From f15cb1ec4e607be0e536cf6d7a2722d8572a4fdd Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Stefano Pigozzi Date: Tue, 4 Jun 2024 10:46:15 +0200 Subject: [PATCH] Importa Statistica ed da Steffo99/appunti-universitari --- .../1 - Appunti/0 - Informazioni sul corso.md | 16 ++++ .../1 - Appunti/1 - Introduzione a R.md | 80 ++++++++++++++++ .../1 - Appunti/2 - Fenomeni aleatori.md | 92 +++++++++++++++++++ .../1 - Appunti/3 - Valutazioni classiche.md | 11 +++ .../4 - Valutazioni frequentiste.md | 7 ++ .../1 - Appunti/5 - Valutazioni soggettive.md | 10 ++ .../1 - Appunti/6 - Definizione assiomatica.md | 25 +++++ .../7 - Il paradosso dei compleanni.md | 28 ++++++ .../1 - Appunti/8 - Spazi.md | 20 ++++ 9 files changed, 289 insertions(+) create mode 100644 3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/0 - Informazioni sul corso.md create mode 100644 3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/1 - Introduzione a R.md create mode 100644 3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/2 - Fenomeni aleatori.md create mode 100644 3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/3 - Valutazioni classiche.md create mode 100644 3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/4 - Valutazioni frequentiste.md create mode 100644 3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/5 - Valutazioni soggettive.md create mode 100644 3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/6 - Definizione assiomatica.md create mode 100644 3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/7 - Il paradosso dei compleanni.md create mode 100644 3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/8 - Spazi.md diff --git a/3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/0 - Informazioni sul corso.md b/3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/0 - Informazioni sul corso.md new file mode 100644 index 0000000..64af7d8 --- /dev/null +++ b/3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/0 - Informazioni sul corso.md @@ -0,0 +1,16 @@ +# Statistica e Probabilità + +Docente: [**Luca La Rocca**](http://personale.unimore.it/rubrica/dettaglio/llarocca) ([email](luca.larocca@unimore.it), [pagina del corso](http://www-dimat.unipv.it/luca/sep1920.htm)) + +Crediti: **6 CFU** + +Orario di ricevimento: **Lunedì dalle 14:00 alle 16:00** o _su appuntamento_ + +## Materiale + +Libri: +- [Probabilità e Statistica per ingegneria e scienze, M. Boella](www.pearson.it/opera/pearson/21-4121-probabilita_e_statistica_per_ingegneria_e_scienze) (ISBN: 9788871926186) + +## Esame + +Orale diff --git a/3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/1 - Introduzione a R.md b/3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/1 - Introduzione a R.md new file mode 100644 index 0000000..ce6f8dd --- /dev/null +++ b/3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/1 - Introduzione a R.md @@ -0,0 +1,80 @@ +# Un'introduzione a R + +> ![](https://i.imgur.com/1CBjvkf.jpg) + +## Caricare file su R + +Innanzitutto, carichiamo il file `.csv` su R con la funzione `read.csv2(filename)`: + +```r +# Numeri con il punto, separato da virgola +X = read.csv("01_Dati.csv") +# Numeri con la virgola, separato da punto e virgola +X = read.csv2("01_Dati.csv") +``` + +In questo modo, avremo creato una nuova tabella chiamata `X` con all'interno tutti i valori. + +## Stampare testo + +Possiamo stampare testo con la funzione `cat(string)`: + +```r +cat("Hello world!") +``` + +Tutti gli argomenti saranno automaticamente concatenati e convertiti appropriatamente in stringhe: + +```r +cat("2+5=", 2+5); +``` + +## Operazioni sulle colonne + +Possiamo selezionare una colonna con l'operatore `$`: + +```r +# Seleziona la colonna A della tabella X +X$A +``` + +Aggiungiamo una nuova colonna contenente la differenza tra ogni valore di X$A e X$B: + +```r +X$D = X$A - X$B +``` + +## Riassunto di una tabella + +Possiamo visualizzare velocemente informazioni su una tabella con la funzione `summary(table)`: + +```r +summary(X) +``` + +## Deviazione standard + +Possiamo calcolare la deviazione standard su una colonna con la funzione `SD(column)`: + +```r +# Trova lo scarto quadratico medio/deviazione standard dei valori nella colonna A di X +SD(X$A) + +# Trova lo scarto quadratico medio/deviazione standard dei valori nella colonna B di X +SD(X$B) + +# Trova lo scarto quadratico medio/deviazione standard dei valori della differenza di X +SD(X$D) +``` + +## Generazione di `.pdf` + +Possiamo generare un `.pdf` con tutti i dati del workspace con la funzione `pdf(filename)`: + +```r +pdf("01_Risultato.pdf") +``` + +## Creazione di grafici + +TODO: funzioni `hist()`, `boxplot()`, `t.test()` \ No newline at end of file diff --git a/3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/2 - Fenomeni aleatori.md b/3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/2 - Fenomeni aleatori.md new file mode 100644 index 0000000..1799d7a --- /dev/null +++ b/3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/2 - Fenomeni aleatori.md @@ -0,0 +1,92 @@ +# Fenomeni aleatori + +Un fenomeno aleatorio è un qualcosa che ha una certa possibilità di avvenire, e se l'evento viene ripetuto all'infinito, avverrà sempre almeno una volta. + +Chiamiamo un fenome aleatorio con la terna (\omega, \corsivo{f}, \mathbb{P}). + +## \omega ("omegone", alfabeto) + +**\omega** rappresenta l'insieme non vuoto dei possibili risultati dell'evento. + +> In un lancio di dado a 6 facce, `\omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6}`. + +I risultati sono anche detti _esiti sperimentali_. + +> **Esercizio 1** +> +> Lanciando un dado, a quale parte di \omega corrispondono gli eventi: +> +> - ...il numero ottenuto è primo: `A = {2, 3, 5}` +> - ...il numero ottenuto è divisibile per due: `B = {2, 4, 6}` +> - ...il numero ottenuto è dispari: `C = {1, 3, 5}` +> - ...il numero ottenuto è divisibile per tre: `D = {3, 6}` +> +> Abbiamo creato dei sottoinsiemi di \omega: `\omega \contains A, B, C, D` + +### Negazione + +Possiamo anche negare un sottoinsieme di eventi, aggiungendo ¬ prima del nome del sottoinsieme: + +> - ...il numero ottenuto **non** è primo: `¬A = {1, 4, 6}` +> - ...il numero ottenuto **non** è divisibile per due: `¬B = {1, 3, 5}` +> - ...il numero ottenuto **non** è dispari: `¬C = B = {2, 4, 6}` + +Due negazioni di sottoinsieme si annullano: `¬¬\omeghino = \omeghino` + +La definizione matematica è: +```latex +¬A = {\omeghino \in \omega | \omeghino \not \in A} +``` + +### Intersezioni + +Possiamo intersecare due sottoinsiemi per ottenere gli eventi che soddisfano entrambe le condizioni: + +> - ...il numero ottenuto è primo **e** divisibile per due: `A \cap B = {2}` +> - ...il numero ottenuto è divisibile per due **e** per tre: `B \cap D = {6}` +> - ...il numero ottenuto è divisibile per due **e** dispari: `B \cap C = {}` + +Due sottoinsiemi la cui intersezione è nulla sono **mutualmente esclusivi**. + +La definizione matematica è: +```latex +A \cup B = {\omeghino \in \omega | \omeghino \in A\ and\ \omeghino \in B} +``` + +### Unioni + +Possiamo unire due sottoinsiemi per ottenere gli eventi che soddisfano una delle due condizioni: + +> - ...il numero ottenuto è primo **o** divisibile per due: `A \cup B = {2, 3, 4, 5, 6}` +> - ...il numero ottenuto è divisibile per due **o** è dispari: `C \cup D = \omega` + +La definizione matematica è: +```latex +A \cap B = {\omeghino \in \omega | \omeghino \in A\ or\ \omeghino \in B} +``` + +### Differenza + +Possiamo effettuare la differenza tra due sottoinsiemi, ma non ci è molto utile, in quanto si può comporre con intersezioni e negazioni: `A \ D = A \cap ¬D = {2, 5}` + +## \corsivo{f} (sigma-algebra, famiglia degli eventi) + +\corsivo{f} è detta la _sigma-algebra_, ed è l'insieme di tutti i risultati di operazioni effettuabili tra gli eventi: sono presenti in questo insieme l'insieme vuoto, l'insieme pieno e gli insiemi dati da qualsiasi combinazione di negazione, unione e intersezione di due sottoinsiemi. + +E' quello che in algebra lineare abbiamo chiamato uno **spazio chiuso** rispetto alle operazioni di negazione, intersezione e unione. + +E' lo **spazio generato dall'alfabeto \omega**. + +> In un lancio di moneta: +> - `\omega = {"testa", "croce"} +> - `\corsivo{f} = {\empty, {"testa"}, {"croce"}, \omega} + +Tutti i sottoinsiemi dati da operazioni su insiemi \in \corsivo{f} sono a loro volta \in \corsivo{f}. + +Possiamo generare ulteriori sigma-algebre da elementi di \corsivo{f}: + +> `\sigmino (B)` è la sigma-algebra generata da B, ovvero la più piccola f contenente `B`, ovvero `{\empty, B}`. + +## \mathbb{P} (Probabilità) + +\mathbb{P} = \corsivo{f} → \mathbb{R}+ diff --git a/3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/3 - Valutazioni classiche.md b/3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/3 - Valutazioni classiche.md new file mode 100644 index 0000000..9015c4a --- /dev/null +++ b/3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/3 - Valutazioni classiche.md @@ -0,0 +1,11 @@ +# Valutazioni classiche di probabilità + +La _valutazione classica di probabilità_ è `\mathbb{P}(E) = \frac{casi\ favorevoli}{casi\ totali} = \frac{|E|}{|\Omega|}, E \in \corsivo{F}` + +> La probabilità di trovare una carta di picche in un mazzo di carte francesi è `\mathbb{P}(picche) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4} = 0.25 = 25%`. + +> La probabilità di trovare il 2 di picche in un mazzo di carte è `\mathbb{P}(2\ di\ picche) = \frac{1}{52} = \mathbb{P}(picche \cap 2)`. + +Nella probabilità classica, ogni singoletto ha la stessa probabilità di essere estratto, ed essa è uguale a: `\mathbb{P}\{\omega\} = \mathbb{P}(\{omega\}) = \frac{1}{|\Omega|}`. + +Per effettuare una valutazione classica, è obbligatorio che `|\Omega| < +\inf`, e dobbiamo implicare l'**equiprobabilità di ciascun singoletto**. \ No newline at end of file diff --git a/3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/4 - Valutazioni frequentiste.md b/3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/4 - Valutazioni frequentiste.md new file mode 100644 index 0000000..9ae5490 --- /dev/null +++ b/3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/4 - Valutazioni frequentiste.md @@ -0,0 +1,7 @@ +# Valutazioni frequentiste di probabilità + +La _valutazione frequentista di probabilità_ è `\mathbb{P}(E) = \frac{successi}{ripetizioni}`: ripetendo lo stesso evento `ripetizioni` volte, è uscito il risultato desiderato `successi` volte. + +Effettuando questo calcolo, assumiamo che `\lim_{n \to +\inf} \frac{S_n}{n} = \mathbb{P}(E)`, ovvero che ripetendo all'infinito l'evento, otterremo un successo `\mathbb{P}(E)` volte. + +Per effettuare una valutazione frequentista, è obbligatorio che `|\corsivo{F}| < +\inf` e che l'**evento `E` sia ripetibile**. \ No newline at end of file diff --git a/3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/5 - Valutazioni soggettive.md b/3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/5 - Valutazioni soggettive.md new file mode 100644 index 0000000..a66b37d --- /dev/null +++ b/3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/5 - Valutazioni soggettive.md @@ -0,0 +1,10 @@ +# Valutazioni soggettive di probabilità + +La _valutazione soggettiva di probabilità_ è il **prezzo equo di un ricavo unitario** a cui è subordinata la verificabilità di E. + +Per esistere, richiede un soggetto che assegni questa probabilità: è a tutti gli effetti una **scommessa**. + +> Un amico ci vende un biglietto che vale € 1 se l'Inter vince la partita e € 0 se la perde. +> +> A quanto siamo disposti a comprarlo? + diff --git a/3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/6 - Definizione assiomatica.md b/3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/6 - Definizione assiomatica.md new file mode 100644 index 0000000..a155872 --- /dev/null +++ b/3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/6 - Definizione assiomatica.md @@ -0,0 +1,25 @@ +# Definizione assiomatica della probabilità + +`\mathbb{P} : \corsivo{F} \to \mathbb{R}_+` + +- La probabilità deve essere **normalizzata**: `\mathbb{P}(\Omega) = 1` +- La probabilità deve essere **additiva**: `\mathbb{P}(E \cup F) = \mathbb{P}(E) + \mathbb{P}(F)` se `E \cap F = \empty` +- La probabilità deve essere **continua da sotto**: `\mathbb{P}(\UNION_{n=1}^{+\inf} E_n) = \lim_{N -> +\inf} \mathbb{P}(\UNION_{n=1}^N E_n)`, dove [cose] + +## Conseguenze dell'assioma + +- `\mathbb{P}(\empty) = \mathbb{P}(\empty \cup \empty) = \mathbb{P}(\empty) + \mathbb{P}(\empty) = 2 \mathbb{P}(\empty) = \empty` + +> L'elemento impossibile ha probabilità 0. + +- Se `E \contains_or_equal F`, allora `\P(F \ E) = \P(F) - \P(E) \implies \P(E) \leq \P(F)` + +> La probabilità è monotona. + +- `\P(not\ E) = 1 - \P(E)` (**proprietà della negazione**) + +> La probabilità negata è `1 - \P(E)` + +- Se `E_1, E_2, \dots \qquad \forall i \neq j, E_i \cap E_j = \empty`, allora `\P (\UNION_{n=1}^{+\inf} E_n) = \lim_{N \to +\inf} \P(\UNION_{i = 1}^{N} E_n) = \lim_{N \to +\inf} \SUM_{n=1}^N \P(E_n) = \SUM_{n=1}^+\inf \P(E_n)` + +> Probabilità disgiunte possono essere sommate per effettuarne l'unione. diff --git a/3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/7 - Il paradosso dei compleanni.md b/3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/7 - Il paradosso dei compleanni.md new file mode 100644 index 0000000..d1f1254 --- /dev/null +++ b/3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/7 - Il paradosso dei compleanni.md @@ -0,0 +1,28 @@ +# Il Paradosso dei Compleanni + +> Un docente è in aula con `n` studenti. +> +> Supponendo per semplicità che i compleanni siano distribuiti uniformemente nel corso dell'anno e che nessuno dei presenti sia nato il 29 febbraio, quanto valuteremo, in funzione di `n`, la probabilità che vi sia in aula uno studente con il compleanno nello stesso giorno del docente? +> +> La probabilità che vi siano in aula due persone con il compleanno lo stesso giorno? +> +> Quanto valgono queste probabilità per `n` = 50? +> +> Quanto deve essere grande `n` affinchè ciascuna di queste probabilità risulti maggiore del 50%? + +```latex +\Omega = \{(\omega_0, \omega_1, \dots, \omega_n | \omega_i \in {1, 2, \dots, 365}, i = 0, 1, \dots, n)\} + +\corsivo{F} = \corsivo{p)(\Omega) + +|\Omega| = 365^{n+1} + +E = almeno\ una\ coincidenza\ con\ docente +F = almeno\ due\ compleanni\ uguali + +\mathbb{P}(E) \leq \mathbb{P}(F) + +\mathbb{P}(E) = 1 - \mathbb{P}(¬E) = 1 - \frac{365*364*364*\dots*364}{365^{n+1}} = 1 - \frac{364}{365}^n + +\mathbb{P}(F) = 1 - \mathbb{P}(¬F) = 1 - \frac{364*363*362*361*\dots*(365-n)}{365^{n+1}} = 1 - \PRODUCT_{i=0}^n \frac{365-i}{365} +``` diff --git a/3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/8 - Spazi.md b/3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/8 - Spazi.md new file mode 100644 index 0000000..0299b58 --- /dev/null +++ b/3 - Statistica ed elementi di probabilità/1 - Appunti/8 - Spazi.md @@ -0,0 +1,20 @@ +# Spazi + +## Spazi combinatori + +Sono _spazi combinatori_: + +- disposizioni +- disposizioni con ripetizione +- combinazioni +- permutazioni + +### Disposizioni + +### Disposizioni con ripetizione + +### Combinazioni + +I casi totali sono `n!`, mentre i casi favoreboli sono `` + +### Permutazioni