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# Algoritmo di Dijkstra
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L'_Algoritmo di [Dijkstra](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/Dijkstra.ogg)_ è un algoritmo che risolve il problema del **percorso più breve da una sorgente singola** per grafi con pesi **reali positivi** `\mathbb{R}^+`.
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L'algoritmo trova tutti i percorsi più brevi per raggiungere qualsiasi nodo del grafo partendo da un dato nodo, assieme al costo richiesto per farlo.
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## Funzionamento
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1. Separiamo tutti i nodi del grafo in due gruppi: **visitati** e **non visitati**.
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- Tutti i nodi partono da **non visitati**.
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2. Per ogni nodo, manteniamo un valore "**costo richiesto per raggiungerlo**", che verrà cambiato man mano che l'algoritmo avanza.
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- Il costo di partenza è `+∞`.
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- Il costo sarà **definitivo per i nodi visitati**, e **provvisorio per i non visitati**.
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3. Creiamo un insieme detto _frontiera_ che conterrà tutti i **nodi non visitati adiacenti** a quelli visitati.
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4. Prendiamo il nodo iniziale, che avrà un **costo di `0`**, e definiamolo il nodo _attuale_.
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5. Finchè ci sono dei nodi non sono stati visitati, ripetiamo il seguente ciclo:
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1. Aggiungiamo i nodi adiacenti al nodo attuale alla frontiera.
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- Il costo per raggiungerli sarà il **costo per il nodo attuale sommato al costo dell'arco** che li connette al nodo attuale.
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Se questo **costo** risulta essere **minore del costo provvisorio** precedente, esso **diventerà il nuovo costo**.
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- Questa operazione è detta _rilassamento dell'arco_.
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2. Facciamo diventare **visitato** il nodo attuale.
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- Il percorso che abbiamo fatto per raggiungerlo è obbligatoriamente il più breve.
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3. Il prossimo nodo attuale sarà il nodo di frontiera con un costo più basso.
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- Per questo, è possibile definire l'algoritmo di Dijkstra come un **algoritmo greedy**.
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### Non funziona se...
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L'algoritmo smette di funzionare nel caso in cui siano presenti **costi negativi** e il grafo non sia **aciclico**, in quanto non saremmo mai in grado di rendere visitato un nodo.
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## Costo computazionale
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| Categoria | Upper bound |
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| Tempo | `O(nodi + archi) log nodi)` |
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### Scomposizione
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- Inizializzazione: `O(nodi)`
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- Creazione coda priorità: `O(nodi log nodi)`
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- Ciclo: `O((nodi + archi) log nodi)`
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## Pseudocodice
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```python
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import math
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class Info:
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|
def __init__(self, distance=math.inf, previous=None):
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|
self.distance = distance
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self.previous = previous
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def dijkstra(graph, start):
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data = [Info() for node in graph.nodes]
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queue = PriorityQueue([start])
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while queue:
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node = queue.pop()
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for arc in node.connections:
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other = arc.other(node)
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if data[node.number].distance + arc.cost < data[other].distance:
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data[other].distance = data[node.number].distance + arc.cost
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queue.decrease_priority_for(other, data[other].distance)
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data[v].previous = node
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return data
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```
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## Visualizzazione
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[Visualgo](https://visualgo.net/en/sssp)
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