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\documentclass{article}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage{mathtools}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{centernot}
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% New symbols
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\let\oldsqrt\sqrt
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\def\sqrt{\mathpalette\DHLhksqrt}
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\def\DHLhksqrt#1#2{%
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\setbox0=\hbox{$#1\oldsqrt{#2\,}$}\dimen0=\ht0
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\advance\dimen0-0.2\ht0
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\setbox2=\hbox{\vrule height\ht0 depth -\dimen0}
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{\box0\lower0.4pt\box2}}
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% End new symbols
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\begin{document}
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\section{Definizione}
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\[f : A \subseteq dom(f) \to \mathbb{R}, continua\]
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\[A = [a, b]\]
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f è derivabile in \(x_0\) se \textbf{esiste ed è finito} il limite del rapporto incrementale:
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\[f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]
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f è il \textbf{coefficiente angolare} della retta tangente a \(f(x_0)\).
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\subsection{Equazione retta tangente al grafico di f in \(x_0, f(x_0)\)}
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\[y = f(x_0) + f'(x_0) * (x - x_0)\]
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\section{Derivate particolari}
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\(f = costante\); \(f' = 0\)\\
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\(f = x\); \(f' = 1\)\\
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\(f = x^2\); \(f' = 2x\)\\
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\(f = x^n\); \(f' = nx^{n-1}\)\\
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\subsubsection{Dimostrazione di \(x^n\)}
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[todo]
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\[\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^\alpha - x^\alpha}{h}\]
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\[\lim_{h \to 0} x^\alpha * (\frac{\frac{(x+h)}{x}^\alpha - 1}{h})\]
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\[\lim_{h \to 0} x^\alpha * (\frac{e^{\log(\frac{(x+h)}{x}^\alpha)} - 1}{h})\]
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\[\lim_{h \to 0} x^\alpha * (\frac{e^{\alpha \log(\frac{(x+h)}{x})} - 1}{h})\]
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\[\lim_{h \to 0} x^\alpha * (\frac{e^\frac{\alpha h}{x}) - 1}{h})\]
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\subsubsection{Non derivate il valore assoluto}
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Campagna pubblicitaria: chi deriva il valore assoluto muore (accademicamente).
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\(|x|\) non è derivabile in \(x = 0\).
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\[\lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h} = \nexists\]
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\[\lim_{h \to 0^+} \frac{|h|}{h} = 1\]
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\[\lim_{h \to 0^-} \frac{|h|}{h} = -1\]
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\section{Derivate sinistra e destra}
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Derivata destra:
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\[f_+'(x) = \lim_{h \to 0^+}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]
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Derivata sinistra:
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\[f_-'(x) = \lim_{h \to 0^-}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]
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[todo: migliorare un po']
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\begin{itemize}
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\item Se sono uguali e finite, esiste la derivata in quel punto;\\
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\item se sono diverse e almeno una delle due finita, si ha un \textbf{punto angoloso};\\
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\item se sono diverse e infinite, la tangente esiste ed è completamente verticale;\\
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\item se sono uguali e infinite, si forma una cuspide.
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\end{itemize}
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\section{Teorema di continuità}
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Se \(f\) è derivabile in \(x_0\), allora \(f\) è continua.
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\paragraph{Tesi}
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\[\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]
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\paragraph{Dimostrazione}
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\[\lim_{x \to x_0} f(x) - f(x_0) = 0\]
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\[\lim_{x \to x_0} (f(x) - f(x_0)) * \frac{x - x_0}{x - x_0}\]
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\[\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} * (x - x_0)\]
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\[f'(x_0) * 0 = 0\]
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\subsection{Conseguenze}
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\(f\) derivabile in \(x_0\) \(\implies\) \(f\) continua in \(x_0\)\\
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\(f\) non continua \(\implies\) \(f\) non derivabile\\
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\(f\) continua \(\centernot\implies\) \(f\) derivabile\\
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\(f\) non derivabile \(\centernot\implies\) \(f\) non continua\\
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\subsubsection{Esempio}
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\[f(x) =
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\begin{cases}
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1 \qquad x > 0\\
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0 \qquad x \leq 0
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\end{cases}\]
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Non continua in \(x = 0\), quindi non derivabile in quel punto.\\
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In tutti gli altri casi, \(f'(x) = 0\).
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\section{Regole di calcolo}
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\[(f + g)' = f' + g'\]
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\[(kf)' = kf'\]
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\[(f * g)' = (f' * g) + (f * g')\]
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\[(\frac{f}{g})' = \frac{(f' * g) - (f * g')}{g^2}\]
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\subsection{Regola della catena}
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Se \(f\) è derivabile in \(x_0\) e g è derivabile in \(f(x_0)\) e \(x_0\) è punto di accumulazione per \(dom(g \circ f)\), allora \(g \circ f\) è derivabile in \(x_0\) e vale:
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\[(g \circ f)'(x_0) = g'(f(x_0)) * f'(x_0)\]
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\subsubsection{Esempio}
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\[f(x) = \sin^2(4 \sqrt{x} + 2\]
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\[f'(x) = 2 \sin (4 \sqrt{x} + 2) * \cos (4 \sqrt{x} + 2) * (4 * \frac{1}{2 \sqrt{x}})\]
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\subsubsection{Esempio}
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\[f(x) = \arctan \frac{2x}{\sqrt{x^3+1}}\]
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\[f'(x) = \cfrac{1}{1 + (\cfrac{2x}{\sqrt{x^3 + 1}}} * \frac{2 \sqrt{x^3 + 1} - 2x}{x^3+1} * \frac{3 x^2}{2} * \frac{1}{\sqrt{x^3+1}}\]
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\subsection{Derivata della funzione inversa}
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\(f : (a, b) \to \mathbb{R}\) continua e strettamente monotona \(\implies f\) invertibile\\
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\(f^{-1}\) funzione di \(f\)\\
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\(f\) derivabile in \(x_0 \implies f^{-1}\) derivabile in \(f(x_0) = y_0\)\\\\
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\((f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}\)\\
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\subsubsection{Esempio}
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\[f(x) = x + e^x\]
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\[\exists f^{-1}\]
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Determinare l'equazione della tangente al grafico di \(f^{-1}\) in (1, 0).\\
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\[y_0 = f(x_0) = 0 + e^0 = 1\]
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\[x_0 = f^{-1}(y_0) = 0\]
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\[f^{-1}'(y_0) = \frac{1}{1 + e^x}\]
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\[y - f^{-1}(y_0) = (f^{-1})'(y_0) * (x - y_0)\]
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\[y - 0 = \frac{1}{1 + e^{1}} * (x - 1)\]
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\[y = \frac{1}{1 + e} * (x - 1)\]
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\section{O piccolo}
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Date due funzioni \(f\) e \(g\) definite in un intorno di \(x_0\), diciamo che \(f(x) = o(g(x))\), f è \textbf{o piccolo} di \(g\) per \(x \to x_0\) se \(\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0\).
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\subsubsection{Esempio}
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\[x^2 = o(x) \qquad x \to 0\]
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Sì, perchè \(\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = 0\).
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\subsubsection{Esempio}
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\[sin x = o(x) \qquad x \to 0\]
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No, perchè \(\lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1\).
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\subsection{Proposizione}
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\[f(x) \sim g(x) \Rleftarrow f(x) = g(x) + o(g(x)) \Rleftarrow \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 \Rleftarrow \lim_{x \to x_0} - 1 = 0 \Rleftarrow \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - g(x)}{g(x)} = 0\]
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\end{document}
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