unimore/triennale-appunti-steffo
unimore/triennale-appunti-steffo
1
Fork 0
mirror of https://github.com/Steffo99/unisteffo.git synced 2024-11-23 00:14:21 +00:00
Code Activity
triennale-appunti-steffo/docs/route-statistica.chunk.34cdf.esm.js

40 lines
67 KiB
JavaScript
Raw Normal View History

update
2020-05-23 05:37:27 +00:00
(window.webpackJsonp=window.webpackJsonp||[]).push([[10],{"+AyP":function(l){l.exports={latex:"latex__3Esv7"}},"0UW7":function(l,a,i){"use strict";(function(){i("YkuW"),i("hosL")}).call(this,i("hosL").h)},"1nLj":function(l){l.exports={panel:"panel__1ubJw"}},"68UE":function(l){l.exports={example:"example__P0_NL"}},"7bXG":function(l,a,i){"use strict";(function(l){i.d(a,"a",(function(){return o}));var n=i("kpQM"),e=i.n(n),t=i("hosL");class o extends t.Component{render(){return l("span",{class:e.a.todo},this.props.children)}}}).call(this,i("hosL").h)},"9yVG":function(l,a,i){"use strict";(function(l){i.d(a,"a",(function(){return o}));var n=i("1nLj"),e=i.n(n),t=i("hosL");class o extends t.Component{getStyle(){return e.a.panel}render(){let a=null;return void 0!==this.props.title&&(a=l("h3",null,this.props.title)),l("div",{class:this.getStyle(),id:this.props.id},a,this.props.children)}}}).call(this,i("hosL").h)},GC6P:function(l,a,i){"use strict";(function(l){i.d(a,"a",(function(){return o}));var n=i("giqd"),e=i.n(n),t=i("hosL");class o extends t.Component{render(){return l("span",{class:e.a.minus},this.props.children)}}}).call(this,i("hosL").h)},PEwj:function(l,a,i){"use strict";(function(l){i.d(a,"a",(function(){return o}));var n=i("68UE"),e=i.n(n),t=i("hosL");class o extends t.Component{render(){return l("blockquote",{class:e.a.example},this.props.children)}}}).call(this,i("hosL").h)},Qnof:function(l){l.exports={plus:"plus__29_QM"}},QwCI:function(l){l.exports={hypothesis:"hypothesis__3E-73"}},XmE9:function(l,a,i){"use strict";(function(){i("QwCI"),i("hosL")}).call(this,i("hosL").h)},YkuW:function(l){l.exports={thesis:"thesis__13Kp6"}},ZsnK:function(l,a,i){"use strict";(function(l){i.d(a,"a",(function(){return o}));var n=i("+AyP"),e=i.n(n),t=i("hosL");class o extends t.Component{render(){return l("img",{src:`https://latex.codecogs.com/svg.latex?${`{\\color{White} ${this.props.children} }`}`,alt:this.props.children,title:this.props.children,class:e.a.latex})}}}).call(this,i("hosL").h)},bQQT:function(l,a,i){"use strict";(function(l){i.d(a,"a",(function(){return o}));var n=i("Qnof"),e=i.n(n),t=i("hosL");class o extends t.Component{render(){return l("span",{class:e.a.plus},this.props.children)}}}).call(this,i("hosL").h)},ddBW:function(l,a,i){"use strict";(function(l){i.d(a,"a",(function(){return o}));var n=i("rMrT"),e=i.n(n),t=i("hosL");class o extends t.Component{render(){let a,i=null;return void 0!==this.props.title&&(i=l("h2",null,this.props.title)),a=Array.isArray(this.props.children)?this.props.children.map(a=>l("div",{class:e.a.splitchild},a)):l("div",{class:e.a.splitchild},this.props.children),l("div",{class:e.a.split},i,l("div",{class:e.a.splitparent},a))}}}).call(this,i("hosL").h)},giqd:function(l){l.exports={minus:"minus__2Ld4F"}},iBfA:function(l,a,i){"use strict";i("kmlo"),i("9yVG")},k2oN:function(){},kmlo:function(l){l.exports={theorem:"theorem__3Qv59"}},kpQM:function(l){l.exports={todo:"todo__1pOoN"}},"rIv+":function(l,a,i){"use strict";(function(){i("k2oN"),i("hosL")}).call(this,i("hosL").h)},rMrT:function(l){l.exports={split:"split__3qCWp",splitparent:"splitparent__2xagg",splitchild:"splitchild__3cEoc"}},tOzr:function(l,a,i){"use strict";i.r(a),function(l){i.d(a,"default",(function(){return te}));var n=i("hosL"),e=i("ZsnK"),t=i("9yVG"),o=i("ddBW"),u=(i("7bXG"),i("iBfA"),i("XmE9"),i("0UW7"),i("rIv+"),i("PEwj")),r=i("bQQT"),s=i("GC6P");let p,d,m,c,b,v,f,h,g,_,z,X,q,E,L,x,P,k,F,y,S,C,I,N,V,Y,w,D,U,M,B,A,G,T,Q,O,R,K,W,j,Z,J,H,$,ll,al,il,nl,el,tl,ol,ul,rl,sl,pl,dl,ml,cl,bl,vl,fl,hl,gl,_l,zl,Xl,ql,El,Ll,xl,Pl,kl,Fl,yl,Sl,Cl,Il,Nl,Vl,Yl,wl,Dl,Ul,Ml,Bl,Al,Gl,Tl,Ql,Ol,Rl,Kl,Wl,jl,Zl,Jl,Hl,$l,la,aa,ia,na,ea,ta,oa,ua,ra,sa,pa,da,ma,ca,ba,va,fa,ha,ga,_a,za,Xa,qa,Ea,La,xa,Pa,ka,Fa,ya,Sa,Ca,Ia,Na,Va,Ya,wa,Da,Ua,Ma,Ba,Aa,Ga,Ta,Qa,Oa,Ra,Ka,Wa,ja,Za,Ja,Ha,$a,li,ai,ii,ni,ei,ti,oi,ui,ri,si,pi,di,mi,ci,bi,vi,fi,hi,gi,_i,zi,Xi,qi,Ei,Li,xi,Pi,ki,Fi,yi,Si,Ci,Ii,Ni,Vi,Yi,wi,Di,Ui,Mi,Bi,Ai,Gi,Ti,Qi,Oi,Ri,Ki,Wi,ji,Zi,Ji,Hi,$i,ln,an,nn,en,tn,on,un,rn,sn,pn,dn,mn,cn,bn,vn,fn,hn,gn,_n,zn,Xn,qn,En,Ln,xn,Pn,kn,Fn,yn,Sn,Cn,In,Nn,Vn,Yn,wn,Dn,Un,Mn,
Update
2020-03-09 23:18:13 +00:00
P([X = x]) \quad se\ X \mapsto x \\
0 \qquad \qquad \quad se\ X \not\mapsto x
\end{cases}`))))),l(t.a,{title:"Funzione densità"},l("p",null,"La ",l("i",null,"funzione densità")," ",l(e.a,null,ee(ol||(ol=ne`f_X : X \to [0, 1]`)))," di una variabile aleatoria ",l("b",null,"continua")," ",l(e.a,null,"X")," è l'equivalente continuo della funzione probabilità:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(ul||(ul=ne`P([a < X \leq b]) = \int_a^b f_X (x) dx`)))),l("p",null,"A differenza della funzione probabilità, è possibile che la funzione densità ",l("b",null,"non esista")," per una certa variabile aleatoria."),l(u.a,null,"Rappresenta \"quanta\" probabilità c'è in un'unità di x!"))),l(o.a,{title:"Funzione di ripartizione"},l(t.a,{title:"Definizione"},l("p",null,"Ogni variabile aleatoria ha una ",l("i",null,"funzione di ripartizione")," ",l(e.a,null,ee(rl||(rl=ne`F_X : \mathbb{R} \to [0, 1]`)))," associata, che rappresenta la probabilità che la variabile aleatoria assuma un valore minore o uguale a ",l(e.a,null,"t"),":"),l("p",null,"Si può dire che essa rappresenti la probabilità dell'evento ",l(e.a,null,ee(sl||(sl=ne`A_t`))),":"),l("p",null,l(e.a,null,ee(pl||(pl=ne`F_X (t) = P(A_t) = \begin{cases}
\sum_{i = 0}^{t} p_X (x_i) \quad nel\ discreto\\
\\
\int_{-\infty}^t f_X (x) dx \quad nel\ continuo
\end{cases}`))))),l(t.a,{title:"Proprietà della funzione"},l("ul",null,l("li",null,"È sempre ",l("b",null,"monotona crescente")," (non strettamente)."),l("br",null),l("li",null,"Vale ",l("b",null,"0")," a ",l(e.a,null,"-\\infty")," e ",l("b",null,"1")," a ",l(e.a,null,"+\\infty"),"."),l("br",null),l("li",null,"È ",l("b",null,"continua da destra"),": ",l(e.a,null,ee(dl||(dl=ne`\forall x_0 \in \mathbb{R}, F_X (x_0) = \lim_{t \to x^+_0} F_X (t)`)))))),l(t.a,{title:"Probabilità di un valore"},l("p",null,"Possiamo usare la funzione di ripartizione per calcolare la probabilità di un certo valore reale:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(ml||(ml=ne`P([X = x_0]) = \lim_{t \to x^+_0} F_X (t) - \lim_{t \to x^-_0} F_X (t)`)))))),l(o.a,{title:"Trasformazioni di variabili aleatorie"},l(t.a,{title:"Nel discreto"},l("p",null,"Nel discreto basta abbinare un nuovo valore a ogni valore della variabile originale.")),l(t.a,{title:"Nel continuo (invertibile)"},l("p",null,"Nel continuo applichiamo la formula dell'integrazione per sostituzione:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(cl||(cl=ne`f_Y (y) = \int_{g(a)}^{g(b)} f_X ( g^{-1} (x) ) g^{-2} (x)`))))),l(t.a,{title:"Nel... digitale"},l("p",null,"Trasformare variabili aleatorie è molto utile nell'informatica per creare distribuzioni partendo da una funzione ",l("a",{href:"https://docs.python.org/3/library/random.html#random.random"},l("code",null,"random()"))," che restituisce numeri da 0 a 1 con una distribuzione lineare."))),l(o.a,{title:"Informazioni delle variabili aleatorie"},l(t.a,{title:"Media"},l("p",null,"Ogni variabile aleatoria che ha una ",l("b",null,"funzione di ripartizione")," e un ",l("b",null,"supporto finito")," ha anche una ",l("i",null,"media")," (o ",l("i",null,"valore medio")," o ",l("i",null,"atteso"),"):"),l("p",null,l(e.a,null,ee(bl||(bl=ne`E(X) = \int_0^{+infty} (1 - F_X (t)) dt - \int_{-\infty}^{0} F_X (t) dt`)))),l("p",null,"Nel discreto, si può calcolare con:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(vl||(vl=ne`E(X) = \sum_i P(X = x_i) \cdot x_i`)))),l("p",null,"Nel continuo, si può calcolare con:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(fl||(fl=ne`E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X (x) \cdot x \cdot dx`)))))),l(o.a,null,l(t.a,{title:"Moda"},l("p",null,"Valore per cui la ",l("b",null,"funzione probabilità")," o ",l("b",null,"funzione densità")," è ",l("b",null,"massima"),".")),l(t.a,{title:"Quantili"},l("p",null,"Il ",l("i",null,"quantile")," ",l(e.a,null,ee(hl||(hl=ne`x_{\alpha}`)))," di ordine ",l(e.a,null,ee(gl||(gl=ne`0 \leq \alpha \leq 1`)))," della variabile aleatoria ",l(e.a,null,"X")," è il più piccolo numero tale che:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(_l||(_l=ne`P([X < x_{\alpha}]) \leq \alpha \leq P([X \leq x_{\alpha}])`)))),l("p",null),l("p",null,"Il quantile di ordine 0.5 ",l(e.a,null,ee(zl||(zl=ne`x_{0.5}`)))," è detto ",l("i",null,"mediana"),"."),l("p",null,"I quantili di ordine 0.25 ",l(e.a,null,ee(Xl||(Xl=ne`x_{0.25}`)))," e 0.75 ",l(e.a,null,ee(ql||(ql=ne`x_{0.75}`)))," sono detti ",l("i",null,"quartili"),"."),l("p",null,"I quantili di ordine ",l(e.a,null,ee(El||(El=ne`\frac{n}{100}`)))," sono detti ",l("i",null,l(e.a,null,"n"),"-esima percentile"),".")),l(t.a,{title:"Varianza"},l("p",null,"È un valore che indica quanto la variabile aleatoria si discosta generalmente dalla media:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Ll||(Ll=ne`Var(X) = E( (X - E(X) )^2 ) = E ( X^2 ) - (E(X))^2`)))))),l(o.a,{title:"Disuguaglianze notevoli"},l(t.a,{title:"Disuguaglianza di Markov"},l("p",null,"Data una variabile aleatoria non-negativa:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(xl||(xl=ne`\forall k > 0, P([X \geq k]) \leq \frac{E(X)}{k}`)))),l("p",null,"Divide in due parti (",l(e.a,null,ee(Pl||(Pl=ne`P(X < k)`)))," e ",l(e.a,null,ee(kl||(kl=ne`P(X \geq k)`))),") la funzione X, la cui media risulterà uguale a:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Fl||(Fl=ne`E(X) = \overline{k} \cdot P(X < k) + k \cdot P(X \geq k)`))))),l(t.a,{title:"Disuguaglianza di Čebyšëv"},l("blockquote",null,'"disuguaglianza di cebicev"'),l("p",null,"Se la variabile aleatoria ",l(e.a,null,"X")," ha media e varianza, allora la probabil
\sum_i x_i^k p_X (x_i) \qquad nel\ discreto\\
\\
\int_{-\infty}^{+\infty} x^k f_X (x) dx \qquad nel\ continuo
\end{cases}`)))),l(u.a,null,"La media di una variabile aleatoria è anche il suo primo momento.")),l(t.a,{title:"Funzione generatrice dei momenti"},l("p",null,"La ",l("i",null,"funzione generatrice dei momenti")," è:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Vl||(Vl=ne`m_X (t) = E( e^{t \cdot X} )`)))),l("p",null,"Se due variabile aleatorie hanno la stessa funzione generatrice dei momenti, allora esse hanno la ",l("b",null,"stessa distribuzione"),"."),l("p",null,"E' la ",l("b",null,"trasformata di Laplace")," della variabile aleatoria di X.")),l(t.a,{title:"Funzione caratteristica"},l("p",null,"La ",l("i",null,"funzione caratteristica")," è:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Yl||(Yl=ne`H_X (t) = E ( e^{i \cdot t \cdot X} )`)))),l("p",null,"Se due variabile aleatorie hanno la stessa funzione caratteristica, allora esse hanno la ",l("b",null,"stessa distribuzione"),"."),l("p",null,"E' la ",l("b",null,"trasformata di Fourier")," della variabile aleatoria di X."))),l(o.a,{title:"Prove e schemi"},l(t.a,{title:"Variabile con distribuzione"},l("p",null,"Per dire che una variabile ha una certa distribuzione, si usa la notazione:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(wl||(wl=ne`X \sim Distribuzione()`))))),l(t.a,{title:"Prova di Bernoulli"},l("p",null,"Una prova con solo due possibili esiti: ",l(r.a,null,"successo")," e ",l(s.a,null,"insuccesso"),".")),l(t.a,{title:"Schema di Bernoulli"},l("p",null,"Una sequenza di prove di Bernoulli per le quali le probabilità di successo e fallimento rimangono invariate."))),l(o.a,{title:"Bernoulliana"},l(t.a,{title:"Distribuzione bernoulliana"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che rappresenta una prova di Bernoulli:"),l("ul",null,l("li",null,"vale ",l(r.a,null,"1")," in caso di ",l(r.a,null,"successo"),"."),l("li",null,"vale ",l(s.a,null,"0")," in caso di ",l(s.a,null,"insuccesso"),".")),l("p",null,"Il suo simbolo è ",l(e.a,null,ee(Dl||(Dl=ne`Ber(p)`))))),l(t.a,{title:"Densità della bernoulliana"},l("p",null,"La distribuzione bernoulliana ha come densità:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Ul||(Ul=ne`f_X (k) : \{0, 1\} = \begin{cases}
p \quad se\ k = 1\\
q \quad se\ k = 0\\
0 \quad altrimenti
\end{cases} = p^x \cdot q^{1 - k}`)))))),l(o.a,{title:"Binomiale"},l(t.a,{title:"Distribuzione binomiale"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che conta il numero di successi di ",l(e.a,null,"n")," prove di uno schema di Bernoulli."),l("p",null,"Il suo simbolo è ",l(e.a,null,ee(Ml||(Ml=ne`Bin(n, p)`))),".")),l(t.a,{title:"Densità della binomiale"},l("p",null,"La binomiale ha come densità:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Bl||(Bl=ne`f_X (k) : \{0..n\} = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n - k}`))))),l(t.a,{title:"Momenti della binomiale"},l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della binomiale è:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Al||(Al=ne`m_X (t) = (q + p \cdot e^t) ^ n`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," di una binomiale è:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Gl||(Gl=ne`E(X) = n \cdot p`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," di una binomiale è:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Tl||(Tl=ne`Var(X) = n \cdot p \cdot q`)))))),l(o.a,{title:"Geometrica"},l(t.a,{title:"Distribuzione geometrica"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che conta il numero di prove in uno schema di Bernoulli fino alla comparsa del primo successo."),l("p",null,"Il suo simbolo è ",l(e.a,null,"Geo(p)"),".")),l(t.a,{title:"Densità della geometrica"},l("p",null,"La geometrica ha come densità:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Ql||(Ql=ne`f_X (k) : \mathbb{N} = q^{k - 1} p`))))),l(t.a,{title:"Momenti della geometrica"},l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della geometrica è:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Ol||(Ol=ne`m_X (t) = \frac{p \cdot e^t}{1 - q \cdot e^t}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," della geometrica è:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Rl||(Rl=ne`E(X) = \frac{1}{p}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," della geometrica è:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Kl||(Kl=ne`Var(X) = \frac{q}{p^2}`))))),l(t.a,{title:"Assenza di memoria della geometrica"},l("p",null,"La geometrica non tiene conto degli eventi avvenuti in passato: ha la proprietà dell'assenza di memoria:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Wl||(Wl=ne`P([X = i + j | X > i ]) = P([X = j])`)))),l(u.a,null,"Ovvero, riscalando opportunamente l'asse Y posso prendere come 0 qualsiasi punto dell'asse X."))),l(o.a,{title:"Binomiale negativa"},l(t.a,{title:"Distribuzione binomiale negativa"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che conta il numero di prove in uno schema di Bernoulli necessarie perchè si verifichi l'",l(e.a,null,"n"),"-esimo successo."),l("p",null,"Il suo simbolo è ",l(e.a,null,ee(jl||(jl=ne`\overline{Bin}(n, p)`))),".")),l(t.a,{title:"Densità della binomiale negativa"},l("p",null,"La binomiale negativa ha come densità:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Zl||(Zl=ne`f_X (k) : \{ n .. +\infty \} \in \mathbb{N} = \binom{k - 1}{n - 1} \cdot p^n \cdot q^{k - n} `))))),l(t.a,{title:"Momenti della binomiale negativa"},l("p",null,l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della binomiale negativa è:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Jl||(Jl=ne`m_X (t) : \{ t < ln(\frac{1}{q}) \} = \left( \frac{p \cdot e^t}{1 - q \cdot e^t} \right) ^n`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," della binomiale negativa è:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Hl||(Hl=ne`E(X) = \frac{n}{p}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," della binomiale negativa è:"),l("p",null,l(e.a,null,ee($l||($l=ne`Var(X) = \frac{n \cdot q}{p^2}`))))))),l(o.a,{title:"Geometrica traslata"},l(t.a,{title:"Distribuzione geometrica traslata"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che conta il numero ",l(e.a,null,"k")," di insuccessi consecutivi in uno schema di Bernoulli:"),l("p",null,"Il suo simbolo rimane ",l(e.a,null,ee(la||(la=ne`Geo(p)`))),".")),l(t.a,{title:"Densità della geometrica tralsata"},l("p",null,"La geometrica traslata ha come densità:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(aa||(aa=ne`f_X (k) : \mathbb{N} = p \cdot q^k `))))),l(t.a,{title:"Momenti della geometrica traslata"},l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della geometrica traslata è:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(ia||(ia=ne`m_X (t) : \left\{ t < ln \left( \frac{1}{q} \right
0 \qquad \qquad x < 0\\
\lambda \cdot e^{-\lambda \cdot x} \quad x > 0
\end{cases}`)))),l("p",null,"L'esponenziale ha come ",l("b",null,"funzione di ripartizione"),":"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Ca||(Ca=ne`F_X (t) = \begin{cases}
0 \qquad \qquad t < 0\\
1 - e^{-\lambda \cdot t} \quad t \geq 0
\end{cases}`))))),l(t.a,{title:"Momenti dell'esponenziale"},l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," dell'esponenziale è:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Ia||(Ia=ne`m_X (t) : \{ t | t < \lambda \} \in \mathbb{R} = \frac{\lambda}{\lambda - t}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," dell'esponenziale è:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Na||(Na=ne`E(X) = \frac{1}{\lambda}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," dell'esponenziale è:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Va||(Va=ne`Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}`))))),l(t.a,{title:"Assenza di memoria della esponenziale"},l("p",null,"L'esponenziale non tiene conto degli eventi avvenuti in passato: ha la proprietà dell'assenza di memoria:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Ya||(Ya=ne`P([X > s + t | X > s]) = P([X > t])`)))),l(u.a,null,"Ovvero, riscalando opportunamente l'asse Y posso prendere come 0 qualsiasi punto dell'asse X."))),l(o.a,{title:"Legge gamma"},l(t.a,{title:"Distribuzione gamma"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che conta il tempo diwidehattesa prima dell'",l(e.a,null,"n"),"-esimo arrivo di un processo di Poisson di intensità ",l(e.a,null,ee(wa||(wa=ne`\lambda`))),"."),l("p",null,"Il suo simbolo è ",l(e.a,null,ee(Da||(Da=ne`\Gamma(n, \lambda)`))),".")),l(t.a,{title:"Densità della legge gamma"},l("p",null,"La legge gamma ha come densità:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Ua||(Ua=ne`f_X (x) = \begin{cases}
0 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x < 0\\
\frac{1}{(n-1)!} \cdot \lambda^n \cdot x^{n-1} \cdot e^{-\lambda \cdot x} \quad k > 0
\end{cases}`))))),l(t.a,{title:"Momenti della legge gamma"},l("p",null,l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della legge gamma è:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Ma||(Ma=ne`m_X (t) : ( t < \lambda ) \in \mathbb{R} = \left( \frac{\lambda}{\lambda - t} \right) ^\alpha`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," della legge gamma è:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Ba||(Ba=ne`E(X) = \frac{\alpha}{\lambda}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," della legge gamma è:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Aa||(Aa=ne`Var(X) = \frac{\alpha}{\lambda^2}`))))))),l(o.a,{title:"Uniforme"},l(t.a,{title:"Distribuzione uniforme"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che può assumere qualsiasi valore in un intervallo ",l(e.a,null,ee(Ga||(Ga=ne`[a, b]`)))," in modo equiprobabile."),l("p",null,"Il suo simbolo è ",l(e.a,null,ee(Ta||(Ta=ne`Uni(a, b)`)))),l("p",null,"Su di essa vale la seguente proprietà:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Qa||(Qa=ne`P(X \in (c, d)) = \frac{d - c}{b - a}`))))),l(t.a,{title:"Densità della distribuzione uniforme"},l("p",null,"La distribuzione uniforme ha come ",l("b",null,"densità"),":"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Oa||(Oa=ne`f_X (x) = \begin{cases}
\frac{1}{b - a} \qquad a \leq x \leq b\\
0 \qquad \quad altrimenti
\end{cases}`)))),l("p",null,"La distribuzione uniforme ha come ",l("b",null,"funzione di ripartizione"),":"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Ra||(Ra=ne`f_X (x) = \begin{cases}
0 \qquad \quad x < a
\frac{1}{b - a} \qquad a \leq x \leq b\\
1 \qquad \quad x > b
\end{cases}`))))),l(t.a,{title:"Momenti della distribuzione uniforme"},l("p",null,l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della distribuzione uniforme è:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Ka||(Ka=ne`m_X (t) = \frac{e^{b \cdot t} - e^{a \cdot t}}{(b - a) \cdot t}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," della distribuzione uniforme è:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Wa||(Wa=ne`E(X) = \frac{a + b}{2}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," della distribuzione uniforme è:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(ja||(ja=ne`Var(X) = \frac{(b - a)^2}{12}`))))))),l(o.a,{title:"Normale o Gaussiana"},l(t.a,{title:"Distribuzione normale"},l("p",null,"Una variabile aleatoria con una specifica distribuzione."),l("p",null,"Il suo simbolo è ",l(e.a,null,ee(Za||(Za=ne`Nor(\mu, \sigma^2)`))),"."),l(u.a,null,l(e.a,null,"\\mu")," e ",l(e.a,null,"\\sigma^2")," sono rispettivamente la media e la varianza della distribuzione!")),l(t.a,{title:"Densità della distribuzione normale"},l("p",null,"La distribuzione normale ha come densità:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Ja||(Ja=ne`f_X (x) = \frac{e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}}}{\sqrt{2 \pi \cdot \sigma^2}}`))))),l(t.a,{title:"Momenti della distribuzione normale"},l("p",null,l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della distribuzione normale è:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Ha||(Ha=ne`m_X (t) = e^{\mu \cdot t + \frac{\sigma^2 \cdot t^2}{2}}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," della distribuzione normale è:"),l("p",null,l(e.a,null,ee($a||($a=ne`E(X) = \mu`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," della distribuzione normale è:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(li||(li=ne`Var(X) = \sigma^2`))))))),l(o.a,null,l(t.a,{title:"Trasformazione della normale"},l("p",null,"Qualsiasi normale può essere trasformata in qualsiasi altra normale:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(ai||(ai=ne`X \sim Nor(m, v^2) \implies \alpha X + \beta \sim Nor(\alpha m + \beta, (\alpha v)^2)`))))),l(t.a,{title:"Normale standard"},l("p",null,"La distribuzione normale standard ",l(e.a,null,"Z")," è:"),l("p",null,l(e.a,null,"Z \\sim Nor(0, 1)")),l("p",null,"La sua funzione di ripartizione è detta ",l(e.a,null,ee(ii||(ii=ne`\phi(z)`)))," e vale:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(ni||(ni=ne`F_Z(z) = \phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-\frac{x^2}{2}} dx`))))),l(t.a,{title:"Quantili normali"},l("p",null,"Da un quantile ",l(e.a,null,ee(ei||(ei=ne`z_\alpha`)))," della normale standard è possibile risalire allo stesso quantile di qualsiasi altra normale:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(ti||(ti=ne`x_\alpha = \mu + z_\alpha \cdot \sqrt{\sigma^2}`)))))),l(o.a,null,l(t.a,{title:"Gamma e normale"},l("p",null,"La distribuzione normale ha una particolare relazione con la distribuzione Gamma:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(oi||(oi=ne`Z^2 \sim \chi^2 (v = 1)`))))),l(t.a,{title:"La funzione Chi"},l("blockquote",null,'"chi-quadro a un grado di libertà"'),l("p",null,"Esiste una distribuzione Gamma particolare:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(ui||(ui=ne`\Gamma \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right) = \chi^2 (v = 1)`)))),l("p",null,"Più chi-quadro possono essere sommate per aumentare i loro gradi di libertà:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(ri||(ri=ne`\chi^2 (n) + \chi^2 (m) = \chi^2 (n + m)`))))),l(t.a,{title:"T di Student"},l("p",null,"Un'altra funzione particolare è la funzione T di Student:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(si||(si=ne`T(v) = \frac{Nor(0, 1)}{\sqrt{\frac{\chi^2(v)}{v}}}`)))))),l(o.a,{title:"Approssimazioni notevoli"},l(t.a,{title:"Ipergeometrica e binomiale"},l("p",null,"La binomiale è come una ipergeometrica ma con ripetizioni, quindi per valori molto grandi di ",l(e.a,null,"N")," rispetto a ",l(e.a,null,"n"),", si può dire che:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(pi||(pi=ne`Ipe(N, K, n) \approx Bin(n, \frac{K}{N})`))))),l(t.a,{title:"Binomiale e poissoniana"},l("p",null,"La binomiale non è altro che una poissoniana a tempo discreto, quindi, se ",l(e.a,null,"n")," è grande e ",l(e.a,null,"n \\cdot p")," è nell'ordine di grandezza delle unità, allora:"),l("p",null,l(e.a,nul
\boldsymbol{C_X} =
\begin{bmatrix}
Var(X_1) & Cov(X_1, X_2) & Cov(X_1, X_3)\\
Cov(X_2, X_1) & Var(X_2) & Cov(X_2, X_3)\\
Cov(X_3, X_1) & Cov(X_3, X_2) & Var(X_3)
\end{bmatrix}
`)))),l("p",null,"E' sempre simmetrica e semidefinita positiva (tutti gli autovalori sono ",l(e.a,null,"\\geq 0"),".")),l(t.a,{title:"Coefficiente di correlazione"},l("p",null,"Un valore che misura come due variabili aleatorie sono correlate:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Di||(Di=ne`\rho_{X, Y} = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{Var(X)} \cdot \sqrt{Var(Y)}}`)))),l("p",null,"E' sempre compreso tra -1 e 1:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Ui||(Ui=ne`-1 \leq \rho_{X, Y} \leq 1`)))),l("p",null,"Vale esattamente -1 o 1 solo se esiste un legame lineare tra le due variaibli:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Mi||(Mi=ne`Y = a X + b \Longleftrightarrow | \rho_{X, Y} | = 1`))))),l(t.a,{title:"Varianza di variabili aleatorie sommate"},l("p",null,"La varianza di due variabili aleatorie sommate è:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Bi||(Bi=ne`Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 \cdot Cov(X, Y)`)))),l(u.a,null,"Si dimostra applicando le proprietà della covarianza!"),l("p",null,"Se più variabili aleatorie ",l(e.a,null,"X_i")," sono ",l("b",null,"indipendenti")," (",l(e.a,null,ee(Ai||(Ai=ne`Cov(X, Y) = 0`))),"), allora:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Gi||(Gi=ne`Var \left( \sum_i X_i \right) = \sum_i Var(X_i)`)))))),l(o.a,{title:"Campioni"},l(t.a,{title:"Campione casuale"},l("p",null,"Una ",l("b",null,"n-pla")," di variabili aleatorie con la stessa distribuzione della variabile aleatoria ",l(e.a,null,"X"),' ("popolazione") ma ',l("b",null,"indipendenti")," tra loro."),l(u.a,null,"Le variabili aleatorie sono come un lazy-load in programmazione; quando ci sarà bisogno del loro valore numerico, esse si ",l("b",null,"realizzeranno")," nel loro valore.")),l(t.a,{title:"Momento campionario"},l("p",null,"Il valore dato dalla media aritmetica degli ",l(e.a,null,"n")," elementi del campione elevati alla potenza ",l(e.a,null,"k"),":"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Ti||(Ti=ne`M^{(k)}_n = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^n X_i^k `)))),l("p",null,"Il momento campionario di primo ordine è la ",l("i",null,"media campionaria")," ",l(e.a,null,ee(Qi||(Qi=ne`\overline{X}_n`))),".")),l(t.a,{title:"Varianza campionaria"},l("p",null,"La media aritmetica dello scarto quadratico medio degli elementi del campione."),l("p",null,"Se è noto il valore medio ",l(e.a,null,ee(Oi||(Oi=ne`m = E(X)`)))," di X:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Ri||(Ri=ne`S_0^2 = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^n (X_i - m)^2 = M_n^(2) - 2 \cdot m \cdot \overline{X}_n + m^2`)))),l("p",null,"Altrimenti:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Ki||(Ki=ne`S_n^2 = \frac{1}{n - 1} \cdot \sum_{i = 1}^n (X_i - \overline{X}_n)^2 = \frac{1}{n - 1} \cdot ( n \cdot M_2^{(2)} - n \cdot \overline{X}_n^2)`)))))),l(o.a,{title:"Media-ception"},l(t.a,{title:"Media campionaria"},l("p",null,"Se calcoliamo la media della media campionaria, risulterà vero che:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Wi||(Wi=ne`E(\overline{X}_n) = E(X)`)))),l(u.a,null,"Quindi, è possibile usare i campioni per trovare la media di una variabile aleatoria!")),l(t.a,{title:"Varianza campionaria"},l("p",null,"Se calcoliamo la varianza della media campionaria, risulterà vero che:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(ji||(ji=ne`Var(\overline{X}_n) = \frac{Var(X)}{n}`)))),l(u.a,null,"Quindi, possiamo stimare l'errore della media calcolata tramite campioni!")),l(t.a,{title:"Correzione campionaria"},l("p",null,"Se calcoliamo la media della varianza campionaria, risulterà vero che:"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Zi||(Zi=ne`E(S_0^2) = E(S_n^2) = Var(X)`)))),l(u.a,null,"Quindi, possiamo stimare l'errore della media calcolata tramite campioni!"))),l(o.a,{title:"Campionamento di una distribuzione normale"},l(t.a,{title:"Campionamento di una distribuzione normale"},l("p",null,"Se la popolazione ",l(e.a,null,"X")," ha una distribuzione normale (",l(e.a,null,ee(Ji||(Ji=ne`X \sim Nor(\mu, \sigma^2)`))),")...")),l(t.a,{title:"Distribuzione della media campionaria"},l("p",null,"...allora sappiamo anche la distribuzione della media campionaria!"),l("p",null,l(e.a,null,ee(Hi||(Hi=ne`\overline{X}_n \sim Nor \left( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \right)`))))),l(t.a,{title:"Distribuzione della varianza campionaria"},
update
2020-05-23 05:37:27 +00:00
//# sourceMappingURL=route-statistica.chunk.34cdf.esm.js.map
Copy permalink