triennale-appunti-steffo/docs/route-statistica.chunk.1c94d.esm.js

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                            P([X = x]) \quad se\ X \mapsto x \\
                            0 \qquad \qquad \quad se\ X \not\mapsto x
                            \end{cases}`))))),l(u.a,{title:"Funzione densità"},l("p",null,"La ",l("i",null,"funzione densità")," ",l(o.a,null,oe(rl||(rl=te`f_X : X \to [0, 1]`)))," di una variabile aleatoria ",l("b",null,"continua")," ",l(o.a,null,"X")," è l'equivalente continuo della funzione probabilità:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(sl||(sl=te`P([a < X \leq b]) = \int_a^b f_X (x) dx`)))),l("p",null,"A differenza della funzione probabilità, è possibile che la funzione densità ",l("b",null,"non esista")," per una certa variabile aleatoria."),l(s.a,null,"Rappresenta \"quanta\" probabilità c'è in un'unità di x!"))),l(r.a,{title:"Funzione di ripartizione"},l(u.a,{title:"Definizione"},l("p",null,"Ogni variabile aleatoria ha una ",l("i",null,"funzione di ripartizione")," ",l(o.a,null,oe(pl||(pl=te`F_X : \mathbb{R} \to [0, 1]`)))," associata, che rappresenta la probabilità che la variabile aleatoria assuma un valore minore o uguale a ",l(o.a,null,"t"),":"),l("p",null,"Si può dire che essa rappresenti la probabilità dell'evento ",l(o.a,null,oe(dl||(dl=te`A_t`))),":"),l("p",null,l(o.a,null,oe(ml||(ml=te`F_X (t) = P(A_t) = \begin{cases}
                            \sum_{i = 0}^{t} p_X (x_i) \quad nel\ discreto\\
                            \\
                            \int_{-\infty}^t f_X (x) dx \quad nel\ continuo
                            \end{cases}`))))),l(u.a,{title:"Proprietà della funzione"},l("ul",null,l("li",null,"È sempre ",l("b",null,"monotona crescente")," (non strettamente)."),l("br",null),l("li",null,"Vale ",l("b",null,"0")," a ",l(o.a,null,"-\\infty")," e ",l("b",null,"1")," a ",l(o.a,null,"+\\infty"),"."),l("br",null),l("li",null,"È ",l("b",null,"continua da destra"),": ",l(o.a,null,oe(cl||(cl=te`\forall x_0 \in \mathbb{R}, F_X (x_0) = \lim_{t \to x^+_0} F_X (t)`)))))),l(u.a,{title:"Probabilità di un valore"},l("p",null,"Possiamo usare la funzione di ripartizione per calcolare la probabilità di un certo valore reale:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(bl||(bl=te`P([X = x_0]) = \lim_{t \to x^+_0} F_X (t) - \lim_{t \to x^-_0} F_X (t)`)))))),l(r.a,{title:"Trasformazioni di variabili aleatorie"},l(u.a,{title:"Nel discreto"},l("p",null,"Nel discreto basta abbinare un nuovo valore a ogni valore della variabile originale.")),l(u.a,{title:"Nel continuo (invertibile)"},l("p",null,"Nel continuo applichiamo la formula dell'integrazione per sostituzione:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(vl||(vl=te`f_Y (y) = \int_{g(a)}^{g(b)} f_X ( g^{-1} (x) ) g^{-2} (x)`))))),l(u.a,{title:"Nel... digitale"},l("p",null,"Trasformare variabili aleatorie è molto utile nell'informatica per creare distribuzioni partendo da una funzione ",l("a",{href:"https://docs.python.org/3/library/random.html#random.random"},l("code",null,"random()"))," che restituisce numeri da 0 a 1 con una distribuzione lineare."))),l(r.a,{title:"Informazioni delle variabili aleatorie"},l(u.a,{title:"Media"},l("p",null,"Ogni variabile aleatoria che ha una ",l("b",null,"funzione di ripartizione")," e un ",l("b",null,"supporto finito")," ha anche una ",l("i",null,"media")," (o ",l("i",null,"valore medio")," o ",l("i",null,"atteso"),"):"),l("p",null,l(o.a,null,oe(fl||(fl=te`E(X) = \int_0^{+infty} (1 - F_X (t)) dt - \int_{-\infty}^{0} F_X (t) dt`)))),l("p",null,"Nel discreto, si può calcolare con:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(hl||(hl=te`E(X) = \sum_i P(X = x_i) \cdot x_i`)))),l("p",null,"Nel continuo, si può calcolare con:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(gl||(gl=te`E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X (x) \cdot x \cdot dx`)))))),l(r.a,null,l(u.a,{title:"Moda"},l("p",null,"Valore per cui la ",l("b",null,"funzione probabilità")," o ",l("b",null,"funzione densità")," è ",l("b",null,"massima"),".")),l(u.a,{title:"Quantili"},l("p",null,"Il ",l("i",null,"quantile")," ",l(o.a,null,oe(_l||(_l=te`x_{\alpha}`)))," di ordine ",l(o.a,null,oe(zl||(zl=te`0 \leq \alpha \leq 1`)))," della variabile aleatoria ",l(o.a,null,"X")," è il più piccolo numero tale che:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Xl||(Xl=te`P([X < x_{\alpha}]) \leq \alpha \leq P([X \leq x_{\alpha}])`)))),l("p",null),l("p",null,"Il quantile di ordine 0.5 ",l(o.a,null,oe(ql||(ql=te`x_{0.5}`)))," è detto ",l("i",null,"mediana"),"."),l("p",null,"I quantili di ordine 0.25 ",l(o.a,null,oe(El||(El=te`x_{0.25}`)))," e 0.75 ",l(o.a,null,oe(Ll||(Ll=te`x_{0.75}`)))," sono detti ",l("i",null,"quartili"),"."),l("p",null,"I quantili di ordine ",l(o.a,null,oe(xl||(xl=te`\frac{n}{100}`)))," sono detti ",l("i",null,l(o.a,null,"n"),"-esima percentile"),".")),l(u.a,{title:"Varianza"},l("p",null,"È un valore che indica quanto la variabile aleatoria si discosta generalmente dalla media:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Pl||(Pl=te`Var(X) = E( (X - E(X) )^2 ) = E ( X^2 ) - (E(X))^2`)))))),l(r.a,{title:"Disuguaglianze notevoli"},l(u.a,{title:"Disuguaglianza di Markov"},l("p",null,"Data una variabile aleatoria non-negativa:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(kl||(kl=te`\forall k > 0, P([X \geq k]) \leq \frac{E(X)}{k}`)))),l("p",null,"Divide in due parti (",l(o.a,null,oe(Fl||(Fl=te`P(X < k)`)))," e ",l(o.a,null,oe(yl||(yl=te`P(X \geq k)`))),") la funzione X, la cui media risulterà uguale a:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Sl||(Sl=te`E(X) = \overline{k} \cdot P(X < k) + k \cdot P(X \geq k)`))))),l(u.a,{title:"Disuguaglianza di Čebyšëv"},l("blockquote",null,'"disuguaglianza di cebicev"'),l("p",null,"Se la variabile aleatoria ",l(o.a,null,"X")," ha media e varianza, allora la probabil
                                \sum_i x_i^k p_X (x_i) \qquad nel\ discreto\\
                                \\
                                \int_{-\infty}^{+\infty} x^k f_X (x) dx \qquad nel\ continuo
                                \end{cases}`)))),l(s.a,null,"La media di una variabile aleatoria è anche il suo primo momento.")),l(u.a,{title:"Funzione generatrice dei momenti"},l("p",null,"La ",l("i",null,"funzione generatrice dei momenti")," è:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(wl||(wl=te`m_X (t) = E( e^{t \cdot X} )`)))),l("p",null,"Se due variabile aleatorie hanno la stessa funzione generatrice dei momenti, allora esse hanno la ",l("b",null,"stessa distribuzione"),"."),l("p",null,"E' la ",l("b",null,"trasformata di Laplace")," della variabile aleatoria di X.")),l(u.a,{title:"Funzione caratteristica"},l("p",null,"La ",l("i",null,"funzione caratteristica")," è:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Dl||(Dl=te`H_X (t) = E ( e^{i \cdot t \cdot X} )`)))),l("p",null,"Se due variabile aleatorie hanno la stessa funzione caratteristica, allora esse hanno la ",l("b",null,"stessa distribuzione"),"."),l("p",null,"E' la ",l("b",null,"trasformata di Fourier")," della variabile aleatoria di X."))),l(r.a,{title:"Prove e schemi"},l(u.a,{title:"Variabile con distribuzione"},l("p",null,"Per dire che una variabile ha una certa distribuzione, si usa la notazione:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Ul||(Ul=te`X \sim Distribuzione()`))))),l(u.a,{title:"Prova di Bernoulli"},l("p",null,"Una prova con solo due possibili esiti: ",l(p.a,null,"successo")," e ",l(d.a,null,"insuccesso"),".")),l(u.a,{title:"Schema di Bernoulli"},l("p",null,"Una sequenza di prove di Bernoulli per le quali le probabilità di successo e fallimento rimangono invariate."))),l(r.a,{title:"Bernoulliana"},l(u.a,{title:"Distribuzione bernoulliana"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che rappresenta una prova di Bernoulli:"),l("ul",null,l("li",null,"vale ",l(p.a,null,"1")," in caso di ",l(p.a,null,"successo"),"."),l("li",null,"vale ",l(d.a,null,"0")," in caso di ",l(d.a,null,"insuccesso"),".")),l("p",null,"Il suo simbolo è ",l(o.a,null,oe(Ml||(Ml=te`Ber(p)`))))),l(u.a,{title:"Densità della bernoulliana"},l("p",null,"La distribuzione bernoulliana ha come densità:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Bl||(Bl=te`f_X (k) : \{0, 1\} = \begin{cases}
                            p \quad se\ k = 1\\
                            q \quad se\ k = 0\\
                            0 \quad altrimenti
                            \end{cases} = p^x \cdot q^{1 - k}`)))))),l(r.a,{title:"Binomiale"},l(u.a,{title:"Distribuzione binomiale"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che conta il numero di successi di ",l(o.a,null,"n")," prove di uno schema di Bernoulli."),l("p",null,"Il suo simbolo è ",l(o.a,null,oe(Al||(Al=te`Bin(n, p)`))),".")),l(u.a,{title:"Densità della binomiale"},l("p",null,"La binomiale ha come densità:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Gl||(Gl=te`f_X (k) : \{0..n\} = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n - k}`))))),l(u.a,{title:"Momenti della binomiale"},l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della binomiale è:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Tl||(Tl=te`m_X (t) = (q + p \cdot e^t) ^ n`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," di una binomiale è:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Ql||(Ql=te`E(X) = n \cdot p`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," di una binomiale è:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Ol||(Ol=te`Var(X) = n \cdot p \cdot q`)))))),l(r.a,{title:"Geometrica"},l(u.a,{title:"Distribuzione geometrica"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che conta il numero di prove in uno schema di Bernoulli fino alla comparsa del primo successo."),l("p",null,"Il suo simbolo è ",l(o.a,null,"Geo(p)"),".")),l(u.a,{title:"Densità della geometrica"},l("p",null,"La geometrica ha come densità:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Rl||(Rl=te`f_X (k) : \mathbb{N} = q^{k - 1} p`))))),l(u.a,{title:"Momenti della geometrica"},l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della geometrica è:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(jl||(jl=te`m_X (t) = \frac{p \cdot e^t}{1 - q \cdot e^t}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," della geometrica è:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Kl||(Kl=te`E(X) = \frac{1}{p}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," della geometrica è:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Wl||(Wl=te`Var(X) = \frac{q}{p^2}`))))),l(u.a,{title:"Assenza di memoria della geometrica"},l("p",null,"La geometrica non tiene conto degli eventi avvenuti in passato: ha la proprietà dell'assenza di memoria:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Zl||(Zl=te`P([X = i + j | X > i ]) = P([X = j])`)))),l(s.a,null,"Ovvero, riscalando opportunamente l'asse Y posso prendere come 0 qualsiasi punto dell'asse X."))),l(r.a,{title:"Binomiale negativa"},l(u.a,{title:"Distribuzione binomiale negativa"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che conta il numero di prove in uno schema di Bernoulli necessarie perchè si verifichi l'",l(o.a,null,"n"),"-esimo successo."),l("p",null,"Il suo simbolo è ",l(o.a,null,oe(Jl||(Jl=te`\overline{Bin}(n, p)`))),".")),l(u.a,{title:"Densità della binomiale negativa"},l("p",null,"La binomiale negativa ha come densità:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Hl||(Hl=te`f_X (k) : \{ n .. +\infty \} \in \mathbb{N} = \binom{k - 1}{n - 1} \cdot p^n \cdot q^{k - n} `))))),l(u.a,{title:"Momenti della binomiale negativa"},l("p",null,l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della binomiale negativa è:"),l("p",null,l(o.a,null,oe($l||($l=te`m_X (t) : \{ t < ln(\frac{1}{q}) \} = \left( \frac{p \cdot e^t}{1 - q \cdot e^t} \right) ^n`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," della binomiale negativa è:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(la||(la=te`E(X) = \frac{n}{p}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," della binomiale negativa è:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(aa||(aa=te`Var(X) = \frac{n \cdot q}{p^2}`))))))),l(r.a,{title:"Geometrica traslata"},l(u.a,{title:"Distribuzione geometrica traslata"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che conta il numero ",l(o.a,null,"k")," di insuccessi consecutivi in uno schema di Bernoulli:"),l("p",null,"Il suo simbolo rimane ",l(o.a,null,oe(ia||(ia=te`Geo(p)`))),".")),l(u.a,{title:"Densità della geometrica tralsata"},l("p",null,"La geometrica traslata ha come densità:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(na||(na=te`f_X (k) : \mathbb{N} = p \cdot q^k `))))),l(u.a,{title:"Momenti della geometrica traslata"},l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della geometrica traslata è:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(ea||(ea=te`m_X (t) : \left\{ t < ln \left( \frac{1}{q} \right
                            0 \qquad \qquad x < 0\\
                            \lambda \cdot e^{-\lambda \cdot x} \quad x > 0
                            \end{cases}`)))),l("p",null,"L'esponenziale ha come ",l("b",null,"funzione di ripartizione"),":"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Na||(Na=te`F_X (t) = \begin{cases}
                            0 \qquad \qquad t < 0\\
                            1 - e^{-\lambda \cdot t} \quad t \geq 0
                            \end{cases}`))))),l(u.a,{title:"Momenti dell'esponenziale"},l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," dell'esponenziale è:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Va||(Va=te`m_X (t) : \{ t | t < \lambda \} \in \mathbb{R} = \frac{\lambda}{\lambda - t}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," dell'esponenziale è:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Ya||(Ya=te`E(X) = \frac{1}{\lambda}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," dell'esponenziale è:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(wa||(wa=te`Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}`))))),l(u.a,{title:"Assenza di memoria della esponenziale"},l("p",null,"L'esponenziale non tiene conto degli eventi avvenuti in passato: ha la proprietà dell'assenza di memoria:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Da||(Da=te`P([X > s + t | X > s]) = P([X > t])`)))),l(s.a,null,"Ovvero, riscalando opportunamente l'asse Y posso prendere come 0 qualsiasi punto dell'asse X."))),l(r.a,{title:"Legge gamma"},l(u.a,{title:"Distribuzione gamma"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che conta il tempo diwidehattesa prima dell'",l(o.a,null,"n"),"-esimo arrivo di un processo di Poisson di intensità ",l(o.a,null,oe(Ua||(Ua=te`\lambda`))),"."),l("p",null,"Il suo simbolo è ",l(o.a,null,oe(Ma||(Ma=te`\Gamma(n, \lambda)`))),".")),l(u.a,{title:"Densità della legge gamma"},l("p",null,"La legge gamma ha come densità:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Ba||(Ba=te`f_X (x) = \begin{cases}
                            0 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x < 0\\
                            \frac{1}{(n-1)!} \cdot \lambda^n \cdot x^{n-1} \cdot e^{-\lambda \cdot x} \quad k > 0
                            \end{cases}`))))),l(u.a,{title:"Momenti della legge gamma"},l("p",null,l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della legge gamma è:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Aa||(Aa=te`m_X (t) : ( t < \lambda ) \in \mathbb{R} = \left( \frac{\lambda}{\lambda - t} \right) ^\alpha`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," della legge gamma è:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Ga||(Ga=te`E(X) = \frac{\alpha}{\lambda}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," della legge gamma è:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Ta||(Ta=te`Var(X) = \frac{\alpha}{\lambda^2}`))))))),l(r.a,{title:"Uniforme"},l(u.a,{title:"Distribuzione uniforme"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che può assumere qualsiasi valore in un intervallo ",l(o.a,null,oe(Qa||(Qa=te`[a, b]`)))," in modo equiprobabile."),l("p",null,"Il suo simbolo è ",l(o.a,null,oe(Oa||(Oa=te`Uni(a, b)`)))),l("p",null,"Su di essa vale la seguente proprietà:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Ra||(Ra=te`P(X \in (c, d)) = \frac{d - c}{b - a}`))))),l(u.a,{title:"Densità della distribuzione uniforme"},l("p",null,"La distribuzione uniforme ha come ",l("b",null,"densità"),":"),l("p",null,l(o.a,null,oe(ja||(ja=te`f_X (x) = \begin{cases}
                                \frac{1}{b - a} \qquad a \leq x \leq b\\
                                0 \qquad \quad altrimenti    
                            \end{cases}`)))),l("p",null,"La distribuzione uniforme ha come ",l("b",null,"funzione di ripartizione"),":"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Ka||(Ka=te`f_X (x) = \begin{cases}
                                0 \qquad \quad x < a  
                                \frac{1}{b - a} \qquad a \leq x \leq b\\
                                1 \qquad \quad x > b
                            \end{cases}`))))),l(u.a,{title:"Momenti della distribuzione uniforme"},l("p",null,l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della distribuzione uniforme è:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Wa||(Wa=te`m_X (t) = \frac{e^{b \cdot t} - e^{a \cdot t}}{(b - a) \cdot t}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," della distribuzione uniforme è:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Za||(Za=te`E(X) = \frac{a + b}{2}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," della distribuzione uniforme è:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Ja||(Ja=te`Var(X) = \frac{(b - a)^2}{12}`))))))),l(r.a,{title:"Normale o Gaussiana"},l(u.a,{title:"Distribuzione normale"},l("p",null,"Una variabile aleatoria con una specifica distribuzione."),l("p",null,"Il suo simbolo è ",l(o.a,null,oe(Ha||(Ha=te`Nor(\mu, \sigma^2)`))),"."),l(s.a,null,l(o.a,null,"\\mu")," e ",l(o.a,null,"\\sigma^2")," sono rispettivamente la media e la varianza della distribuzione!")),l(u.a,{title:"Densità della distribuzione normale"},l("p",null,"La distribuzione normale ha come densità:"),l("p",null,l(o.a,null,oe($a||($a=te`f_X (x) = \frac{e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}}}{\sqrt{2 \pi \cdot \sigma^2}}`))))),l(u.a,{title:"Momenti della distribuzione normale"},l("p",null,l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della distribuzione normale è:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(li||(li=te`m_X (t) = e^{\mu \cdot t + \frac{\sigma^2 \cdot t^2}{2}}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," della distribuzione normale è:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(ai||(ai=te`E(X) = \mu`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," della distribuzione normale è:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(ii||(ii=te`Var(X) = \sigma^2`))))))),l(r.a,null,l(u.a,{title:"Trasformazione della normale"},l("p",null,"Qualsiasi normale può essere trasformata in qualsiasi altra normale:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(ni||(ni=te`X \sim Nor(m, v^2) \implies \alpha X + \beta \sim Nor(\alpha m + \beta, (\alpha v)^2)`))))),l(u.a,{title:"Normale standard"},l("p",null,"La distribuzione normale standard ",l(o.a,null,"Z")," è:"),l("p",null,l(o.a,null,"Z \\sim Nor(0, 1)")),l("p",null,"La sua funzione di ripartizione è detta ",l(o.a,null,oe(ei||(ei=te`\phi(z)`)))," e vale:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(ti||(ti=te`F_Z(z) = \phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-\frac{x^2}{2}} dx`))))),l(u.a,{title:"Quantili normali"},l("p",null,"Da un quantile ",l(o.a,null,oe(oi||(oi=te`z_\alpha`)))," della normale standard è possibile risalire allo stesso quantile di qualsiasi altra normale:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(ui||(ui=te`x_\alpha = \mu + z_\alpha \cdot \sqrt{\sigma^2}`)))))),l(r.a,null,l(u.a,{title:"Gamma e normale"},l("p",null,"La distribuzione normale ha una particolare relazione con la distribuzione Gamma:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(ri||(ri=te`Z^2 \sim \chi^2 (v = 1)`))))),l(u.a,{title:"La funzione Chi"},l("blockquote",null,'"chi-quadro a un grado di libertà"'),l("p",null,"Esiste una distribuzione Gamma particolare:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(si||(si=te`\Gamma \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right) = \chi^2 (v = 1)`)))),l("p",null,"Più chi-quadro possono essere sommate per aumentare i loro gradi di libertà:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(pi||(pi=te`\chi^2 (n) + \chi^2 (m) = \chi^2 (n + m)`))))),l(u.a,{title:"T di Student"},l("p",null,"Un'altra funzione particolare è la funzione T di Student:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(di||(di=te`T(v) = \frac{Nor(0, 1)}{\sqrt{\frac{\chi^2(v)}{v}}}`)))))),l(r.a,{title:"Approssimazioni notevoli"},l(u.a,{title:"Ipergeometrica e binomiale"},l("p",null,"La binomiale è come una ipergeometrica ma con ripetizioni, quindi per valori molto grandi di ",l(o.a,null,"N")," rispetto a ",l(o.a,null,"n"),", si può dire che:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(mi||(mi=te`Ipe(N, K, n) \approx Bin(n, \frac{K}{N})`))))),l(u.a,{title:"Binomiale e poissoniana"},l("p",null,"La binomiale non è altro che una poissoniana a tempo discreto, quindi, se ",l(o.a,null,"n")," è grande e ",l(o.a,null,"n \\cdot p")," è nell'ordine di grandezza delle unità, allora:"),l("p",null,l(o.a,nul
                                \boldsymbol{C_X} = 
                                \begin{bmatrix}
                                    Var(X_1) & Cov(X_1, X_2) & Cov(X_1, X_3)\\
                                    Cov(X_2, X_1) & Var(X_2) & Cov(X_2, X_3)\\
                                    Cov(X_3, X_1) & Cov(X_3, X_2) & Var(X_3)
                                \end{bmatrix}
                            `)))),l("p",null,"E' sempre simmetrica e semidefinita positiva (tutti gli autovalori sono ",l(o.a,null,"\\geq 0"),".")),l(u.a,{title:"Coefficiente di correlazione"},l("p",null,"Un valore che misura come due variabili aleatorie sono correlate:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Mi||(Mi=te`\rho_{X, Y} = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{Var(X)} \cdot \sqrt{Var(Y)}}`)))),l("p",null,"E' sempre compreso tra -1 e 1:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Bi||(Bi=te`-1 \leq \rho_{X, Y} \leq 1`)))),l("p",null,"Vale esattamente -1 o 1 solo se esiste un legame lineare tra le due variaibli:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Ai||(Ai=te`Y = a X + b \Longleftrightarrow | \rho_{X, Y} | = 1`))))),l(u.a,{title:"Varianza di variabili aleatorie sommate"},l("p",null,"La varianza di due variabili aleatorie sommate è:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Gi||(Gi=te`Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 \cdot Cov(X, Y)`)))),l(s.a,null,"Si dimostra applicando le proprietà della covarianza!"),l("p",null,"Se più variabili aleatorie ",l(o.a,null,"X_i")," sono ",l("b",null,"indipendenti")," (",l(o.a,null,oe(Ti||(Ti=te`Cov(X, Y) = 0`))),"), allora:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Qi||(Qi=te`Var \left( \sum_i X_i \right) = \sum_i Var(X_i)`)))))),l(r.a,{title:"Campioni"},l(u.a,{title:"Campione casuale"},l("p",null,"Una ",l("b",null,"n-pla")," di variabili aleatorie con la stessa distribuzione della variabile aleatoria ",l(o.a,null,"X"),' ("popolazione") ma ',l("b",null,"indipendenti")," tra loro."),l(s.a,null,"Le variabili aleatorie sono come un lazy-load in programmazione; quando ci sarà bisogno del loro valore numerico, esse si ",l("b",null,"realizzeranno")," nel loro valore.")),l(u.a,{title:"Momento campionario"},l("p",null,"Il valore dato dalla media aritmetica degli ",l(o.a,null,"n")," elementi del campione elevati alla potenza ",l(o.a,null,"k"),":"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Oi||(Oi=te`M^{(k)}_n = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^n X_i^k `)))),l("p",null,"Il momento campionario di primo ordine è la ",l("i",null,"media campionaria")," ",l(o.a,null,oe(Ri||(Ri=te`\overline{X}_n`))),".")),l(u.a,{title:"Varianza campionaria"},l("p",null,"La media aritmetica dello scarto quadratico medio degli elementi del campione."),l("p",null,"Se è noto il valore medio ",l(o.a,null,oe(ji||(ji=te`m = E(X)`)))," di X:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Ki||(Ki=te`S_0^2 = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^n (X_i - m)^2 = M_n^(2) - 2 \cdot m \cdot \overline{X}_n + m^2`)))),l("p",null,"Altrimenti:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Wi||(Wi=te`S_n^2 = \frac{1}{n - 1} \cdot \sum_{i = 1}^n (X_i - \overline{X}_n)^2 = \frac{1}{n - 1} \cdot ( n \cdot M_2^{(2)} - n \cdot \overline{X}_n^2)`)))))),l(r.a,{title:"Media-ception"},l(u.a,{title:"Media campionaria"},l("p",null,"Se calcoliamo la media della media campionaria, risulterà vero che:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Zi||(Zi=te`E(\overline{X}_n) = E(X)`)))),l(s.a,null,"Quindi, è possibile usare i campioni per trovare la media di una variabile aleatoria!")),l(u.a,{title:"Varianza campionaria"},l("p",null,"Se calcoliamo la varianza della media campionaria, risulterà vero che:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Ji||(Ji=te`Var(\overline{X}_n) = \frac{Var(X)}{n}`)))),l(s.a,null,"Quindi, possiamo stimare l'errore della media calcolata tramite campioni!")),l(u.a,{title:"Correzione campionaria"},l("p",null,"Se calcoliamo la media della varianza campionaria, risulterà vero che:"),l("p",null,l(o.a,null,oe(Hi||(Hi=te`E(S_0^2) = E(S_n^2) = Var(X)`)))),l(s.a,null,"Quindi, possiamo stimare l'errore della media calcolata tramite campioni!"))),l(r.a,{title:"Campionamento di una distribuzione normale"},l(u.a,{title:"Campionamento di una distribuzione normale"},l("p",null,"Se la popolazione ",l(o.a,null,"X")," ha una distribuzione normale (",l(o.a,null,oe($i||($i=te`X \sim Nor(\mu, \sigma^2)`))),")...")),l(u.a,{title:"Distribuzione della media campionaria"},l("p",null,"...allora sappiamo anche la distribuzione della media campionaria!"),l("p",null,l(o.a,null,oe(ln||(ln=te`\overline{X}_n \sim Nor \left( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \right)`))))),l(u.a,{title:"Distribuzione della varianza campionaria"},
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