+\[\bar{w} = \frac{\iu}{z} = \frac{\iu}{\frac{1}{2} + \frac{\iu}{2}} = \frac{2 \iu + 2}{2} = 1 + \iu\]
+
+\section{Forma trigonometrica dei numeri complessi}
+Possiamo rappresentare i numeri complessi in un'altra forma, invece che quella algebrica.\\
+Rappresentiamo un complesso composto da un modulo \(\rho\) e un argomento \(\theta\) corrispondente all'angolo formato da il semiasse positivo del piano cartesiano e la semiretta che congiunge z e l'origine.
+\[\rho = \sqrt{a^2 + b^2}\]
+\[\begin{cases}
+    a = Re z = |z| \cos(\theta)\\
+    b = Im z = |z| \sin(\theta)
+\end{cases}\]
+[esempi omessi tanto sono sulle dispense]
+
+\section{Teorema}
+Siano \(z = \rho (\cos(\theta) + \iu \sin(\theta))\) e \(w = r (\cos \phi + \iu \sin(\theta))\), allora:
+\[zw = \rho r (\cos(\theta + \phi) + \iu \sin(\theta + \phi)\]
+\[\frac{z}{w} = \frac{\rho}{r} (\cos(\theta - \phi) + \iu \sin(\theta - \phi))\]
+
+\subsection{Potenza di un complesso}
+\[z^n = \rho^n (\cos(n \rho) + \iu sin (n \rho))\]
+
+\subsubsection{Esempio}
+Calcolare \((1 + \iu)^{16}\).
+
+\paragraph{Svolgimento}
+Troviamo la forma trigonometrica: 
+\[1 + \iu = \sqrt{2} (\cos(\frac{\pi}{4}) + \iu \sin({\pi}{4}))\]
+\[(1 + \iu)^{16} = 2^4 (\cos(4 \pi) + \iu sin(4 \pi))\]
+
+\subsubsection{Esempio}
+\[i^{2018} = i^{504 * 4} * i^{2} = -1\]
+
+\section{Radici ennesime di numeri complessi}
+Sia \(w \in \mathbb{C}, w \neq 0\), allora esistono \(n\) radici ennesime complesse \(z_0, z_1, ..., z_{n-1}\) di \(w\), tali che:
+\[z^n_i = w \qquad i=0, ..., n-1\]
+Inoltre:
+\[w = r (\cos(\phi) + \iu \sin(\phi))\]
+\[z_K = \rho_K (\cos(\phi_K) + \iu \sin(\phi_K)) \qquad k = 0, ..., n-1\]
+\[\rho_K = r^{\frac{1}{n}}\]
+\[\phi_K = \frac{\phi}{n} + \frac{2 \pi K}{n}\]
+
+\end{document}

1 - Analisi matematica/1 - Appunti/X - Derivate.tex

@@ -0,0 +1,144 @@
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+
+\begin{document}
+\section{Definizione}
+
+\[f : A \subseteq dom(f) \to \mathbb{R}, continua\]
+\[A = [a, b]\]
+
+f è derivabile in \(x_0\) se \textbf{esiste ed è finito} il limite del rapporto incrementale:
+\[f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]
+
+f è il \textbf{coefficiente angolare} della retta tangente a \(f(x_0)\).
+
+\subsection{Equazione retta tangente al grafico di f in \(x_0, f(x_0)\)}
+\[y = f(x_0) + f'(x_0) * (x - x_0)\]
+
+\section{Derivate particolari}
+\(f = costante\); \(f' = 0\)\\
+\(f = x\); \(f' = 1\)\\
+\(f = x^2\); \(f' = 2x\)\\
+\(f = x^n\); \(f' = nx^{n-1}\)\\
+
+\subsubsection{Dimostrazione di \(x^n\)}
+[todo]
+\[\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^\alpha - x^\alpha}{h}\]
+\[\lim_{h \to 0} x^\alpha * (\frac{\frac{(x+h)}{x}^\alpha - 1}{h})\]
+\[\lim_{h \to 0} x^\alpha * (\frac{e^{\log(\frac{(x+h)}{x}^\alpha)} - 1}{h})\]
+\[\lim_{h \to 0} x^\alpha * (\frac{e^{\alpha \log(\frac{(x+h)}{x})} - 1}{h})\]
+\[\lim_{h \to 0} x^\alpha * (\frac{e^\frac{\alpha h}{x}) - 1}{h})\]
+
+\subsubsection{Non derivate il valore assoluto}
+Campagna pubblicitaria: chi deriva il valore assoluto muore (accademicamente).
+\(|x|\) non è derivabile in \(x = 0\).
+\[\lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h} = \nexists\]
+\[\lim_{h \to 0^+} \frac{|h|}{h} = 1\]
+\[\lim_{h \to 0^-} \frac{|h|}{h} = -1\]
+
+\section{Derivate sinistra e destra}
+Derivata destra:
+\[f_+'(x) = \lim_{h \to 0^+}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]
+Derivata sinistra:
+\[f_-'(x) = \lim_{h \to 0^-}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]
+
+[todo: migliorare un po']
+\begin{itemize}
+\item Se sono uguali e finite, esiste la derivata in quel punto;\\
+\item se sono diverse e almeno una delle due finita, si ha un \textbf{punto angoloso};\\
+\item se sono diverse e infinite, la tangente esiste ed è completamente verticale;\\
+\item se sono uguali e infinite, si forma una cuspide.
+\end{itemize}
+
+\section{Teorema di continuità}
+Se \(f\) è derivabile in \(x_0\), allora \(f\) è continua.
+
+\paragraph{Tesi}
+\[\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]
+
+\paragraph{Dimostrazione}
+\[\lim_{x \to x_0} f(x) - f(x_0) = 0\]
+\[\lim_{x \to x_0} (f(x) - f(x_0)) * \frac{x - x_0}{x - x_0}\]
+\[\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} * (x - x_0)\]
+\[f'(x_0) * 0 = 0\]
+
+\subsection{Conseguenze}
+\(f\) derivabile in \(x_0\) \(\implies\) \(f\) continua in \(x_0\)\\
+\(f\) non continua \(\implies\) \(f\) non derivabile\\
+\(f\) continua \(\centernot\implies\) \(f\) derivabile\\
+\(f\) non derivabile \(\centernot\implies\) \(f\) non continua\\
+
+\subsubsection{Esempio}
+\[f(x) = 
+\begin{cases}
+    1 \qquad x > 0\\
+    0 \qquad x \leq 0
+\end{cases}\]
+
+Non continua in \(x = 0\), quindi non derivabile in quel punto.\\
+In tutti gli altri casi, \(f'(x) = 0\).
+
+\section{Regole di calcolo}
+\[(f + g)' = f' + g'\]
+\[(kf)' = kf'\]
+\[(f * g)' = (f' * g) + (f * g')\]
+\[(\frac{f}{g})' = \frac{(f' * g) - (f * g')}{g^2}\]
+
+\subsection{Regola della catena}
+Se \(f\) è derivabile in \(x_0\) e g è derivabile in \(f(x_0)\) e \(x_0\) è punto di accumulazione per \(dom(g \circ f)\), allora \(g \circ f\) è derivabile in \(x_0\) e vale:
+\[(g \circ f)'(x_0) = g'(f(x_0)) * f'(x_0)\]
+
+\subsubsection{Esempio}
+\[f(x) = \sin^2(4 \sqrt{x} + 2\]
+\[f'(x) = 2 \sin (4 \sqrt{x} + 2) * \cos (4 \sqrt{x} + 2) * (4 * \frac{1}{2 \sqrt{x}})\]
+
+\subsubsection{Esempio}
+\[f(x) = \arctan \frac{2x}{\sqrt{x^3+1}}\]
+\[f'(x) = \cfrac{1}{1 + (\cfrac{2x}{\sqrt{x^3 + 1}}} * \frac{2 \sqrt{x^3 + 1} - 2x}{x^3+1} * \frac{3 x^2}{2} * \frac{1}{\sqrt{x^3+1}}\]
+
+\subsection{Derivata della funzione inversa}
+\(f : (a, b) \to \mathbb{R}\) continua e strettamente monotona \(\implies f\) invertibile\\
+\(f^{-1}\) funzione di \(f\)\\
+\(f\) derivabile in \(x_0 \implies f^{-1}\) derivabile in \(f(x_0) = y_0\)\\\\
+\((f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}\)\\
+
+\subsubsection{Esempio}
+\[f(x) = x + e^x\]
+\[\exists f^{-1}\]
+Determinare l'equazione della tangente al grafico di \(f^{-1}\) in (1, 0).\\
+
+\[y_0 = f(x_0) = 0 + e^0 = 1\]
+\[x_0 = f^{-1}(y_0) = 0\]
+
+\[f^{-1}'(y_0) = \frac{1}{1 + e^x}\]
+\[y - f^{-1}(y_0) = (f^{-1})'(y_0) * (x - y_0)\]
+\[y - 0 = \frac{1}{1 + e^{1}} * (x - 1)\]
+\[y = \frac{1}{1 + e} * (x - 1)\]
+
+\section{O piccolo}
+Date due funzioni \(f\) e \(g\) definite in un intorno di \(x_0\), diciamo che \(f(x) = o(g(x))\), f è \textbf{o piccolo} di \(g\) per \(x \to x_0\) se \(\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0\).
+
+\subsubsection{Esempio}
+\[x^2 = o(x) \qquad x \to 0\]
+Sì, perchè \(\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = 0\).
+
+\subsubsection{Esempio}
+\[sin x = o(x) \qquad x \to 0\]
+No, perchè \(\lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1\).
+
+\subsection{Proposizione}
+\[f(x) \sim g(x) \Rleftarrow f(x) = g(x) + o(g(x)) \Rleftarrow \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 \Rleftarrow \lim_{x \to x_0} - 1 = 0 \Rleftarrow \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - g(x)}{g(x)} = 0\]
+
+\end{document}

1 - Analisi matematica/1 - Appunti/X - Equazioni con complessi.tex

@@ -0,0 +1,27 @@
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+\begin{document}
+
+\section{Equazioni di numeri complessi}
+Come possiamo fare a risolvere equazioni in numeri complessi?\\
+Una possibile soluzione è quella di applicare la definizione di numero complesso \(z = a + \i b\).\\
+Effettuiamo le seguenti sostituzioni:
+\[Re z = a\]
+\[Im z = b\]
+\[z = a + \i b\]
+\[zsegnato = a - \i b\]
+Probabilmente giungeremo a un risultato \(= 0 + 0i\); 
+
+\end{document}

1 - Analisi matematica/1 - Appunti/X - Integrali.tex

@@ -0,0 +1,69 @@
+\documentclass{article}
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+{\box0\lower0.4pt\box2}}
+\newcommand{\iu}{\mathrm{i}\mkern1mu}
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+
+\begin{document}
+
+\section{Integrale}
+
+\[f : [a, b] \to \mathbb{R} \qquad f\ limitata\]
+
+Definiamo \textbf{suddivisione} o partizione di \([a, b]\):
+\[\mathcal{A} = \{ x_0, x_1, ..., x_n \}\]
+tale che:
+\[a = x_0 < x_1 < ... < x_n = b\]
+\\
+Sono praticamente tanti pezzetti dell'intervallo \([a, b]\).\\
+
+\subsection{Primo modo}
+Prendiamo una suddivisione equispaziata \(h = \frac{b - a}{n}\): dunque, gli intervallini saranno \(x_j = a + jh\) per \(j = 0, 1, ..., n\).\\
+\(x_n = a + nh = a + n \frac{b - a}{n} = b\)
+
+[VSC crashed.]\\
+
+\subsection{Secondo modo}
+
+[VSC crashed.]\\
+
+f è integrabile se \(s(f)\) (integrale inferiore) \(= S(f)\) (integrale superiore).
+
+\section{Classi di funzioni integrabili}
+\[f : [a, b] \to \mathbb{R}\ limitata\]
+Allora:
+\(f\ integrabile\ su\ [a, b] \implies \forall \epsilon > 0, \exists \mathcal{A}\ suddivisione\ di\ [a, b]\ : S(f, \mathcal{A}) - s(f, \mathcal{A}) \leq \epsilon\)
+
+\paragraph{Dimostrazione}
+Per semplicità, \(\mathcal{A}\) è equispaziata.\\
+\(S(f, \mathcal{A}_n) = \sum_{j=1}^n (x_j - x_{j-1}) sup(f) = \frac{b - a}{n} \sum_{j=1}^n sup(f) = \frac{b - a}{n} \sum_{j=1}^n f(x_j)\)\\
+\(s(f, \mathcal{A}) = \sum_{j=1}^n (x_j - x_{j-1}) inf(f) = \frac{b - a}{n} \sum_{j=1}^n sup(f) = \frac{b - a}{n} \sum_{j=1}^n f(x_{j-1})\)\\
+Effettuiamo un cambio di variabile: \(j-1 = i\), e poi rinominiamolo nuovamente in \(j\).\\
+\(s(f, \mathcal{A}) = \sum_{j=1}^n (x_j - x_{j-1}) inf(f) = \frac{b - a}{n} \sum_{j=1}^n sup(f) = \frac{b - a}{n} \sum_{j=1}^n f(x_{j-1}) = \frac{b - a}{n} \sum^{n-1}_{i=0} f(x_i) = \frac{b - a}{n} \sum_{j = 0}^{n - 1} f(x_m) = \frac{b - a}{n} \sum_{j = 0}^{n - 1} = \frac{b - a}{n} ( \sum_{j = 0}^{n - 1} f(x_m) + f(x_0) )\)\\
+\(S(f, \mathcal{A}) - s(f, \mathcal{A}) = \frac{b - a}{n} (f(x_n) - f(x_0)) = \frac{b - a}{n} (f(b) - f(a))\)\\
+\\
+Potrebbe essere da ripassare bene.
+
+\section{Teorema}
+\[f : [a, b] \to \mathbb{R}\ continua \implies integrabile\ in\ [a, b]\]
+
+\section{Teorema}
+\[\int_a^b f(x) dx = 0\]
+\[f\ continua\ in\ [a, b] \implies f = 0\ in\ [a, b]\]
+
+\paragraph{Dimostrazione}
+Supponiamo per assurdo che \(\exists x_0 \in [a, b]\).
+Allora, \(f(x_0) > 0\), e per la proprietà di continuità, \(\exists [a', b'] : \forall x \in [a', b'], \int_a^b f(x) dx \neq 0\).
+
+\end{document}
+

1 - Analisi matematica/1 - Appunti/X - Integrazione.tex

@@ -0,0 +1,70 @@
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+\let\oldsqrt\sqrt
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+\newcommand{\iu}{\mathrm{i}\mkern1mu}
+\DeclarePairedDelimiter\abs{\lvert}{\rvert}
+\DeclarePairedDelimiter\norm{\lVert}{\rVert}
+\makeatletter
+\let\oldabs\abs
+\def\abs{\@ifstar{\oldabs}{\oldabs*}}
+\let\oldnorm\norm
+\def\norm{\@ifstar{\oldnorm}{\oldnorm*}}
+\makeatother
+\newcommand*{\Value}{\frac{1}{2}x^2}
+\newcommand{\intab}{\int_a^b}
+% End new symbols
+\begin{document}
+
+\section{\(\delta < 0, denominatore II grado\)}
+\[\int \frac{1}{x^2 + 4x + 9} dx\]
+Osserviamo che \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \arctan x + c\).
+Provo allora a costruire qualcosa di simile all'arcotangente.
+\[\int \frac{1}{x^2 + 4x + 9} dx = \int \frac{1}{x^2 + 4x + 4 + 5} dx = 5 \int \frac{1}{\frac{(x + 2)^2}{5} + 1} = 5 \arctan (\frac{x + 2}{\sqrt{5}}) + c\]
+
+\section{Integrale generalizzato}
+Vogliamo ampliare la nostra definizione di integrale, applicandolo a una \(f\) non limitata.
+\[\int_a^{b-\epsilon} f(x) dx\]
+Ha senso; la funzione è limitata in \([a, b - \epsilon]\).\\
+Allora, possiamo fare l'integrale \textbf{generalizzato} o improprio, se \textsc{esiste} ed è \textsc{finito}:
+\[\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_a^{b - \epsilon} f(x) dx = \int_a^b f(x) dx\]
+
+\subsection{Esercizi}
+
+\subsubsection{Uso di parametri}
+Dire per quali valori del \textit{parametro} \(\alpha\)...
+\[\int_0^1 \frac{1}{x^{\alpha}} dx\]
+Per \(\alpha \leq 0\), si ha che \(\int_0^1 x^-\alpha dx\), e quindi è un integrale standard.\\
+Per \(\alpha > 0\), si ha che \(\int_0^1 \frac{1}{x^\alpha} dx\).\\
+C'è un problema in \(x = 0\); la funzione non è limitata! Usiamo allora la definizione di integrale generalizzato.\\
+
+\subsubsection{Calcolo integrali generalizzati con la definizione}
+\textit{Calcola} l'integrale...
+\[\int_0^1 \frac{1}{x^\alpha} dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_\epsilon^1 \frac{1}{x^\alpha} dx\]
+
+Trovo l'insieme delle sue primitive:
+\[\int x^{-\alpha} dx = \begin{cases}
+    \log \abs{x} + c \qquad \alpha = 1\\
+    \frac{x^{1-\alpha}{1 - \alpha} + c \qquad \alpha \neq 1
+\end{cases}\]
+
+Infine, applico il teorema fondamentale del calcolo:\\
+Per \(\alpha = 1\):
+\[\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_\epsilon^1 \frac{1}{x^\alpha} dx = [\log \abs{x}]^1_\epsilon = \log 1 - \log \epsilon = - \log \epsilon\]
+Per \(\alpha \neq 1\):
+[mi sa fatica scriverlo ma è uguale a sopra... credo]
+
+\subsubsection{Uso dei criteri}
+\textit{Studiare} l'integrabilità...
+
+
+\end{document}

1 - Analisi matematica/1 - Appunti/X - Limiti.tex

@@ -0,0 +1,182 @@
+\documentclass{article}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
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+% New symbols
+\let\oldsqrt\sqrt
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+\def\DHLhksqrt#1#2{%
+\setbox0=\hbox{$#1\oldsqrt{#2\,}$}\dimen0=\ht0
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+{\box0\lower0.4pt\box2}}
+% End new symbols
+
+\begin{document}
+\section{Definizione topologica di limite}
+\[\lim_{x \to x_0} f(x) = l\]
+\[\forall U_l \exists V_{x_0} : \forall x \neq x_0, (x \in V_{x_0} \implies f(x) \in U_l)\]
+
+\section{Limite finito al finito}
+\[\lim_{x \to x_0} f(x) = l \Leftrightarrow\]
+\[\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : \forall x \neq x_0, |x - x_0| < \delta\]
+Se un limite esiste, e in un certo punto il suo limite è uguale al valore del punto, allora \(f\) è \textbf{continua} in quel punto.
+
+\section{Funzioni continue}
+Sia \(f : \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), e sia \(x_0\) un \textit{punto di accumulazione} per il dominio \(D\) della funzione, appartenente al dominio della funzione.\\
+f(x) è \textbf{continua} in \(x_0\) se:
+\[\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]
+Diciamo che è continua in generale se la formula superiore è vera \(\forall x \in D\).\\
+La continuità è infatti un concetto locale: i valori esterni al dominio sono ignorati.
+
+\subsection{Esempio}
+\[f(x) =
+\begin{cases}
+    1\quad se \quad x \geq 0\\
+    0\quad se \quad x < 0
+\end{cases}\]
+\[\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 1\]
+In 1, \(f\) è continua, perchè il suo limite esiste ed è uguale a 1.
+\[\nexists \lim_{x \to 0} f(x)\]
+In 0, \(f\) non è continua, perchè il suo limite non esiste.
+
+\subsection{Esempio}
+\[\lim_{x \to x_0} f(x)\]
+\[f(x) =
+\begin{cases}
+    1\quad se \quad x \neq 0\\
+    0\quad se \quad x = 0
+\end{cases}\]
+\[\lim_{x \to 0} f(x) = 1\]
+In 0, \(f\) non è continua, perchè il suo limite esiste, ma è diverso da 0,
+
+\subsection{Esempio}
+\[f(x) = \frac{1}{x}\]
+E' una funzione continua? Sì, perchè è continua per tutti i punti del suo dominio. 0, infatti, non è nel suo dominio.
+
+\section{Definizione successionale di limite}
+La \textit{definizione topologica di limite} è equivalente alla seguente definizione:
+\[\lim_{x \to x_0} f(x) = l\]
+\[\Updownarrow\]
+\[\forall \{x_n\}_{n \neq 0 \in \mathbb{N}}; (x_n \to x_0) \implies f(x_n) \to l\]
+
+\section{Funzioni asintotiche}
+Si dice che due funzioni sono \textbf{asintotiche} per \(x \to x_0\) se:
+\[\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1\]
+Dunque, si dice che \(f\) è asintotico a \(g\) in \(x_0\):
+\[\sin x \sim x \qquad x \to 0\]
+
+\section{Limiti notevoli}
+\subsection{Seno di x su x}
+\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\]
+\[\sin x \sim x \qquad x \to 0\]
+
+\subsubsection{Esempio}
+\[sin(n) \not\sim n \qquad x \to +\infty\]
+\[lim_{x \to +\infty} \frac{sin n}{n} = 0\]
+
+\subsection{Tangente di x su x}
+\[\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1\]
+\[\tan x \sim x \qquad x \to 0\]
+
+\subsection{Arcotangente di x su x}
+\[\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1\]
+\[\arctan x \sim x \qquad x \to 0\]
+
+\subsubsection{Esempio}
+\[\lim_{n \to +\infty} \arctan \frac{1}{n^2} = 0\]
+\[\arctan \frac{1}{n^2} \sim \frac{1}{n^2} \qquad n \to +\infty\]
+
+\subsubsection{Esempio}
+\[\lim_{x \to +\infty} \frac{\arctan n^2}{n^2} = 0\]
+\(n^2 \to +\infty\), non tende a 0, quindi non possiamo applicare il limite notevole.
+
+\subsection{Quello che fa un mezzo}
+\[\lim_{x \to 0} \frac{1 - cos x}{x^2} = \frac{1}{2}\]
+\[\lim_{x \to 0} \frac{1 - cos x}{\frac{1}{2} x^2} = 1\]
+\[(1 - cos x) \sim (\frac{1}{2} x^2) \qquad x \to 0\]
+
+\subsection{Naturale}
+\[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1\]
+\[(e^x - 1) \sim x \qquad x \to 0\]
+
+\subsubsection{Esempio}
+\[\lim_{n \to +\infty} \frac{e^\frac{1}{n} - 1}{\frac{1}{n}} = 1\]
+L'argomento \(\frac{1}{n}\), per n che tende a più infinito, tende a 0; pertanto, possiamo applicare il limite notevole.
+
+\subsubsection{Esempio}
+\[\lim_{n \to +\infty} \frac{e^{\frac{1}{\sqrt{n}}} - 1}{\frac{1}{\sqrt{n}}} = 1\]
+
+\subsubsection{Esempio}
+\[\lim_{n \to +\infty} \frac{e^{\frac{1}{\sqrt{n}}}}{\frac{1}{\sqrt{n}}} = +\infty\]
+
+\subsubsection{Esempio}
+\[\lim_{n \to \infty} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}} \nexists\]
+Questo limite non esiste, perchè per \(n \to +\infty\) vale \(+\infty\), mentre per \(n \to -\infty\) vale \(0\).
+
+\subsubsection{Esempio}
+\[\lim_{n \to +\infty} \frac{e^{\frac{1}{n^2}} - 1}{\frac{1}{n}} =\]
+\[\lim_{n \to +\infty} (\frac{e^{\frac{1}{n^2}} - 1}{\frac{1}{n^2}} * \frac{1}{n}) = 0\]
+
+\subsubsection{Altri esempi}
+Non avevo voglia di scriverli, quindi li ho omessi.
+
+\subsection{Risulta e}
+\[\lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{1}{x})^x\]
+
+\subsection{Logaritmico}
+\[\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1\]
+\[\log(1+x) \sim x \qquad x \to 0\]
+
+\subsubsection{Esempio}
+\[\lim_{x \to +\infty} \frac{\log(1+x)}{x} = 0\]
+
+\subsection{L'ultima}
+\[\lim_{x \to 0^+} x \log x = 0\]
+
+\subsubsection{Esempio}
+\[\lim_{x \to 0^+} x^x = e^(x \log x) = 1\]
+\[\lim_{x \to +\infty} x^x = e^(x \log x) = +\infty\]
+
+\section{Esempi}
+\subsubsection{Esempio}
+\[\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x + 2x^2 + e^{-x}}{2x - 2x^2 + e^{-x}} = -1\]
+Prevale \(2x^2\), perchè \(e^{-x}\) tende a 0.
+
+\subsubsection{Esempio}
+\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x + 2x^2 + e^{-x}}{2x - 2x^2 + e^{-x}} = 0\]
+Prevale \(e^{-x}\), perchè è l'unico che non tende a 0, tendendo invece a 1.
+
+\subsubsection{Esempio}
+\[\lim_{x \to 0} \frac{| x - \pi |}{x - \pi} = -1\]
+Perchè il valore assoluto diventa \(\pi - x\), e dopo prevale \(-x\).
+
+\subsubsection{Esempio}
+\[\lim_{x \to \pi} \frac{| x - \pi |}{x - \pi} = +-1\]
+Dipende da che direzione ci approcciamo a \(\pi\): per \(x \to \pi^+\), il limite vale 1, ma per \(x \to \pi^-\), il limite vale -1.
+
+\subsubsection{Esempio}
+\[\lim_{x \to \pi} \frac{\cos x + 1}{(x - \pi)^2} = [0/0]\]
+\[z = x - \pi\]
+\[\lim_{z \to 0} \frac{\cos (z + \pi) + 1}{(z + \pi - \pi)^2}\]
+\[\lim_{z \to 0} \frac{\cos z \cos \pi - \sin z \sin \pi + 1}{z^2}\]
+\[\lim_{z \to 0} \frac{-\cos z + 1}{z^2} = \frac{1}{2}\]
+Applichiamo il cambio di variabile in modo di avere un limite per 0: dopo, applichiamo la formula del coseno della somma.
+
+\subsubsection{Esempio}
+\[\lim_{x \to 0} \frac{log(1+x) - sin x}{x + sin x} = [0/0]\]
+\[\lim_{x \to 0} \frac{log(1+x)}{x + sin x} - \frac{sin x}{x + sin x}\]
+\[\lim_{x \to 0} \frac{log(1+x)}{x (1 + \frac{sin x}{x})} - \frac{sin x}{x (1 + \frac{sin x}{x})}\]
+\[\frac{1}{1 + 1} - \frac{1}{1 + 1} = 0\]
+Separiamo il limite in due: è un'operazione che funziona solo se nessuno dei due nuovi limiti risulta infinito o indeterminato.
+
+\subsubsection{Esempio}
+\[\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 2^x}{\arctan(\log(\sin \sqrt{x} + 1))} = [0/0]\]
+\[\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - x^2 + 1 - 1}{\arctan(\log(\sin \sqrt{x} + 1))}\]
+Per \(x \to 0\), \(\sin \sqrt{x} \sim \sqrt{x}\); \(\log (1 + z) \sim z\); \(\arctan z \sim z\), dunque.
+\[\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - x^2 + 1 - 1}{\sqrt{x}}\]
+\[\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{\sqrt{x} - \lim_{x \to 0}\frac{x^2} + 1 - 1}{\sqrt{x}}\]
+\[\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{2}x^2}{\sqrt{x}} - \lim_{x \to 0}\frac{x^2 - 1}{\sqrt{x}}\]
+\[0 - 0 = 0\]
+
+\end{document}

1 - Analisi matematica/1 - Appunti/X - Primitive.tex

@@ -0,0 +1,129 @@
+\documentclass{article}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
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+\let\oldsqrt\sqrt
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+\newcommand*{\Value}{\frac{1}{2}x^2}
+\newcommand{\intab}{\int_a^b}
+% End new symbols
+
+\begin{document}
+
+\section{Proprietà dell'integrale}
+Siano \(f, g : [a, b] \to \mathbb{R}\).\\
+Siano \(\alpha, \beta, a, r, b \in \mathbb{R}\).\\
+Allora:
+\begin{itemize}
+\item \(\alpha f + \beta g\) è integrabile:\\
+      \[\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) dx\]
+\item Se \(a \leq r \leq b\), allora f è integrabile su \([a, r]\) e \([r, b]\), e in particolare:
+      \[\int_a^b f(x) dx = \int_a^r f(x) dx + \int_r^b f(x) dx\]
+\item Se \(f \geq g\), allora \(\int_a^b f(x) dx \geq \int_a^b g(x) dx\).
+\item Se \(f\) è integrabile in \([a, b]\), allora \(\abs{f}\) è integrabile (ma non il contrario!).
+\end{itemize}
+
+\section{Teorema della media integrale}
+\subsection{Prima parte}
+\paragraph{Ipotesi}
+\(f\) integrabile su \([a, b]\)
+
+\paragraph{Tesi}
+\[inf f \leq \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) dx \leq sup f\]
+
+\paragraph{Dimostrazione}
+Sappiamo che \(inf f \leq f(x) \leq sup f\).\\
+Per la 3a proprietà dell'integrale, allora:
+\[\intab inf f dx \leq \intab f(x) dx \leq \intab sup f dx\]
+Possiamo portare fuori le costanti per la 1a proprietà:
+\[inf f \intab 1 dx \leq \intab f(x) dx \leq sup f \intab 1 dx\]
+Allora:
+\[inf f (b - a) \leq \intab f(x) dx \leq sup f (b - a)\]
+E se \(b - a \neq 0\)...
+\[inf f \leq \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) dx \leq sup f\]
+
+
+\subsection{Seconda parte}
+
+\paragraph{Ipotesi}
+\begin{itemize}
+\item \(inf f \leq \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) dx \leq sup f\)
+\item \(f\) continua su \([a, b]\)
+\end{itemize}
+
+\paragraph{Tesi}
+\(\exists z : \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) dx = f(z)\)
+
+\paragraph{Dimostrazione}
+Cambiamo forma alla tesi:
+\[\exists z : \intab f(x) dx = f(z) * (b - a)\]
+Se la funzione è continua in \([a, b]\), per il teorema di Weierstrass sappiamo che:
+\[\exists x_m, x_M : min f = m = f(x_m) \leq f(x) \leq f(x_M) = M = max f\]
+Per la prima ipotesi, allora:
+\[min f = inf f \leq \frac{1}{b - a} \intab f(x) dx \leq sup f = max f\]
+Essendoci un minimo e un massimo, ed essendo la funzione continua, possiamo dire per il teorema dei valori intermedi che:
+\[\exists z : \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) dx = f(z)\]
+
+\section{Funzione primitiva}
+Sia \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\).\\
+Si dice che \(G\) è \textbf{primitiva} di \(f\) se:
+\begin{itemize}
+\item \(G\) è \textsc{derivabile}
+\item \(\forall x \in [a, b] G' = f(x)\)
+\end{itemize}
+
+\subsection{Proposizione}
+Due primitive della stessa funzione definite sullo stesso intervallo differiscono per una costante.
+
+\paragraph{Dimostrazione}
+\(G_1, G_2\) primitive di \(f\)
+\[\forall x \in \mathbb{R}, G_1'(x) = f(x), G_2'(x) = f(x)\]
+\[G_1'(x) - G_2'(x) = 0\]
+\[(G_1 - G_2)'(x) = 0\]
+\[G_1 = G_2 + C\]
+
+\subsubsection{Se non si è su un intervallo...}
+Esistono primitive di una funzione che non differiscono per una costante, ma per qualcosa di più.
+\paragraph{Esempio}
+\[G_1(x) = \begin{cases}
+    log(x) \qquad se\ x > 0\\
+    log(-x) \qquad se\ x < 0
+\end{cases}\]
+
+\[G_2(x) = \begin{cases}
+    1 + log(x) \qquad se\ x > 0\\
+    log(-x) \qquad se\ x < 0
+\end{cases}\]
+
+\subsection{Funzioni senza primitiva}
+\[\delta(x)\qquad delta\ di\ Dirac\]
+\paragraph{Dimostrazione}
+Per assurdo, immaginiamo esista una primitiva \(F\) di \(f\).\\
+Negli intervalli \(]-\infty, 0[\) e \(]0, +\infty[\) si ha che \(F'(x) = 0\), e quindi che la funzione è costante.\\
+Se la funzione è una \textsc(primitiva), significa che dev'essere \textsc{derivabile}, e quindi \textsc{continua}.\\
+Ma la funzione originale non è continua, perchè ha un salto in \(x = 0\). Assurdo.
+
+\section{Integrale indefinito}
+\[\int f(x) dx\]
+L'integrale indefinito qui sopra indica l'insieme di tutte le primitive di \(f(x)\).\\
+\\
+Esistono funzioni che hanno primitiva, ma non è esprimibile:
+\[\int \frac{sin t}{t} dt\]
+
+\end{document}

1 - Analisi matematica/1 - Appunti/X - Punti di estremo.tex

@@ -0,0 +1,97 @@
+\documentclass{article}
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+\usepackage{centernot}
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+\let\oldsqrt\sqrt
+\def\sqrt{\mathpalette\DHLhksqrt}
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+{\box0\lower0.4pt\box2}}
+\newcommand{\iu}{\mathrm{i}\mkern1mu}
+% End new symbols
+\begin{document}
+\section{Punti di estremo}
+
+\subsection{Massimo globale}
+Si dice che \(M\) è \textbf{massimo} globale per \(f\) su \([a, b]\), e che \(x_M \in [a, b]\) è \textbf{punto di massimo} per \(f\) se:
+\[\forall x \in [a, b], f(x) \leq f(x_M)\]
+
+\subsection{Minimo globale}
+Si dice che \(m\) è \textbf{minimo} globale per \(f\) su \([a, b]\), e che \(x_M \in [a, b]\) è \textbf{punto di minimo} per \(f\) se:
+\[\forall x \in [a, b], f(x) \geq f(x_m)\]
+
+\subsection{Massimo locale}
+Si dice che \(M\) è \textbf{massimo locale} per \(f\) su \([a, b]\) e \(x_M\) è \textbf{punto di massimo locale} se:
+\[\exists \delta > 0 : \forall x in [a, b] \cap (x_M - \delta, x_M + \delta), f(x) \leq f(x_M) = M\]
+
+\subsection{Minimo locale}
+Si dice che \(m\) è \textbf{minimo locale} per \(f\) su \([a, b]\) e \(x_M\) è \textbf{punto di minimo locale} se:
+\[\exists \delta > 0 : \forall x in [a, b] \cap (x_m - \delta, x_m + \delta), f(x) \geq f(x_m) = m\]
+
+\subsection{Massimo locale stretto}
+Si dice che \(M\) è \textbf{massimo locale stretto} per \(f\) su \([a, b]\) e \(x_M\) è \textbf{punto di massimo locale stretto} se:
+\[\exists \delta > 0 : \forall x in [a, b] \cap (x_M - \delta, x_M + \delta), f(x) < f(x_M) = M\]
+
+\subsection{Minimo locale stretto}
+Si dice che \(m\) è \textbf{minimo locale stretto} per \(f\) su \([a, b]\) e \(x_M\) è \textbf{punto di minimo locale stretto} se:
+\[\exists \delta > 0 : \forall x in [a, b] \cap (x_m - \delta, x_m + \delta), f(x) > f(x_m) = m\]
+
+\section{Problemi di massimo e minimo}
+Dove si trovano i punti di massimo e minimo per una funzione?
+\[f : [a, b] \to \mathbb{R}\]
+\[f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\]
+Si trovano dove la \textit{derivata prima si annulla}! Ma non sempre...\\
+Ad esempio, \(f(x) = |x|\) ha un punto di minimo globale in \(x = 0\).\\
+Inoltre, se \(f : [a, b]\), \(a\) e \(b\) sono \textit{sicuramente} punti di massimo o minimo locale, e potrebbero essere anche punti di massimo o minimo globale.
+
+\section{Teorema di Fermat}
+Sia \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\), \textit{derivabile} in \(x_0 \in (a, b)\).\\
+Se \(x_0\) è \textit{punto di estremo locale}, allora \(f'(x_0) = 0\).\\
+
+\paragraph{Dimostrazione}
+\[\exists \delta > 0 : \forall x \in (a, b) \cap (x_0 - \delta, x_0 + \delta), f(x) \geq f(x_0)\]
+Se \(x < x_0\), allora \(\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \leq 0\).\\
+Se \(x > x_0\), allora \(\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \geq 0\).\\
+Passando al limite di entrambe:
+\[x < x_0 \implies \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \leq 0\]
+\[x > x_0 \implies \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \geq 0\]
+Il limite appena calcolato è la derivata prima rispettivamente sinistra e destra di \(x_0\).\\
+Essendo però \(f\) \textit{derivabile} in quell'intervallo, allora derivate sinistra e destra coincidono, dunque \(f'(x_0) = 0\).
+
+\section{Teorema di Rolle}
+\paragraph{Ipotesi}
+Sia \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\).\\
+\(f\) \textit{continua} su \([a, b]\)\\
+\(f\) \textit{derivabile} su \((a, b)\)\\
+\(f(a) = f(b)\)
+
+\paragraph{Tesi}
+\[\exists c \in (a, b) : f'(c) = 0\]
+
+\paragraph{Dimostrazione}
+Essendo \(f\) \textit{continua} su \([a, b]\), essa ammette massimo e minimo per il \textsc{Teorema di Weierstrass}.
+\[\exists x_m, x_M \in [a, b] : \forall x \in [a, b], f(x_m) \leq f(x) \leq f(x_M)\]
+Abbiamo due casi:\\
+- i due estremi coincidono con \(x_m\) e \(x_M\), creando allora una funzione costante di derivata prima sempre \(= 0\)
+- altrimenti, almeno uno tra \(x_m\) e \(x_M\) è \textit{interno} all'intervallo (a, b), e per il \textsc{Teorema di Fermat} allora \(\exists c : f'(c) = 0\).
+
+\section{Teorema di Cauchy}
+\paragraph{Ipotesi}
+Siano \(f, g : [a, b] \to \mathbb{R}\) tali che:
+\(f, g\) \textit{continue} su \([a, b]\)\\
+\(f, g\) \textit{derivabili} su \((a, b)\)
+
+\paragraph{Tesi}
+\[\exists c \in (a, b) : (f(b) - f(a)) g'(c) = (g(b) - g(a)) f'(c)\]
+
+\paragraph{Dimostrazione}
+Costruisco la funzione \(w(x) = (f(b) - f(a)) g(x) = (g(b) - g(a)) f(x)\).\\
+Calcolo \(w(a)\) e \(w(b)\) (omesso per orario), e scopro \(w(a) = w(b)\).\\
+Inoltre, \(w\) è \textit{continua} su \([a, b]\), e \textit{derivabile} su \((a, b)\).
+Dal \textsc{Teorema di Rolle} applicato a \(w\), \(\exists c \in (a, b) : w'(c) = 0\)
+
+\end{document}

1 - Analisi matematica/1 - Appunti/X - Serie.tex

@@ -0,0 +1,202 @@
+\documentclass{article}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
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+\begin{document}
+
+\section{Le Serie}
+
+\[\sum^{\infty}_{n=0}a_n\]
+
+Se \(\sum^{\infty}_{n=0}a_n = L\), la serie è \textbf{convergente}; se \(\sum^{\infty}_{n=0}a_n = \infty\), la serie è \textbf{divergente}.
+
+\subsection{Condizione necessaria}
+\[\sum^{\infty}_{n=0}a_n < +\infty \quad \implies \quad a_n \to 0\]
+\[a_n \not\to 0 \quad \implies \quad \sum^{\infty}_{n=0}a_n non convergente\]
+
+\subsection{Serie a termini non negativi definitivamente}
+\[\sum^{\infty}_{n=0}a_n \qquad a_n \geq 0\]
+Se la successione delle somme parziali è \textit{definitivamente} monotona, allora \textbf{ha limite}, e quindi \textbf{esiste}, convergendo o divergendo.\\
+Possiamo applicare dei particolari criteri per capirlo.
+
+\subsection{Criteri}
+
+\subsubsection{Criterio del confronto}
+Siano \(\{a_n\}\) e \(\{b_n\}\) due successioni a termini reali \textit{non negativi}, tali che \textit{definitivamente} \(a_n \leq b_n\).\\
+Allora...
+\[\sum^{\infty}_{n=0} b_n < +\infty \implies \sum a_n < +\infty\]
+\[\sum^{\infty}_{n=0} a_n = +\infty \implies \sum b_n = +\infty\]
+Si usa principalmente quando la serie converge ma non è dimostrabile convenzionalmente.
+
+\subsubsection{Criterio del confronto asintotico}
+Siano \(\{a_n\}\) e \(\{b_n\}\) due successioni a termini reali \textit{positivi}, tali che \(a_n \sim b_n\).\\
+Allora \(\sum a_n\) e \(\sum b_n\) hanno lo stesso carattere (entrambe convergono, entrambe divergono, etc).\\
+\\
+Solitamente si applica per i limiti notevoli.
+
+\subsubsection{Criterio del rapporto}
+\[\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} =
+\begin{cases}
+L < 1 \quad \implies \quad \sum a_n \neq \infty\\
+L > 1 \quad \implies \quad \sum a_n = \infty\\
+L = 1 \quad \implies \quad unknown
+\end{cases}\]
+
+\subsubsection{Criterio della radice}
+Sia \(\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}^+}\).\\
+Supponiamo che \(\lim_{n \to +\infty} \sqrt{a_n}^n = L\).
+Allora...
+\[\begin{cases}
+L < 1 \quad \implies \quad \sum a_n convergente\\
+L > 1 \quad \implies \quad \sum a_n divergente\\
+L = 1 \quad \quad unknown
+\end{cases}\]
+
+\subsection{Serie a termini qualunque}
+
+\subsubsection{Criterio di Leibniz}
+\[\sum^{\infty}_{n=0} (-1)^n a_n\]
+Se:
+\[\begin{cases}
+a_n \geq 0
+a_n \geq a_{n+1}
+a_n \to 0
+\end{cases}\]
+
+\subsubsection{Criterio di convergenza assoluta}
+Se:
+\[\sum^{\infty}_{n=0} |a_n| = \infty\]
+Allora:
+\[\sum^{\infty}_{n=0} a_n = \infty\]
+
+\subsection{Dimostrazione dei criteri}
+\subsubsection{Criterio del confronto}
+
+\[S_n = \sum^n_{k=1} a_k\]
+\[S_n^* = \sum^n_{k=1} b_k\]
+
+\subsubsection{Criterio del confronto asintotico}
+\[\lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} = 1\]
+Usiamo la definizione di limite:
+\[\forall \epsilon > 0 \exists n' : \forall n \geq n', 1 - \epsilon \leq \frac{a_n}{b_n} \leq 1 + \epsilon\]
+\[b_n * (1 - \epsilon) \leq \frac{a_n}{b_n} \leq b_n * (1 + \epsilon)\]
+Ho ora un'espressione a cui è applicabile il criterio del confronto.
+
+Per la proprietà di monotonia:
+\[0 \leq a_k \leq b_k \quad \implies \quad 0 \leq S_n \leq S_n^*\]
+
+\subsubsection{Criterio della radice}
+\[\forall \epsilon > 0, \exists n' : \forall n \geq n', L - \frac{\epsilon}{2} \leq \sqrt{a_n}^n \leq L + \frac{\epsilon}{2}\]
+Per il funzionamento stesso della radice:
+\[L < 1 \implies \exists \epsilon > 0 : L + \epsilon < 1; L < 1 - \epsilon\]
+Dunque...
+\[\sqrt{a_n}^n \leq 1 - \epsilon + \frac{\epsilon}{2} = 1 - \frac{\epsilon}{2}\]
+Ho finalmente raggiunto un punto in cui posso usare il criterio del confronto:
+\[\sum a_n \leq \sum (1 - \frac{\epsilon}{2})^2\]
+
+\section{Tipi di esercizi}
+Gli esercizi con le serie principalmente sono di tre tipi: calcolare la somma (il valore) di una serie, studiare la convergenza di una serie e studiare la convergenza di una serie che varia in base a un parametro.\\
+
+\subsection{Serie geometriche}
+
+\[\sum^{\infty}_{n=0}q^n\qquad se |q| < 1 \quad = \frac{1}{1-q}\]
+
+\subsubsection{Esempio serie geometrica}
+Calcolare \(\sum^{\infty}_{n=0}\frac{1}{2^n}\).\\
+
+\subsection{Serie armonica generalizzata}
+\[\sum^{\infty}_{n=0} \frac{1}{n^\alpha} \quad
+\begin{cases}
+\neq \infty \quad se \quad \alpha > 1\\
+= \infty \quad se \quad \alpha \leq 1
+\end{cases}
+\]
+
+\paragraph{Svolgimento}
+E' una serie geometrica di ragione \(\frac{1}{2}\), quindi la somma vale \(\frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 2\).
+
+\subsubsection{Serie geometrica nascosta}
+Calcolare \(\sum^{\infty}_{n=0}\frac{2^{n-1}}{3^n}\).\\
+
+\paragraph{Svolgimento}
+C'è una serie geometrica nascosta: è possibile convertire la somma in \(\frac{1}{2} \sum^{\infty}_{n=0}(\frac{2}{3})^n\), che è una serie geometrica di ragione \(\frac{2}{3}\).\\
+Dunque, la somma vale \(\frac{1}{1-\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}\).
+
+\subsubsection{Serie geometrica con inizio spostato}
+Calcolare \(\sum^{\infty}_{n=1}(\log(3) - 1)^n\).
+
+\paragraph{Svolgimento}
+Verifichiamo che la ragione sia effettivamente \(< 1\): \(log(3) - 1 < 1\) è vero.\\
+Si converte la serie in \(\sum^{\infty}_{n=0}((\log(3) - 1)^n) - 1\).\\
+E' diventata una serie geometrica di ragione \(\log(3) - 1\) a cui dovrà essere sottratto 1 dal risultato finale.
+
+\subsection{Condizione necessaria}
+Studia la convergenza di \(\sum^{\infty}_{n=1}(1 + \frac{1}{n!})^n\).
+
+\paragraph{Svolgimento}
+\[\sum^{\infty}_{n=1} (e^{n log(1 + \frac{1}{n!})})\]
+\[\sum^{\infty}_{n=1} (e^{n \frac{1}{n!})})\]
+\[e^{n \frac{1}{n!}} \to 1\]
+Dato che l'argomento delle serie non è infinitesimo, allora possiamo dire che la serie non converge.
+
+\subsection{Dipendenti da parametro}
+Calcolare per quali valori di x la serie seguente converge.
+\[\sum^{\infty}_{n=1} (\frac{x-2}{4})^n\]
+
+\paragraph{Svolgimento}
+Riconosciamo che è una serie geometrica, e sappiamo che converge se la sua ragione è \(|r| < 1\).\\
+Calcoliamo per quali valori è presente quella ragione:
+\[| \frac{x-2}{4} | < 1\]
+\[-1 < \frac{x-2}{4} | < 1\]
+\[-2 < x < 6\]
+
+\subsection{Criterio del confronto difficile}
+\[\sum^{\infty}_{n=1} \frac{\log^2 n}{n \sqrt{n}}\]
+\[\lim_{n \to +\infty} \frac{\log^2 n}{n \sqrt{n}} = 0\]
+Non concludo nulla da questo limite; devo usare un criterio.
+\[\sum^{\infty}_{n=1} \frac{\log^2 n}{n \sqrt{n}}\]
+\[\sum^{\infty}_{n=1} \frac{\log^2 n}{n^{\frac{3}{2}}}\]
+\[\lim_{n \to \infty} \frac{log n}{n^\alpha} = 0\]
+\[\log n \leq n^\alpha\]
+\[\log n \leq n^\frac{1}{8}\]
+\[\log^2 n \leq n^\frac{1}{4}\]
+\[\frac{log^2 n}{n \sqrt{n}} \leq \frac{n^\frac{1}{4}}{n \sqrt{n}} = \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}}\]
+Applichiamo poi il teorema di confronto.
+[TBD]
+
+\subsection{Criterio di confronto asintotico difficile}
+Determinare per quali valori di \(\alpha > 0\) la serie converge.
+\[\sum^\infty_{n=1} \frac{1 + e^{-n}}{\sqrt{n^\alpha} + log n}\]
+Non posso usare la condizione necessaria, perchè \(a_n \to 0\).\\
+Applico il criterio del confronto asintotico.
+\[a_n \sim \frac{1}{n^\frac{\alpha}{2}}\]
+E' una serie armonica generalizzata.\\
+Per \(\alpha > 2\), la serie converge, mentre per \(\alpha \leq 2\) la serie diverge.
+
+\subsection{Criterio della radice}
+\[\sum_{n=1}^\infty \frac{e^{n^2}}{n^{2n}}\]
+\[\sqrt{a_n}^n = (\frac{e^{n^2}}{n^{2n}}^{\frac{1}{n}}\]
+\[= \frac{e^n}{n^2} \to +\infty\]
+
+\subsection{Criterio del rapporto}
+\[\sum^\infty_{n=1} \frac{e^{n^2}}{n^{2n}}\]
+\[\frac{a_{n+1}}{a_n} \to L\]
+\[\frac{e^{(n+1)^2}}{(n+1)^{2(n+1)}} * \frac{n^{2n}}{e^{n^2}}\]
+\[\frac{e^{2n+1}}{(n+1)^2} * (\frac{n}{n+1})^2n\]
+\[\frac{e^{2n+1}}{(n+1)^2} * (\frac{1}{1+\frac{1}{n})^2n}\]
+\[\lim_{n \to \infty} \frac{e^{2n+1}}{(n+1)^2} * (\frac{1}{1+\frac{1}{n})^2n}\]
+\[+\infty * \frac{1}{e} = +\infty\]
+\(+\infty > 1\), dunque la serie diverge.
+
+\end{document}

1 - Analisi matematica/1 - Appunti/X - Sottosuccessioni.tex

@@ -0,0 +1,63 @@
+\documentclass{article}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
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+\let\oldsqrt\sqrt
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+{\box0\lower0.4pt\box2}}
+% End new root
+
+\begin{document}
+
+\section{Sottosuccessioni}
+
+Si dice \textbf{sottosuccessione} di una successione \(\{a_n\}_n\) la composizione \(a_n \circ K\) dove \(K : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) è strettamente crescente.\\
+\((a_n \circ K)(n) = a_{K_n} = a_{2n}\)\\
+Praticamente sono successioni il cui dominio non è \(\mathbb{N}\), ma solo una parte di esso, ed è dato da un'altra successione \(K_n\).\\\\
+Se \(a_n \to l \in \mathbb{R}\), allora anche \(a_{K_n} \to l\).\\
+Se \(\forall K : \mathbb{N} \to \mathbb{N}, a_{K_n} \to l\), allora \(a_n \to l\).\\
+Se una successione ha \textbf{limite} \(l\), tutte le estratte hanno lo \textbf{stesso limite}.\\
+Viceversa, se tutte le sottosuccessioni hanno lo \textbf{stesso limite} \(l\), allora anche la principale ha \textbf{limite} \(l\).\\
+Se esistono due sottosuccessioni con \textbf{limiti diversi}, allora la successione di partenza \textbf{non ha limite}.\\\\
+Posso utilizzare le sottosuccessioni per trovare il limite di una successione solo quando l'unione del dominio di queste dia come risultato \(\mathbb{N}\).\\
+
+\section{Teorema di bisezione}
+Se in un intervallo "di limite" c'è almeno un punto di accumulazione, allora anche dividendolo in due parti il punto di accumulazione rimarrà in almeno una di queste due.
+
+\section{Punto limite}
+Se \(a_n\) ha una sottosuccessione convergente a l, si dice che l è un \textbf{punto limite}.
+
+\section{Enunciato teorema di Bolzano-Weierstrass}
+Sia \(\{a_n\}_n\) una \textbf{successione limitata}.\\
+Allora, esiste almeno una sottosuccessione \(a_{K_n}\) di \(a_n\) \textbf{convergente}.
+
+\section{Dimostrazione teorema di B-W}
+Siccome \(\{a_n\}\) è limitata, allora esistono \(\alpha_0, \beta_0 \in \mathbb{R}, \alpha_0 \leq a_n \leq \beta_0\).\\
+Chiamiamo \(I_0 = [\alpha_0, \beta_0]\) l'intervallo tra questi due punti.\\
+Prendiamo l'insieme \(A_0 = \{n : a_n \in I_0\}\) di tutti i punti all'interno di questo intervallo.\\
+\(A_0\) contiene infiniti valori, essendo una successione in \(\mathbb{N}\).\\
+Applichiamo il teorema di bisezione: il punto medio dell'intervallo è \(\mu_0 = \frac{\alpha_0 + \beta_0}{2}\).\\
+L'intervallo ora risulta diviso in \(I_0 = [\alpha_0, \mu_0] \cup [\mu_0, \beta_0]\).\\
+Per il teorema di bisezione, almeno uno tra \([\alpha_0, \mu_0]\) e \([\mu_0, \beta_0]\) è infinito.\\
+Se l'infinito è \([\alpha_0, \mu_0]\), allora \(\alpha_1 = \alpha_0\) e \(\beta_1 = \mu_0\).\\
+Se l'infinito è \([\mu_0, \beta_0]\), allora \(\alpha_1 = \mu_0\) e \(\beta_1 = \beta_0)\).\\
+In ogni caso, \(\alpha_0 \leq \alpha_1 \leq \beta_1 \leq \beta_0\)\\
+Creiamo un nuovo intervallo \(I_1 = [\alpha_1, \beta_1]\).\\\\
+Ripetiamo il procedimento di bisezione con \(\alpha_1\) e \(\beta_1\): dovremmo ottenere ancora un risultato dimezzato.\\
+Dopo n passi, otteniamo un intervallo \(I_n = [\alpha_n, \beta_n]\) infinitamente piccolo.\\
+Dunque, \(\alpha_0 \leq \alpha_1 \leq \alpha_2 \leq \dots \leq \alpha_n \leq \beta_n \leq \dots \leq \beta_2 \leq \beta_1 \leq \beta_0\).\\\\
+\(\beta_n - \alpha_n = \frac{\beta_0 - \alpha_0}{2^n}\)\\
+\(A_n = \{m : a_m \in I_n\}\) è infinito.\\
+Possiamo dimostrare per induzione che le precedenti tre righe sono vere \(\forall n \in \mathbb{N}\).
+Dunque, \(\{\alpha_n\}\) è una successione \textbf{monotona crescente}, e ha limite \(l\), e \(\{\beta_n\}\) è una successione \textbf{monotona decrescente}, ed essa ha limite \(m\).\\\\
+Sapendo per la \textsc{gerarchia degli infiniti} che \(\frac{\beta_0 - \alpha_0}{2^n}\) tende a 0, allora possiamo anche dire che \(\beta_n - \alpha_n\) tende a 0, quindi \(l = m\).\\
+\(\forall n\), prendo \(K_n \in A_0, a_{K_n} \in I_n, \alpha_n \leq a_{K_n} \leq \beta_n\).\\
+Per il \textsc{teorema dei carabinieri}, visto che \(\alpha_n\) e \(\beta_n\) tendono ad l, allora anche \(a_{K_n}\) tenderà ad l.\\\\
+Se \(a_n\) è \textbf{limitata}, allora \(a_n\) ha un \textbf{punto limite}, ma non viceversa.
+
+\end{document}

1 - Analisi matematica/1 - Appunti/X - Studi di funzione.tex

@@ -0,0 +1,137 @@
+\documentclass{article}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{centernot}
+% New symbols
+\let\oldsqrt\sqrt
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+{\box0\lower0.4pt\box2}}
+\newcommand{\iu}{\mathrm{i}\mkern1mu}
+% End new symbols
+
+\begin{document}
+
+\section{Studi di funzione}
+
+\subsection{Studio di funzione classico}
+
+\[f(x) = 2 arctan(x) - x\]
+
+\subsubsection{Funzione \(f\)}
+
+\paragraph{Dominio}
+Il dominio in un punto è il più grande insieme possibile su cui è valida la funzione \(f\).\\\\
+In questo caso, il dominio è \(\mathbb{R}\)
+
+\paragraph{Simmetrie}
+Verifichiamo se la funzione ha simmetrie: è pari? È dispari?\\\\
+\(arctan(x)\) è dispari, e \(x\) è anch'esso dispari, quindi andiamo a verificare.\\
+\[f(-x) = 2 arctan(-x) + x = -2 arctan(x) + x = -f(x)\]
+E' dunque dispari.
+
+\paragraph{Positività}
+Troviamo dove la funzione è positiva o negativa.\\
+Spesso richiede calcoli molto complessi, quindi potrebbe non valer la pena perderci tempo.\\\\
+Ad esempio, in questo caso.
+
+\paragraph{Periodicità}
+Controlliamo se e dove la funzione è periodica.\\
+Come per la positività, potrebbe richiedere calcoli complessi, quindi non è particolarmente importante.\\\\
+Come qui.
+
+\paragraph{Intersezioni con gli assi}
+Troviamo dove la funzione \(f\) interseca gli assi \(x\) e \(y\).\\
+Vedi sopra; non è fondamentale...\\\\
+E indovina un po'? Anche qui lo saltiamo.
+
+\paragraph{Asintoti verticali e orizzontali}
+Vediamo se la funzione ha degli asintoti.\\
+Troviamo tutti i limiti rilevanti di \(f\).\\
+A \(+\infty\) e a \(-\infty\), in punti di non derivabilità, etc...\\\\
+\[\lim_{x \to +\infty} (2 arctan(x) - x) = -\infty\]
+Essendo una funzione dispari, allora...
+\[\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty\]
+
+\paragraph{Asintoto obliquo}
+Controlliamo se esiste un asintoto obliquo.\\
+Non è fondamentale, ma potrebbe essere interessante da calcolare.\\
+E' presente solo se \(\lim_{x \to \infty} = \pm\infty\).\\
+Se lo fa, possiamo calcolarlo.\\\\
+\[m = \lim_{x \to +\infty} \frac{2 arctan(x) - x}{x} = -1\]
+\[q = \lim_{x \to +\infty} (2 arctan(x) - x) + x = \pi\]
+Dunque, l'asintoto obliquo è la retta \(y = -x + \pi\).
+
+\subsubsection{Derivata prima \(f'\)}
+\[f'(x) = \frac{2}{1 + x^2} - 1\]
+
+\paragraph{Crescenza}
+Troviamo dove la funzione è crescente o decrescente.\\
+\[\frac{2 - 1 - x^2}{1 + x^2} \geq 0\]
+\[\frac{1 - x^2}{1 + x^2} \geq 0\]
+\[x^2 \leq 1\]
+\[-1 \leq x \leq 1\]
+
+\paragraph{Punti di estremo}
+Troviamo i punti di massimo e i punti di minimo, e se possibile il loro valore.\\\\
+Nel nostro caso, \(x = -1\) è un punto di minimo locale e \(x = 1\) è un punto di massimo locale.\\
+Vediamo quanto valgono:
+\[f(1) = 2 arctan(1) - 1 = 2 \frac{\pi}{4} - 1 = \frac{\pi - 2}{2} \approx 0.6\]
+\[f(-1) = 2 arctan(-1) + 1 = - 2 \frac{\pi}{4} + 1 = \frac{- \pi + 2}{2} \approx -0.6\]
+
+\subsubsection{Derivata seconda \(f''\)}
+Potrebbe non essere richiesta, se si creerebbe un calcolo complicato.
+\[f''(x) = -\frac{4x}{(1 + x^2)^2}\]
+
+\paragraph{Concavità}
+Troviamo dove la funzione è concava e dove è convessa.\\
+\[-\frac{4x}{(1 + x^2)^2} \geq 0\]
+\[x \geq 0\]
+
+\paragraph{Punti di flesso}
+Troviamo i punti di flesso:\\\\
+Nel nostro caso, l'unico è \(x = 0\).
+
+\subsection{Esercizio}
+Fai un grafico qualitativo di \(log | 4 - x | + \frac{2}{|x - 4|}\).
+
+\paragraph{Simmetrie}
+E' simmetrica per l'asse \(x = 4\), ma il punto nell'asse stesso è fuori dal dominio.
+Possiamo però traslare il tutto ponendo \(x - 4 = t\)...
+\[f(t) = \log(|t|) + \frac{2}{|t|}\].
+Ora la funzione \(f(t)\) è pari.
+
+\paragraph{Dominio}
+\[{t \in \mathbb{R} : t \neq 0}\]
+
+\paragraph{Positività}
+\begin{quote}
+    E' un casino!
+\end{quote}
+
+\paragraph{Limiti}
+[todo]
+
+\subsubsection{Derivata prima}
+\begin{quote}
+    Il valore assoluto è una specie protetta; gli informatici non hanno la licenza di derivarlo.
+\end{quote}
+Dividiamo la funzione in casi.
+\[\tilde{f}(t) = \begin{cases}
+    \log t + \frac{2}{t} \qquad t > 0\\
+    \log (-t) - \frac{2}{t} \qquad t < 0
+\end{cases}\]
+Deriviamo i due rami separatamente:
+\[\tilde{f}'(t) = \begin{cases}
+    \frac{1}{t} - \frac{2}{t^2} \qquad t > 0\\
+    [todo] \qquad t < 0
+\end{cases}\]
+
+\subsection{Studio di funzione qualitativo in un punto}
+Esiste, ma non l'abbiamo fatto.
+
+\end{document}

1 - Analisi matematica/1 - Appunti/X - Successioni per ricorrenza.tex

@@ -0,0 +1,159 @@
+\documentclass{article}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{amssymb}
+% New root
+\let\oldsqrt\sqrt
+\def\sqrt{\mathpalette\DHLhksqrt}
+\def\DHLhksqrt#1#2{%
+\setbox0=\hbox{$#1\oldsqrt{#2\,}$}\dimen0=\ht0
+\advance\dimen0-0.2\ht0
+\setbox2=\hbox{\vrule height\ht0 depth -\dimen0}%
+{\box0\lower0.4pt\box2}}
+% End new root
+
+\begin{document}
+\section{Successioni per ricorrenza}
+
+Una successione per ricorrenza è una successione definita stabilendo l'elemento di partenza \(a_0\) e l'espressione per il valore successivo \(a_{n+1}\).\\
+E' sempre definita su una semiretta dei numeri naturali: non può esistere un valore per cui non è definito un elemento ma è definito il suo successivo.\\\\
+
+\(
+	\begin{cases}
+	a_0 = \alpha\\
+	a_{n+1} = f(a_n)
+	\end{cases}
+\)\\\\
+
+\section{Successioni per ricorrenza monotone}
+Una successione per ricorrenza è monotona se il suo risultato non ha mai punti critici, ovvero \(\)
+
+\subsection{Esercizio}
+\paragraph{Ipotesi}
+\(\begin{cases}
+	a_0 = \alpha\\
+	a_{n+1} = \sqrt{a_n} + 100
+\end{cases}\)\\\\
+
+\paragraph{Tesi}
+\(\forall n \in \mathbb{N}, a_n \geq 0\)
+
+\paragraph{Dimostrazione}
+Inizio dell'induzione:\\
+Se \(\alpha \geq 0 \), allora \(\alpha \in S\)\\\\
+Passo induttivo:\\
+\(n \in S \implies n+1 \in S \)\\
+\(a_n \geq 0 \implies a_{n+1} \geq 0\)\\
+\(\sqrt{a_n} + 100 \geq 0\)\\
+\(\sqrt{\alpha} \geq -100\)\\
+\(\alpha \geq 0\)
+
+\subsection{Esercizio}
+\paragraph{Ipotesi}
+\(\begin{cases}
+	a_0 = \alpha\\
+	a_{n+1} = \frac{a_n}{2} + 3
+\end{cases}\)
+
+\paragraph{Tesi}
+Limite della ricorrenza.
+
+\paragraph{Svolgimento}
+\(a_0 = \alpha\)\\
+\(a_1 = \frac{a_0}{2} + 3 = \frac{\alpha}{2} + 3\)\\
+\(a_2 = \frac{\frac{\alpha}{2} + 3}{2} + 3 = \frac{\alpha}{4} + \frac{3}{2} + 3\)\\
+\(a_n = \frac{\alpha}{2^n} + 3 * (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^{n-1}})\)\\
+\(a_n = \frac{\alpha}{2^n} + 3 * \displaystyle\sum_{i=\alpha}^{n-1} \frac{1}{2^i}\)\\
+Congetturo il valore della somma:\\
+[svolgimento omesso]\\
+\(= 2(1 - \frac{1}{2^n})\)\\
+Ora posso calcolare il limite:\\
+[svolgimento omesso]\\
+\(= 6\)\\
+
+\section{Un modo più veloce}
+\(a_n \to l\)\\
+\(a_{n+1} \to l\)\\
+\(a_{n+1} = \frac{a_n}{2} + 3\)\\
+\(\frac{a_n}{2} \to \frac{l}{2}\)\\
+\(l = \frac{l}{2} + 3\)\\
+\(l = 6\)\\\\
+
+Ma \(a_n\) ha veramente limite? Se è \textbf{monotona}, ha sempre un limite.\\
+Se non ha limite, non possiamo usare questo metodo, perchè darà come risultato \(\frac{\infty}{\infty}\), una forma di indecisione.
+
+\subsection{Esempio}
+\(\begin{cases}
+	a_0 = \alpha\\
+	a_{n+1} = \sqrt{a_n + 2}
+\end{cases}\)
+
+\paragraph{Svolgimento}
+\(\begin{cases}
+	y = x\\
+	y = \sqrt{x + 2}
+\end{cases}\)\\
+
+\(\begin{cases}
+	y = x\\
+	x = \sqrt{x + 2}
+\end{cases}\)\\
+
+\(\begin{cases}
+	y = x\\
+	x^2 = x + 2
+\end{cases}\)\\
+
+\(\begin{cases}
+	y = x\\
+	x^2 - x - 2 = 0
+\end{cases}\)\\
+
+\(\begin{cases}
+	y = 2\\
+	x = 2
+\end{cases}\)\\
+
+\(l = 2\)
+
+\subsection{Esercizio}
+\(\begin{cases}
+	a_0 = \alpha\\
+	a_{n+1} = \sqrt{a_n + 2}
+\end{cases}\)\\
+Dimostrare per induzione che \(\alpha \geq 2 \implies \forall n, a_n \geq 2\).
+
+\paragraph{Ipotesi}
+\(S = \{n \in \mathbb{N} : a_n \geq 2\}\)
+
+\paragraph{Tesi}
+\(S = \mathbb{N}\)
+
+\paragraph{Dimostrazione}
+\subparagraph{Passo base}
+\(
+	a_0 \geq 2\\
+	0 \in S
+\)
+
+\subparagraph{Passo induttivo}
+\(
+	n \in S \implies n+1 \in S\\
+	a_n \geq 2 \implies a_{n+1} \geq 2\\
+	a_n \geq 2 \implies \sqrt{a_n + 2} \geq 2\\
+\)\\
+Per ipotesi, \(a_n \geq 2\), quindi \(a_n + 2 \geq 2 + 2 = 4\) e allora \(\sqrt{a_n + 2} \geq \sqrt{4} = 2\).
+
+\subparagraph{Passo monotono}
+Perchè la successione sia monotona, dobbiamo verificare che \(a_n+1 \leq a_n\).\\
+
+\(\sqrt{a_n + 2} \leq a_n\)\\
+Arrivo alla soluzione \(a_n \leq -1 \bigcup a_n \geq 2\).\\
+Tengo solo \(a_n \geq 2\). Gli altri non sono numeri naturali.
+
+\subparagraph{Passo finale}
+\(a_n\) monotona \(\implies a_n \to l\).\\
+Dunque, esiste un limite, finito o infinito che sia.\\
+[todo] 
+
+\end{document}

1 - Analisi matematica/1 - Appunti/X - Successioni.md

@@ -0,0 +1,28 @@
+
+
+### Proposizione
+Una successione _definitivamente_ limitata e' (sempre) **limitata**.
+
+##### Ipotesi
+a(n) definitivamente limitata
+
+Esistono `M` e `p` tale che, per ogni n maggiore di p, a(n) <= M.
+
+`\exists M, p | \forall n \geq p, a(n) \leq M`
+
+##### Tesi
+a(n) limitata
+
+Esiste `M'` tale che, per ogni n appartenente ai naturali, a(n) <= M'.
+
+`\exists M' | \forall n \in N, a(n) \leq M`
+
+##### Dimostrazione
+Sia A l'insieme dei risultati di a(n) per tutti i numeri naturali minori di p.  
+A e' non-vuoto; ha un numero finito di elementi: dunque, esiste `max A = M'`.  
+Se `n >= p`, `a(n) \leq M \leq M'`.  
+Se `n < p`, `a(n) \leq M'`.  
+In generale, quindi, `a(n) \leq M`.  
+
+### Successione convergente (__fondamentale per l'esame__)
+Una successione a(n) e' **convergente** se `\exists l \in R | \forall \epsilon > 0, \exists m : \forall n \geq m, abs(a(n) - l) < \epsilon`, ovvero `l - \epsilon < a(n) < l + \epsilon`

1 - Analisi matematica/1 - Appunti/X - Teoremi principali.tex

@@ -0,0 +1,288 @@
+% !TeX root = ./teoremiprincipali.tex
+\documentclass{article}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{centernot}
+\usepackage{bm}
+\usepackage{fullpage}
+\usepackage{multicol}
+
+\begin{document}
+
+\section{Teorema di Bolzano-Weierstrass}
+
+\begin{multicols}{2}
+    \subsection{Ipotesi}
+    Successione \(a_n\) \textbf{limitata} (superiormente e inferiormente).
+\columnbreak
+    \subsection{Tesi}
+    Esistono \textsc{infinite sottosuccessioni} (relative alla successione iniziale) convergenti.
+\end{multicols}
+
+\subsection{Dimostrazione}
+
+Chiamiamo \(A_0\) l'insieme che contiene tutti i punti della successione.\\
+Eseguiamo la seguente procedura per \(k = 0\).
+\begin{enumerate}
+    \item Chiamiamo \([\alpha_k, \beta_k]\) i due estremi dell'intervallo della successione.\\
+          Prendiamo il punto medio tra i due estremi, e chiamiamolo \(\gamma_k\).\\
+          Osserviamo che \(\alpha_k \leq \gamma_k \leq \beta_k\), e che la dimensione \(d_k\) dell'intervallo \([\alpha_k, \gamma_k] = [\gamma_k, \beta_k]\) è la metà di \([\alpha_k, \beta_k]\).
+    \item Creiamo due insiemi di punti della successione: uno con i punti tra \([\alpha_k, \gamma_k]\) e uno con i punti tra \(]\gamma_k, \beta_k]\).
+    \item Almeno uno dei due insiemi ha un numero infinito di punti: prendiamolo, e chiamiamolo \(A_{k+1}\).
+\end{enumerate}
+Possiamo ripetere questa procedura un numero infinito di volte: possiamo notare che le dimensioni dell'intervallo \(d_k = (\frac{d_0}{2^k}) \to 0\); dato che \(A_k\) contiene infiniti punti, possiamo creare una sottosuccessione che includa solo punti contenuti in \(A_k\).\\
+Essa sarà convergente per il teorema dei carabinieri ad un valore \(L\) tale che \(\alpha_0 \leq \dots \leq \alpha_k \leq L \leq \beta_k \leq \dots \leq \beta_0\).
+
+\newpage
+
+\section{Polinomio di Taylor con resto di Peano}
+
+\subsection{Definizioni preliminari}
+\[P_{n, x_0}(x) = (\sum^{n}_{m = 0} \frac{f^{(m)}(x_0) * (x - x_0)^m}{m!})\]
+
+\begin{multicols}{2}
+    \subsection{Ipotesi}
+    Funzione \(f(x) :\ ]a, b[ \to \mathbb{R}\), \textbf{derivabile} \(n\) volte in \(x_0\) e \(n - 1\) volte in \(]a, b[\).\\
+    Punto \(x_0 \in\ ]a, b[\).
+\columnbreak
+    \subsection{Tesi}
+    La funzione \(f(x)\) è \textsc{approssimabile} nel punto \(x_0\) con il polinomio \(P_{n, x_0}(x) + o(x - x_0)^n\) di grado \(n\).
+\end{multicols}
+
+\subsection{Dimostrazione}
+
+Notiamo che \(P^{n}_{n, x_0}(x_0) = f^{(n)}(x_0)\).\\
+Proviamo a calcolare il seguente limite, che ci sarà utile nel prossimo passaggio:
+\[\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - P_{n - 1, x_0}(x)}{(x - x_0)^n} =^{DH} \lim_{x \to x_0} \frac{f^{(1)}(x) - P^{(1)}_{n - 1, x_0}(x)}{n * (x - x_0)^{n - 1}} =^{\infty DH} \lim_{x \to x_0} \frac{f^{(n - 1)}(x) - P^{(n - 1)}_{n - 1, x_0}(x)}{n! * (x - x_0)^{1}} =\]
+\[= \lim_{x \to x_0} \frac{f^{(n - 1)}(x) - f^{(n - 1)}(x_0)}{n! * (x - x_0)}\]
+Ora siamo pronti a calcolare il limite con \(n\) invece che \(n - 1\):
+\[\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - P_{n, x_0}(x)}{(x - x_0)^n}\]
+Estraiamo un termine dal polinomio:
+\[\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - P_{n - 1, x_0}(x) - \frac{f^{(n)}(x_0) * (x - x_0)^n}{n!}}{(x - x_0)^n}\]
+Raccogliamo termini in modo da formare il limite precedente:
+\[\lim_{x \to x_0} ( \frac{f(x) - P_{n - 1, x_0}(x)}{(x - x_0)^n} - \frac{\frac{f^{(n)}(x_0) * (x - x_0)^n}{n!}}{(x - x_0)^n} ) \]
+Facciamo uscire dal limite le costanti:
+\[- \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} + \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - P_{n - 1, x_0}(x)}{(x - x_0)^n}\]
+Per il limite precedente:
+\[- \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} + \lim_{x \to x_0} \frac{f^{(n - 1)}(x) - f^{(n - 1)}(x_0)}{n! * (x - x_0)}\]
+Raccogliamo \(\frac{1}{n!}\):
+\[\frac{1}{n!} (- f^{(n)}(x_0) + \lim_{x \to x_0} \frac{f^{(n - 1)}(x) - f^{(n - 1)}(x_0)}{(x - x_0)})\]
+Abbiamo ottenuto un rapporto incrementale, il che significa che:
+\[\frac{1}{n!} (- f^{(n)}(x_0) + f^{(n)}(x_0)) = 0\]
+
+\newpage
+
+\section{Teorema di esistenza degli zeri}
+
+\begin{multicols}{2}
+    \subsection{Ipotesi}
+    Funzione \(f(x) : [a_0, b_0] \to \mathbb{R}\) \textbf{continua}.\\
+    \(f(a_0) = f(b_0)\).
+\columnbreak
+    \subsection{Tesi}
+    Esiste \textsc{almeno un punto} in cui \(f(x) = 0\).
+\end{multicols}
+
+\subsection{Dimostrazione}
+
+Notiamo che \(f(a_0) * f(b_0) \leq 0\) (ovvero è negativa, cioè hanno due segni diversi).\\
+Definiamo la seguente procedura:
+\begin{enumerate}
+    \item Bisezioniamo l'intervallo \([a_n, b_n]\) in \([a_n, z_n]\) e \([z_n, b_n]\).
+    \item Almeno uno dei due intervalli è tale che \(f(inizio) * f(fine) \leq 0\) (negativo).
+    \item Prendiamo un intervallo per il quale il prodotto precedente è negativo, e chiamiamolo \([a_{n+1}, b_{n+1}]\).
+\end{enumerate}
+Ripetendo infinite volte la procedura, partendo dall'intervallo \([a_0, b_0]\), otterremo un intervallo sempre più "verticalmente stretto" \([a_n, b_n]\).\\
+Possiamo notare che \(a_0 \leq a_n \leq b_n \leq b_0\), e che entrambe le successioni tendono allo stesso numero \(a_n \to x\) e \(b_n \to x\).\\
+Calcoliamo nuovamente \(f(a_n) * f(b_n)\): sappiamo che risulta essere \(\leq 0\), ma possiamo sostituire il limite: \(f(x) * f(x) \leq 0\).\\
+Dunque, abbiamo che \(f(x)^2 \leq 0\), e quindi che \(\exists x : f(x) = 0\).
+
+\newpage
+
+\section{Teorema di Weierstrass}
+
+\begin{multicols}{2}
+    \subsection{Ipotesi}
+    Funzione \(f(x) : [a, b] \to \mathbb{R}\) \textbf{continua}.
+\columnbreak
+    \subsection{Tesi}
+    \(f(x)\) assume entro \([a, b]\) un \textsc{valore massimo} e un \textsc{valore minimo}.
+\end{multicols}
+
+\subsection{Dimostrazione per il massimo}
+Chiamiamo \(M = sup(f)\) l'estremo superiore della funzione f: vogliamo dimostrare che esso è anche il massimo, e che quindi il massimo esiste per la funzione.\\
+Dobbiamo quindi \textsc{trovare un valore} \(x\) tale che \(f(x) = M\).\\
+Creiamo una successione \(y_n\) che ci aiuti a trovare il valore di \(f(x)\):
+\begin{itemize}
+    \item Se \(M = +\infty\), allora \(y_n = n\) (in modo che la successione \(\to +\infty\)).
+    \item Se \(M \neq +\infty\), allora \(y_n = M - \frac{1}{n}\) (in modo che la successione \(\to M\)).
+\end{itemize}
+Possiamo dire che \(y_n < M\), ed essendo \(M\) il minimo dei maggioranti di \(f : [a, b]\):
+\[\forall n, \exists x_n : (y_n < f(x_n) \leq M) \land (a < x_n \leq b) \]
+Passando al limite, per il \textit{teorema dei carabinieri} abbiamo che \(f(x_n) \to M\).\\
+Inoltre, per il \textit{teorema di Bolzano-Weierstrass} sappiamo che esiste una sottosuccessione convergente \(x_{k_n} \to x\) di \(x_n\).\\
+Essendo la funzione \textit{continua}, allora \(x_{k_n} \to x \implies f(x_{k_n}) \to f(x)\).\\
+Essendo però la sottosuccessione \textit{un'estratta}, allora abbiamo anche che \(f(x_{k_n}) \to M\).\\
+Per il \textit{teorema dell'unicità del limite} allora deduciamo che \(M = f(x_{k_n})\), e quindi che \(x_{k_n} = x\).
+
+\subsection{Dimostrazione per il minimo}
+La stessa cosa, ma con \(inf(f) = -sup(-f)\).
+
+\newpage
+
+\section{Teorema di Fermat}
+
+\begin{multicols}{2}
+    \subsection{Ipotesi}
+    Funzione \(f(x) : [a, b] \to \mathbb{R}\) \textbf{derivabile} in un punto \(x_0 \in\ ]a, b[\).\\
+    \(x_0\) punto di estremo locale.
+\columnbreak
+    \subsection{Tesi}
+    \(f'(x_0) = 0\).
+
+\end{multicols}
+
+\subsection{Dimostrazione per il minimo locale}
+Sappiamo che se \(x_0\) è un \textbf{minimo locale}, esiste obbligatoriamente un intorno \(I \subset [a, b]\) in cui \(\forall x \in I, f(x_0) \leq f(x)\).\\
+Possiamo provare a calcolare il suo rapporto incrementale: \(\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\).\\
+Notiamo che mentre il numeratore è sempre positivo, il denominatore cambia in base a se \(x > x_0\).\\
+Allora, \(f'_-(x_0) \leq 0\), e \(f'_+(x_0) \geq 0\).\\
+Essendo la funzione \textbf{derivabile}, e quindi \(f'_-(x) = f'_+(x)\) l'unica possibilità è che \(f(x_0) = 0\).
+
+\subsection{Dimostrazione per il massimo locale}
+La stessa cosa, ma con \(-f\).
+
+\newpage
+
+\section{Teorema di Rolle}
+
+\begin{multicols}{2}
+    \subsection{Ipotesi}
+    Funzione \(f(x)\) tale che
+    \begin{itemize}
+        \item sia \textbf{continua} in \([a, b]\)
+        \item sia \textbf{derivabile} in \([a, b]\)
+        \item \(f(a) = f(b)\)    
+    \end{itemize}
+\columnbreak
+    \subsection{Tesi}
+    \(\exists x_0 : f'(x_0) = 0\) (ovvero la funzione è \textsc{costante} o ha \textsc{almeno un punto stazionario})
+\end{multicols}
+
+\subsection{Dimostrazione}
+Se la funzione è \textbf{continua}, allora per il \textit{teorema di Weierstrass} sappiamo che ha almeno un punto di massimo \(x_M\) e uno di minimo \(x_m\) in \([a, b]\).\\
+Se i valori di entrambi i due punti coincidono con \(f(a) = f(b)\), allora la funzione è \textsc{costante}.\\
+Se almeno uno dei due valori è diverso da \(f(a) = f(b)\), allora per il \textit{teorema di Fermat} \(f'(x_0) = 0\).
+
+\newpage
+
+\section{Teorema di Cauchy}
+
+\begin{multicols}{2}
+    \subsection{Ipotesi}
+    Funzioni \(f(x)\) e \(g(x)\) tale che
+    \begin{itemize}
+        \item siano \textbf{continue} in \([a, b]\)
+        \item siano \textbf{derivabili} in \([a, b]\)
+    \end{itemize}
+\columnbreak
+    \subsection{Tesi}
+    \(\exists c : ((f(a) - f(b))g'(c) = (g(a) - g(b))f'(c))\)
+\end{multicols}
+
+\subsection{Dimostrazione}
+Creiamo una funzione \(w\) tale che \(w(x) = (f(a) - f(b))g(x) - (g(a) - g(b))f(x))\).\\
+Essendo formata dalla differenza di due funzioni \textbf{continue}, è anche essa continua.\\
+Essendo formata dalla differenza di due funzioni \textbf{derivabili}, è anche essa derivabile.\\
+Sostituendo, notiamo che \(w(a) = w(b)\).\\
+Allora, per il teorema di Rolle, sappiamo che ha un punto stazionario \(c\) tale che \(w'(c) = 0\).\\
+Con \(w'(c) = 0\), abbiamo che \(\exists c : ((f(a) - f(b))g'(c) = (g(a) - g(b))f'(c))\).
+
+\subsection{Significato geometrico}
+Il significato geometrico del teorema di Cauchy è che presa una qualsiasi curva, essa ha almeno un punto in cui la pendenza è uguale alla pendenza della retta tra i punti a e b.
+
+\newpage
+
+\section{Teorema di Lagrange}
+
+\begin{multicols}{2}
+    \subsection{Ipotesi}
+    Funzione \(f(x)\) tale che
+    \begin{itemize}
+        \item sia \textbf{continua} in \([a, b]\)
+        \item sia \textbf{derivabile} in \([a, b]\)
+    \end{itemize}
+\columnbreak
+    \subsection{Tesi}
+    \(\exists c : f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\)
+\end{multicols}
+
+\subsection{Dimostrazione}
+Il \textit{Teorema di Cauchy}, con \(g(x) = x\).
+
+\newpage
+
+\section{Teorema della media integrale}
+
+\begin{multicols}{2}
+    \subsection{Ipotesi}
+    \begin{enumerate}
+        \item Funzione \(f(x)\) \textbf{integrabile} in \([a, b]\)
+        \item Funzione \(f(x)\) \textbf{continua}
+    \end{enumerate}
+\columnbreak
+    \subsection{Tesi}
+    \begin{enumerate}
+        \item \(inf(f) \leq \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) \leq sup(f) \)
+        \item \(\exists z : (\frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) = f(z))\)
+    \end{enumerate}
+\end{multicols}
+
+\subsection{Dimostrazione}
+Per la definizione di integrale, \(inf(f) < f(x) < sup(f)\), quindi anche \(inf(f) < \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) < sup(f) \).\\
+Se la funzione è anche \textbf{continua}, allora per \textit{Weierstrass} esistono un massimo \(M\) e un minimo \(m\).\\
+Allora, \(\forall x, m \leq f(x) \leq M\).\\
+Ma per la definizione di integrale, \(m = \int_a^b m dx \leq \int_a^b f(x) dx \leq \int_a^b M dx = M \).\\
+E in particolare, \(m \leq \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) dx \leq M\).
+
+\newpage
+
+\section{Teorema fondamentale del calcolo integrale}
+
+\begin{multicols}{2}
+    \subsection{Ipotesi}
+    Funzione \(f(x)\) \textbf{integrabile} in \(]a, b[\)\\
+    Funzione \(G(x) : ]a, b[\) \textbf{primitiva} di \(f(x)\)
+\columnbreak
+    \subsection{Tesi}
+    \(\int_a^b f(x) dx = G(b) - G(a) = [G(x)]^b_a\)
+\end{multicols}
+
+\subsection{Dimostrazione}
+Prolunghiamo la primitiva \(G(x)\) per continuità:
+\begin{itemize}
+    \item \(G(a^+) = \lim_{x \to a^+} f(x)\)
+    \item \(G(b^-) = \lim_{x \to b^-} f(x)\)
+\end{itemize}
+La primitiva ora è continua in \([a, b]\).\\
+Possiamo allora partizionarla in un numero infinito di intervalli \([a, x_i] = \dots = [x_j, b]\).\\
+Per il \textit{teorema di Lagrange}, \(\forall\ partizione\ "n" [c, d], \exists z : G(d_n) - G(c_n) = G'(z_n)(d_n - c_n) = f(z_n)(d_n - c_n)\).\\
+Allora, possiamo dire che \(G(b) - G(a) = \sum_{j = 0}^n f(z_j)(d_j - c_j) = S_j\).\\
+Abbiamo dunque una somma di Cauchy-Riemann, e possiamo dire che \(G(b) - G(a) = \int_a^b f(x)\).
+
+\newpage
+
+\section{Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale}
+
+\begin{multicols}{2}
+    \subsection{Ipotesi}
+    Funzione \(f(x)\) \textbf{integrabile}.\\
+    Funzione \(F(x) = \int_{x_0}^x f(x) dx\)
+\columnbreak
+    \subsection{Tesi}
+    Funzione \(F(x)\) \textsc{continua}
+    \(f(x)\ continua \implies F'(x) = f(x)\)
+\end{multicols}
+
+\end{document}

1 - Analisi matematica/1 - Appunti/X - Weierstrass.tex

@@ -0,0 +1,49 @@
+\documentclass{article}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{centernot}
+% New symbols
+\let\oldsqrt\sqrt
+\def\sqrt{\mathpalette\DHLhksqrt}
+\def\DHLhksqrt#1#2{%
+\setbox0=\hbox{$#1\oldsqrt{#2\,}$}\dimen0=\ht0
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+{\box0\lower0.4pt\box2}}
+\newcommand{\iu}{\mathrm{i}\mkern1mu}
+% End new symbols
+\begin{document}
+
+\section{Teorema di Weierstrass}
+
+\paragraph{Ipotesi}
+\footnotesize Devo scrivere per forza qualcosa qua.\\\normalsize
+\([a, b]\) intervallo \textit{chiuso} e \textit{limitato}\\
+\(f\) continua su \([a, b]\)
+
+\paragraph{Tesi}
+\(f\) ha \textit{massimo} e \textit{minimo} su \([ a, b ]\)\\
+\[\exists x_M, \exists x_n : f(x_M) \leq f(x) \leq f(x_n)\]
+
+\paragraph{Tabella lettere}
+\footnotesize Per capirci qualcosa in più.\\\normalsize
+\(f\) \quad funzione\\
+\(M\) \quad reale, estremo superiore della funzione\\
+\(x_M\) \quad reale, punto in cui la funzione raggiunge il valore di \(M\)\\
+\(x_n\) \quad successione, ???\\
+\(y_n\) \quad successione, ???
+
+\paragraph{Dimostrazione}
+\footnotesize Dimostrazione per il minimo omessa, in quanto opposta di questa.\\\\\normalsize
+Sia \(M = sup(f) = sup \{f(x) : x \in [a, b]\}\).\\\\
+Devo dimostrare che M venga raggiunto in almeno un punto della funzione: \(\exists x_M \in [a, b]\) tale che \(f(x_M) = M\).\\\\
+\(M\) è il minimo dei maggioranti; se considero un qualsiasi numero \(y_n < M\), questo \textit{non è un maggiorante} per la definizione di estremo superiore.\\\\
+Allora, creo una successione \(x_n\) in modo che \(y_n < f(x_n) \leq M\).\\\\
+Dato che \(y_n\) tende ad \(M\), per il \textsc{Teorema dei Carabinieri} \(f(x_n) \to M\).\\\\
+Il fatto che \(x_n\) sia \(\in [a, b]\) ci fa dire che la successione sia \textit{limitata}.\\\\
+Essendo limitata, per il \textsc{Teorema di Bolzano-Weierstrass} possiamo estrarre sicuramente una sottosuccessione \(x_{n_k}\) tale che essa tenda a un valore finito \(\to x_M\).\\\\
+Essendo \(f\) una funzione continua, allora \(f(x_{n_k} \to f(x_n)\).\\\\
+Dato che tutte le sottosuccessioni estratte tendono allo stesso valore, allora possiamo dire che \(M = f(x_M)\).
+
+\end{document}