(window.webpackJsonp=window.webpackJsonp||[]).push([[11],{"2w3n":function(l){l.exports={red:"red__2y1B_",orange:"orange__dD2kx",yellow:"yellow__OEpwl",lime:"lime__CVe41",cyan:"cyan__26ZAg",blue:"blue__LO7Xm",magenta:"magenta__1Akee",example:"example__2PzAa"}},ZHMS:function(l,i,n){"use strict";(function(l){vare=n("gJgL"),a=n.n(e);i.a=function(i){returnl("span",{class:a.a.minus},i.children)}}).call(this,n("hosL").h)},ZQux:function(l,i,n){"use strict";n.r(i),function(l){vare=n("mbOI"),a=n("ke5e"),o=n("o8Jj"),t=n("ZHMS");letu,r,d,s,p,m,c,b,v,g,f,_,h,z,X,q,j,E,k,P,L,x,y,F,S,I,C,N,V,w,D,Y,U,M,B,A,T,G,O,R,K,Q,Z,W,J,H,$,ll,il,nl,el,al,ol,tl,ul,rl,dl,sl,pl,ml,cl,bl,vl,gl,fl,_l,hl,zl,Xl,ql,jl,El,kl,Pl,Ll,xl,yl,Fl,Sl,Il,Cl,Nl,Vl,wl,Dl,Yl,Ul,Ml,Bl,Al,Tl,Gl,Ol,Rl,Kl,Ql,Zl,Wl,Jl,Hl,$l,li,ii,ni,ei,ai,oi,ti,ui,ri,di,si,pi,mi,ci,bi,vi,gi,fi,_i,hi,zi,Xi,qi,ji,Ei,ki,Pi,Li,xi,yi,Fi,Si,Ii,Ci,Ni,Vi,wi,Di,Yi,Ui,Mi,Bi,Ai,Ti,Gi,Oi,Ri,Ki,Qi,Zi,Wi,Ji,Hi,$i,ln,nn,en,an,on,tn,un,rn,dn,sn,pn,mn,cn,bn,vn,gn,fn,_n,hn,zn,Xn,qn,jn,En,kn,Pn,Ln,xn,yn,Fn,Sn,In,Cn,Nn,Vn,wn,Dn,Yn,Un,Mn,Bn,An,Tn,Gn,On,Rn,Kn,Qn,Zn,Wn,Jn,Hn,$n,le,ie,ne,ee,ae,oe,te,ue,re,de,se,pe,me,ce,be,ve,ge,fe,_e,he,ze,Xe,qe,je,Ee,ke,Pe,Le,xe,ye,Fe,Se,Ie,Ce,Ne,Ve,we,De,Ye,Ue,Me,Be,Ae,Te,Ge,Oe,Re,Ke,Qe,Ze,We,Je,He,$e,la=l=>l;constia=String.raw;i.default=function(){returnl(e.f.Provider,{value:!1},l(e.e.Provider,{value:e.g.INLINE},l("div",null,l("h1",null,"Statistica ed Elementi di Probabilità"),l(e.k,{title:"Tipi di probabilità"},l(e.j,{title:"Classica"},l("p",null,l(e.d,null,ia(u||(u=la`P(E) = \frac{casi\ favorevoli}{casi\ possibili}`))))),l(e.j,{title:"Frequentista"},l("p",null,l(e.d,null,ia(r||(r=la`P(E) = \frac{successi}{prove\ totali}`))))),l(e.j,{title:"Soggettiva"},l("p",null,"Il prezzo che un individuo coerente riterrebbe equo per ricevere ",l("b",null,"1")," nel caso l'evento si verificasse e ",l("b",null,"0")," nel caso l'evento non si verificasse."))),l(e.k,{title:"Linguaggio matematico"},l(e.j,{title:"Spazio campionario"},l("blockquote",null,'"omegone"'),l("p",null,"L'",l("b",null,"insieme")," di tutti gli esiti possibili di un esperimento."),l("p",null,l(e.d,null,ia(d||(d=la`\Omega = \left \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right \}`))))),l(e.j,{title:"Esito"},l("blockquote",null,'"omeghino"'),l("p",null,"Un ",l("b",null,"elemento")," dello spazio campionario."),l("p",null,l(e.d,null,ia(s||(s=la`\omega = 1`))))),l(e.j,{title:"Evento"},l("blockquote",null,'"e"'),l("p",null,"Un ",l("b",null,"sottoinsieme")," dello spazio campionario."),l("p",null,l(e.d,null,ia(p||(p=la`E = \left \{ 1, 2 \right \}`)))),l("p",null,"Lo spazio campionario stesso è un ",l("b",null,"evento certo"),".")),l(e.j,{title:"Not"},l("blockquote",null,'"not e"'),l("p",null,"Il ",l("b",null,"complementare")," di un sottoinsieme."),l("p",null,l(e.d,null,ia(m||(m=la`\bar{E} = \left \{ 3, 4, 5, 6 \right \}`))))),l(e.j,{title:"And"},l("blockquote",null,'"e intersecato effe"'),l("p",null,"L'",l("b",null,"intersezione")," di più sottoinsiemi."),l("p",null,l(e.d,null,ia(c||(c=la`E \cap F = \left \{ 1 \right \}`))))),l(e.j,{title:"Or"},l("blockquote",null,'"e unito a effe"'),l("p",null,"L'",l("b",null,"unione")," di più sottoinsiemi."),l("p",null,l(e.d,null,ia(b||(b=la`E \cup F = \left \{ 1, 2, 3, 4 \right \}`))))),l(e.j,{title:"Differenza"},l("blockquote",null,'"e meno effe"'),l("p",null,l(e.d,null,ia(v||(v=la`E \setminus F = E \cap \bar{F}`))))),l(e.j,{title:"Implicazione"},l("blockquote",null,'"e contenuto in effe"'),l("p",null,"L'",l("b",null,"inclusione")," del primo insieme in un altro."),l("p",null,l(e.d,null,ia(g||(g=la`E \subseteq F`)))),l("p",null,"Se si verifica ",l(e.d,null,"E"),", allora si verifica anche ",l(e.d,null,"F"),".")),l(e.j,{title:"Evento impossibile"},l("blockquote",null,'"e è impossibile"'),l("p",null,"Un sottoinsieme ",l("b",null,"vuoto"),"."),l("p",null,l(e.d,null,ia(f||(f=la`E = \emptyset`))))),l(e.j,{title:"Mutua esclusione"},l("blockquote",null,'"e ed effe si escludono mutualmente"'),l("p",null,"La ",l("b",null,"disgiunzione")," di due insiemi."),l("p",null,l(e.d,null,ia(_||(_=la`E \cap F = \em
p_X(x)=\begin{cases}
P([X=x])\quadse\X\mapstox\\
0\qquad\qquad\quadse\X\not\mapstox
\end{cases}
`))))),l(e.j,{title:"Funzione densità"},l("p",null,"La ",l("i",null,"funzione densità")," ",l(e.d,null,ia(el||(el=la`f_X:X\to[0,1]`)))," di una variabile aleatoria ",l("b",null,"continua")," ",l(e.d,null,"X")," è l'equivalente continuo della funzione probabilità:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(al||(al=la`P([a<X\leqb])=\int_a^bf_X(x)dx`)))),l("p",null,"A differenza della funzione probabilità, è possibile che la funzione densità ",l("b",null,"non esista")," per una certa variabile aleatoria."),l(a.a,null,"Rappresenta \"quanta\" probabilità c'è in un'unità di x!"))),l(e.k,{title:"Funzione di ripartizione"},l(e.j,{title:"Definizione"},l("p",null,"Ogni variabile aleatoria ha una ",l("i",null,"funzione di ripartizione")," ",l(e.d,null,ia(ol||(ol=la`F_X:\mathbb{R}\to[0,1]`)))," associata, che rappresenta la probabilità che la variabile aleatoria assuma un valore minore o uguale a ",l(e.d,null,"t"),":"),l("p",null,"Si può dire che essa rappresenti la probabilità dell'evento ",l(e.d,null,ia(tl||(tl=la`A_t`))),":"),l("p",null,l(e.d,null,ia(ul||(ul=la`
F_X(t)=P(A_t)=\begin{cases}
\sum_{i=0}^{t}p_X(x_i)\quadnel\discreto\\
\\
\int_{-\infty}^tf_X(x)dx\quadnel\continuo
\end{cases}
`))))),l(e.j,{title:"Proprietà della funzione"},l("ul",null,l("li",null,"È sempre ",l("b",null,"monotona crescente")," (non strettamente)."),l("br",null),l("li",null,"Vale ",l("b",null,"0")," a ",l(e.d,null,"-\\infty")," e ",l("b",null,"1")," a ",l(e.d,null,"+\\infty"),"."),l("br",null),l("li",null,"È ",l("b",null,"continua da destra"),": ",l(e.d,null,ia(rl||(rl=la`\forallx_0\in\mathbb{R},F_X(x_0)=\lim_{t\tox^+_0}F_X(t)`)))))),l(e.j,{title:"Probabilità di un valore"},l("p",null,"Possiamo usare la funzione di ripartizione per calcolare la probabilità di un certo valore reale:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(dl||(dl=la`P([X=x_0])=\lim_{t\tox^+_0}F_X(t)-\lim_{t\tox^-_0}F_X(t)`)))))),l(e.k,{title:"Trasformazioni di variabili aleatorie"},l(e.j,{title:"Nel discreto"},l("p",null,"Nel discreto basta abbinare un nuovo valore a ogni valore della variabile originale.")),l(e.j,{title:"Nel continuo (invertibile)"},l("p",null,"Nel continuo applichiamo la formula dell'integrazione per sostituzione:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(sl||(sl=la`f_Y(y)=\int_{g(a)}^{g(b)}f_X(g^{-1}(x))g^{-2}(x)`))))),l(e.j,{title:"Nel... digitale"},l("p",null,"Trasformare variabili aleatorie è molto utile nell'informatica per creare distribuzioni partendo da una funzione ",l("a",{href:"https://docs.python.org/3/library/random.html#random.random"},l("code",null,"random()"))," che restituisce numeri da 0 a 1 con una distribuzione lineare."))),l(e.k,{title:"Informazioni delle variabili aleatorie"},l(e.j,{title:"Media"},l("p",null,"Ogni variabile aleatoria che ha una ",l("b",null,"funzione di ripartizione")," e un ",l("b",null,"supporto finito")," ha anche una ",l("i",null,"media")," (o ",l("i",null,"valore medio")," o ",l("i",null,"atteso"),"):"),l("p",null,l(e.d,null,ia(pl||(pl=la`E(X)=\int_0^{+infty}(1-F_X(t))dt-\int_{-\infty}^{0}F_X(t)dt`)))),l("p",null,"Nel discreto, si può calcolare con:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(ml||(ml=la`E(X)=\sum_iP(X=x_i)\cdotx_i`)))),l("p",null,"Nel continuo, si può calcolare con:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(cl||(cl=la`E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)\cdotx\cdotdx`)))))),l(e.k,null,l(e.j,{title:"Moda"},l("p",null,"Valore per cui la ",l("b",null,"funzione probabilità")," o ",l("b",null,"funzione densità")," è ",l("b",null,"massima"),".")),l(e.j,{title:"Quantili"},l("p",null,"Il ",l("i",null,"quantile")," ",l(e.d,null,ia(bl||(bl=la`x_{\alpha}`)))," di ordine ",l(e.d,null,ia(vl||(vl=la`0\leq\alpha\leq1`)))," della variabile aleatoria ",l(e.d,null,"X")," è il più piccolo numero tale che:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(gl||(gl=la`P([X<x_{\alpha}])\leq\alpha\leqP([X\leqx_{\alpha}])`)))),l("p",null),l("p",null,"Il quantile di ordine 0.5 ",l(e.d,null,ia(fl||(fl=la`x_{0.5}`)))," è detto ",l("i",null,"mediana"),"."),l("p",null,"I quantili di ordine 0.25 ",l(e.d,null,ia(_l||(_l=la`x_{0.25}`)))," e 0.75 ",l(e.d,null,ia(hl||(hl=la`x_{0.75}`)))," sono detti ",l("i",null,"quartili"),"."),l("p",null,"I quantili di ordine ",l(e.d,null,ia(zl||(zl=la`\frac{n}{100}`)))," sono detti ",l("i",null,l(e.d,null,"n"),"-esima percentile"),".")),l(e.j,{title:"Varianza"},l("p",null,"È un valore che indica quanto la variabile aleatoria si discosta generalmente dalla media:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Xl||(Xl=la`Var(X)=E((X-E(X))^2)=E(X^2)-(E(X))^2`)))))),l(e.k,{title:"Disuguaglianze notevoli"},l(e.j,{title:"Disuguaglianza di Markov"},l("p",null,"Data una variabile aleatoria non-negativa:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(ql||(ql=la`\forallk>0,P([X\geqk])\leq\frac{E(X)}{k}`)))),l("p",null,"Divide in due parti (",l(e.d,null,ia(jl||(jl=la`P(X<k)`)))," e ",l(e.d,null,ia(El||(El=la`P(X\geqk)`))),") la funzione X, la cui media risulterà uguale a:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(kl||(kl=la`E(X)=\overline{k}\cdotP(X<k)+k\cdotP(X\geqk)`))))),l(e.j,{title:"Disuguaglianza di Čebyšëv"},l("blockquote",null,'"disuguaglianza di cebicev"'),l("p",null,"Se la variabile aleatoria ",l(e.d,null,"X")," ha media e varianza, allora la probabilità che es
\end{cases}`)))),l(a.a,null,"La media di una variabile aleatoria è anche il suo primo momento.")),l(e.j,{title:"Funzione generatrice dei momenti"},l("p",null,"La ",l("i",null,"funzione generatrice dei momenti")," è:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Sl||(Sl=la`m_X(t)=E(e^{t\cdotX})`)))),l("p",null,"Se due variabile aleatorie hanno la stessa funzione generatrice dei momenti, allora esse hanno la ",l("b",null,"stessa distribuzione"),"."),l("p",null,"E' la ",l("b",null,"trasformata di Laplace")," della variabile aleatoria di X.")),l(e.j,{title:"Funzione caratteristica"},l("p",null,"La ",l("i",null,"funzione caratteristica")," è:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Il||(Il=la`H_X(t)=E(e^{i\cdott\cdotX})`)))),l("p",null,"Se due variabile aleatorie hanno la stessa funzione caratteristica, allora esse hanno la ",l("b",null,"stessa distribuzione"),"."),l("p",null,"E' la ",l("b",null,"trasformata di Fourier")," della variabile aleatoria di X."))),l(e.k,{title:"Prove e schemi"},l(e.j,{title:"Variabile con distribuzione"},l("p",null,"Per dire che una variabile ha una certa distribuzione, si usa la notazione:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Cl||(Cl=la`X\simDistribuzione()`))))),l(e.j,{title:"Prova di Bernoulli"},l("p",null,"Una prova con solo due possibili esiti: ",l(o.a,null,"successo")," e ",l(t.a,null,"insuccesso"),".")),l(e.j,{title:"Schema di Bernoulli"},l("p",null,"Una sequenza di prove di Bernoulli per le quali le probabilità di successo e fallimento rimangono invariate."))),l(e.k,{title:"Bernoulliana"},l(e.j,{title:"Distribuzione bernoulliana"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che rappresenta una prova di Bernoulli:"),l("ul",null,l("li",null,"vale ",l(o.a,null,"1")," in caso di ",l(o.a,null,"successo"),"."),l("li",null,"vale ",l(t.a,null,"0")," in caso di ",l(t.a,null,"insuccesso"),".")),l("p",null,"Il suo simbolo è ",l(e.d,null,ia(Nl||(Nl=la`Ber(p)`))))),l(e.j,{title:"Densità della bernoulliana"},l("p",null,"La distribuzione bernoulliana ha come densità:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Vl||(Vl=la`
f_X(k):\{0,1\}=\begin{cases}
p\quadse\k=1\\
q\quadse\k=0\\
0\quadaltrimenti
\end{cases}=p^x\cdotq^{1-k}`)))))),l(e.k,{title:"Binomiale"},l(e.j,{title:"Distribuzione binomiale"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che conta il numero di successi di ",l(e.d,null,"n")," prove di uno schema di Bernoulli."),l("p",null,"Il suo simbolo è ",l(e.d,null,ia(wl||(wl=la`Bin(n,p)`))),".")),l(e.j,{title:"Densità della binomiale"},l("p",null,"La binomiale ha come densità:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Dl||(Dl=la`f_X(k):\{0..n\}=\binom{n}{k}\cdotp^k\cdotq^{n-k}`))))),l(e.j,{title:"Momenti della binomiale"},l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della binomiale è:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Yl||(Yl=la`m_X(t)=(q+p\cdote^t)^n`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," di una binomiale è:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Ul||(Ul=la`E(X)=n\cdotp`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," di una binomiale è:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Ml||(Ml=la`Var(X)=n\cdotp\cdotq`)))))),l(e.k,{title:"Geometrica"},l(e.j,{title:"Distribuzione geometrica"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che conta il numero di prove in uno schema di Bernoulli fino alla comparsa del primo successo."),l("p",null,"Il suo simbolo è ",l(e.d,null,"Geo(p)"),".")),l(e.j,{title:"Densità della geometrica"},l("p",null,"La geometrica ha come densità:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Bl||(Bl=la`f_X(k):\mathbb{N}=q^{k-1}p`))))),l(e.j,{title:"Momenti della geometrica"},l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della geometrica è:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Al||(Al=la`m_X(t)=\frac{p\cdote^t}{1-q\cdote^t}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," della geometrica è:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Tl||(Tl=la`E(X)=\frac{1}{p}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," della geometrica è:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Gl||(Gl=la`Var(X)=\frac{q}{p^2}`))))),l(e.j,{title:"Assenza di memoria della geometrica"},l("p",null,"La geometrica non tiene conto degli eventi avvenuti in passato: ha la proprietà dell'assenza di memoria:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Ol||(Ol=la`P([X=i+j|X>i])=P([X=j])`)))),l(a.a,null,"Ovvero, riscalando opportunamente l'asse Y posso prendere come 0 qualsiasi punto dell'asse X."))),l(e.k,{title:"Binomiale negativa"},l(e.j,{title:"Distribuzione binomiale negativa"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che conta il numero di prove in uno schema di Bernoulli necessarie perchè si verifichi l'",l(e.d,null,"n"),"-esimo successo."),l("p",null,"Il suo simbolo è ",l(e.d,null,ia(Rl||(Rl=la`\overline{Bin}(n,p)`))),".")),l(e.j,{title:"Densità della binomiale negativa"},l("p",null,"La binomiale negativa ha come densità:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Kl||(Kl=la`f_X(k):\{n..+\infty\}\in\mathbb{N}=\binom{k-1}{n-1}\cdotp^n\cdotq^{k-n}`))))),l(e.j,{title:"Momenti della binomiale negativa"},l("p",null,l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della binomiale negativa è:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Ql||(Ql=la`m_X(t):\{t<ln(\frac{1}{q})\}=\left(\frac{p\cdote^t}{1-q\cdote^t}\right)^n`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," della binomiale negativa è:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Zl||(Zl=la`E(X)=\frac{n}{p}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," della binomiale negativa è:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Wl||(Wl=la`Var(X)=\frac{n\cdotq}{p^2}`))))))),l(e.k,{title:"Geometrica traslata"},l(e.j,{title:"Distribuzione geometrica traslata"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che conta il numero ",l(e.d,null,"k")," di insuccessi consecutivi in uno schema di Bernoulli:"),l("p",null,"Il suo simbolo rimane ",l(e.d,null,ia(Jl||(Jl=la`Geo(p)`))),".")),l(e.j,{title:"Densità della geometrica tralsata"},l("p",null,"La geometrica traslata ha come densità:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Hl||(Hl=la`f_X(k):\mathbb{N}=p\cdotq^k`))))),l(e.j,{title:"Momenti della geometrica traslata"},l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della geometrica traslata è:"),l("p",null,l(e.d,null,ia($l||($l=la`m_X(t):\left\{t<ln\left(\frac{1}{q}\r
f_X(x)=\begin{cases}
0\qquad\qquadx<0\\
\lambda\cdote^{-\lambda\cdotx}\quadx>0
\end{cases}`)))),l("p",null,"L'esponenziale ha come ",l("b",null,"funzione di ripartizione"),":"),l("p",null,l(e.d,null,ia(xi||(xi=la`
F_X(t)=\begin{cases}
0\qquad\qquadt<0\\
1-e^{-\lambda\cdott}\quadt\geq0
\end{cases}`))))),l(e.j,{title:"Momenti dell'esponenziale"},l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," dell'esponenziale è:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(yi||(yi=la`m_X(t):\{t|t<\lambda\}\in\mathbb{R}=\frac{\lambda}{\lambda-t}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," dell'esponenziale è:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Fi||(Fi=la`E(X)=\frac{1}{\lambda}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," dell'esponenziale è:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Si||(Si=la`Var(X)=\frac{1}{\lambda^2}`))))),l(e.j,{title:"Assenza di memoria della esponenziale"},l("p",null,"L'esponenziale non tiene conto degli eventi avvenuti in passato: ha la proprietà dell'assenza di memoria:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Ii||(Ii=la`P([X>s+t|X>s])=P([X>t])`)))),l(a.a,null,"Ovvero, riscalando opportunamente l'asse Y posso prendere come 0 qualsiasi punto dell'asse X."))),l(e.k,{title:"Legge gamma"},l(e.j,{title:"Distribuzione gamma"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che conta il tempo diwidehattesa prima dell'",l(e.d,null,"n"),"-esimo arrivo di un processo di Poisson di intensità ",l(e.d,null,ia(Ci||(Ci=la`\lambda`))),"."),l("p",null,"Il suo simbolo è ",l(e.d,null,ia(Ni||(Ni=la`\Gamma(n,\lambda)`))),".")),l(e.j,{title:"Densità della legge gamma"},l("p",null,"La legge gamma ha come densità:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Vi||(Vi=la`
\end{cases}`))))),l(e.j,{title:"Momenti della legge gamma"},l("p",null,l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della legge gamma è:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(wi||(wi=la`m_X(t):(t<\lambda)\in\mathbb{R}=\left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right)^\alpha`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," della legge gamma è:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Di||(Di=la`E(X)=\frac{\alpha}{\lambda}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," della legge gamma è:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Yi||(Yi=la`Var(X)=\frac{\alpha}{\lambda^2}`))))))),l(e.k,{title:"Uniforme"},l(e.j,{title:"Distribuzione uniforme"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che può assumere qualsiasi valore in un intervallo ",l(e.d,null,ia(Ui||(Ui=la`[a,b]`)))," in modo equiprobabile."),l("p",null,"Il suo simbolo è ",l(e.d,null,ia(Mi||(Mi=la`Uni(a,b)`)))),l("p",null,"Su di essa vale la seguente proprietà:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Bi||(Bi=la`P(X\in(c,d))=\frac{d-c}{b-a}`))))),l(e.j,{title:"Densità della distribuzione uniforme"},l("p",null,"La distribuzione uniforme ha come ",l("b",null,"densità"),":"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Ai||(Ai=la`
f_X(x)=\begin{cases}
\frac{1}{b-a}\qquada\leqx\leqb\\
0\qquad\quadaltrimenti
\end{cases}
`)))),l("p",null,"La distribuzione uniforme ha come ",l("b",null,"funzione di ripartizione"),":"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Ti||(Ti=la`
f_X(x)=\begin{cases}
0\qquad\quadx<a
\frac{1}{b-a}\qquada\leqx\leqb\\
1\qquad\quadx>b
\end{cases}`))))),l(e.j,{title:"Momenti della distribuzione uniforme"},l("p",null,l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della distribuzione uniforme è:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Gi||(Gi=la`m_X(t)=\frac{e^{b\cdott}-e^{a\cdott}}{(b-a)\cdott}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," della distribuzione uniforme è:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Oi||(Oi=la`E(X)=\frac{a+b}{2}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," della distribuzione uniforme è:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Ri||(Ri=la`Var(X)=\frac{(b-a)^2}{12}`))))))),l(e.k,{title:"Normale o Gaussiana"},l(e.j,{title:"Distribuzione normale"},l("p",null,"Una variabile aleatoria con una specifica distribuzione."),l("p",null,"Il suo simbolo è ",l(e.d,null,ia(Ki||(Ki=la`Nor(\mu,\sigma^2)`))),"."),l(a.a,null,l(e.d,null,"\\mu")," e ",l(e.d,null,"\\sigma^2")," sono rispettivamente la media e la varianza della distribuzione!")),l(e.j,{title:"Densità della distribuzione normale"},l("p",null,"La distribuzione normale ha come densità:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Qi||(Qi=la`f_X(x)=\frac{e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}}{\sqrt{2\pi\cdot\sigma^2}}`))))),l(e.j,{title:"Momenti della distribuzione normale"},l("p",null,l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della distribuzione normale è:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Zi||(Zi=la`m_X(t)=e^{\mu\cdott+\frac{\sigma^2\cdott^2}{2}}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," della distribuzione normale è:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Wi||(Wi=la`E(X)=\mu`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," della distribuzione normale è:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Ji||(Ji=la`Var(X)=\sigma^2`))))))),l(e.k,null,l(e.j,{title:"Trasformazione della normale"},l("p",null,"Qualsiasi normale può essere trasformata in qualsiasi altra normale:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Hi||(Hi=la`X\simNor(m,v^2)\implies\alphaX+\beta\simNor(\alpham+\beta,(\alphav)^2)`))))),l(e.j,{title:"Normale standard"},l("p",null,"La distribuzione normale standard ",l(e.d,null,"Z")," è:"),l("p",null,l(e.d,null,"Z \\sim Nor(0, 1)")),l("p",null,"La sua funzione di ripartizione è detta ",l(e.d,null,ia($i||($i=la`\phi(z)`)))," e vale:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(ln||(ln=la`F_Z(z)=\phi(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{z}e^{-\frac{x^2}{2}}dx`))))),l(e.j,{title:"Quantili normali"},l("p",null,"Da un quantile ",l(e.d,null,ia(nn||(nn=la`z_\alpha`)))," della normale standard è possibile risalire allo stesso quantile di qualsiasi altra normale:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(en||(en=la`x_\alpha=\mu+z_\alpha\cdot\sqrt{\sigma^2}`)))))),l(e.k,null,l(e.j,{title:"Gamma e normale"},l("p",null,"La distribuzione normale ha una particolare relazione con la distribuzione Gamma:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(an||(an=la`Z^2\sim\chi^2(v=1)`))))),l(e.j,{title:"La funzione Chi"},l("blockquote",null,'"chi-quadro a un grado di libertà"'),l("p",null,"Esiste una distribuzione Gamma particolare:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(on||(on=la`\Gamma\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)=\chi^2(v=1)`)))),l("p",null,"Più chi-quadro possono essere sommate per aumentare i loro gradi di libertà:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(tn||(tn=la`\chi^2(n)+\chi^2(m)=\chi^2(n+m)`))))),l(e.j,{title:"T di Student"},l("p",null,"Un'altra funzione particolare è la funzione T di Student:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(un||(un=la`T(v)=\frac{Nor(0,1)}{\sqrt{\frac{\chi^2(v)}{v}}}`)))))),l(e.k,{title:"Approssimazioni notevoli"},l(e.j,{title:"Ipergeometrica e binomiale"},l("p",null,"La binomiale è come una ipergeometrica ma con ripetizioni, quindi per valori molto grandi di ",l(e.d,null,"N")," rispetto a ",l(e.d,null,"n"),", si può dire che:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(rn||(rn=la`Ipe(N,K,n)\approxBin(n,\frac{K}{N})`))))),l(e.j,{title:"Binomiale e poissoniana"},l("p",null,"La binomiale non è altro che una poissoniana a tempo discreto, quindi, se ",l(e.d,null,"n")," è grande e ",l(e.d,null,"n \\cdot p")," è nell'ordine di grandezza delle unità, allora:"),l("p",null,l(e.d
`)))),l("p",null,"E' sempre simmetrica e semidefinita positiva (tutti gli autovalori sono ",l(e.d,null,"\\geq 0"),".")),l(e.j,{title:"Coefficiente di correlazione"},l("p",null,"Un valore che misura come due variabili aleatorie sono correlate:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Vn||(Vn=la`\rho_{X,Y}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)}\cdot\sqrt{Var(Y)}}`)))),l("p",null,"E' sempre compreso tra -1 e 1:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(wn||(wn=la`-1\leq\rho_{X,Y}\leq1`)))),l("p",null,"Vale esattamente -1 o 1 solo se esiste un legame lineare tra le due variaibli:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Dn||(Dn=la`Y=aX+b\Longleftrightarrow|\rho_{X,Y}|=1`))))),l(e.j,{title:"Varianza di variabili aleatorie sommate"},l("p",null,"La varianza di due variabili aleatorie sommate è:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Yn||(Yn=la`Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2\cdotCov(X,Y)`)))),l(a.a,null,"Si dimostra applicando le proprietà della covarianza!"),l("p",null,"Se più variabili aleatorie ",l(e.d,null,"X_i")," sono ",l("b",null,"indipendenti")," (",l(e.d,null,ia(Un||(Un=la`Cov(X,Y)=0`))),"), allora:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Mn||(Mn=la`Var\left(\sum_iX_i\right)=\sum_iVar(X_i)`)))))),l(e.k,{title:"Campioni"},l(e.j,{title:"Campione casuale"},l("p",null,"Una ",l("b",null,"n-pla")," di variabili aleatorie con la stessa distribuzione della variabile aleatoria ",l(e.d,null,"X"),' ("popolazione") ma ',l("b",null,"indipendenti")," tra loro."),l(a.a,null,"Le variabili aleatorie sono come un lazy-load in programmazione; quando ci sarà bisogno del loro valore numerico, esse si ",l("b",null,"realizzeranno")," nel loro valore.")),l(e.j,{title:"Momento campionario"},l("p",null,"Il valore dato dalla media aritmetica degli ",l(e.d,null,"n")," elementi del campione elevati alla potenza ",l(e.d,null,"k"),":"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Bn||(Bn=la`M^{(k)}_n=\frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^nX_i^k`)))),l("p",null,"Il momento campionario di primo ordine è la ",l("i",null,"media campionaria")," ",l(e.d,null,ia(An||(An=la`\overline{X}_n`))),".")),l(e.j,{title:"Varianza campionaria"},l("p",null,"La media aritmetica dello scarto quadratico medio degli elementi del campione."),l("p",null,"Se è noto il valore medio ",l(e.d,null,ia(Tn||(Tn=la`m=E(X)`)))," di X:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Gn||(Gn=la`S_0^2=\frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^n(X_i-m)^2=M_n^(2)-2\cdotm\cdot\overline{X}_n+m^2`)))),l("p",null,"Altrimenti:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(On||(On=la`S_n^2=\frac{1}{n-1}\cdot\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X}_n)^2=\frac{1}{n-1}\cdot(n\cdotM_2^{(2)}-n\cdot\overline{X}_n^2)`)))))),l(e.k,{title:"Media-ception"},l(e.j,{title:"Media campionaria"},l("p",null,"Se calcoliamo la media della media campionaria, risulterà vero che:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Rn||(Rn=la`E(\overline{X}_n)=E(X)`)))),l(a.a,null,"Quindi, è possibile usare i campioni per trovare la media di una variabile aleatoria!")),l(e.j,{title:"Varianza campionaria"},l("p",null,"Se calcoliamo la varianza della media campionaria, risulterà vero che:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Kn||(Kn=la`Var(\overline{X}_n)=\frac{Var(X)}{n}`)))),l(a.a,null,"Quindi, possiamo stimare l'errore della media calcolata tramite campioni!")),l(e.j,{title:"Correzione campionaria"},l("p",null,"Se calcoliamo la media della varianza campionaria, risulterà vero che:"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Qn||(Qn=la`E(S_0^2)=E(S_n^2)=Var(X)`)))),l(a.a,null,"Quindi, possiamo stimare l'errore della media calcolata tramite campioni!"))),l(e.k,{title:"Campionamento di una distribuzione normale"},l(e.j,{title:"Campionamento di una distribuzione normale"},l("p",null,"Se la popolazione ",l(e.d,null,"X")," ha una distribuzione normale (",l(e.d,null,ia(Zn||(Zn=la`X\simNor(\mu,\sigma^2)`))),")...")),l(e.j,{title:"Distribuzione della media campionaria"},l("p",null,"...allora sappiamo anche la distribuzione della media campionaria!"),l("p",null,l(e.d,null,ia(Wn||(Wn=la`\overline{X}_n\simNor\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)`))))),l(e.j,{title:"Distribuzione della varianza campionaria"},
