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\documentclass{article}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage{mathtools}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{centernot}
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% New symbols
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\let\oldsqrt\sqrt
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\def\sqrt{\mathpalette\DHLhksqrt}
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\def\DHLhksqrt#1#2{
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\setbox0=\hbox{$#1\oldsqrt{#2\,}$}\dimen0=\ht0
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\advance\dimen0-0.2\ht0
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\setbox2=\hbox{\vrule height\ht0 depth -\dimen0}
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{\box0\lower0.4pt\box2}}
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\newcommand{\iu}{\mathrm{i}\mkern1mu}
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\DeclarePairedDelimiter\abs{\lvert}{\rvert}
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\DeclarePairedDelimiter\norm{\lVert}{\rVert}
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\makeatletter
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\let\oldabs\abs
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\def\abs{\@ifstar{\oldabs}{\oldabs*}}
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\let\oldnorm\norm
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\def\norm{\@ifstar{\oldnorm}{\oldnorm*}}
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\makeatother
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\newcommand*{\Value}{\frac{1}{2}x^2}
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\newcommand{\intab}{\int_a^b}
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% End new symbols
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\begin{document}
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\section{\(\delta < 0, denominatore II grado\)}
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\[\int \frac{1}{x^2 + 4x + 9} dx\]
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Osserviamo che \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \arctan x + c\).
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Provo allora a costruire qualcosa di simile all'arcotangente.
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\[\int \frac{1}{x^2 + 4x + 9} dx = \int \frac{1}{x^2 + 4x + 4 + 5} dx = 5 \int \frac{1}{\frac{(x + 2)^2}{5} + 1} = 5 \arctan (\frac{x + 2}{\sqrt{5}}) + c\]
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\section{Integrale generalizzato}
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Vogliamo ampliare la nostra definizione di integrale, applicandolo a una \(f\) non limitata.
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\[\int_a^{b-\epsilon} f(x) dx\]
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Ha senso; la funzione è limitata in \([a, b - \epsilon]\).\\
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Allora, possiamo fare l'integrale \textbf{generalizzato} o improprio, se \textsc{esiste} ed è \textsc{finito}:
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\[\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_a^{b - \epsilon} f(x) dx = \int_a^b f(x) dx\]
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\subsection{Esercizi}
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\subsubsection{Uso di parametri}
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Dire per quali valori del \textit{parametro} \(\alpha\)...
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\[\int_0^1 \frac{1}{x^{\alpha}} dx\]
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Per \(\alpha \leq 0\), si ha che \(\int_0^1 x^-\alpha dx\), e quindi è un integrale standard.\\
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Per \(\alpha > 0\), si ha che \(\int_0^1 \frac{1}{x^\alpha} dx\).\\
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C'è un problema in \(x = 0\); la funzione non è limitata! Usiamo allora la definizione di integrale generalizzato.\\
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\subsubsection{Calcolo integrali generalizzati con la definizione}
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\textit{Calcola} l'integrale...
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\[\int_0^1 \frac{1}{x^\alpha} dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_\epsilon^1 \frac{1}{x^\alpha} dx\]
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Trovo l'insieme delle sue primitive:
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\[\int x^{-\alpha} dx = \begin{cases}
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\log \abs{x} + c \qquad \alpha = 1\\
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\frac{x^{1-\alpha}{1 - \alpha} + c \qquad \alpha \neq 1
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\end{cases}\]
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Infine, applico il teorema fondamentale del calcolo:\\
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Per \(\alpha = 1\):
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\[\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_\epsilon^1 \frac{1}{x^\alpha} dx = [\log \abs{x}]^1_\epsilon = \log 1 - \log \epsilon = - \log \epsilon\]
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Per \(\alpha \neq 1\):
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[mi sa fatica scriverlo ma è uguale a sopra... credo]
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\subsubsection{Uso dei criteri}
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\textit{Studiare} l'integrabilità...
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\end{document}
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