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Piccole correzioni negli esercizi sui Modelli

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stefanogoldoni 2021-11-14 11:45:22 +01:00
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SimpleDocument.tex
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@ -56,7 +56,7 @@ Una azienda produce il prodotto X, la linea di produzione è formata da 3 differ
Pongo $x_{ij} \in \{0,1\}, j \in \{1,2,3\}, i \in \{\alpha,\beta\} $ che rappresenta un booleano, che vale 1, nel caso in cui il lotto $i$ è prodotto nella linea $j$, 0 altrimenti.\\ Pongo $x_{ij} \in \{0,1\}, j \in \{1,2,3\}, i \in \{\alpha,\beta\} $ che rappresenta un booleano, che vale 1, nel caso in cui il lotto $i$ è prodotto nella linea $j$, 0 altrimenti.\\
Come posso fare il controllo di verità di questa condizione con un vincolo matematico ?\\ Come posso fare il controllo di verità di questa condizione con un vincolo matematico ?\\
$\displaystyle \sum_{i \in \alpha} x_{ij} \leqq (1-x_{ki})M$ $i \in \{1,2,3\}, k \in \beta$\\ $\displaystyle \sum_{i \in \alpha} x_{ij} \leqq (1-x_{ki})M$ $i \in \{1,2,3\}, k \in \beta$\\
Sto ciclando a sinistra delal disuguaglianza tutti i prodotti X del lotto $\alpha$, la $j$ è vincolata fuori quindi guardiamo una linea alla volta, a destra della disuguaglianza sto dicendo che nel caso in cui $x_{kj}$ dove $k$ è l'insieme del lotto $\beta$ vale 1, quindi lo stiamo producendo nelal stessa linea produttiva $i$, allora avendolo posto negativo, si annulla con l'1 : $(1-x_{ki})$, valendo 0 e di conseguenza, rompendo il vincolo.\\ Sto ciclando a sinistra della disuguaglianza tutti i prodotti X del lotto $\alpha$, la $j$ è vincolata fuori quindi guardiamo una linea alla volta, a destra della disuguaglianza sto dicendo che nel caso in cui $x_{kj}$ dove $k$ è l'insieme del lotto $\beta$ vale 1, quindi lo stiamo producendo nella stessa linea produttiva $i$, allora avendolo posto negativo, si annulla con l'1 : $(1-x_{ki})$, valendo 0 e di conseguenza, rompendo il vincolo.\\
Il Big M a destra della parentesi, serve nel caso in cui non produciamo $\beta$ in quella specifica linea di produzione, e l'uno risultante dalla tonda che ne deriva, deve essere moltiplicato con qualcosa di grande per rendere vera l'equazione di sinistra. Il Big M a destra della parentesi, serve nel caso in cui non produciamo $\beta$ in quella specifica linea di produzione, e l'uno risultante dalla tonda che ne deriva, deve essere moltiplicato con qualcosa di grande per rendere vera l'equazione di sinistra.
\item \textbf{$\Delta$}, il delta viene usato per rappresentare la differenza di variabili, come può essere l'età media delle persone, se in un problema vedete un punto che risulta simile a:"minimizzare il valore assoluto della differenza massima tra l'etá media di un gruppo e un altro" \item \textbf{$\Delta$}, il delta viene usato per rappresentare la differenza di variabili, come può essere l'età media delle persone, se in un problema vedete un punto che risulta simile a:"minimizzare il valore assoluto della differenza massima tra l'etá media di un gruppo e un altro"
@ -67,7 +67,7 @@ $x_i \leqq |A|$
\newpage \newpage
\subsection{Esercizi} \subsection{Esercizi}
\subsubsection{Problema con Delta} \subsubsection{Problema con Delta}
Esame 2020-07-16 Ex 1\\ Esame 2020-06-25 Ex 1\\
\noindent\fbox{% \noindent\fbox{%
\parbox{\textwidth}{% \parbox{\textwidth}{%
In a summer camp there are 70 children to be allocated to 10 groups, each one In a summer camp there are 70 children to be allocated to 10 groups, each one
@ -91,13 +91,13 @@ $\Delta$ massima differenza di età (valore assoluto).\\
&\Delta \geqq \displaystyle \sum_{i = 1}^{70} \frac{e_i x_{jg}}{7} - e_j x_{jg} & &j=\{1,\dots,70\},g=\{1,\dots,10\}\\ &\Delta \geqq \displaystyle \sum_{i = 1}^{70} \frac{e_i x_{jg}}{7} - e_j x_{jg} & &j=\{1,\dots,70\},g=\{1,\dots,10\}\\
&\Delta \geqq - \displaystyle \sum_{i = 1}^{70} \frac{e_i x_{jg}}{7} + e_j x_{jg} & &j=\{1,\dots,70\},g=\{1,\dots,10\}\\ &\Delta \geqq - \displaystyle \sum_{i = 1}^{70} \frac{e_i x_{jg}}{7} + e_j x_{jg} & &j=\{1,\dots,70\},g=\{1,\dots,10\}\\
&\displaystyle \sum_{g = 1}^{10} x_{ig} = 1 & &i=\{1,\dots,70\}\\ &\displaystyle \sum_{g = 1}^{10} x_{ig} = 1 & &i=\{1,\dots,70\}\\
&\displaystyle \sum_{g = 1}^{70} x_{ig} = 7 & &g=\{1,\dots,10\}\\ &\displaystyle \sum_{i = 1}^{70} x_{ig} = 7 & &g=\{1,\dots,10\}\\
&x_{ig} \in \{0,1\} & &i=\{1,\dots,70\},g=\{1,\dots,10\}\\ &x_{ig} \in \{0,1\} & &i=\{1,\dots,70\},g=\{1,\dots,10\}\\
\end{align*} \end{align*}
\newpage \newpage
\subsubsection{Problema con massima distanza} \subsubsection{Problema con massima distanza}
Esame 2020-06-25 Ex 1\\ Esame 2020-07-16 Ex 1\\
\noindent\fbox{% \noindent\fbox{%
\parbox{\textwidth}{% \parbox{\textwidth}{%
A company that distributes medical products wants to open at least A company that distributes medical products wants to open at least
@ -213,7 +213,7 @@ by adding an objective function which minimizes the movement of pallets.
\\ \\
Soluzione:\\ Soluzione:\\
$x_{ilk} = 1$ se il pallet $i$ è stoccato nella locazione $l$ al livello $k$, 0 altrimenti.\\ $x_{ilk} = 1$ se il pallet $i$ è stoccato nella locazione $l$ al livello $k$, 0 altrimenti.\\
$y_{ij}=1 $ se il pallet è sotto al pallet $j$ (stessa location), 0 altrimenti.\\ $y_{ij}=1 $ se il pallet $i$ è sotto al pallet $j$ (stessa location), 0 altrimenti.\\
\begin{align*} \begin{align*}
&min: z= \displaystyle \sum_{i \in I} \sum_{j \in I: \sigma(i)<\sigma(j)} y_{ij}\\ &min: z= \displaystyle \sum_{i \in I} \sum_{j \in I: \sigma(i)<\sigma(j)} y_{ij}\\
&\displaystyle \sum_{l \in L}\sum_{k=1}^{m}x_{ilk} = 1 & &i \in I\\ &\displaystyle \sum_{l \in L}\sum_{k=1}^{m}x_{ilk} = 1 & &i \in I\\
@ -231,7 +231,7 @@ Esame 2020-06-08 Ex 2\\
\parbox{\textwidth}{% \parbox{\textwidth}{%
A warehouse has to store n boxes in a rack with $m$ shelves. The first A warehouse has to store n boxes in a rack with $m$ shelves. The first
$m1$ shelves have length $L1$, while the remaining have length $L2$. Each $m1$ shelves have length $L1$, while the remaining have length $L2$. Each
box $j-1,\dots,n$ has length $l_j$ and a frequency of usage $f_j$.\\ box $j=1,\dots,n$ has length $l_j$ and a frequency of usage $f_j$.\\
Write a linear programming model that helps the warehouse to decide how to Write a linear programming model that helps the warehouse to decide how to
store the boxes, so that the sum of the frequencies of the boxes stored store the boxes, so that the sum of the frequencies of the boxes stored
in the first $m1$ shelves is maximized. (N.B. It is not known if all the in the first $m1$ shelves is maximized. (N.B. It is not known if all the
@ -245,8 +245,8 @@ $x_{ij} = 1$ se la scatola $j$ è stoccata nello scaffale $i$, 0 altrimenti.\\
\begin{align*} \begin{align*}
&max: z= \displaystyle \sum_{i = 1}^{m1} \sum_{j = 1}^{n} x_{ij}f_j\\ &max: z= \displaystyle \sum_{i = 1}^{m1} \sum_{j = 1}^{n} x_{ij}f_j\\
&\displaystyle \sum_{i=1}^{m}x_{ij} \leqq 1 & &j = 1,\dots,n\\ &\displaystyle \sum_{i=1}^{m}x_{ij} \leqq 1 & &j = 1,\dots,n\\
&\displaystyle \sum_{j = 1} l_{j}x_{ij} \leqq L1 & &i=1,\dots,m1 \\ &\displaystyle \sum_{j=1}^{n} l_{j}x_{ij} \leqq L1 & &i=1,\dots,m1 \\
&\displaystyle \sum_{j = 1} l_{j}x_{ij} \leqq L2 & &i=m1+1,\dots,m \\ &\displaystyle \sum_{j=1}^{m} l_{j}x_{ij} \leqq L2 & &i=m1+1,\dots,m \\
&x_{ij} \in \{0,1\} & &i=1,\dots,m,j=1,\dots,n\\ &x_{ij} \in \{0,1\} & &i=1,\dots,m,j=1,\dots,n\\
\end{align*} \end{align*}