(window.webpackJsonp=window.webpackJsonp||[]).push([[5],{"2w3n":function(l){l.exports={red:"red__2y1B_",orange:"orange__dD2kx",yellow:"yellow__OEpwl",lime:"lime__CVe41",cyan:"cyan__26ZAg",blue:"blue__LO7Xm",magenta:"magenta__1Akee",example:"example__2PzAa"}},"31Ft":function(l,i,e){"use strict";(function(l){e("4UPQ");varn=e("hosL"),a=e("mbOI"),o=e("ke5e");i.a=function(){returnl(n.Fragment,null,l(a.r,{title:"Problema: Interpolazione"},l(a.q,{title:"Descrizione"},l("p",null,"Si vuole trovare una funzione in grado di ",l("b",null,"approssimarne")," un altra, di cui si conoscono però solo alcuni punti."),l(o.a,null,"È utile in un sacco di casi! Ad esempio, quando si vuole scalare un'immagine."))),l(a.r,{title:"Metodi di interpolazione"},l(a.q,{title:"Metodo dei coefficienti indeterminati"},l(a.u,null,"TODO")),l(a.q,{title:"Metodo di Lagrange"},l(a.u,null,"TODO"))),l(a.r,{title:"Resto di interpolazione"},l(a.q,{title:"Definizione"},l(a.u,null,"TODO")),l(a.q,{title:"Stima"},l(a.u,null,"TODO")),l(a.q,{title:"Fenomeno di Runge"},l(a.u,null,"TODO")),l(a.q,{title:"Nodi di Chebychev"},l(a.u,null,"TODO"))))}}).call(this,e("hosL").h)},"4UPQ":function(){},"5aVd":function(l){l.exports={menulist:"menulist__2Cmnq"}},FEtp:function(l,i,e){"use strict";(function(l){e("h/TB");varn=e("hosL"),a=e("mbOI"),o=e("ke5e");lett,u,r,c,s,d,p,m,f,h,b,g,z,_,v,q,k,x,L,A,O,M,C,S,w,T,D,F,E,I,U,N,P,G,Q,R,y,j,H,Y,J,B,X,V,Z,K,W,$,ll,il=l=>l;constel=String.raw;i.a=function(){returnl(n.Fragment,null,l(a.r,{title:"Problema: Ricerca degli zeri di funzione"},l(a.q,{title:"Descrizione"},l("p",null,"Si vogliono trovare i punti (",l("i",null,"zeri"),") in cui una funzione ",l("b",null,"continua")," ",l(a.h,null,"f : [a, b] \\to R")," vale ",l(a.h,null,"0"),"."),l("p",null,"Per il ",l("b",null,"teorema del valore medio"),", se ",l(a.h,null,el(t||(t=il`f(a) \cdot f(b) \leq 0`))),", allora esiste sicuramente un punto in cui la funzione vale 0."),l("p",null,"Denominiamo il punto in cui la funzione vale ",l(a.h,null,"0")," come ",l(a.h,null,el(u||(u=il`x_{(*)}`))),".")),l(a.q,{title:"Condizionamento"},l("p",null,"Più la ",l("b",null,"derivata prima")," della funzione ",l("b",null,"si avvicina allo 0"),", ",l("b",null,"peggio")," il problema sarà condizionato."),l(a.p,null,el(r||(r=il`f'(x_{(*)}) \simeq 0 \implies mal\ condizionato`))))),l(a.r,null,l(a.q,{title:"Ordine di convergenza"},l("p",null,"Indice ",l(a.h,null,el(c||(c=il`{\color{Orange} p}`)))," di quanto in fretta una successione converge alla soluzione."),l(a.p,null,el(s||(s=il`\lim_{i \to +\infty} \frac{ \left| x_{(i+1)} - x_{(*)} \right| }{ \left| x_{(k)} - x_{(*)} \right|^{\color{Orange} p}}`))),l("ul",null,l("li",null,l("u",null,"Convergenza lineare"),": ",l(a.h,null,el(d||(d=il`p = 1`)))," e ",l(a.h,null,el(p||(p=il`0 < C < 1`)))),l("li",null,l("u",null,"Convergenza superlineare"),": ",l(a.h,null,el(m||(m=il`p = 1`)))," e ",l(a.h,null,el(f||(f=il`C = 0`)))),l("li",null,l("u",null,"Convergenza quadratica"),": ",l(a.h,null,el(h||(h=il`p = 2`)))," e ",l(a.h,null,el(b||(b=il`0 < C < 1`)))),l("li",null,l("u",null,"Convergenza superquadratica"),": ",l(a.h,null,el(g||(g=il`p = 2`)))," e ",l(a.h,null,el(z||(z=il`C = 0`)))),l("li",null,"...")))),l(a.r,{title:"Metodi dicotomici"},l(a.q,{title:"Cosa sono?"},l("p",null,"Sono ",l("b",null,"metodi iterativi")," in grado di ridurre sempre di più l'intervallo in cui è definita la funzione, facendolo convergere allo zero desiderato."),l("p",null,"Alcuni di essi sono il ",l("i",null,"metodo dicotomico")," e il ",l("i",null,"metodo regula falsi"),"."),l("p",null,"Richiedono ",l("b",null,"una valutazione di funzione non-lineare")," ad ogni iterazione."),l("p",null,"Ad ogni iterazione, l'intervallo viene sempre ",l("i",null,"almeno")," ",l("b",null,"dimezzato"),"; si ha, pertanto, che:"),l(a.p,null,el(_||(_=il`b_{(i)} - a_{(i)} = \frac{b - a}{2^{i - 1}}`))),l("p",null,"Hanno quindi ",l("b",null,"convergenza lineare")," (",l(a.h,null,el(v||(v=il`C = \frac{1}{2}, p = 1`))),")."),l("p",null,"Il loro ",l("i",null,"criterio di arresto")," è un ",l("b",null,"numerodiiter
`))),l(o.a,null,"Sono i moltiplicatori usati per rendere annullare il triangolo inferiore!"),l("p",null,"La matrice ",l(n.h,null,_l(v||(v=zl`U`)))," è così composta:"),l(n.p,null,_l(q||(q=zl`
`))),l("p",null,"Questo metodo ha costo computazionale:"),l(n.p,null,_l(x||(x=zl`{\color{Yellow}O\left(\frac{n^3}{3}\right)}+2\cdotO\left(\frac{n^2}{2}\right)`)))),l(n.q,{title:l("span",null,"Fattorizzazione ",l(n.h,null,_l(L||(L=zl`LU`)))," con pivoting parziale")},l("p",null,"È possibile applicare la fattorizzazione ",l(n.h,null,_l(A||(A=zl`LU`)))," a ",l("b",null,"qualsiasi matrice non-singolare")," permettendo lo scambio (",l("i",null,"pivoting"),") delle righe, potenzialmente ",l("b",null,"aumentando la stabilità")," dell'algoritmo."),l(o.a,null,"Abbiamo fatto questo metodo in Algebra Lineare, chiamandolo ",l("b",null,"metodo di Gauss-Jordan"),"!"),l("p",null,"Alla formula precedente si aggiunge una ",l(a.a,{href:"https://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_di_permutazione"},"matrice di permutazione")," che indica quali righe sono state scambiate:"),l(n.p,null,_l(O||(O=zl`P\cdotA=L\cdotU`))),l("p",null,"Questo metodo ha costo computazionale:"),l(n.p,null,_l(M||(M=zl`{\color{Yellow}O\left(\frac{n^2}{2}\right)}+O\left(\frac{n^3}{3}\right)+2\cdotO\left(\frac{n^2}{2}\right)`)))),l(n.q,{title:l("span",null,"Fattorizzazione ",l(n.h,null,_l(C||(C=zl`LU`)))," con pivoting totale")},l("p",null,"È possibile anche permettere il ",l("i",null,"pivoting")," ",l("b",null,"sulle colonne")," per ",l("b",null,"aumentare ulteriormente la stabilità")," dell'algoritmo, a costo di maggiore costo computazionale:"),l(n.p,null,_l(S||(S=zl`P\cdotA\cdotQ=L\cdotU`))),l("p",null,"Questo metodo ha costo computazionale:"),l(n.p,null,_l(w||(w=zl`{\color{Yellow}O\left(\frac{n^3}{3}\right)}+O\left(\frac{n^3}{3}\right)+2\cdotO\left(\frac{n^2}{2}\right)`))))),l(n.r,null,l(n.q,{title:l("span",null,"Fattorizzazione ",l(n.h,null,_l(T||(T=zl`LDL^{-1}`))))},l("p",null,"È possibile ",l("b",null,"ridurre la complessità computazionale")," della fattorizzazione ",l(n.h,null,_l(D||(D=zl`LU`)))," se la matrice dei coefficienti è ",l("b",null,"simmetrica"),":"),l(n.p,null,_l(F||(F=zl`A=L\cdotD\cdotL^{-1}`))),l("p",null,"In questo caso, si calcola solo la matrice L, utilizzando il ",l("b",null,"metodo di pavimentazione"),"."),l(n.p,null,_l(E||(E=zl`
`)))),l("p",null,"Questo metodo ha costo computazionale:"),l(n.p,null,_l(N||(N=zl`{\color{Yellow}O\left(\frac{n^3}{6}\right)}+O\left(\frac{n^3}{3}\right)+2\cdotO\left(\frac{n^2}{2}\right)`)))),l(n.q,{title:l("span",null,"Fattorizzazione ",l(n.h,null,_l(P||(P=zl`\mathcal{L}\mathcal{L}^{-1}`))))},l("p",null,"È possibile dare ",l("b",null,"stabilità forte")," alla fattorizzazione ",l(n.h,null,_l(G||(G=zl`LDL^{-1}`)))," se la matrice dei coefficienti è ",l("b",null,"simmetrica definita positiva"),":"),l(n.p,null,_l(Q||(Q=zl`A=\mathcal{L}\cdot\mathcal{L}^{-1}`))),l("p",null,"Il ",l("b",null,"metodo di pavimentazione")," diventa:"),l(n.p,null,_l(R||(R=zl`
`))),l("p",null,"Questo metodo ha costo computazionale:"),l(n.p,null,_l(y||(y=zl`O\left(\frac{n^3}{3}\right)+O\left(\frac{n^3}{3}\right)+2\cdotO\left(\frac{n^2}{2}\right)`))))),l(n.r,null,l(n.q,{title:"Trasformazione di Householder"},l("p",null,"Matrice ricavata dalla seguente formula:"),l(n.p,null,_l(j||(j=zl`U(v)=I-\frac{1}{\alpha}\cdotv\cdotv^T`))),l(n.p,null,_l(H||(H=zl`\alpha=\frac{1}{2}\|v\|_{(2)}^2`)))),l(n.q,{title:l("span",null,"Fattorizzazione ",l(n.h,null,_l(Y||(Y=zl`QR`))))},l("p",null,"Metodo che fornisce una ",l("b",null,"maggiore stabilità")," a costo di una ",l("b",null,"maggiore complessità computazionale"),"."),l("p",null,"La matrice ",l(n.h,null,_l(J||(J=zl`A`)))," viene ",l("i",null,"fattorizzata")," in due matrici, una ",l("b",null,"ortogonale")," ",l(n.h,null,_l(B||(B=zl`Q`)))," e una ",l("b",null,"triangolare superiore")," ",l(n.h,null,_l(X||(X=zl`R`))),":"),l(n.p,null,_l(V||(V=zl`A=Q\cdotR`))),l("p",null,"Le matrici si ottengono dal prodotto delle trasformazioni di Householder (",l(n.h,null,_l(Z||(Z=zl`Q`)))," sulle colonne della matrice ",l(n.h,null,_l(K||(K=zl`A`))),", trasformandola in una matrice triangolare superiore (",l(n.h,null,_l(W||(W=zl`R`))),")."),l("p",null,"Una volta fattorizzata, il sistema si può risolvere con:"),l(n.p,null,_l($||($=zl`
`))),l("p",null,"Questo metodo ha costo computazionale:"),l(n.p,null,_l(ll||(ll=zl`{\color{Yellow}O\left(\frac{2\cdotn^3}{3}\right)}+2\cdotO\left(\frac{n^2}{2}\right)`))),l("p",null,l(n.u,null,"TODO: l'algoritmo con tau per ricavare la q se non è in memoria")))),l(n.r,{title:"Metodi iterativi"},l(n.q,{title:"Forma generale"},l("p",null,"Se si pone che:"),l(n.p,null,_l(il||(il=zl`
`))),l("p",null,"Allora la formula generale di un sistema lineare può anche essere scritta in questo modo:"),l(n.p,null,_l(el||(el=zl`x=G\cdotx+c`))),l("p",null,"È particolarmente utile perchè ci permette di definire un ",l("b",null,"algoritmo ricorsivo")," che trovi ",l(n.h,null,_l(nl||(nl=zl`x`))),":"),l(n.p,null,_l(al||(al=zl`x_{(i+1)}=G\cdotx_{(i)}+c`))),l("p",null,l(n.h,null,_l(ol||(ol=zl`G`)))," è il ",l("b",null,"metodo"),", e in base ad esso cambiano stabilità e velocità di convergenza."),l("p",null,"Ponendo ",l(n.h,null,_l(tl||(tl=zl`A=M-N`))),", la formula può essere scritta anche in questo modo:"),l(n.p,null,_l(ul||(ul=zl`M\cdotx_{(i+1)}=N\cdotx_{(i)}+b`))),l("p",null,"Possiamo ottenere alcuni metodi separando ",l(n.h,null,"A")," in tre matrici:"),l("ul",null,l("li",null,"La parte diagonale ",l(n.h,null,_l(rl||(rl=zl`D`)))),l("li",null,"L'opposto del triangolo inferiore ",l(n.h,null,_l(cl||(cl=zl`E`)))),l("li",null,"L'opposto del triangolo superiore ",l(n.h,null,_l(sl||(sl=zl`F`))))),l(n.p,null,_l(dl||(dl=zl`A=D-E-F`)))),l(n.q,{title:"Convergenza di un metodo"},l("p",null,"Un metodo è convergente se e solo se:"),l(n.p,null,_l(pl||(pl=zl`\rho(M)<1`))),l("p",null,"(dove ",l(n.h,null,_l(ml||(ml=zl`\rho`)))," è il ",l("b",null,"raggio spettrale"),", il massimo autovalore della matrice)"),l("p",null,"Perchè un metodo sia convergente, è sufficiente che:"),l(n.p,null,_l(fl||(fl=zl`\|M\|<1`))),l("p",null,l(n.u,null,"TODO: l'algoritmo con tau per le condizioni di arresto")))),l(n.r,null,l(n.q,{title:"Metodo di Jacobi"},l("p",null,"Il metodo di Jacobi si ottiene ponendo:"),l(n.p,null,_l(hl||(hl=zl`
`))),l("p",null,l("u",null,"Spostamenti simultanei"),": Permette di ottenere ogni componente di ",l(n.h,null,_l(bl||(bl=zl`x`)))," indipendentemente dagli altri: è ",l("b",null,"parallelizzabile"),"."),l("p",null,"Se la matrice è ",l("b",null,"diagonale dominante"),", allora il metodo di Jacobi ",l("b",null,"converge")," sicuramente.")),l(n.q,{title:"Metodo di Gauss-Seidel"},l("p",null,"Il metodo di Gauss-Seidel si ottiene ponendo:"),l(n.p,null,_l(gl||(gl=zl`
`))),l("p",null,"Ha una velocità di convergenza ",l("b",null,"maggiore o uguale")," rispetto al metodo di Jacobi."),l("p",null,l("u",null,"Spostamenti successivi"),": Non è parallelizzabile, perchè ogni componente ",l("b",null,"dipende da quelle calcolate in precedenza"),"."),l("p",null,"Se la matrice è ",l("b",null,"diagonale dominante"),", allora il metodo di Gauss-Seidel ",l("b",null,"converge")," sicuramente."))))}}).call(this,e("hosL").h)},qXt2:function(l,i,e){"use strict";e.r(i),function(l){e("mbOI"),e("ke5e"),e("YNhk"),e("T2GU");var n=e("sl5E"),a=e("lijF"),o=e("FEtp"),t=e("31Ft");i.default=function(){return l("div",null,l("h1",null,"Calcolo Numerico"),l(n.a,null),l(a.a,null),l(o.a,null),l(t.a,null))}}.call(this,e("hosL").h)},sl5E:function(l,i,e){"use strict";(function(l){e("T/To");var n=e("mbOI"),a=e("YNhk"),o=e("T2GU"),t=e("ke5e"),u=e("hosL");let r,c,s,d,p,m,f,h,b,g,z,_,v,q,k,x,L,A,O,M,C,S=l=>l;const w=String.raw;i.a=function(){return l(u.Fragment,null,l(n.r,{title:"Esame"},l(n.q,{title:"Contatti"},l("ul",null,l("li",null,l(a.a,{href:"mailto:silvia.bonettini@unimore.it"},"Prof.ssa Silvia Bonettini")))),l(n.q,{title:"Orale"},l("p",null,"E' composto da:"),l("ul",null,l("li",null,"2 domande sugli argomenti teorici"),l("li",null,"1 domanda di implementazione algoritmo in MATLAB"))),l(n.q,{title:"Sessione autunnale"},l("ol",null,l("li",null,l(n.t,{to:"2020-08-31 09:00"})),l("li",null,l(n.t,{to:"2020-09-14 09:00"}))))),l(n.r,{title:"Informazioni"},l(n.q,{title:"Ripasso di Algebra Lineare"},l("p",null,"Prima di iniziare a studiare Calcolo Numerico, potrebbe essere una buona idea ripassare un pochino Algebra Lineare:"),l(o.a,null,l("li",null,l("a",{href:"/calcolonumerico/ripassodialgebralineare"},"Ripasso di Algebra Lineare")," ",l("small",null,"(per studenti sperduti di Calcolo Numerico)"))))),l(n.r,{title:"Algoritmi"},l(n.q,{title:"Algoritmi numerici"},l("p",null,"Particolari algoritmi che hanno:"),l("ul",null,l("li",null,"numeri reali in input e output"),l("li",null,"successioni delle quattro operazioni aritmetiche fondamentali come passi")))),l(n.r,{title:"Errore di rappresentazione"},l(n.q,{title:"Cos'è?"},l("p",null,"Con i numeri floating point può capitare che un certo numero ",l(n.h,null,w(r||(r=S`\alpha`)))," non sia rappresentato correttamente."),l("p",null,"In tal caso, il numero si indica con ",l(n.h,null,w(c||(c=S`\alpha^*`))),"."))),l(n.r,null,l(n.q,{title:"Errore assoluto"},l("p",null,"È la differenza tra il numero desiderato e il numero rappresentato:"),l(n.p,null,w(s||(s=S`E_a=\left|\alpha-\alpha^*\right|`)))),l(n.q,{title:"Errore relativo"},l("p",null,"Indica quanto il numero rappresentato differisce dal numero desiderato:"),l(n.p,null,w(d||(d=S`\forall\alpha\neq0,E_r=\frac{E_a}{\left|\alpha\right|}`))))),l(n.r,null,l(n.q,{title:"Troncamento"},l("p",null,"Metodo con cui gestire gli ",l("b",null,"underflow floating point"),": le cifre meno significative vengono ",l("b",null,"rimosse"),"."),l(t.a,null,l("pre",null,"1.00 → 1.0",l("br",null),"1.01 → 1.0",l("br",null),"1.10 → 1.1",l("br",null),"1.11 → 1.1"))),l(n.q,{title:"Arrotondamento"},l("p",null,"Metodo con cui gestire gli ",l("b",null,"underflow floating point"),": se la cifra più significativa di quelle che devono essere rimosse è 1, allora ",l("b",null,"aumenta di 1")," anche quella meno signficativa che viene tenuta."),l(t.a,null,l("pre",null,"1.00 → 1.0",l("br",null),"1.01 → 1.0",l("br",null),"1.10 → 1.1",l("br",null),"1.11 → 10.")))),l(n.r,null,l(n.q,{title:"Precisione di macchina"},l("p",null,"Un numero reale rappresentato in ",l("b",null,"virgola mobile")," ha un ",l("b",null,"errore relativo")," minore o uguale alla ",l("i",null,"precisione di macchina"),":"),l("p",null,l(n.h,null,w(p||(p=S`E_r\leqk\cdot\beta^{1-t}`)))),l("ul",null,l("li",null,l(n.h,null,"\\beta")," è uguale alla base utilizzata (solitamente 2)."),l("li",null,l(n.h,null,"t")," è uguale al numero di cifre della mantissa."),l("li",null,l(n.h,null,"k")," è uguale a ",l(n.h,null,"1")," se il numer
