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\documentclass{article}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage{mathtools}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{centernot}
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% New symbols
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\let\oldsqrt\sqrt
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\def\sqrt{\mathpalette\DHLhksqrt}
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\def\DHLhksqrt#1#2{%
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\setbox0=\hbox{$#1\oldsqrt{#2\,}$}\dimen0=\ht0
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\advance\dimen0-0.2\ht0
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\setbox2=\hbox{\vrule height\ht0 depth -\dimen0}
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{\box0\lower0.4pt\box2}}
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\newcommand{\iu}{\mathrm{i}\mkern1mu}
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% End new symbols
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\begin{document}
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\section{Studi di funzione}
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\subsection{Studio di funzione classico}
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\[f(x) = 2 arctan(x) - x\]
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\subsubsection{Funzione \(f\)}
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\paragraph{Dominio}
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Il dominio in un punto è il più grande insieme possibile su cui è valida la funzione \(f\).\\\\
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In questo caso, il dominio è \(\mathbb{R}\)
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\paragraph{Simmetrie}
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Verifichiamo se la funzione ha simmetrie: è pari? È dispari?\\\\
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\(arctan(x)\) è dispari, e \(x\) è anch'esso dispari, quindi andiamo a verificare.\\
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\[f(-x) = 2 arctan(-x) + x = -2 arctan(x) + x = -f(x)\]
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E' dunque dispari.
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\paragraph{Positività}
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Troviamo dove la funzione è positiva o negativa.\\
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Spesso richiede calcoli molto complessi, quindi potrebbe non valer la pena perderci tempo.\\\\
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Ad esempio, in questo caso.
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\paragraph{Periodicità}
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Controlliamo se e dove la funzione è periodica.\\
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Come per la positività, potrebbe richiedere calcoli complessi, quindi non è particolarmente importante.\\\\
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Come qui.
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\paragraph{Intersezioni con gli assi}
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Troviamo dove la funzione \(f\) interseca gli assi \(x\) e \(y\).\\
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Vedi sopra; non è fondamentale...\\\\
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E indovina un po'? Anche qui lo saltiamo.
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\paragraph{Asintoti verticali e orizzontali}
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Vediamo se la funzione ha degli asintoti.\\
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Troviamo tutti i limiti rilevanti di \(f\).\\
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A \(+\infty\) e a \(-\infty\), in punti di non derivabilità, etc...\\\\
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\[\lim_{x \to +\infty} (2 arctan(x) - x) = -\infty\]
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Essendo una funzione dispari, allora...
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\[\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty\]
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\paragraph{Asintoto obliquo}
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Controlliamo se esiste un asintoto obliquo.\\
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Non è fondamentale, ma potrebbe essere interessante da calcolare.\\
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E' presente solo se \(\lim_{x \to \infty} = \pm\infty\).\\
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Se lo fa, possiamo calcolarlo.\\\\
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\[m = \lim_{x \to +\infty} \frac{2 arctan(x) - x}{x} = -1\]
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\[q = \lim_{x \to +\infty} (2 arctan(x) - x) + x = \pi\]
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Dunque, l'asintoto obliquo è la retta \(y = -x + \pi\).
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\subsubsection{Derivata prima \(f'\)}
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\[f'(x) = \frac{2}{1 + x^2} - 1\]
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\paragraph{Crescenza}
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Troviamo dove la funzione è crescente o decrescente.\\
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\[\frac{2 - 1 - x^2}{1 + x^2} \geq 0\]
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\[\frac{1 - x^2}{1 + x^2} \geq 0\]
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\[x^2 \leq 1\]
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\[-1 \leq x \leq 1\]
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\paragraph{Punti di estremo}
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Troviamo i punti di massimo e i punti di minimo, e se possibile il loro valore.\\\\
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Nel nostro caso, \(x = -1\) è un punto di minimo locale e \(x = 1\) è un punto di massimo locale.\\
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Vediamo quanto valgono:
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\[f(1) = 2 arctan(1) - 1 = 2 \frac{\pi}{4} - 1 = \frac{\pi - 2}{2} \approx 0.6\]
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\[f(-1) = 2 arctan(-1) + 1 = - 2 \frac{\pi}{4} + 1 = \frac{- \pi + 2}{2} \approx -0.6\]
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\subsubsection{Derivata seconda \(f''\)}
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Potrebbe non essere richiesta, se si creerebbe un calcolo complicato.
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\[f''(x) = -\frac{4x}{(1 + x^2)^2}\]
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\paragraph{Concavità}
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Troviamo dove la funzione è concava e dove è convessa.\\
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\[-\frac{4x}{(1 + x^2)^2} \geq 0\]
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\[x \geq 0\]
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\paragraph{Punti di flesso}
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Troviamo i punti di flesso:\\\\
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Nel nostro caso, l'unico è \(x = 0\).
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\subsection{Esercizio}
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Fai un grafico qualitativo di \(log | 4 - x | + \frac{2}{|x - 4|}\).
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\paragraph{Simmetrie}
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E' simmetrica per l'asse \(x = 4\), ma il punto nell'asse stesso è fuori dal dominio.
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Possiamo però traslare il tutto ponendo \(x - 4 = t\)...
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\[f(t) = \log(|t|) + \frac{2}{|t|}\].
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Ora la funzione \(f(t)\) è pari.
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\paragraph{Dominio}
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\[{t \in \mathbb{R} : t \neq 0}\]
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\paragraph{Positività}
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\begin{quote}
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E' un casino!
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\end{quote}
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\paragraph{Limiti}
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[todo]
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\subsubsection{Derivata prima}
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\begin{quote}
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Il valore assoluto è una specie protetta; gli informatici non hanno la licenza di derivarlo.
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\end{quote}
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Dividiamo la funzione in casi.
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\[\tilde{f}(t) = \begin{cases}
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\log t + \frac{2}{t} \qquad t > 0\\
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\log (-t) - \frac{2}{t} \qquad t < 0
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\end{cases}\]
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Deriviamo i due rami separatamente:
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\[\tilde{f}'(t) = \begin{cases}
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\frac{1}{t} - \frac{2}{t^2} \qquad t > 0\\
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[todo] \qquad t < 0
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\end{cases}\]
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\subsection{Studio di funzione qualitativo in un punto}
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Esiste, ma non l'abbiamo fatto.
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\end{document}
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