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# Visitare un grafo
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Come per gli alberi radicati, esistono due modi per visitare un grafo: _depth-first search_ e _breadth-first search_.
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In entrambi i casi, non visito mai due volte lo stesso nodo, e come risultato ottengo **molteplici alberi**, il cui insieme viene detto _foresta di copertura_.
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Se il grafo che vogliamo visitare è diretto, allora dobbiamo **considerare come vicini solo gli archi uscenti**
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## Depth-first search
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La DFS ci può risultare utile per **identificare le componenti connesse** di un grafo e **identificare eventuali cicli**.
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### Funzionamento
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Posso utilizzare la DFS per classificare gli archi di un grafo in quattro categorie:
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- _Tree_, archi che ci fanno **scoprire un nuovo nodo**
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- _Forward_, archi che ci portano a un **discendente**
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- _Back_, archi che ci portano ad un **antenato**
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- _Cross_, archi che **connettono due sottoalberi** diversi
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Usiamo due array inizializzati a 0 chiamati `pre` e `post`, grandi quanto il numero di archi del grafo, che ci indicano rispettivamente quando un nodo è stato scoperto e quando è terminata la visita.
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Inoltre, creiamo una variabile `clock` che avanza ad ogni evento.
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Alla scoperta di un nuovo nodo, mettiamo il valore attuale di `clock` all'interno di `pre[n]`.
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Alla fine della visita di un nodo invece mettiamo il valore di `clock` in `post[n]`.
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**Durante la visita**, gli archi avranno i seguenti valori:
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- _Tree_: `pre[dst] == 0`
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- _Forward_: `pre[src] < pre[dst] && post[dst] > 0`
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- _Back_: `pre[dst] < pre[src] && post[dst] == 0`
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- _Cross_: Tutti gli altri (`post[dst] < pre[src]`)
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**A fine visita**, gli archi avranno i seguenti valori:
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- _Tree_: `pre[dst] < pre[dst] < post[dst] < pre[src]`
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- _Forward_: `pre[dst] < pre[dst] < post[dst] < pre[src]`
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- _Back_: `pre[src] < pre[dst] < post[dst] < post[src]`
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- _Cross_: `pre[dst] < post[dst] < pre[src] < post[src]`
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Se un **grafo non diretto** contiene degli **archi Back**, allora esso **conterrà un ciclo**.
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#### DFS nel grafo trasposto
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Se effettuo una DFS sul trasposto di un grafo, posso **scoprire i nodi che hanno un cammino verso l'origine**.
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#### DFS nella componente fortemente connessa
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Se effettuo una DFS in una componente fortemente connessa e nella sua trasposta, il **`post` della trasposta sarà sempre minore** del `post` della componente originale.
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### Costo computazionale
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| Categoria | Upper bound | Lower bound | Tight bound |
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| Tempo | `O(nodi + archi)` | `Ω(nodi + archi)` | **`θ(nodi + archi)`** |
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| Memoria | `O(nodi)` | `Ω(nodi)` | **`θ(nodi)`** |
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### Visualizzazione
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[visualgo.net](https://visualgo.net/en/dfsbfs)
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## Breadth-first search
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La BFS ci può risultare utile per **trovare tutti i nodi a una certa distanza** da un'origine.
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### Costo computazionale
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| Categoria | Upper bound | Lower bound | Tight bound |
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|-----------|-------------|-------------|-------------|
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| Tempo | `O(nodi + archi)` | `Ω(nodi + archi)` | **`θ(nodi + archi)`** |
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| Memoria | `O(nodi + archi)` | `Ω(nodi + archi)` | **`θ(nodi + archi)`** |
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### Pseudocodice
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Come per gli alberi, la implementiamo in modo **iterativo**:
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```python
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queue = [starting_node]
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parents = [None for node in graph.nodes]
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distance = [-1 for node in graph.nodes]
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# TODO: controllami quando sei più sveglio
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while queue:
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node, source, distance = queue.pop(0)
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parents[node.number] = source
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distance[node.number] = distance
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for neighbour in node.neighbours:
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queue.append((neighbour, node, distance+1))
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```
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> Nella coda, la distanza massima tra un nodo e l'altro è 1.
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### Visualizzazione
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[visualgo.net](https://visualgo.net/en/dfsbfs)
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