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Commenti ai calcoli di R0 nel 2Fasi

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@ -24,7 +24,7 @@
\title{Gran Compendio OLI} \title{Gran Compendio OLI}
\author{\href{https://github.com/meschio94/Gran-Compendio-OLI}{Meschio}} \author{\href{https://github.com/meschio94/Gran-Compendio-OLI}{Meschio}}
\date{2021\\V1.2} \date{2021\\V1.2.1}
\begin{document} \begin{document}
\maketitle \maketitle
@ -329,17 +329,17 @@ Abbiamo 3 strumenti, che non sono equivalenti (quasi), vediamo la mappa concettu
\raisebox{-.5\height}{\includegraphics[width=12cm]{immagini/mappa.jpg}} \raisebox{-.5\height}{\includegraphics[width=12cm]{immagini/mappa.jpg}}
\end{center} \end{center}
Questo sarebbe il flusso logico per approcciare il problema, in realtà il 2fasi può sempre sostituire il simplesso duale, non è vero il contrario, in ogni caso il 2 fasi essendo più lungo è sconveniente usarlo sempre. Questo sarebbe il flusso logico per approcciare il problema, in realtà il 2 fasi può sempre sostituire il simplesso duale, non è vero il contrario, in ogni caso il 2 fasi essendo più lungo è sconveniente usarlo sempre.
NB. La condizione di scelta del primo ramo no (costi ridotti negativi), non è discriminante della radice (termini noti positivi), ovvero, il simplesso standard, \underline{può} essere usato se i suoi costi ridotti sono negativi, è condizione necessaria che abbia i termini noti positivi. NB. La condizione di scelta del primo ramo "no" (costi ridotti negativi), non è discriminante della radice (termini noti positivi), ovvero, il simplesso standard, \underline{può} essere usato se i suoi costi ridotti sono negativi, è condizione necessaria che abbia i termini noti positivi.
\subsection{LP} \subsection{LP}
Linear Programming, in italiano Programmazione Lineare PL Linear Programming, in italiano Programmazione Lineare PL
\subsubsection{Simplesso} \subsubsection{Simplesso}
una volta che abbiamo sviluppato il nostro problema e sistemato i vincoli, trovandoci nella condizione di poterlo sfruttare avendo i termini noti positivi una volta costruito il tableu, le iterazioni per selezionare il pivot saranno le seguenti:\\ Una volta che abbiamo sviluppato il nostro problema e sistemato i vincoli, trovandoci nella condizione di poterlo sfruttare avendo i termini noti positivi una volta costruito il tableau, le iterazioni per selezionare il pivot saranno le seguenti:\\
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item Siamo in un problema di $Massimo$: Scelgo le colonne che hanno valori $positivi$,non do precedenza a nessuna colonna specifica se ne incontro più di una $positiva$, prendo sempre quella più a sinistra, con indice minore (legge di Bland). \item Siamo in un problema di $Massimo$: scelgo le colonne che hanno valori $positivi$, non do precedenza a nessuna colonna specifica se ne incontro più di una $positiva$, prendo sempre quella più a sinistra, con indice minore (legge di Bland).
\item Siamo in un problema di $Minimo$: Scelgo le colonne che hanno valori $negativi$,non do precedenza a nessuna colonna specifica se ne incontro più di una $negativa$, prendo sempre quella più a sinistra, con indice minore (legge di Bland). \item Siamo in un problema di $Minimo$: scelgo le colonne che hanno valori $negativi$, non do precedenza a nessuna colonna specifica se ne incontro più di una $negativa$, prendo sempre quella più a sinistra, con indice minore (legge di Bland).
\end{itemize} \end{itemize}
@ -353,7 +353,7 @@ Una volta designata la colonna, la riga viene scelta prendendo il valore $minore
Iteriamo finchè la riga della funzione obbiettivo, ovvero la $R0$ (o anche riga dei costi), non diventa tutta $positiva$ se siamo in problema di $minimo$, o $negativa$ se siamo in un problema di $massimo$. Iteriamo finchè la riga della funzione obbiettivo, ovvero la $R0$ (o anche riga dei costi), non diventa tutta $positiva$ se siamo in problema di $minimo$, o $negativa$ se siamo in un problema di $massimo$.
\subsubsection{Simplesso Duale} \subsubsection{Simplesso Duale}
Il processo è molto simile al Simplesso standard, con una sostanziale differenza, ora non partiamo più a selezionare la colonna in base a che tipo di problema di ottimizzazione ci troviamo ($max$ o $min$), ma prima partiamo a scegliere la riga, in base al fatt oche il termine noto sia negativo (vale per entrambi i problemi):\\ Il processo è molto simile al Simplesso standard, con una sostanziale differenza, ora non partiamo più a selezionare la colonna in base a che tipo di problema di ottimizzazione ci troviamo ($max$ o $min$), ma prima partiamo a scegliere la riga, in base al fatto che il termine noto sia negativo (vale per entrambi i problemi):\\
\begin{center} \begin{center}
\raisebox{-.5\height}{\includegraphics[width=10cm]{immagini/DualSimplex0.jpg}} \raisebox{-.5\height}{\includegraphics[width=10cm]{immagini/DualSimplex0.jpg}}
\end{center} \end{center}
@ -370,24 +370,23 @@ Nel caso avessi più di un valore negativo da cui scegliere, scelgo il pivot che
\raisebox{-.5\height}{\includegraphics[width=10cm]{immagini/DualSimplex2.jpg}} \raisebox{-.5\height}{\includegraphics[width=10cm]{immagini/DualSimplex2.jpg}}
\end{center} \end{center}
Continuo ad iterare fintanto che i termini noti non sono tutti positivi.\\ Continuo ad iterare fintanto che i termini noti non sono tutti positivi.\\
NB. È importante che la $R_0$ rimanga sempre positiva, perchè è condizione necessaria del simplesso duale. NB. È importante che la $R_0$ rimanga sempre positiva, perchè è condizione ne-cessaria del simplesso duale.
\subsubsection{2Fasi} \subsubsection{2Fasi}
Il metodo delle due fasi può sostituire il simplesso duale, nel caso in cui noi avessimo dei termini noti negativi, sarebbe sufficiente cambiare i segni dei vincoli, in modo da forzarli positivi, e bilanciare le slack negative con le variabili di surplus, il 2 fasi \underline{richiede} in input un problema di $minimizzazione$, quindi nel caso in cui avessimo un problema di massimo, cambiamo i segni di quella riga per ricondurci all'input adeguato.\\ Il metodo delle due fasi può sostituire il simplesso duale. Nel caso in cui noi avessimo dei termini noti negativi sarebbe sufficiente cambiare i segni dei vincoli, in modo da forzarli positivi, e bilanciare le slack negative con le variabili di surplus, il 2 fasi \underline{richiede} in input un problema di $minimizzazione$, quindi nel caso in cui avessimo un problema di massimo, cambiamo i segni di quella riga per ricondurci all'input adeguato.\\
\begin{center} \begin{center}
\raisebox{-.5\height}{\includegraphics[width=12cm]{immagini/2fasi0.jpg}} \raisebox{-.5\height}{\includegraphics[width=12cm]{immagini/2fasi0.jpg}}
\end{center} \end{center}
Dal nome, ci sono due fasi principali su cui lavorare, partiamo dalla prima fase, dobbiamo costruire un tableu una volta ricavata la forma standard, poniamo a 0 tutti gli elementi della $R_0$, lasciando un 1 esclusivamente dove è presente una variabile di surplus. Dal nome, ci sono due fasi principali su cui lavorare, partiamo dalla prima fase, dobbiamo costruire un tableau, una volta ricavata la forma standard poniamo a 0 tutti gli elementi della $R_0$, lasciando un 1 esclusivamente dove è presente una variabile di surplus.
Le variabili di surplus vengono aggiunte solo se la slack di quel vincolo è negativa. Le variabili di surplus vengono aggiunte solo se la slack di quel vincolo è negativa.
\begin{center} \begin{center}
\raisebox{-.5\height}{\includegraphics[width=12cm]{immagini/2fasi1.jpg}} \raisebox{-.5\height}{\includegraphics[width=12cm]{immagini/2fasi1.jpg}}
\end{center} \end{center}
Procediamo facendo sparire gli $1$ delle rispettive variabili di surplus dalla $R_0$:\\ Procediamo facendo sparire gli $1$ delle rispettive variabili di surplus dalla $R_0$, calcoliamo quindi $R_0' = R_0 - 1 * R_1 - 1 * R_2$ (Si usano i costi ridotti, non i termini noti, e in questo caso sono sempre valorizzati a 1):\\
\begin{center} \begin{center}
\raisebox{-.5\height}{\includegraphics[width=12cm]{immagini/2fasi2.jpg}} \raisebox{-.5\height}{\includegraphics[width=12cm]{immagini/2fasi2.jpg}}
\end{center} \end{center}
@ -406,7 +405,7 @@ NB.Se il problema era di massimizzazione originariamente, dobbiamo riportarcelo,
\end{center} \end{center}
Procediamo infine ad avere gli 0 nelle rispettive colonne della nostra base, in modo da sviluppare la soluzione, quindi tramite operazioni matriciali sistemiamo la $R_0$.\\ Procediamo infine ad avere gli 0 nelle rispettive colonne della nostra base, in modo da sviluppare la soluzione, quindi tramite operazioni matriciali sistemiamo la $R_0$.\\
$R_0'''' = R_0''' - 3 * R_1'' - 4 * R_2''$ (Si usano i costi ridotti, non i termini noti)\\
\begin{center} \begin{center}
\raisebox{-.5\height}{\includegraphics[width=12cm]{immagini/2fasi5.jpg}} \raisebox{-.5\height}{\includegraphics[width=12cm]{immagini/2fasi5.jpg}}
\end{center} \end{center}
@ -421,7 +420,7 @@ Per prima cosa dobbiamo scegliere una direzione per i segni, tutti devono andare
\raisebox{-.5\height}{\includegraphics[width=8cm]{immagini/DualeProblema0a.jpg}} \raisebox{-.5\height}{\includegraphics[width=8cm]{immagini/DualeProblema0a.jpg}}
\end{center} \end{center}
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item se i vincoli del primale sono: \textbf{$a_i^Tx \geqq b_i$},nel duale arriveremo dal basso della regione ammissibile, le slack di conseguenza saranno \textbf{non negative}. Nel duale staremo massimizzando, percui le nostre corrispettive variabili (moltiplicative) dovranno essere \textbf{non negative}. \item se i vincoli del primale sono: \textbf{$a_i^Tx \geqq b_i$}, nel duale arriveremo dal basso della regione ammissibile, le slack di conseguenza saranno \textbf{non negative}. Nel duale staremo massimizzando, percui le nostre corrispettive variabili (moltiplicative) dovranno essere \textbf{non negative}.
\item se i vincoli del primale sono \textbf{$a_i^Tx \leqq b_i$},le slack dei vincoli dovranno essere \textbf{non positive}. Nel duale staremo massimizzando, percui le nostre corrispettive variabili (moltiplicative) dovranno essere \textbf{non positive}. \item se i vincoli del primale sono \textbf{$a_i^Tx \leqq b_i$},le slack dei vincoli dovranno essere \textbf{non positive}. Nel duale staremo massimizzando, percui le nostre corrispettive variabili (moltiplicative) dovranno essere \textbf{non positive}.
\item se i vincoli del primale sono \textbf{$a_i^Tx = b_i$}, le slack dei vincoli potranno avere qualsiasi valore. Le corrispondenti variabili (moltiplicative) potranno avere qualsiasi valore. \item se i vincoli del primale sono \textbf{$a_i^Tx = b_i$}, le slack dei vincoli potranno avere qualsiasi valore. Le corrispondenti variabili (moltiplicative) potranno avere qualsiasi valore.
\end{itemize} \end{itemize}
@ -526,11 +525,11 @@ Integer Linear Programming, in italiano Programmazione Lineare Intera PLI
\subsubsection{Tagli di Gomory} \subsubsection{Tagli di Gomory}
I tagli di gomory si usano quando il nostro problema da PL Lineare è PLI, ovvero Lineare Intero, il principio è che, non avendo numeri con virgole, posso approssimare il risultato all'intero più vicino.\\ I tagli di gomory si usano quando il nostro problema da PL Lineare è PLI, ovvero Lineare Intero, il principio è che, non avendo numeri con virgole, posso approssimare il risultato all'intero più vicino.\\
Partendo dal tableu già risolto e con risultato ottimale e avendo termini fratti nella $R_0$, posso sfruttare Gomory per trovare una soluzione PLI, la formula da usare è:\\ Partendo dal tableau già risolto e con risultato ottimale e avendo termini fratti nella $R_0$, posso sfruttare Gomory per trovare una soluzione PLI, la formula da usare è:\\
$\displaystyle \sum_{j \in F} ( \overline{a}_{tj} - \lfloor \overline{a}_{tj} \rfloor )x_j \geqq \overline{b}_t - \lfloor \overline{b}_t \rfloor$ $\displaystyle \sum_{j \in F} ( \overline{a}_{tj} - \lfloor \overline{a}_{tj} \rfloor )x_j \geqq \overline{b}_t - \lfloor \overline{b}_t \rfloor$
NB. Le sbarre non sono valore assoluto, ma significano che approssimo difetto.\\ NB. Le sbarre non sono valore assoluto, ma significano che approssimo difetto.\\
Dovrò aggiungere una riga e una colonna alla fine del mio tableu, sfruttando la relativa formula, vediamo un esempio:\\ Dovrò aggiungere una riga e una colonna alla fine del mio tableau, sfruttando la relativa formula, vediamo un esempio:\\
\begin{center} \begin{center}
\raisebox{-.5\height}{\includegraphics[width=6cm]{immagini/Gomory0.jpg}} \raisebox{-.5\height}{\includegraphics[width=6cm]{immagini/Gomory0.jpg}}
@ -544,7 +543,7 @@ Dovrò aggiungere una riga e una colonna alla fine del mio tableu, sfruttando la
\item arriviamo a: $\frac{1}{4}S_1 + \frac{1}{4}S_2 \geqq \frac{1}{2}$ \item arriviamo a: $\frac{1}{4}S_1 + \frac{1}{4}S_2 \geqq \frac{1}{2}$
\end{itemize} \end{itemize}
Possiamo ora inserire la riga nel tableu, aggiungendo anche una colonna di surplus per bilanciare:\\ Possiamo ora inserire la riga nel tableau, aggiungendo anche una colonna di surplus per bilanciare:\\
$\frac{1}{4}S_1 + \frac{1}{4}S_2 -S_3 = \frac{1}{2}$ $\frac{1}{4}S_1 + \frac{1}{4}S_2 -S_3 = \frac{1}{2}$
@ -566,7 +565,7 @@ $ ( -\frac{1}{3} - \lfloor - \frac{1}{3} \rfloor )S_2 + ( \frac{2}{3} - \lfloo
NB. L'arrotondamento di $S_2$ è stato di $+1$, i termini negativi, per difetto, si avvicinano a $- \infty$, di conseguenza $- \frac{1}{3} \Rightarrow -0,33 \Rightarrow -1 $ !\\ NB. L'arrotondamento di $S_2$ è stato di $+1$, i termini negativi, per difetto, si avvicinano a $- \infty$, di conseguenza $- \frac{1}{3} \Rightarrow -0,33 \Rightarrow -1 $ !\\
Avremo: $\frac{2}{3}S_2 + \frac{2}{3}S_3 -S_4 = \frac{2}{3}$ Avremo: $\frac{2}{3}S_2 + \frac{2}{3}S_3 -S_4 = \frac{2}{3}$
Aggiungiamo la riga nel tableu moltiplicandola prima per $-1$ come prima:\\ Aggiungiamo la riga nel tableau moltiplicandola prima per $-1$ come prima:\\
\begin{center} \begin{center}
\raisebox{-.5\height}{\includegraphics[width=9cm]{immagini/Gomory3.jpg}} \raisebox{-.5\height}{\includegraphics[width=9cm]{immagini/Gomory3.jpg}}
@ -615,7 +614,7 @@ max: &x_1^+ - x_1^- -2x_2^+ + 2x_2^-\\
\end{align*} \end{align*}
\end{center} \end{center}
costruiamo il relativo tableu e risolviamolo con il simplesso standard:\\ costruiamo il relativo tableau e risolviamolo con il simplesso standard:\\
\begin{center} \begin{center}
\raisebox{-.5\height}{\includegraphics[width=10cm]{immagini/matrici/2_0_1_0.jpg}} \raisebox{-.5\height}{\includegraphics[width=10cm]{immagini/matrici/2_0_1_0.jpg}}