% !TeX root = ./teoremiprincipali.tex \documentclass{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{mathtools} \usepackage{amssymb} \usepackage{centernot} \usepackage{bm} \usepackage{fullpage} \usepackage{multicol} \begin{document} \section{Teorema di Bolzano-Weierstrass} \begin{multicols}{2} \subsection{Ipotesi} Successione \(a_n\) \textbf{limitata} (superiormente e inferiormente). \columnbreak \subsection{Tesi} Esistono \textsc{infinite sottosuccessioni} (relative alla successione iniziale) convergenti. \end{multicols} \subsection{Dimostrazione} Chiamiamo \(A_0\) l'insieme che contiene tutti i punti della successione.\\ Eseguiamo la seguente procedura per \(k = 0\). \begin{enumerate} \item Chiamiamo \([\alpha_k, \beta_k]\) i due estremi dell'intervallo della successione.\\ Prendiamo il punto medio tra i due estremi, e chiamiamolo \(\gamma_k\).\\ Osserviamo che \(\alpha_k \leq \gamma_k \leq \beta_k\), e che la dimensione \(d_k\) dell'intervallo \([\alpha_k, \gamma_k] = [\gamma_k, \beta_k]\) è la metà di \([\alpha_k, \beta_k]\). \item Creiamo due insiemi di punti della successione: uno con i punti tra \([\alpha_k, \gamma_k]\) e uno con i punti tra \(]\gamma_k, \beta_k]\). \item Almeno uno dei due insiemi ha un numero infinito di punti: prendiamolo, e chiamiamolo \(A_{k+1}\). \end{enumerate} Possiamo ripetere questa procedura un numero infinito di volte: possiamo notare che le dimensioni dell'intervallo \(d_k = (\frac{d_0}{2^k}) \to 0\); dato che \(A_k\) contiene infiniti punti, possiamo creare una sottosuccessione che includa solo punti contenuti in \(A_k\).\\ Essa sarà convergente per il teorema dei carabinieri ad un valore \(L\) tale che \(\alpha_0 \leq \dots \leq \alpha_k \leq L \leq \beta_k \leq \dots \leq \beta_0\). \newpage \section{Polinomio di Taylor con resto di Peano} \subsection{Definizioni preliminari} \[P_{n, x_0}(x) = (\sum^{n}_{m = 0} \frac{f^{(m)}(x_0) * (x - x_0)^m}{m!})\] \begin{multicols}{2} \subsection{Ipotesi} Funzione \(f(x) :\ ]a, b[ \to \mathbb{R}\), \textbf{derivabile} \(n\) volte in \(x_0\) e \(n - 1\) volte in \(]a, b[\).\\ Punto \(x_0 \in\ ]a, b[\). \columnbreak \subsection{Tesi} La funzione \(f(x)\) è \textsc{approssimabile} nel punto \(x_0\) con il polinomio \(P_{n, x_0}(x) + o(x - x_0)^n\) di grado \(n\). \end{multicols} \subsection{Dimostrazione} Notiamo che \(P^{n}_{n, x_0}(x_0) = f^{(n)}(x_0)\).\\ Proviamo a calcolare il seguente limite, che ci sarà utile nel prossimo passaggio: \[\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - P_{n - 1, x_0}(x)}{(x - x_0)^n} =^{DH} \lim_{x \to x_0} \frac{f^{(1)}(x) - P^{(1)}_{n - 1, x_0}(x)}{n * (x - x_0)^{n - 1}} =^{\infty DH} \lim_{x \to x_0} \frac{f^{(n - 1)}(x) - P^{(n - 1)}_{n - 1, x_0}(x)}{n! * (x - x_0)^{1}} =\] \[= \lim_{x \to x_0} \frac{f^{(n - 1)}(x) - f^{(n - 1)}(x_0)}{n! * (x - x_0)}\] Ora siamo pronti a calcolare il limite con \(n\) invece che \(n - 1\): \[\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - P_{n, x_0}(x)}{(x - x_0)^n}\] Estraiamo un termine dal polinomio: \[\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - P_{n - 1, x_0}(x) - \frac{f^{(n)}(x_0) * (x - x_0)^n}{n!}}{(x - x_0)^n}\] Raccogliamo termini in modo da formare il limite precedente: \[\lim_{x \to x_0} ( \frac{f(x) - P_{n - 1, x_0}(x)}{(x - x_0)^n} - \frac{\frac{f^{(n)}(x_0) * (x - x_0)^n}{n!}}{(x - x_0)^n} ) \] Facciamo uscire dal limite le costanti: \[- \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} + \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - P_{n - 1, x_0}(x)}{(x - x_0)^n}\] Per il limite precedente: \[- \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} + \lim_{x \to x_0} \frac{f^{(n - 1)}(x) - f^{(n - 1)}(x_0)}{n! * (x - x_0)}\] Raccogliamo \(\frac{1}{n!}\): \[\frac{1}{n!} (- f^{(n)}(x_0) + \lim_{x \to x_0} \frac{f^{(n - 1)}(x) - f^{(n - 1)}(x_0)}{(x - x_0)})\] Abbiamo ottenuto un rapporto incrementale, il che significa che: \[\frac{1}{n!} (- f^{(n)}(x_0) + f^{(n)}(x_0)) = 0\] \newpage \section{Teorema di esistenza degli zeri} \begin{multicols}{2} \subsection{Ipotesi} Funzione \(f(x) : [a_0, b_0] \to \mathbb{R}\) \textbf{continua}.\\ \(f(a_0) = f(b_0)\). \columnbreak \subsection{Tesi} Esiste \textsc{almeno un punto} in cui \(f(x) = 0\). \end{multicols} \subsection{Dimostrazione} Notiamo che \(f(a_0) * f(b_0) \leq 0\) (ovvero è negativa, cioè hanno due segni diversi).\\ Definiamo la seguente procedura: \begin{enumerate} \item Bisezioniamo l'intervallo \([a_n, b_n]\) in \([a_n, z_n]\) e \([z_n, b_n]\). \item Almeno uno dei due intervalli è tale che \(f(inizio) * f(fine) \leq 0\) (negativo). \item Prendiamo un intervallo per il quale il prodotto precedente è negativo, e chiamiamolo \([a_{n+1}, b_{n+1}]\). \end{enumerate} Ripetendo infinite volte la procedura, partendo dall'intervallo \([a_0, b_0]\), otterremo un intervallo sempre più "verticalmente stretto" \([a_n, b_n]\).\\ Possiamo notare che \(a_0 \leq a_n \leq b_n \leq b_0\), e che entrambe le successioni tendono allo stesso numero \(a_n \to x\) e \(b_n \to x\).\\ Calcoliamo nuovamente \(f(a_n) * f(b_n)\): sappiamo che risulta essere \(\leq 0\), ma possiamo sostituire il limite: \(f(x) * f(x) \leq 0\).\\ Dunque, abbiamo che \(f(x)^2 \leq 0\), e quindi che \(\exists x : f(x) = 0\). \newpage \section{Teorema di Weierstrass} \begin{multicols}{2} \subsection{Ipotesi} Funzione \(f(x) : [a, b] \to \mathbb{R}\) \textbf{continua}. \columnbreak \subsection{Tesi} \(f(x)\) assume entro \([a, b]\) un \textsc{valore massimo} e un \textsc{valore minimo}. \end{multicols} \subsection{Dimostrazione per il massimo} Chiamiamo \(M = sup(f)\) l'estremo superiore della funzione f: vogliamo dimostrare che esso è anche il massimo, e che quindi il massimo esiste per la funzione.\\ Dobbiamo quindi \textsc{trovare un valore} \(x\) tale che \(f(x) = M\).\\ Creiamo una successione \(y_n\) che ci aiuti a trovare il valore di \(f(x)\): \begin{itemize} \item Se \(M = +\infty\), allora \(y_n = n\) (in modo che la successione \(\to +\infty\)). \item Se \(M \neq +\infty\), allora \(y_n = M - \frac{1}{n}\) (in modo che la successione \(\to M\)). \end{itemize} Possiamo dire che \(y_n < M\), ed essendo \(M\) il minimo dei maggioranti di \(f : [a, b]\): \[\forall n, \exists x_n : (y_n < f(x_n) \leq M) \land (a < x_n \leq b) \] Passando al limite, per il \textit{teorema dei carabinieri} abbiamo che \(f(x_n) \to M\).\\ Inoltre, per il \textit{teorema di Bolzano-Weierstrass} sappiamo che esiste una sottosuccessione convergente \(x_{k_n} \to x\) di \(x_n\).\\ Essendo la funzione \textit{continua}, allora \(x_{k_n} \to x \implies f(x_{k_n}) \to f(x)\).\\ Essendo però la sottosuccessione \textit{un'estratta}, allora abbiamo anche che \(f(x_{k_n}) \to M\).\\ Per il \textit{teorema dell'unicità del limite} allora deduciamo che \(M = f(x_{k_n})\), e quindi che \(x_{k_n} = x\). \subsection{Dimostrazione per il minimo} La stessa cosa, ma con \(inf(f) = -sup(-f)\). \newpage \section{Teorema di Fermat} \begin{multicols}{2} \subsection{Ipotesi} Funzione \(f(x) : [a, b] \to \mathbb{R}\) \textbf{derivabile} in un punto \(x_0 \in\ ]a, b[\).\\ \(x_0\) punto di estremo locale. \columnbreak \subsection{Tesi} \(f'(x_0) = 0\). \end{multicols} \subsection{Dimostrazione per il minimo locale} Sappiamo che se \(x_0\) è un \textbf{minimo locale}, esiste obbligatoriamente un intorno \(I \subset [a, b]\) in cui \(\forall x \in I, f(x_0) \leq f(x)\).\\ Possiamo provare a calcolare il suo rapporto incrementale: \(\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\).\\ Notiamo che mentre il numeratore è sempre positivo, il denominatore cambia in base a se \(x > x_0\).\\ Allora, \(f'_-(x_0) \leq 0\), e \(f'_+(x_0) \geq 0\).\\ Essendo la funzione \textbf{derivabile}, e quindi \(f'_-(x) = f'_+(x)\) l'unica possibilità è che \(f(x_0) = 0\). \subsection{Dimostrazione per il massimo locale} La stessa cosa, ma con \(-f\). \newpage \section{Teorema di Rolle} \begin{multicols}{2} \subsection{Ipotesi} Funzione \(f(x)\) tale che \begin{itemize} \item sia \textbf{continua} in \([a, b]\) \item sia \textbf{derivabile} in \([a, b]\) \item \(f(a) = f(b)\) \end{itemize} \columnbreak \subsection{Tesi} \(\exists x_0 : f'(x_0) = 0\) (ovvero la funzione è \textsc{costante} o ha \textsc{almeno un punto stazionario}) \end{multicols} \subsection{Dimostrazione} Se la funzione è \textbf{continua}, allora per il \textit{teorema di Weierstrass} sappiamo che ha almeno un punto di massimo \(x_M\) e uno di minimo \(x_m\) in \([a, b]\).\\ Se i valori di entrambi i due punti coincidono con \(f(a) = f(b)\), allora la funzione è \textsc{costante}.\\ Se almeno uno dei due valori è diverso da \(f(a) = f(b)\), allora per il \textit{teorema di Fermat} \(f'(x_0) = 0\). \newpage \section{Teorema di Cauchy} \begin{multicols}{2} \subsection{Ipotesi} Funzioni \(f(x)\) e \(g(x)\) tale che \begin{itemize} \item siano \textbf{continue} in \([a, b]\) \item siano \textbf{derivabili} in \([a, b]\) \end{itemize} \columnbreak \subsection{Tesi} \(\exists c : ((f(a) - f(b))g'(c) = (g(a) - g(b))f'(c))\) \end{multicols} \subsection{Dimostrazione} Creiamo una funzione \(w\) tale che \(w(x) = (f(a) - f(b))g(x) - (g(a) - g(b))f(x))\).\\ Essendo formata dalla differenza di due funzioni \textbf{continue}, è anche essa continua.\\ Essendo formata dalla differenza di due funzioni \textbf{derivabili}, è anche essa derivabile.\\ Sostituendo, notiamo che \(w(a) = w(b)\).\\ Allora, per il teorema di Rolle, sappiamo che ha un punto stazionario \(c\) tale che \(w'(c) = 0\).\\ Con \(w'(c) = 0\), abbiamo che \(\exists c : ((f(a) - f(b))g'(c) = (g(a) - g(b))f'(c))\). \subsection{Significato geometrico} Il significato geometrico del teorema di Cauchy è che presa una qualsiasi curva, essa ha almeno un punto in cui la pendenza è uguale alla pendenza della retta tra i punti a e b. \newpage \section{Teorema di Lagrange} \begin{multicols}{2} \subsection{Ipotesi} Funzione \(f(x)\) tale che \begin{itemize} \item sia \textbf{continua} in \([a, b]\) \item sia \textbf{derivabile} in \([a, b]\) \end{itemize} \columnbreak \subsection{Tesi} \(\exists c : f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\) \end{multicols} \subsection{Dimostrazione} Il \textit{Teorema di Cauchy}, con \(g(x) = x\). \newpage \section{Teorema della media integrale} \begin{multicols}{2} \subsection{Ipotesi} \begin{enumerate} \item Funzione \(f(x)\) \textbf{integrabile} in \([a, b]\) \item Funzione \(f(x)\) \textbf{continua} \end{enumerate} \columnbreak \subsection{Tesi} \begin{enumerate} \item \(inf(f) \leq \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) \leq sup(f) \) \item \(\exists z : (\frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) = f(z))\) \end{enumerate} \end{multicols} \subsection{Dimostrazione} Per la definizione di integrale, \(inf(f) < f(x) < sup(f)\), quindi anche \(inf(f) < \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) < sup(f) \).\\ Se la funzione è anche \textbf{continua}, allora per \textit{Weierstrass} esistono un massimo \(M\) e un minimo \(m\).\\ Allora, \(\forall x, m \leq f(x) \leq M\).\\ Ma per la definizione di integrale, \(m = \int_a^b m dx \leq \int_a^b f(x) dx \leq \int_a^b M dx = M \).\\ E in particolare, \(m \leq \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) dx \leq M\). \newpage \section{Teorema fondamentale del calcolo integrale} \begin{multicols}{2} \subsection{Ipotesi} Funzione \(f(x)\) \textbf{integrabile} in \(]a, b[\)\\ Funzione \(G(x) : ]a, b[\) \textbf{primitiva} di \(f(x)\) \columnbreak \subsection{Tesi} \(\int_a^b f(x) dx = G(b) - G(a) = [G(x)]^b_a\) \end{multicols} \subsection{Dimostrazione} Prolunghiamo la primitiva \(G(x)\) per continuità: \begin{itemize} \item \(G(a^+) = \lim_{x \to a^+} f(x)\) \item \(G(b^-) = \lim_{x \to b^-} f(x)\) \end{itemize} La primitiva ora è continua in \([a, b]\).\\ Possiamo allora partizionarla in un numero infinito di intervalli \([a, x_i] = \dots = [x_j, b]\).\\ Per il \textit{teorema di Lagrange}, \(\forall\ partizione\ "n" [c, d], \exists z : G(d_n) - G(c_n) = G'(z_n)(d_n - c_n) = f(z_n)(d_n - c_n)\).\\ Allora, possiamo dire che \(G(b) - G(a) = \sum_{j = 0}^n f(z_j)(d_j - c_j) = S_j\).\\ Abbiamo dunque una somma di Cauchy-Riemann, e possiamo dire che \(G(b) - G(a) = \int_a^b f(x)\). \newpage \section{Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale} \begin{multicols}{2} \subsection{Ipotesi} Funzione \(f(x)\) \textbf{integrabile}.\\ Funzione \(F(x) = \int_{x_0}^x f(x) dx\) \columnbreak \subsection{Tesi} Funzione \(F(x)\) \textsc{continua} \(f(x)\ continua \implies F'(x) = f(x)\) \end{multicols} \end{document}