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\documentclass{article}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage{mathtools}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{centernot}
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% New symbols
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\let\oldsqrt\sqrt
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\def\sqrt{\mathpalette\DHLhksqrt}
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\def\DHLhksqrt#1#2{%
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\setbox0=\hbox{$#1\oldsqrt{#2\,}$}\dimen0=\ht0
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\advance\dimen0-0.2\ht0
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\setbox2=\hbox{\vrule height\ht0 depth -\dimen0}
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{\box0\lower0.4pt\box2}}
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\newcommand{\iu}{\mathrm{i}\mkern1mu}
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% End new symbols
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\begin{document}
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\section{Teorema di Weierstrass}
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\paragraph{Ipotesi}
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\footnotesize Devo scrivere per forza qualcosa qua.\\\normalsize
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\([a, b]\) intervallo \textit{chiuso} e \textit{limitato}\\
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\(f\) continua su \([a, b]\)
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\paragraph{Tesi}
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\(f\) ha \textit{massimo} e \textit{minimo} su \([ a, b ]\)\\
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\[\exists x_M, \exists x_n : f(x_M) \leq f(x) \leq f(x_n)\]
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\paragraph{Tabella lettere}
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\footnotesize Per capirci qualcosa in più.\\\normalsize
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\(f\) \quad funzione\\
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\(M\) \quad reale, estremo superiore della funzione\\
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\(x_M\) \quad reale, punto in cui la funzione raggiunge il valore di \(M\)\\
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\(x_n\) \quad successione, ???\\
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\(y_n\) \quad successione, ???
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\paragraph{Dimostrazione}
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\footnotesize Dimostrazione per il minimo omessa, in quanto opposta di questa.\\\\\normalsize
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Sia \(M = sup(f) = sup \{f(x) : x \in [a, b]\}\).\\\\
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Devo dimostrare che M venga raggiunto in almeno un punto della funzione: \(\exists x_M \in [a, b]\) tale che \(f(x_M) = M\).\\\\
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\(M\) è il minimo dei maggioranti; se considero un qualsiasi numero \(y_n < M\), questo \textit{non è un maggiorante} per la definizione di estremo superiore.\\\\
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Allora, creo una successione \(x_n\) in modo che \(y_n < f(x_n) \leq M\).\\\\
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Dato che \(y_n\) tende ad \(M\), per il \textsc{Teorema dei Carabinieri} \(f(x_n) \to M\).\\\\
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Il fatto che \(x_n\) sia \(\in [a, b]\) ci fa dire che la successione sia \textit{limitata}.\\\\
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Essendo limitata, per il \textsc{Teorema di Bolzano-Weierstrass} possiamo estrarre sicuramente una sottosuccessione \(x_{n_k}\) tale che essa tenda a un valore finito \(\to x_M\).\\\\
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Essendo \(f\) una funzione continua, allora \(f(x_{n_k} \to f(x_n)\).\\\\
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Dato che tutte le sottosuccessioni estratte tendono allo stesso valore, allora possiamo dire che \(M = f(x_M)\).
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\end{document}
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