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TeX
\documentclass{article}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage{mathtools}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{centernot}
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\usepackage{bm}
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\usepackage{fullpage}
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% Iniziate a scrivere da qua in poi
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\begin{document}
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\section{Moltiplicazioni tra matrici}
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\[
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\begin{bmatrix}
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a & b \\
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c & d \\
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\end{bmatrix}
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*
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\begin{bmatrix}
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e & f \\
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g & h \\
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\end{bmatrix}
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=
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\begin{bmatrix}
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ae + cf & be + df \\
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ag + ch & bg + dh \\
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\end{bmatrix}
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\]
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\section{Invertibilità di una matrice}
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Si può verificare se una matrice \( A \) quadrata di ordine \( n \) è invertibile verificando una di queste definizioni equivalenti:
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\begin{itemize}
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\item Il determinante non è nullo: \( \det A\neq 0 \).
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\item Il rango di \( A \) è \( n \).
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\item La trasposta \( A^{T} \) è una matrice invertibile.
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\item Tutte le righe/colonne di \( A \) sono linearmente indipendenti.
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\item Tutte le righe/colonne di \( A \) formano una base di \( \mathbb{K} ^{n} \).
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\item Il numero 0 non è un autovalore di \( A \).
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\item \( A \) è trasformabile mediante algoritmo di Gauss-Jordan in una matrice con \( n \) pivot.
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\end{itemize}
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\section{Stabilire esistenza di funzione lineare}
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Per controllare se esiste o no una funzione lineare è sufficiente verificare che sia valida la proprietà di linearità:\\
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\begin{itemize}
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\item Se due vettori sono linearmente indipendenti, anche i risultati della funzione devono essere linearmente indipendenti.
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\end{itemize}
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Può essere controllata velocemente vedendo se si verificano le seguenti condizioni:
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\begin{itemize}
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\item Se due vettori di ingresso sono uno multiplo dell'altro, allora anche i vettori di uscita devono essere uno multiplo dell'altro per la stessa costante.
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\item Se un vettore di ingresso è dato dalla somma di (multipli di) altri, allora anche il vettore di uscita deve essere dato dalla somma di (multipli degli) stessi.
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\end{itemize}
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\section{Determinazione di matrice associata}
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Vogliamo trovare la matrice associata (\(A\)) di una funzione rispetto a delle nuove basi, ad esempio \(< (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)\).\\
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Procediamo disponendo in verticale gli elementi delle basi, in questo modo:
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\[
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M =
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\begin{matrix}
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1 & 4 & 7 \\
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2 & 5 & 8 \\
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3 & 6 & 9 \\
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\end{matrix}
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\]
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Troviamo la matrice inversa con il metodo di Gauss-Jordan:
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\[
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...
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\]
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Calcoliamo il risultato di:
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\[
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B = M^{-1} * A * M
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\]
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Il risultato \(B\) sarà la nostra nuova matrice associata.
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\section{Diagonalizzabilità}
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Una matrice è \textsc{diagonalizzabile} se ha \textbf{tanti autovalori quanto il suo rango}.\\
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Per trovare gli autovalori trovare dove il polinomio caratteristico (determinante della matrice fatta come quella qui sotto) è uguale a 0:
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\[
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\begin{vmatrix}
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1 - x & 2 & 3 \\
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4 & 5 - x & 6 \\
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7 & 8 & 9 - x \\
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\end{vmatrix}
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= 0
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\]
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\section{Stabilire se una funzione è lineare}
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Se tutti i termini della funzione sono \textbf{polinomi omogenei} di primo grado (non ci sono potenze superiori a 1), allora è automaticamente \textsc{lineare}.
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\section{Immagine}
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Le \textsc{basi dell'immagine} di una funzione sono i \textbf{vettori linearmente indipendenti} che la generano.
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\section{Iniettività e suriettività}
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Una funzione lineare è \textsc{iniettiva} se \textbf{il nucleo è di dimensione 0}, ovvero se l'unico valore che fa risultare 0 alla funzione è il vettore nullo.\\
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\\
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Una funzione lineare è \textsc{suriettiva} se la dimensione dell'immagine è minore o uguale al rango della funzione (degli input, il rango della matrice associata): \(dim(Im(F)) = rk(M_F)\).\\
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\subsection{Matrici quadrate}
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Se la funzione è un \textbf{automorfismo} (campo input = campo output), allora \(iniettivita' \Leftrightarrow suriettivita'\).
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\section{Somma diretta}
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Un sottospazio è \textsc{somma diretta} se i due sottospazi di cui viene fatta la somma \textbf{non hanno basi in comune}, e quindi \(dim(\pmb{U} \cap \pmb{W}) = 0\).
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\subsection{Trovare basi che diano una somma diretta}
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Per trovare basi che diano una somma diretta, è sufficiente \textbf{trovare basi linearmente indipendenti} con quelle che già abbiamo: solitamente parti della base canonica funzionano alla perfezione.
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\end{document} |