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TeX
\documentclass{article}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage{mathtools}
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\usepackage{amssymb}
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% New root
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\let\oldsqrt\sqrt
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\def\sqrt{\mathpalette\DHLhksqrt}
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\def\DHLhksqrt#1#2{%
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\setbox0=\hbox{$#1\oldsqrt{#2\,}$}\dimen0=\ht0
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\advance\dimen0-0.2\ht0
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\setbox2=\hbox{\vrule height\ht0 depth -\dimen0}%
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{\box0\lower0.4pt\box2}}
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% End new root
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\begin{document}
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\section{Successioni per ricorrenza}
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Una successione per ricorrenza è una successione definita stabilendo l'elemento di partenza \(a_0\) e l'espressione per il valore successivo \(a_{n+1}\).\\
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E' sempre definita su una semiretta dei numeri naturali: non può esistere un valore per cui non è definito un elemento ma è definito il suo successivo.\\\\
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\(
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\begin{cases}
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a_0 = \alpha\\
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a_{n+1} = f(a_n)
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\end{cases}
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\)\\\\
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\section{Successioni per ricorrenza monotone}
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Una successione per ricorrenza è monotona se il suo risultato non ha mai punti critici, ovvero \(\)
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\subsection{Esercizio}
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\paragraph{Ipotesi}
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\(\begin{cases}
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a_0 = \alpha\\
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a_{n+1} = \sqrt{a_n} + 100
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\end{cases}\)\\\\
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\paragraph{Tesi}
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\(\forall n \in \mathbb{N}, a_n \geq 0\)
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\paragraph{Dimostrazione}
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Inizio dell'induzione:\\
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Se \(\alpha \geq 0 \), allora \(\alpha \in S\)\\\\
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Passo induttivo:\\
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\(n \in S \implies n+1 \in S \)\\
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\(a_n \geq 0 \implies a_{n+1} \geq 0\)\\
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\(\sqrt{a_n} + 100 \geq 0\)\\
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\(\sqrt{\alpha} \geq -100\)\\
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\(\alpha \geq 0\)
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\subsection{Esercizio}
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\paragraph{Ipotesi}
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\(\begin{cases}
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a_0 = \alpha\\
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a_{n+1} = \frac{a_n}{2} + 3
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\end{cases}\)
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\paragraph{Tesi}
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Limite della ricorrenza.
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\paragraph{Svolgimento}
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\(a_0 = \alpha\)\\
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\(a_1 = \frac{a_0}{2} + 3 = \frac{\alpha}{2} + 3\)\\
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\(a_2 = \frac{\frac{\alpha}{2} + 3}{2} + 3 = \frac{\alpha}{4} + \frac{3}{2} + 3\)\\
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\(a_n = \frac{\alpha}{2^n} + 3 * (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^{n-1}})\)\\
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\(a_n = \frac{\alpha}{2^n} + 3 * \displaystyle\sum_{i=\alpha}^{n-1} \frac{1}{2^i}\)\\
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Congetturo il valore della somma:\\
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[svolgimento omesso]\\
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\(= 2(1 - \frac{1}{2^n})\)\\
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Ora posso calcolare il limite:\\
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[svolgimento omesso]\\
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\(= 6\)\\
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\section{Un modo più veloce}
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\(a_n \to l\)\\
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\(a_{n+1} \to l\)\\
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\(a_{n+1} = \frac{a_n}{2} + 3\)\\
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\(\frac{a_n}{2} \to \frac{l}{2}\)\\
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\(l = \frac{l}{2} + 3\)\\
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\(l = 6\)\\\\
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Ma \(a_n\) ha veramente limite? Se è \textbf{monotona}, ha sempre un limite.\\
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Se non ha limite, non possiamo usare questo metodo, perchè darà come risultato \(\frac{\infty}{\infty}\), una forma di indecisione.
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\subsection{Esempio}
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\(\begin{cases}
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a_0 = \alpha\\
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a_{n+1} = \sqrt{a_n + 2}
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\end{cases}\)
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\paragraph{Svolgimento}
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\(\begin{cases}
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y = x\\
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y = \sqrt{x + 2}
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\end{cases}\)\\
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\(\begin{cases}
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y = x\\
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x = \sqrt{x + 2}
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\end{cases}\)\\
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\(\begin{cases}
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y = x\\
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x^2 = x + 2
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\end{cases}\)\\
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\(\begin{cases}
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y = x\\
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x^2 - x - 2 = 0
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\end{cases}\)\\
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\(\begin{cases}
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y = 2\\
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|
x = 2
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\end{cases}\)\\
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\(l = 2\)
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\subsection{Esercizio}
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\(\begin{cases}
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a_0 = \alpha\\
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a_{n+1} = \sqrt{a_n + 2}
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\end{cases}\)\\
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Dimostrare per induzione che \(\alpha \geq 2 \implies \forall n, a_n \geq 2\).
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\paragraph{Ipotesi}
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\(S = \{n \in \mathbb{N} : a_n \geq 2\}\)
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\paragraph{Tesi}
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\(S = \mathbb{N}\)
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\paragraph{Dimostrazione}
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\subparagraph{Passo base}
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\(
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a_0 \geq 2\\
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0 \in S
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\)
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\subparagraph{Passo induttivo}
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\(
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n \in S \implies n+1 \in S\\
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a_n \geq 2 \implies a_{n+1} \geq 2\\
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a_n \geq 2 \implies \sqrt{a_n + 2} \geq 2\\
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\)\\
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Per ipotesi, \(a_n \geq 2\), quindi \(a_n + 2 \geq 2 + 2 = 4\) e allora \(\sqrt{a_n + 2} \geq \sqrt{4} = 2\).
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\subparagraph{Passo monotono}
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Perchè la successione sia monotona, dobbiamo verificare che \(a_n+1 \leq a_n\).\\
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\(\sqrt{a_n + 2} \leq a_n\)\\
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Arrivo alla soluzione \(a_n \leq -1 \bigcup a_n \geq 2\).\\
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Tengo solo \(a_n \geq 2\). Gli altri non sono numeri naturali.
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\subparagraph{Passo finale}
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\(a_n\) monotona \(\implies a_n \to l\).\\
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Dunque, esiste un limite, finito o infinito che sia.\\
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[todo]
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\end{document}
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