\end{cases}`))))),l(e.a,{title:"Funzione densità"},l("p",null,"La ",l("i",null,"funzione densità")," ",l(a.b,null,te(ul||(ul=ee`f_X:X\to[0,1]`)))," di una variabile aleatoria ",l("b",null,"continua")," ",l(a.b,null,"X")," è l'equivalente continuo della funzione probabilità:"),l("p",null,l(a.b,null,te(rl||(rl=ee`P([a<X\leqb])=\int_a^bf_X(x)dx`)))),l("p",null,"A differenza della funzione probabilità, è possibile che la funzione densità ",l("b",null,"non esista")," per una certa variabile aleatoria."),l(o.a,null,"Rappresenta \"quanta\" probabilità c'è in un'unità di x!"))),l(t.a,{title:"Funzione di ripartizione"},l(e.a,{title:"Definizione"},l("p",null,"Ogni variabile aleatoria ha una ",l("i",null,"funzione di ripartizione")," ",l(a.b,null,te(sl||(sl=ee`F_X:\mathbb{R}\to[0,1]`)))," associata, che rappresenta la probabilità che la variabile aleatoria assuma un valore minore o uguale a ",l(a.b,null,"t"),":"),l("p",null,"Si può dire che essa rappresenti la probabilità dell'evento ",l(a.b,null,te(pl||(pl=ee`A_t`))),":"),l("p",null,l(a.b,null,te(dl||(dl=ee`F_X(t)=P(A_t)=\begin{cases}
\sum_{i=0}^{t}p_X(x_i)\quadnel\discreto\\
\\
\int_{-\infty}^tf_X(x)dx\quadnel\continuo
\end{cases}`))))),l(e.a,{title:"Proprietà della funzione"},l("ul",null,l("li",null,"È sempre ",l("b",null,"monotona crescente")," (non strettamente)."),l("br",null),l("li",null,"Vale ",l("b",null,"0")," a ",l(a.b,null,"-\\infty")," e ",l("b",null,"1")," a ",l(a.b,null,"+\\infty"),"."),l("br",null),l("li",null,"È ",l("b",null,"continua da destra"),": ",l(a.b,null,te(cl||(cl=ee`\forallx_0\in\mathbb{R},F_X(x_0)=\lim_{t\tox^+_0}F_X(t)`)))))),l(e.a,{title:"Probabilità di un valore"},l("p",null,"Possiamo usare la funzione di ripartizione per calcolare la probabilità di un certo valore reale:"),l("p",null,l(a.b,null,te(ml||(ml=ee`P([X=x_0])=\lim_{t\tox^+_0}F_X(t)-\lim_{t\tox^-_0}F_X(t)`)))))),l(t.a,{title:"Trasformazioni di variabili aleatorie"},l(e.a,{title:"Nel discreto"},l("p",null,"Nel discreto basta abbinare un nuovo valore a ogni valore della variabile originale.")),l(e.a,{title:"Nel continuo (invertibile)"},l("p",null,"Nel continuo applichiamo la formula dell'integrazione per sostituzione:"),l("p",null,l(a.b,null,te(bl||(bl=ee`f_Y(y)=\int_{g(a)}^{g(b)}f_X(g^{-1}(x))g^{-2}(x)`))))),l(e.a,{title:"Nel... digitale"},l("p",null,"Trasformare variabili aleatorie è molto utile nell'informatica per creare distribuzioni partendo da una funzione ",l("a",{href:"https://docs.python.org/3/library/random.html#random.random"},l("code",null,"random()"))," che restituisce numeri da 0 a 1 con una distribuzione lineare."))),l(t.a,{title:"Informazioni delle variabili aleatorie"},l(e.a,{title:"Media"},l("p",null,"Ogni variabile aleatoria che ha una ",l("b",null,"funzione di ripartizione")," e un ",l("b",null,"supporto finito")," ha anche una ",l("i",null,"media")," (o ",l("i",null,"valore medio")," o ",l("i",null,"atteso"),"):"),l("p",null,l(a.b,null,te(vl||(vl=ee`E(X)=\int_0^{+infty}(1-F_X(t))dt-\int_{-\infty}^{0}F_X(t)dt`)))),l("p",null,"Nel discreto, si può calcolare con:"),l("p",null,l(a.b,null,te(_l||(_l=ee`E(X)=\sum_iP(X=x_i)\cdotx_i`)))),l("p",null,"Nel continuo, si può calcolare con:"),l("p",null,l(a.b,null,te(fl||(fl=ee`E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)\cdotx\cdotdx`)))))),l(t.a,null,l(e.a,{title:"Moda"},l("p",null,"Valore per cui la ",l("b",null,"funzione probabilità")," o ",l("b",null,"funzione densità")," è ",l("b",null,"massima"),".")),l(e.a,{title:"Quantili"},l("p",null,"Il ",l("i",null,"quantile")," ",l(a.b,null,te(hl||(hl=ee`x_{\alpha}`)))," di ordine ",l(a.b,null,te(gl||(gl=ee`0\leq\alpha\leq1`)))," della variabile aleatoria ",l(a.b,null,"X")," è il più piccolo numero tale che:"),l("p",null,l(a.b,null,te(zl||(zl=ee`P([X<x_{\alpha}])\leq\alpha\leqP([X\leqx_{\alpha}])`)))),l("p",null),l("p",null,"Il quantile di ordine 0.5 ",l(a.b,null,te(Xl||(Xl=ee`x_{0.5}`)))," è detto ",l("i",null,"mediana"),"."),l("p",null,"I quantili di ordine 0.25 ",l(a.b,null,te(ql||(ql=ee`x_{0.25}`)))," e 0.75 ",l(a.b,null,te(El||(El=ee`x_{0.75}`)))," sono detti ",l("i",null,"quartili"),"."),l("p",null,"I quantili di ordine ",l(a.b,null,te(Ll||(Ll=ee`\frac{n}{100}`)))," sono detti ",l("i",null,l(a.b,null,"n"),"-esima percentile"),".")),l(e.a,{title:"Varianza"},l("p",null,"È un valore che indica quanto la variabile aleatoria si discosta generalmente dalla media:"),l("p",null,l(a.b,null,te(Pl||(Pl=ee`Var(X)=E((X-E(X))^2)=E(X^2)-(E(X))^2`)))))),l(t.a,{title:"Disuguaglianze notevoli"},l(e.a,{title:"Disuguaglianza di Markov"},l("p",null,"Data una variabile aleatoria non-negativa:"),l("p",null,l(a.b,null,te(xl||(xl=ee`\forallk>0,P([X\geqk])\leq\frac{E(X)}{k}`)))),l("p",null,"Divide in due parti (",l(a.b,null,te(kl||(kl=ee`P(X<k)`)))," e ",l(a.b,null,te(Fl||(Fl=ee`P(X\geqk)`))),") la funzione X, la cui media risulterà uguale a:"),l("p",null,l(a.b,null,te(yl||(yl=ee`E(X)=\overline{k}\cdotP(X<k)+k\cdotP(X\geqk)`))))),l(e.a,{title:"Disuguaglianza di Čebyšëv"},l("blockquote",null,'"disuguaglianza di cebicev"'),l("p",null,"Se la variabile aleatoria ",l(a.b,null,"X")," ha media e varianza, allora la probabil
\end{cases}`)))),l(o.a,null,"La media di una variabile aleatoria è anche il suo primo momento.")),l(e.a,{title:"Funzione generatrice dei momenti"},l("p",null,"La ",l("i",null,"funzione generatrice dei momenti")," è:"),l("p",null,l(a.b,null,te(Yl||(Yl=ee`m_X(t)=E(e^{t\cdotX})`)))),l("p",null,"Se due variabile aleatorie hanno la stessa funzione generatrice dei momenti, allora esse hanno la ",l("b",null,"stessa distribuzione"),"."),l("p",null,"E' la ",l("b",null,"trasformata di Laplace")," della variabile aleatoria di X.")),l(e.a,{title:"Funzione caratteristica"},l("p",null,"La ",l("i",null,"funzione caratteristica")," è:"),l("p",null,l(a.b,null,te(wl||(wl=ee`H_X(t)=E(e^{i\cdott\cdotX})`)))),l("p",null,"Se due variabile aleatorie hanno la stessa funzione caratteristica, allora esse hanno la ",l("b",null,"stessa distribuzione"),"."),l("p",null,"E' la ",l("b",null,"trasformata di Fourier")," della variabile aleatoria di X."))),l(t.a,{title:"Prove e schemi"},l(e.a,{title:"Variabile con distribuzione"},l("p",null,"Per dire che una variabile ha una certa distribuzione, si usa la notazione:"),l("p",null,l(a.b,null,te(Dl||(Dl=ee`X\simDistribuzione()`))))),l(e.a,{title:"Prova di Bernoulli"},l("p",null,"Una prova con solo due possibili esiti: ",l(u.a,null,"successo")," e ",l(r.a,null,"insuccesso"),".")),l(e.a,{title:"Schema di Bernoulli"},l("p",null,"Una sequenza di prove di Bernoulli per le quali le probabilità di successo e fallimento rimangono invariate."))),l(t.a,{title:"Bernoulliana"},l(e.a,{title:"Distribuzione bernoulliana"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che rappresenta una prova di Bernoulli:"),l("ul",null,l("li",null,"vale ",l(u.a,null,"1")," in caso di ",l(u.a,null,"successo"),"."),l("li",null,"vale ",l(r.a,null,"0")," in caso di ",l(r.a,null,"insuccesso"),".")),l("p",null,"Il suo simbolo è ",l(a.b,null,te(Ul||(Ul=ee`Ber(p)`))))),l(e.a,{title:"Densità della bernoulliana"},l("p",null,"La distribuzione bernoulliana ha come densità:"),l("p",null,l(a.b,null,te(Ml||(Ml=ee`f_X(k):\{0,1\}=\begin{cases}
p\quadse\k=1\\
q\quadse\k=0\\
0\quadaltrimenti
\end{cases}=p^x\cdotq^{1-k}`)))))),l(t.a,{title:"Binomiale"},l(e.a,{title:"Distribuzione binomiale"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che conta il numero di successi di ",l(a.b,null,"n")," prove di uno schema di Bernoulli."),l("p",null,"Il suo simbolo è ",l(a.b,null,te(Al||(Al=ee`Bin(n,p)`))),".")),l(e.a,{title:"Densità della binomiale"},l("p",null,"La binomiale ha come densità:"),l("p",null,l(a.b,null,te(Tl||(Tl=ee`f_X(k):\{0..n\}=\binom{n}{k}\cdotp^k\cdotq^{n-k}`))))),l(e.a,{title:"Momenti della binomiale"},l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della binomiale è:"),l("p",null,l(a.b,null,te(Bl||(Bl=ee`m_X(t)=(q+p\cdote^t)^n`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," di una binomiale è:"),l("p",null,l(a.b,null,te(Ol||(Ol=ee`E(X)=n\cdotp`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," di una binomiale è:"),l("p",null,l(a.b,null,te(Gl||(Gl=ee`Var(X)=n\cdotp\cdotq`)))))),l(t.a,{title:"Geometrica"},l(e.a,{title:"Distribuzione geometrica"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che conta il numero di prove in uno schema di Bernoulli fino alla comparsa del primo successo."),l("p",null,"Il suo simbolo è ",l(a.b,null,"Geo(p)"),".")),l(e.a,{title:"Densità della geometrica"},l("p",null,"La geometrica ha come densità:"),l("p",null,l(a.b,null,te(Hl||(Hl=ee`f_X(k):\mathbb{N}=q^{k-1}p`))))),l(e.a,{title:"Momenti della geometrica"},l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della geometrica è:"),l("p",null,l(a.b,null,te(Rl||(Rl=ee`m_X(t)=\frac{p\cdote^t}{1-q\cdote^t}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," della geometrica è:"),l("p",null,l(a.b,null,te(jl||(jl=ee`E(X)=\frac{1}{p}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," della geometrica è:"),l("p",null,l(a.b,null,te(Ql||(Ql=ee`Var(X)=\frac{q}{p^2}`))))),l(e.a,{title:"Assenza di memoria della geometrica"},l("p",null,"La geometrica non tiene conto degli eventi avvenuti in passato: ha la proprietà dell'assenza di memoria:"),l("p",null,l(a.b,null,te(Wl||(Wl=ee`P([X=i+j|X>i])=P([X=j])`)))),l(o.a,null,"Ovvero, riscalando opportunamente l'asse Y posso prendere come 0 qualsiasi punto dell'asse X."))),l(t.a,{title:"Binomiale negativa"},l(e.a,{title:"Distribuzione binomiale negativa"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che conta il numero di prove in uno schema di Bernoulli necessarie perchè si verifichi l'",l(a.b,null,"n"),"-esimo successo."),l("p",null,"Il suo simbolo è ",l(a.b,null,te(Kl||(Kl=ee`\overline{Bin}(n,p)`))),".")),l(e.a,{title:"Densità della binomiale negativa"},l("p",null,"La binomiale negativa ha come densità:"),l("p",null,l(a.b,null,te(Jl||(Jl=ee`f_X(k):\{n..+\infty\}\in\mathbb{N}=\binom{k-1}{n-1}\cdotp^n\cdotq^{k-n}`))))),l(e.a,{title:"Momenti della binomiale negativa"},l("p",null,l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della binomiale negativa è:"),l("p",null,l(a.b,null,te(Zl||(Zl=ee`m_X(t):\{t<ln(\frac{1}{q})\}=\left(\frac{p\cdote^t}{1-q\cdote^t}\right)^n`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," della binomiale negativa è:"),l("p",null,l(a.b,null,te($l||($l=ee`E(X)=\frac{n}{p}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," della binomiale negativa è:"),l("p",null,l(a.b,null,te(li||(li=ee`Var(X)=\frac{n\cdotq}{p^2}`))))))),l(t.a,{title:"Geometrica traslata"},l(e.a,{title:"Distribuzione geometrica traslata"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che conta il numero ",l(a.b,null,"k")," di insuccessi consecutivi in uno schema di Bernoulli:"),l("p",null,"Il suo simbolo rimane ",l(a.b,null,te(ii||(ii=ee`Geo(p)`))),".")),l(e.a,{title:"Densità della geometrica tralsata"},l("p",null,"La geometrica traslata ha come densità:"),l("p",null,l(a.b,null,te(ni||(ni=ee`f_X(k):\mathbb{N}=p\cdotq^k`))))),l(e.a,{title:"Momenti della geometrica traslata"},l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della geometrica traslata è:"),l("p",null,l(a.b,null,te(ai||(ai=ee`m_X(t):\left\{t<ln\left(\frac{1}{q}\right
0\qquad\qquadx<0\\
\lambda\cdote^{-\lambda\cdotx}\quadx>0
\end{cases}`)))),l("p",null,"L'esponenziale ha come ",l("b",null,"funzione di ripartizione"),":"),l("p",null,l(a.b,null,te(Ci||(Ci=ee`F_X(t)=\begin{cases}
0\qquad\qquadt<0\\
1-e^{-\lambda\cdott}\quadt\geq0
\end{cases}`))))),l(e.a,{title:"Momenti dell'esponenziale"},l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," dell'esponenziale è:"),l("p",null,l(a.b,null,te(Vi||(Vi=ee`m_X(t):\{t|t<\lambda\}\in\mathbb{R}=\frac{\lambda}{\lambda-t}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," dell'esponenziale è:"),l("p",null,l(a.b,null,te(Ii||(Ii=ee`E(X)=\frac{1}{\lambda}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," dell'esponenziale è:"),l("p",null,l(a.b,null,te(Yi||(Yi=ee`Var(X)=\frac{1}{\lambda^2}`))))),l(e.a,{title:"Assenza di memoria della esponenziale"},l("p",null,"L'esponenziale non tiene conto degli eventi avvenuti in passato: ha la proprietà dell'assenza di memoria:"),l("p",null,l(a.b,null,te(wi||(wi=ee`P([X>s+t|X>s])=P([X>t])`)))),l(o.a,null,"Ovvero, riscalando opportunamente l'asse Y posso prendere come 0 qualsiasi punto dell'asse X."))),l(t.a,{title:"Legge gamma"},l(e.a,{title:"Distribuzione gamma"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che conta il tempo diwidehattesa prima dell'",l(a.b,null,"n"),"-esimo arrivo di un processo di Poisson di intensità ",l(a.b,null,te(Di||(Di=ee`\lambda`))),"."),l("p",null,"Il suo simbolo è ",l(a.b,null,te(Ui||(Ui=ee`\Gamma(n,\lambda)`))),".")),l(e.a,{title:"Densità della legge gamma"},l("p",null,"La legge gamma ha come densità:"),l("p",null,l(a.b,null,te(Mi||(Mi=ee`f_X(x)=\begin{cases}
\end{cases}`))))),l(e.a,{title:"Momenti della legge gamma"},l("p",null,l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della legge gamma è:"),l("p",null,l(a.b,null,te(Ai||(Ai=ee`m_X(t):(t<\lambda)\in\mathbb{R}=\left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right)^\alpha`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," della legge gamma è:"),l("p",null,l(a.b,null,te(Ti||(Ti=ee`E(X)=\frac{\alpha}{\lambda}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," della legge gamma è:"),l("p",null,l(a.b,null,te(Bi||(Bi=ee`Var(X)=\frac{\alpha}{\lambda^2}`))))))),l(t.a,{title:"Uniforme"},l(e.a,{title:"Distribuzione uniforme"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che può assumere qualsiasi valore in un intervallo ",l(a.b,null,te(Oi||(Oi=ee`[a,b]`)))," in modo equiprobabile."),l("p",null,"Il suo simbolo è ",l(a.b,null,te(Gi||(Gi=ee`Uni(a,b)`)))),l("p",null,"Su di essa vale la seguente proprietà:"),l("p",null,l(a.b,null,te(Hi||(Hi=ee`P(X\in(c,d))=\frac{d-c}{b-a}`))))),l(e.a,{title:"Densità della distribuzione uniforme"},l("p",null,"La distribuzione uniforme ha come ",l("b",null,"densità"),":"),l("p",null,l(a.b,null,te(Ri||(Ri=ee`f_X(x)=\begin{cases}
\frac{1}{b-a}\qquada\leqx\leqb\\
0\qquad\quadaltrimenti
\end{cases}`)))),l("p",null,"La distribuzione uniforme ha come ",l("b",null,"funzione di ripartizione"),":"),l("p",null,l(a.b,null,te(ji||(ji=ee`f_X(x)=\begin{cases}
0\qquad\quadx<a
\frac{1}{b-a}\qquada\leqx\leqb\\
1\qquad\quadx>b
\end{cases}`))))),l(e.a,{title:"Momenti della distribuzione uniforme"},l("p",null,l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della distribuzione uniforme è:"),l("p",null,l(a.b,null,te(Qi||(Qi=ee`m_X(t)=\frac{e^{b\cdott}-e^{a\cdott}}{(b-a)\cdott}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," della distribuzione uniforme è:"),l("p",null,l(a.b,null,te(Wi||(Wi=ee`E(X)=\frac{a+b}{2}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," della distribuzione uniforme è:"),l("p",null,l(a.b,null,te(Ki||(Ki=ee`Var(X)=\frac{(b-a)^2}{12}`))))))),l(t.a,{title:"Normale o Gaussiana"},l(e.a,{title:"Distribuzione normale"},l("p",null,"Una variabile aleatoria con una specifica distribuzione."),l("p",null,"Il suo simbolo è ",l(a.b,null,te(Ji||(Ji=ee`Nor(\mu,\sigma^2)`))),"."),l(o.a,null,l(a.b,null,"\\mu")," e ",l(a.b,null,"\\sigma^2")," sono rispettivamente la media e la varianza della distribuzione!")),l(e.a,{title:"Densità della distribuzione normale"},l("p",null,"La distribuzione normale ha come densità:"),l("p",null,l(a.b,null,te(Zi||(Zi=ee`f_X(x)=\frac{e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}}{\sqrt{2\pi\cdot\sigma^2}}`))))),l(e.a,{title:"Momenti della distribuzione normale"},l("p",null,l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della distribuzione normale è:"),l("p",null,l(a.b,null,te($i||($i=ee`m_X(t)=e^{\mu\cdott+\frac{\sigma^2\cdott^2}{2}}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," della distribuzione normale è:"),l("p",null,l(a.b,null,te(ln||(ln=ee`E(X)=\mu`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," della distribuzione normale è:"),l("p",null,l(a.b,null,te(nn||(nn=ee`Var(X)=\sigma^2`))))))),l(t.a,null,l(e.a,{title:"Trasformazione della normale"},l("p",null,"Qualsiasi normale può essere trasformata in qualsiasi altra normale:"),l("p",null,l(a.b,null,te(an||(an=ee`X\simNor(m,v^2)\implies\alphaX+\beta\simNor(\alpham+\beta,(\alphav)^2)`))))),l(e.a,{title:"Normale standard"},l("p",null,"La distribuzione normale standard ",l(a.b,null,"Z")," è:"),l("p",null,l(a.b,null,"Z \\sim Nor(0, 1)")),l("p",null,"La sua funzione di ripartizione è detta ",l(a.b,null,te(en||(en=ee`\phi(z)`)))," e vale:"),l("p",null,l(a.b,null,te(tn||(tn=ee`F_Z(z)=\phi(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{z}e^{-\frac{x^2}{2}}dx`))))),l(e.a,{title:"Quantili normali"},l("p",null,"Da un quantile ",l(a.b,null,te(on||(on=ee`z_\alpha`)))," della normale standard è possibile risalire allo stesso quantile di qualsiasi altra normale:"),l("p",null,l(a.b,null,te(un||(un=ee`x_\alpha=\mu+z_\alpha\cdot\sqrt{\sigma^2}`)))))),l(t.a,null,l(e.a,{title:"Gamma e normale"},l("p",null,"La distribuzione normale ha una particolare relazione con la distribuzione Gamma:"),l("p",null,l(a.b,null,te(rn||(rn=ee`Z^2\sim\chi^2(v=1)`))))),l(e.a,{title:"La funzione Chi"},l("blockquote",null,'"chi-quadro a un grado di libertà"'),l("p",null,"Esiste una distribuzione Gamma particolare:"),l("p",null,l(a.b,null,te(sn||(sn=ee`\Gamma\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)=\chi^2(v=1)`)))),l("p",null,"Più chi-quadro possono essere sommate per aumentare i loro gradi di libertà:"),l("p",null,l(a.b,null,te(pn||(pn=ee`\chi^2(n)+\chi^2(m)=\chi^2(n+m)`))))),l(e.a,{title:"T di Student"},l("p",null,"Un'altra funzione particolare è la funzione T di Student:"),l("p",null,l(a.b,null,te(dn||(dn=ee`T(v)=\frac{Nor(0,1)}{\sqrt{\frac{\chi^2(v)}{v}}}`)))))),l(t.a,{title:"Approssimazioni notevoli"},l(e.a,{title:"Ipergeometrica e binomiale"},l("p",null,"La binomiale è come una ipergeometrica ma con ripetizioni, quindi per valori molto grandi di ",l(a.b,null,"N")," rispetto a ",l(a.b,null,"n"),", si può dire che:"),l("p",null,l(a.b,null,te(cn||(cn=ee`Ipe(N,K,n)\approxBin(n,\frac{K}{N})`))))),l(e.a,{title:"Binomiale e poissoniana"},l("p",null,"La binomiale non è altro che una poissoniana a tempo discreto, quindi, se ",l(a.b,null,"n")," è grande e ",l(a.b,null,"n \\cdot p")," è nell'ordine di grandezza delle unità, allora:"),l("p",null,l(a.b,nul
\boldsymbol{C_X}=
\begin{bmatrix}
Var(X_1)&Cov(X_1,X_2)&Cov(X_1,X_3)\\
Cov(X_2,X_1)&Var(X_2)&Cov(X_2,X_3)\\
Cov(X_3,X_1)&Cov(X_3,X_2)&Var(X_3)
\end{bmatrix}
`)))),l("p",null,"E' sempre simmetrica e semidefinita positiva (tutti gli autovalori sono ",l(a.b,null,"\\geq 0"),".")),l(e.a,{title:"Coefficiente di correlazione"},l("p",null,"Un valore che misura come due variabili aleatorie sono correlate:"),l("p",null,l(a.b,null,te(Mn||(Mn=ee`\rho_{X,Y}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)}\cdot\sqrt{Var(Y)}}`)))),l("p",null,"E' sempre compreso tra -1 e 1:"),l("p",null,l(a.b,null,te(An||(An=ee`-1\leq\rho_{X,Y}\leq1`)))),l("p",null,"Vale esattamente -1 o 1 solo se esiste un legame lineare tra le due variaibli:"),l("p",null,l(a.b,null,te(Tn||(Tn=ee`Y=aX+b\Longleftrightarrow|\rho_{X,Y}|=1`))))),l(e.a,{title:"Varianza di variabili aleatorie sommate"},l("p",null,"La varianza di due variabili aleatorie sommate è:"),l("p",null,l(a.b,null,te(Bn||(Bn=ee`Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2\cdotCov(X,Y)`)))),l(o.a,null,"Si dimostra applicando le proprietà della covarianza!"),l("p",null,"Se più variabili aleatorie ",l(a.b,null,"X_i")," sono ",l("b",null,"indipendenti")," (",l(a.b,null,te(On||(On=ee`Cov(X,Y)=0`))),"), allora:"),l("p",null,l(a.b,null,te(Gn||(Gn=ee`Var\left(\sum_iX_i\right)=\sum_iVar(X_i)`)))))),l(t.a,{title:"Campioni"},l(e.a,{title:"Campione casuale"},l("p",null,"Una ",l("b",null,"n-pla")," di variabili aleatorie con la stessa distribuzione della variabile aleatoria ",l(a.b,null,"X"),' ("popolazione") ma ',l("b",null,"indipendenti")," tra loro."),l(o.a,null,"Le variabili aleatorie sono come un lazy-load in programmazione; quando ci sarà bisogno del loro valore numerico, esse si ",l("b",null,"realizzeranno")," nel loro valore.")),l(e.a,{title:"Momento campionario"},l("p",null,"Il valore dato dalla media aritmetica degli ",l(a.b,null,"n")," elementi del campione elevati alla potenza ",l(a.b,null,"k"),":"),l("p",null,l(a.b,null,te(Hn||(Hn=ee`M^{(k)}_n=\frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^nX_i^k`)))),l("p",null,"Il momento campionario di primo ordine è la ",l("i",null,"media campionaria")," ",l(a.b,null,te(Rn||(Rn=ee`\overline{X}_n`))),".")),l(e.a,{title:"Varianza campionaria"},l("p",null,"La media aritmetica dello scarto quadratico medio degli elementi del campione."),l("p",null,"Se è noto il valore medio ",l(a.b,null,te(jn||(jn=ee`m=E(X)`)))," di X:"),l("p",null,l(a.b,null,te(Qn||(Qn=ee`S_0^2=\frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^n(X_i-m)^2=M_n^(2)-2\cdotm\cdot\overline{X}_n+m^2`)))),l("p",null,"Altrimenti:"),l("p",null,l(a.b,null,te(Wn||(Wn=ee`S_n^2=\frac{1}{n-1}\cdot\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X}_n)^2=\frac{1}{n-1}\cdot(n\cdotM_2^{(2)}-n\cdot\overline{X}_n^2)`)))))),l(t.a,{title:"Media-ception"},l(e.a,{title:"Media campionaria"},l("p",null,"Se calcoliamo la media della media campionaria, risulterà vero che:"),l("p",null,l(a.b,null,te(Kn||(Kn=ee`E(\overline{X}_n)=E(X)`)))),l(o.a,null,"Quindi, è possibile usare i campioni per trovare la media di una variabile aleatoria!")),l(e.a,{title:"Varianza campionaria"},l("p",null,"Se calcoliamo la varianza della media campionaria, risulterà vero che:"),l("p",null,l(a.b,null,te(Jn||(Jn=ee`Var(\overline{X}_n)=\frac{Var(X)}{n}`)))),l(o.a,null,"Quindi, possiamo stimare l'errore della media calcolata tramite campioni!")),l(e.a,{title:"Correzione campionaria"},l("p",null,"Se calcoliamo la media della varianza campionaria, risulterà vero che:"),l("p",null,l(a.b,null,te(Zn||(Zn=ee`E(S_0^2)=E(S_n^2)=Var(X)`)))),l(o.a,null,"Quindi, possiamo stimare l'errore della media calcolata tramite campioni!"))),l(t.a,{title:"Campionamento di una distribuzione normale"},l(e.a,{title:"Campionamento di una distribuzione normale"},l("p",null,"Se la popolazione ",l(a.b,null,"X")," ha una distribuzione normale (",l(a.b,null,te($n||($n=ee`X\simNor(\mu,\sigma^2)`))),")...")),l(e.a,{title:"Distribuzione della media campionaria"},l("p",null,"...allora sappiamo anche la distribuzione della media campionaria!"),l("p",null,l(a.b,null,te(la||(la=ee`\overline{X}_n\simNor\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)`))))),l(e.a,{title:"Distribuzione della varianza campionaria"},
