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\documentclass{article}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage{mathtools}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{centernot}
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% New symbols
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\let\oldsqrt\sqrt
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\def\sqrt{\mathpalette\DHLhksqrt}
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\def\DHLhksqrt#1#2{%
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\setbox0=\hbox{$#1\oldsqrt{#2\,}$}\dimen0=\ht0
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\advance\dimen0-0.2\ht0
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\setbox2=\hbox{\vrule height\ht0 depth -\dimen0}
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{\box0\lower0.4pt\box2}}
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\newcommand{\iu}{\mathrm{i}\mkern1mu}
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% End new symbols
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\begin{document}
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\section{Equazioni in \(\mathbb{C}\)}
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Come possiamo fare a risolvere equazioni in numeri complessi?\\
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Una possibile soluzione è quella di applicare la definizione di numero complesso \(z = a + \iu b\).\\
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Effettuiamo le seguenti sostituzioni:
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\[Re z = a\]
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\[Im z = b\]
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\[z = a + \iu b\]
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\[\bar{z} = a - \iu b\]
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Spostando tutti gli elementi al primo membro, giungeremo ad avere al secondo membro \(= 0 + 0i\); possiamo allora fare un sistema con la parte reale e la parte immaginaria del primo membro e risolverlo per a e b; infine, dovremo verificare manualmente tutte le soluzioni trovate in questo modo.
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\subsection{Esempio}
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[todo, non l'ho copiato]
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\subsection{Altro esempio}
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\[\begin{cases}
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z \bar{w} = \iu\\
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|z|^2 w + z = 1
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\end{cases}\]
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Passiamo la seconda equazione ai coniugati.
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\[\bar{|z|^2 w + z = 1} = \bar{1} = 1\]
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\[\bar{|z|^2} \bar{w} + \bar{z} = 1\]
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Vado a ricavare \(z\) dalla prima equazione.\\
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Se \(z \neq 0\), allora...
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\[\bar{w} = \frac{\iu}{z}\]
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E obbligatoriamente \(z \neq 0\), perchè altrimenti l'equazione non sarebbe verificata.\\
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Sappiamo che il modulo \(|z|^2 = (Re z)^2 + (Im z)^2 = z \bar{z}\), dunque tornando alla seconda equazione:
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\[\frac{z \bar{z} \iu}{z} + \bar{z} = 1\]
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\[\bar{z} \iu + \bar{z} = 1\]
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Risolvo la seconda equazione:
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\[a\iu + a + b - b\iu - 1 = 0\]
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\[\begin{cases}
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a + b - 1 = 0\\
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a = b
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\end{cases}\]
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\[a = b = \frac{1}{2}\]
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\[z = \frac{1}{2} + \frac{\iu}{2}\]
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\[\bar{w} = \frac{\iu}{z} = \frac{\iu}{\frac{1}{2} + \frac{\iu}{2}} = \frac{2 \iu + 2}{2} = 1 + \iu\]
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\section{Forma trigonometrica dei numeri complessi}
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Possiamo rappresentare i numeri complessi in un'altra forma, invece che quella algebrica.\\
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Rappresentiamo un complesso composto da un modulo \(\rho\) e un argomento \(\theta\) corrispondente all'angolo formato da il semiasse positivo del piano cartesiano e la semiretta che congiunge z e l'origine.
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\[\rho = \sqrt{a^2 + b^2}\]
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\[\begin{cases}
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a = Re z = |z| \cos(\theta)\\
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b = Im z = |z| \sin(\theta)
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\end{cases}\]
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[esempi omessi tanto sono sulle dispense]
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\section{Teorema}
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Siano \(z = \rho (\cos(\theta) + \iu \sin(\theta))\) e \(w = r (\cos \phi + \iu \sin(\theta))\), allora:
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\[zw = \rho r (\cos(\theta + \phi) + \iu \sin(\theta + \phi)\]
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\[\frac{z}{w} = \frac{\rho}{r} (\cos(\theta - \phi) + \iu \sin(\theta - \phi))\]
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\subsection{Potenza di un complesso}
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\[z^n = \rho^n (\cos(n \rho) + \iu sin (n \rho))\]
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\subsubsection{Esempio}
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Calcolare \((1 + \iu)^{16}\).
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\paragraph{Svolgimento}
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Troviamo la forma trigonometrica:
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\[1 + \iu = \sqrt{2} (\cos(\frac{\pi}{4}) + \iu \sin({\pi}{4}))\]
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\[(1 + \iu)^{16} = 2^4 (\cos(4 \pi) + \iu sin(4 \pi))\]
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\subsubsection{Esempio}
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\[i^{2018} = i^{504 * 4} * i^{2} = -1\]
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\section{Radici ennesime di numeri complessi}
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Sia \(w \in \mathbb{C}, w \neq 0\), allora esistono \(n\) radici ennesime complesse \(z_0, z_1, ..., z_{n-1}\) di \(w\), tali che:
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\[z^n_i = w \qquad i=0, ..., n-1\]
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Inoltre:
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\[w = r (\cos(\phi) + \iu \sin(\phi))\]
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\[z_K = \rho_K (\cos(\phi_K) + \iu \sin(\phi_K)) \qquad k = 0, ..., n-1\]
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\[\rho_K = r^{\frac{1}{n}}\]
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\[\phi_K = \frac{\phi}{n} + \frac{2 \pi K}{n}\]
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\end{document}
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