2022-02-04 01:14:51 +00:00
import { Heading } from '@steffo/bluelib-react'
2022-06-28 17:13:40 +00:00
import type { NextPage , NextPageContext } from 'next'
2022-02-04 01:14:51 +00:00
import { Link } from '../../../components/link'
import { Section , Box , Split , Panel , r , ILatex , BLatex , PLatex , Latex , Help , Example , Color , TablePanel , Code , Plus , Minus , Todo , Image } from "../../../components/compat-old"
2022-06-29 07:59:12 +00:00
import imgFJk44q0 from "../../../public/images/year2/ottimizzazione/FJk44q0.png"
import imgfzb6xz2 from "../../../public/images/year2/ottimizzazione/fzb6xz2.png"
import img1r405Mb from "../../../public/images/year2/ottimizzazione/1r405Mb.png"
2022-02-03 16:43:43 +00:00
2022-06-28 17:13:40 +00:00
export async function getStaticProps ( _context : NextPageContext ) {
return {
props : { }
}
}
2022-02-04 01:14:51 +00:00
const Min = ( { children = undefined , . . . props } : any ) = > (
2022-02-03 16:43:43 +00:00
< Color builtin = { "cyan" } >
< Help text = { "In problemi in cui il primale è di minimizzazione." } > { props . children ? props . children : "min" } < / Help >
< / Color >
)
2022-02-04 01:14:51 +00:00
const Max = ( { children = undefined , . . . props } : any ) = > (
2022-02-03 16:43:43 +00:00
< Color builtin = { "orange" } >
< Help text = { "In problemi in cui il primale è di massimizzazione." } > { props . children ? props . children : "max" } < / Help >
< / Color >
)
2022-02-04 01:14:51 +00:00
const Empty = ( { children = undefined , . . . props } : any ) = > (
2022-02-03 16:43:43 +00:00
< Color builtin = { "red" } >
< Help text = { "Il poliedro non contiene punti." } > { props . children ? props . children : "vuoto" } < / Help >
< / Color >
)
2022-02-04 01:14:51 +00:00
const Finite = ( { children = undefined , . . . props } : any ) = > (
2022-02-03 16:43:43 +00:00
< Color builtin = { "lime" } >
< Help text = { "I punti del poliedro sono finiti." } > { props . children ? props . children : "finito" } < / Help >
< / Color >
)
2022-02-04 01:14:51 +00:00
const Unbounded = ( { children = undefined , . . . props } : any ) = > (
2022-02-03 16:43:43 +00:00
< Color builtin = { "blue" } >
< Help text = { "I punti del poliedro sono infiniti." } > { props . children ? props . children : "illimitato" } < / Help >
< / Color >
)
const ExampleBoxColor = "magenta"
const Page : NextPage = ( ) = > {
return < >
2022-02-04 01:14:51 +00:00
< Heading level = { 2 } >
< Link href = "/year2/ottimizzazione" >
Ottimizzazione lineare intera
< / Link >
< / Heading >
2022-02-03 16:43:43 +00:00
< Split title = { "Glossario" } >
< TablePanel >
< thead >
< tr >
< th > < abbr title = { "Vettore / matrice" } > v < / abbr > < / th >
< th > < abbr title = { "Elemento singolo" } > s < / abbr > < / th >
< th > Significato < / th >
< / tr >
< / thead >
< tbody >
< tr >
< td > < BLatex > { r ` \ mathbf{x} ` } < / BLatex > < / td >
< td > < BLatex > { r ` x_i ` } < / BLatex > < / td >
< td > Incognite < / td >
< / tr >
< tr >
< td > < BLatex > { r ` \ mathbf{s} ` } < / BLatex > < / td >
< td > < BLatex > { r ` s_i ` } < / BLatex > < / td >
< td > Variabili slack < / td >
< / tr >
< tr >
< td > < BLatex > { r ` \ mathbf{c} ` } < / BLatex > < / td >
< td > < BLatex > { r ` c_i ` } < / BLatex > < / td >
< td > Coefficienti della funzione obiettivo < / td >
< / tr >
< tr >
< td > < BLatex > { r ` \ mathbf{A} ` } < / BLatex > < / td >
< td > < BLatex > { r ` a_{ij} ` } < / BLatex > < / td >
< td > Coefficienti dei vincoli < / td >
< / tr >
< tr >
< td > < BLatex > { r ` \ mathbf{b} ` } < / BLatex > < / td >
< td > < BLatex > { r ` b_i ` } < / BLatex > < / td >
< td > Termini noti dei vincoli < / td >
< / tr >
< tr >
< td > < BLatex > { r ` \ mathbf{y} ` } < / BLatex > < / td >
< td > < BLatex > { r ` y_i ` } < / BLatex > < / td >
< td > Incognite artificiali < / td >
< / tr >
< tr >
< td > < BLatex > { r ` \ mathbf{u} ` } < / BLatex > < / td >
< td > < BLatex > { r ` u_i ` } < / BLatex > < / td >
< td > Coefficienti di rilassamento < / td >
< / tr >
< tr >
< td / >
< td > < BLatex > { r ` c_0 ` } < / BLatex > < / td >
< td > Valore ottimo di un problema < / td >
< / tr >
< tr >
< td > < BLatex > { r ` \ mathbf{x}_B ` } < / BLatex > < / td >
< td / >
< td > Incognite in base < / td >
< / tr >
< tr >
< td > < BLatex > { r ` \ mathbf{c}_B ` } < / BLatex > < / td >
< td / >
< td > Coefficienti della funzione obiettivo delle variabili in base < / td >
< / tr >
< tr >
< td > < BLatex > { r ` \ mathbf{B} ` } < / BLatex > < / td >
< td / >
< td > Coefficienti dei vincoli delle variabili in base < / td >
< / tr >
< tr >
< td > < BLatex > { r ` \ mathbf{x}_F ` } < / BLatex > < / td >
< td / >
< td > Incognite fuori base < / td >
< / tr >
< tr >
< td > < BLatex > { r ` \ mathbf{c}_F ` } < / BLatex > < / td >
< td / >
< td > Coefficienti della funzione obiettivo delle variabili fuori base < / td >
< / tr >
< tr >
< td > < BLatex > { r ` \ mathbf{F} ` } < / BLatex > < / td >
< td / >
< td > Coefficienti dei vincoli delle variabili fuori base < / td >
< / tr >
< / tbody >
< / TablePanel >
< TablePanel >
< thead >
< tr >
< th > Simboli < / th >
< th > Significato < / th >
< / tr >
< / thead >
< tbody >
< tr >
< td > < BLatex > { r ` \ mathbf{c}^T \ mathbf{x} ` } < / BLatex > < / td >
< td > Soluzione del problema < / td >
< / tr >
< tr >
< td > < BLatex > { r ` \ mathbf{A} \ mathbf{x} = \ mathbf{b} ` } < / BLatex > < / td >
< td > Vincoli in forma standard < / td >
< / tr >
< tr >
< td > < BLatex > { r ` z( \ dots) ` } < / BLatex > < / td >
< td > Funzione obiettivo < / td >
< / tr >
< tr >
< td > < BLatex > { r ` \ mathbf{u}^T \ mathbf{b} ` } < / BLatex > < / td >
< td > Soluzione del problema duale < / td >
< / tr >
< tr >
< td > < BLatex > { r ` \ mathbf{u}^T \ mathbf{A} = \ mathbf{c}^T ` } < / BLatex > < / td >
< td > Vincoli del problema duale in forma standard < / td >
< / tr >
< tr >
< td > < BLatex > { r ` \ lfloor x \ rfloor ` } < / BLatex > < / td >
< td > Arrotondamento per difetto di x < / td >
< / tr >
< tr >
< td > < BLatex > { r ` \ lceil x \ rceil ` } < / BLatex > < / td >
< td > Arrotondamento per eccesso di x < / td >
< / tr >
< tr >
< td > < BLatex > { r ` x - \ lfloor x \ rfloor ` } < / BLatex > < / td >
< td > Parte frazionaria di x ( se non è negativo ) < / td >
< / tr >
< / tbody >
< / TablePanel >
< / Split >
< Split title = { "Problemi di ottimizzazione lineare" } >
< Box title = { "Cosa sono?" } >
< p >
Problemi che cercano di < Min > minimizzare < / Min > / < Max > massimizzare < / Max > il valore di una < i > funzione
obiettivo < / i > le cui incognite sono sottoposte a un < b > sistema di < i > vincoli < / i > < / b > .
< / p >
< p >
Spesso sono detti anche < i > problemi di < abbr title = { "Linear Programming" } > LP < / abbr > < / i > .
< / p >
< / Box >
< Box title = { "Funzione obiettivo" } >
< p >
La funzione da < Min > minimizzare < / Min > / < Max > massimizzare < / Max > .
< / p >
< p >
Il vettore dei suoi coefficienti è detto < Latex > { r ` \ mathbf{c} ` } < / Latex > , mentre quello delle sue
incognite < Latex > { r ` \ mathbf{x} ` } < / Latex > .
< / p >
< p >
In genere , la funzione obiettivo è scritta in forma di < b > combinazione lineare < / b > tra le < b > incognite < / b > e i < b > coefficienti < / b > :
< / p >
< p >
< Latex > { r ` z( \ mathbf{x}) = c_1 \ cdot x_1 + c_2 \ cdot x_2 + \ dots + c_n \ cdot x_n ` } < / Latex >
< / p >
< / Box >
< Box title = { "Gradiente" } >
< p >
< b > Funzione < / b > della funzione obiettivo che restituisce la direzione del suo aumento più
veloce .
< / p >
< p >
< Latex > { r ` \ nabla (f) = \ frac{d f}{d x_1} I_1 + \ frac{d f}{d x_2} I_2 + \ frac{d f}{d x_n} I_n ` } < / Latex >
< / p >
< Example >
La matrice < Latex > { r ` \ mathbf{I} ` } < / Latex > è la matrice identità .
< / Example >
< Example >
Se la funzione obiettivo è < Latex > z = 2 w + 3 x + 4 y < / Latex > , il suo gradiente
è < Latex > { r ` \ nabla z = (2, 3, 4) ` } < / Latex > .
< / Example >
< / Box >
< Box title = { "Vincoli" } >
< p >
Equazioni e disequazioni a cui devono sottostare le incognite perchè esse formino una soluzione
valida .
< / p >
< p >
I loro coefficienti sono contenuti nella matrice < Latex > { r ` \ mathbf{A} ` } < / Latex > , mentre i loro
termini noti nel vettore < Latex > { r ` \ mathbf{b} ` } < / Latex > .
< / p >
< / Box >
< Box title = { "Poliedro" } >
< p >
2022-02-04 01:14:51 +00:00
L & apos ; < b > insieme < / b > che racchiunde tutte le < b > soluzioni ammissibili < / b > di un problema .
2022-02-03 16:43:43 +00:00
< / p >
< p >
Può essere < i > < Finite / > < / i > , < i > < Empty / > < / i > oppure < i > < Unbounded / > < / i > .
< / p >
< Example >
Si chiama così perchè se si disegna su un piano cartesiano , esso forma una figura geometrica a
più lati , ovvero un < a href = { "https://it.wikipedia.org/wiki/Poliedro" } > poliedro < / a > .
< / Example >
< / Box >
< Box title = { "Valore ottimo" } >
< p >
La < b > soluzione < / b > di un problema , ricavabile dal
prodotto < Latex > { r ` \ mathbf{c}^T \ mathbf{x} ` } < / Latex > .
< / p >
< p >
In particolare , il valore ottimo è un < b > vertice < / b > del poliedro , detto < i > vertice ottimo < / i > .
< / p >
< / Box >
< / Split >
< Split title = { "Forme di un problema di ottimizzazione" } >
< Box title = { "Forma generale" } >
< p >
Un problema con :
< / p >
< ul >
< li > < Plus > Equazioni e disequazioni < / Plus > < / li >
< li > < Plus > Variabili non vincolate < / Plus > < / li >
< / ul >
< PLatex > { r ` min \ left \ { \ mathbf{c}^T \ mathbf{x} : \ mathbf{A} \ mathbf{x} = b, \ quad \ mathbf{A'} \ mathbf{x} \ geq \ mathbf{b'} \ quad x_j \ geq 0, \ quad j = 1 \ dots n \ right \ } ` } < / PLatex >
< / Box >
< Box title = { "Forma canonica" } >
< p >
Un problema con :
< / p >
< ul >
< li > < Plus > Solo disequazioni < / Plus > < / li >
< li > < Minus > Vincoli di non - negatività sulle incognite < / Minus > < / li >
< / ul >
< PLatex > { r ` min \ left \ { \ mathbf{c}^T \ mathbf{x} : \ mathbf{A} \ mathbf{x} \ geq b, \ quad x_j \ geq 0, \ quad j = 1 \ dots n \ right \ } ` } < / PLatex >
< / Box >
< Box title = { "Forma standard" } >
< p >
Un problema con :
< / p >
< ul >
< li > < Minus > Solo equazioni < / Minus > < / li >
< li > < Minus > Vincoli di non - negatività sulle incognite < / Minus > < / li >
< / ul >
< PLatex > { r ` min \ left \ { \ mathbf{c}^T \ mathbf{x} : \ mathbf{A} \ mathbf{x} = b, \ quad x_j \ geq 0, \ quad j = 1 \ dots n \ right \ } ` } < / PLatex >
< / Box >
< / Split >
< Split title = { "Conversioni tra le forme" } >
< Box title = { "Standard e generale" } >
< p >
Applica questa conversione a ogni equazione nel sistema :
< / p >
< p >
< Latex block = { true } > { r `
a = b \ Leftrightarrow
\ begin { cases }
a \ leq b \ \
a \ geq b
\ end { cases }
` }</Latex>
< / p >
< Example > Serve solo nella teoria per dimostrare che le forme sono equivalenti . < / Example >
< / Box >
< Box title = { "Canonica e standard" } >
< p >
Aggiungi una < i > variabile slack < / i > < Latex > { r ` s ` } < / Latex > < b > non - vincolata < / b > a ogni
disequazione nel sistema :
< / p >
< p >
< Latex block = { true } > { r `
a \ leq b \ Leftrightarrow a + s = b
` }</Latex>
< / p >
< p >
< Latex block = { true } > { r `
a \ geq b \ Leftrightarrow a - s = b
` }</Latex>
< / p >
< / Box >
< Box title = { "Generale e canonica" } >
< p >
Sdoppia ogni variabile non - vincolata in due variabili con vincolo di non - negatività :
< / p >
< p >
< Latex block = { true } > { r `
\ begin { cases }
a = a ^ + - a ^ - \ \
a ^ + \ geq 0 \ \
a ^ - \ geq 0
\ end { cases }
` }</Latex>
< / p >
< / Box >
< / Split >
< Split title = { "Tableau" } >
< Box title = { "Cos'è?" } >
< p >
Un modo per rappresentare sistemi in forma standard , anche noto come < b > matrice equivalente
completa < / b > del sistema .
< / p >
< / Box >
< Box title = { "Trasformazioni" } >
< p >
Un tableau è un sistema di equazioni in < b > forma matriciale completa < / b > .
< / p >
< p >
È possibile effettuare senza che cambi il risultato finale le seguenti trasformazioni :
< / p >
< ul >
2022-02-04 01:14:51 +00:00
< li > < b > Moltiplicare < / b > un & apos ; intera riga per una costante . < / li >
< li > < b > Sommare < / b > una riga a un & apos ; altra < / li >
2022-02-03 16:43:43 +00:00
< / ul >
< Example >
Suona familiare ? Sì , lo abbiamo fatto anche in Algebra Lineare .
< / Example >
< / Box >
< Box title = { "Variabili nella base" } >
< p >
Variabili che hanno < b > tutti 0 e un solo 1 < / b > nella loro colonna del tableau .
< / p >
< p >
La loro controparte sono le < i > variabili fuori base < / i > , che hanno qualsiasi altro valore .
< / p >
< / Box >
< Box title = { "Valore attuale" } >
< p >
Il valore della funzione obiettivo che si otterrebbe se < b > tutte le variabili fuori base
valessero 0 < / b > .
< / p >
< p >
Procedendo nella risoluzione ( descritta in seguito ) del tableau , questo valore aumenterà , fino a
raggiungere il valore ottimo quando la risoluzione sarà completata .
< / p >
< / Box >
< / Split >
< Split >
< Example title = { "Un esempio" } >
< p >
Il sistema :
< / p >
< PLatex > { r `
\ begin { cases }
1 x_1 \ { \ color { Cyan } \ leq } \ { \ color { Red } 3 } \ \
1 x_2 \ { \ color { Cyan } \ leq } \ { \ color { Red } 3 } \ \
2 x_1 + 2 x_2 \ { \ color { Cyan } \ leq } \ { \ color { Red } 7 } \ \
{ \ color { Yellow } \ min } \ { \ color { Green } 2000 x_1 + 1000 x_2 }
\ end { cases }
` }</PLatex>
< p >
Diventa il tableau :
< / p >
< table className = { "right" } >
< thead >
< tr >
< th > < Latex > x_1 < / Latex > < / th >
< th > < Latex > x_2 < / Latex > < / th >
< th > < Latex > s_1 < / Latex > < / th >
< th > < Latex > s_2 < / Latex > < / th >
< th > < Latex > s_3 < / Latex > < / th >
< th > < abbr title = { "Termine noto" } > TN < / abbr > < / th >
< / tr >
< / thead >
< tbody >
< tr >
< td > < Latex > 1 < / Latex > < / td >
< td > < Latex > 0 < / Latex > < / td >
< td style = { { backgroundColor : "rgba(0, 255, 255, 0.1)" } } > < Latex > 1 < / Latex > < / td >
< td style = { { backgroundColor : "rgba(0, 255, 255, 0.1)" } } > < Latex > 0 < / Latex > < / td >
< td style = { { backgroundColor : "rgba(0, 255, 255, 0.1)" } } > < Latex > 0 < / Latex > < / td >
< td style = { { backgroundColor : "rgba(255, 0, 0, 0.1)" } } > < Latex > 3 < / Latex > < / td >
< / tr >
< tr >
< td > < Latex > 0 < / Latex > < / td >
< td > < Latex > 1 < / Latex > < / td >
< td style = { { backgroundColor : "rgba(0, 255, 255, 0.1)" } } > < Latex > 0 < / Latex > < / td >
< td style = { { backgroundColor : "rgba(0, 255, 255, 0.1)" } } > < Latex > 1 < / Latex > < / td >
< td style = { { backgroundColor : "rgba(0, 255, 255, 0.1)" } } > < Latex > 0 < / Latex > < / td >
< td style = { { backgroundColor : "rgba(255, 0, 0, 0.1)" } } > < Latex > 3 < / Latex > < / td >
< / tr >
< tr >
< td > < Latex > 2 < / Latex > < / td >
< td > < Latex > 2 < / Latex > < / td >
< td style = { { backgroundColor : "rgba(0, 255, 255, 0.1)" } } > < Latex > 0 < / Latex > < / td >
< td style = { { backgroundColor : "rgba(0, 255, 255, 0.1)" } } > < Latex > 0 < / Latex > < / td >
< td style = { { backgroundColor : "rgba(0, 255, 255, 0.1)" } } > < Latex > 1 < / Latex > < / td >
< td style = { { backgroundColor : "rgba(255, 0, 0, 0.1)" } } > < Latex > 7 < / Latex > < / td >
< / tr >
< tr style = { { backgroundColor : "rgba(0, 255, 0, 0.1)" } } >
< td > < Latex > 2000 < / Latex > < / td >
< td > < Latex > 1000 < / Latex > < / td >
< td > < Latex > 0 < / Latex > < / td >
< td > < Latex > 0 < / Latex > < / td >
< td > < Latex > 0 < / Latex > < / td >
< td style = { { backgroundColor : "rgba(255, 255, 0, 0.2)" } } > < Latex > 0 < / Latex > < / td >
< / tr >
< / tbody >
< / table >
< p >
Con i seguenti elementi :
< / p >
< ul >
< li >
< u style = { { color : "#7dff7d" } } > Funzione obiettivo < / u >
< / li >
< li >
< u style = { { color : "#ffff7d" } } > Valore attuale < / u >
< / li >
< li >
< u style = { { color : "#ff7d7d" } } > Termini noti < / u >
< / li >
< li >
< u style = { { color : "#7dffff" } } > Variabili slack < / u >
< / li >
< / ul >
< / Example >
< / Split >
< Split title = { "Simplex primale" } >
< Box title = { "Cos'è?" } >
< p >
Un algoritmo per trovare efficientemente il < b > valore ottimo < / b > e le coordinate di un < b > vertice
ottimo < / b > in problemi di ottimizzazione lineare .
< / p >
< Example >
2022-02-04 01:14:51 +00:00
Ricordi < Link href = { "/year1/algebra" } > Gauss < / Link > ? Il Simplex è la stessa cosa ,
2022-02-03 16:43:43 +00:00
in cui però si cerca di < Min > minimizzare < / Min > / < Max > massimizzare < / Max > il termine noto della funzione obiettivo .
< / Example >
< Example title = { "Esempio" } >
2022-06-29 07:59:12 +00:00
< a href = { img1r405Mb . src } > Questa < / a > è la soluzione passo per passo del
2022-02-03 16:43:43 +00:00
problema 3 del file < a href = { "https://dolly.fim.unimore.it/2019/mod/resource/view.php?id=2716" } > < code > Ex_LP_testo < / code > < / a > .
< / Example >
< p >
2022-02-04 01:14:51 +00:00
Perchè sia possibile effettuare il Simplex è necessario che l & apos ; < b > origine sia nel poliedro < / b > :
2022-02-03 16:43:43 +00:00
pertanto , < b > non < / b > è possibile che un problema risolto con il Simplex sia < Empty / > .
< / p >
< / Box >
< Box title = { "I passi" } >
< ol >
< li > Trasforma il sistema in < b > forma standard < / b > . < / li >
< li > Trova tante variabili < b > linearmente indipendenti < / b > quante siano le righe : esse saranno
la < i > base iniziale < / i > .
< / li >
< li > Finchè ci sono variabili con coefficienti < Min > positivi < / Min > / < Max > negativi < / Max > nella
funzione obiettivo :
< ol >
< li >
< p >
< b > Scegli < / b > la prima variabile fuori base con
coefficiente < Min > positivo < / Min > / < Max > negativo < / Max > nella funzione obiettivo : essa
è la < i > variabile entrante < / i > .
< / p >
< aside > < u > Regola di Bland < / u > : Si potrebbe scegliere qualsiasi variabile come
entrante , ma scegliendo sempre la prima ammissibile ci si assicura che
2022-02-04 01:14:51 +00:00
l & apos ; algoritmo termini .
2022-02-03 16:43:43 +00:00
< / aside >
< / li >
< li >
< p >
< b > Scegli < / b > la variabile in base con il minor rapporto
positivo :
< / p >
< PLatex > { r ` \ frac{b_i}{A_ik} ` } < / PLatex >
< aside >
Se non sei riuscito a trovare nessuna variabile con un rapporto positivo ,
significa che il poliedro è < Unbounded / > .
< / aside >
< / li >
< li >
< p >
< u > Pivot < / u > : < b > trasforma < / b > tutte le funzioni del sistema in modo che abbiano 0
nella colonna della variabile entrante , tranne nella riga della variabile uscente ,
in cui avrà 1 .
< / p >
< / li >
< / ol >
< / li >
< li > Il poliedro è < Finite / > : i < b > termini noti dei vincoli < / b > sono le coordinate del suo
vertice ottimo , mentre il < b > termine noto della funzione obiettivo < / b > è il valore ottimo .
< / li >
< / ol >
< / Box >
< Box title = { "Soluzioni di base degenerata" } >
< p >
Una soluzione con almeno una variabile di valore < Latex > 0 < / Latex > , dovuta a uno o più < b > vincoli
ridondanti < / b > .
< / p >
< p >
Senza < b > Regola di Bland < / b > e in presenza di vincoli ridondanti si rischia di trovarsi a fare
pivot infiniti .
< / p >
< / Box >
< / Split >
< Split title = { "Metodo delle due fasi" } >
< Box title = { "Metodo delle due fasi" } >
< p >
Un < b > estensione del Simplex < / b > per permettere la risoluzione di problemi la cui < b > origine non
è una soluzione ammissibile < / b > .
< / p >
< p >
2022-02-04 01:14:51 +00:00
Prevede l & apos ; introduzione di un < i > problema ausiliario < / i > , le cui incognite sono
2022-02-03 16:43:43 +00:00
dette < i > artificiali < / i > .
< / p >
< p >
Il vettore delle incognite artificiali è solitamente chiamato < Latex > { r ` \ mathbf{y} ` } < / Latex > .
< / p >
< / Box >
< Box title = { "Procedimento" } >
< ol >
< li > Crea un nuovo tableau , < b > aggiungendo variabili artificiali < / b > in modo da avere una base
ammissibile .
< / li >
< li > Sostituisci la vecchia funzione obiettivo con una nuova che < b > minimizzi la somma < / b > di
tutte le variabili artificiali .
< / li >
< li > < u > Fase 1 < / u > : < b > Risolvi < / b > il nuovo problema con il Simplex primale . < / li >
< li > Se il Simplex termina quando ci sono ancora < b > variabili artificiali nella base < / b > , allora
il poliedro è < b > < Empty / > < / b > .
< / li >
< li > Una volta che le variabili artificiali sono fuori base , < b > elimina < / b > le loro colonne e la
nuova funzione obiettivo . < br / > < / li >
< li > Riporta il tableau in forma base compiendo operazioni per < b > azzerare i
coefficienti < / b > delle variabili di base nella funzione obiettivo .
< / li >
< li > < u > Fase 2 < / u > : < b > Risolvi < / b > il tableau con il Simplex primale . < / li >
< / ol >
< / Box >
< / Split >
< Split title = { "Rilassamento" } >
< Box title = { "Cos'è?" } >
< p >
Una versione semplificata di un problema nella quale si < b > ignora la violazione < / b > di uno o più
vincoli .
< / p >
< / Box >
< Box title = { "Rilassamento di Lagrange" } >
< p >
Un rilassamento che permette di misurare < b > di quanto i vincoli vengono violati < / b > .
< / p >
< p >
I vincoli , moltiplicati per < b > coefficienti di rilassamento < / b > , vengono inseriti nella funzione
obiettivo .
< / p >
< p >
Il vettore dei coefficienti di rilassamento solitamente è indicato
con < Latex > { r ` \ mathbf{u} ` } < / Latex > .
< / p >
< Example >
< p >
Il sistema :
< / p >
< Latex block = { true } > { r `
\ begin { cases }
z = 3 x_1 + 5 x_2 \ \
2 x_1 + 3 x_2 \ geq 12 \ \
- x_1 + 3 x_2 \ geq 3 \ \
x_1 \ geq 0 \ \
x_2 \ geq 0
\ end { cases }
` }</Latex>
< p >
diventa :
< / p >
< Latex block = { true } > { r `
\ begin { cases }
z = 3 x_1 + 5 x_2 + u_1 ( 12 - 2 x_1 - 3 x_2 ) + u_2 ( 3 + x_1 - 3 x_2 ) \ \
x_1 \ geq 0 \ \
x_2 \ geq 0
\ end { cases }
` }</Latex>
< / Example >
< / Box >
< / Split >
< Split title = { "Dualità" } >
< Box title = { "Duale" } >
< p >
Il sistema che < b > < Min > massimizza < / Min > / < Max > minimizza < / Max > i moltiplicatori di
rilassamento < / b > di un problema detto < i > primale < / i > .
< / p >
< / Box >
< Box title = { "In termini matriciali" } >
< p >
Possiamo < b > trasporre < / b > il tableau e sostituire le variabili < Latex > { r ` x_n ` } < / Latex > con
variabili < Latex > { r ` u_n ` } < / Latex > per ottenere il sistema duale !
< / p >
< p >
I maggiori e minori dei vincoli diventeranno maggiori e minori delle variabili e viceversa .
< / p >
< / Box >
< Box title = { "Feasibility del duale" } >
< ul >
< li > Se un problema ha una < b > soluzione finita < / b > , allora anche il suo duale la avrà . < / li >
< li > Se un problema è < b > < Empty / > < / b > , allora il suo duale potrà
essere < Empty / > oppure < Unbounded / > .
< / li >
< li > Se un problema è < b > < Unbounded / > < / b > , allora il suo duale sarà certamente < Empty / > . < / li >
< / ul >
< / Box >
< Box title = { "Variabili e vincoli" } >
< p >
Variabili e vincoli del duale corrispondono rispettivamente a vincoli e variabili del primale .
< / p >
< p >
In particolare :
< / p >
< table >
< thead >
< tr >
< th > < Min > Min < / Min > < / th >
< th > < Max > Max < / Max > < / th >
< / tr >
< / thead >
< tbody >
< tr >
< td > Vincolo < ILatex > \ leq < / ILatex > < / td >
< td > Variabile < ILatex > \ leq < / ILatex > < / td >
< / tr >
< tr >
< td > Vincolo < ILatex > \ geq < / ILatex > < / td >
< td > Variabile < ILatex > \ geq < / ILatex > < / td >
< / tr >
< tr >
< td > Vincolo < ILatex > = < / ILatex > < / td >
< td > Variabile < b > libera < / b > < / td >
< / tr >
< tr >
< td > Variabile < ILatex > \ leq < / ILatex > < / td >
< td > Vincolo < ILatex > \ geq < / ILatex > < / td >
< / tr >
< tr >
< td > Variabile < ILatex > \ geq < / ILatex > < / td >
< td > Vincolo < ILatex > \ leq < / ILatex > < / td >
< / tr >
< tr >
< td > Variabile < b > libera < / b > < / td >
< td > Vincolo < ILatex > = < / ILatex > < / td >
< / tr >
< / tbody >
< / table >
< / Box >
< / Split >
< Split title = { "Un po' di teoria" } >
< Box title = { "Lemma di Farkas" } >
< p >
Una disuguaglianza lineare < Latex > { r ` c_0 \ leq \ mathbf{c}^T \ mathbf{x} ` } < / Latex > è verificata da
tutti i punti di un poliedro non - < Empty / > se e solo se esiste un
vettore < Latex > { r ` u \ in \ mathfrak{R}^m ` } < / Latex > tale che :
< / p >
< PLatex > { r ` \ mathbf{c}^T \ geq \ mathbf{u}^T \ mathbf{A} ` } < / PLatex >
< PLatex > { r ` c_0 \ leq \ mathbf{u}^T \ mathbf{b} ` } < / PLatex >
< / Box >
< Box title = { "Dualità forte" } >
< p >
2022-02-04 01:14:51 +00:00
Il teorema che dimostra l & apos ; equivalenza tra primale e duale .
2022-02-03 16:43:43 +00:00
< / p >
< p >
2022-02-04 01:14:51 +00:00
Se uno dei due problemi è finito , la soluzione di uno coincide con la soluzione dell & apos ; altro .
2022-02-03 16:43:43 +00:00
< / p >
< p >
< Latex > { r ` \ mathbf{c}^T \ mathbf{x} = \ mathbf{u}^T \ mathbf{b} ` } < / Latex >
< / p >
< p >
2022-02-04 01:14:51 +00:00
< Todo > TODO : Anche qui c & apos ; è una lunga dimostrazione . . . < / Todo >
2022-02-03 16:43:43 +00:00
< / p >
< / Box >
< Box title = { "Dualità debole" } >
< p >
Il teorema che dimostra che il valore della funzione obiettivo del duale ( di un qualsiasi
tableau ) è sempre < Min > minore o uguale < / Min > / < Max > maggiore o uguale < / Max > alla soluzione del
corrispettivo primale .
< / p >
< p >
< Todo > TODO : Dimostrazione cortina , ma sembra complicata . < / Todo >
< / p >
< / Box >
< Box title = { "Condizioni di ottimalità" } >
< p >
Il teorema che ci permette di passare dalla soluzione del duale alla soluzione del
primale . < Todo > TODO : credo? < / Todo >
< / p >
< p >
Si deriva combinando le seguenti condizioni :
< / p >
< ul >
< li > Ammissibilità del
primale : < Latex > { r ` \ mathbf{A} \ mathbf{X} \ geq \ mathbf{b}, \ quad \ mathbf{x} \ geq 0 ` } < / Latex >
< / li >
< li > Ammissibilità del
duale : < Latex > { r ` \ mathbf{u}^T \ mathbf{A} \ leq \ mathbf{c}^T, \ quad \ mathbf{u} \ geq 0 ` } < / Latex >
< / li >
< li > Teorema della dualità
forte : < Latex > { r ` \ mathbf{c}^T \ mathbf{x} = \ mathbf{u}^T \ mathbf{b} ` } < / Latex > ( alla soluzione
ottima )
< / li >
< / ul >
< p >
Ne risulta che una soluzione è ottima se e solo se :
< / p >
< PLatex > { r ` \ left( \ mathbf{c}^T - \ mathbf{u}^T \ mathbf{A} \ right) \ mathbf{x} = 0 ` } < / PLatex >
< PLatex > { r ` \ mathbf{u}^T \ left( \ mathbf{A} \ mathbf{x} - \ mathbf{b} \ right) = 0 ` } < / PLatex >
< / Box >
< / Split >
< Split title = { "Simplex duale" } >
< Box title = { "Cos'è?" } >
< p >
2022-02-04 01:14:51 +00:00
Un & apos ; estensione al Simplex primale che opera sul problema duale .
2022-02-03 16:43:43 +00:00
< / p >
< / Box >
< Box title = { "Come funziona?" } >
< p >
Funziona esattamente come il Simplex primale , ma opera sul duale .
< / p >
< / Box >
< / Split >
< Split title = { "Analisi di sensibilità" } >
< Box title = { "Cos'è?" } >
< p >
Un procedimento che misura di < b > quanto può variare < / b > il termine noto di un
vincolo < Latex > { r ` b_i ` } < / Latex > o il coefficiente della funzione
obiettivo < Latex > { r ` c_i ` } < / Latex > prima che la base degeneri .
< / p >
< / Box >
< / Split >
< Split title = { "Ottimizzazione lineare intera" } >
< Box title = { "Cos'è?" } >
< p >
Particolari problemi di ottimizzazione lineare in cui le < b > variabili sono vincolate ad essere
numeri interi < / b > .
< / p >
< PLatex > { r `
\ mathbf { x } \ in \ mathbb { Z } ^ n
` }</PLatex>
< p >
Spesso detti anche < i > problemi di < abbr title = { "Integer Linear Programming" } > ILP < / abbr > < / i > .
< / p >
< / Box >
< Box title = { "Rilassamento lineare" } >
< p >
Un rilassamento che rimuove il < b > vincolo di integrità < / b > a un problema , trovando la sua < b > soluzione
continua < / b > .
< / p >
< / Box >
< / Split >
< Split title = { "Dal rilassamento alla soluzione" } >
< Box title = { "Enumerazione totale" } >
< p >
Un < b > modo < / b > per passare dalla soluzione del rilassamento alla soluzione intera di un problema
di ILP .
< / p >
< p >
Consiste nel calcolare la soluzione di ogni singolo punto incluso nel poliedro , e selezionare
la < Min > minore < / Min > / < Max > maggiore < / Max > .
< / p >
< p >
Trova < b > sicuramente < / b > la soluzione giusta , ma il costo computazionale è
esponenziale < ILatex > O ( n ^ k ) < / ILatex > !
< / p >
< / Box >
< Box title = { "Arrotondamento" } >
< p >
Un altro < b > modo < / b > per passare dalla soluzione del rilassamento alla soluzione intera di un
problema di ILP .
< / p >
< p >
2022-02-04 01:14:51 +00:00
Consiste nell & apos ; < b > arrotondare tutte le variabili al loro valore intero più vicino < / b > , e
2022-02-03 16:43:43 +00:00
calcolarne il valore ottimo .
< / p >
< p >
2022-02-04 01:14:51 +00:00
Funziona bene per valori grandi , ma più essi si avvicinano allo 0 più l & apos ; < b > errore diventa
2022-02-03 16:43:43 +00:00
grande < / b > .
< / p >
< / Box >
< Box title = { "Piani secanti" } >
< p >
Un altro < b > modo < / b > ancora per passare dalla soluzione del rilassamento alla soluzione intera
di un problema di ILP .
< / p >
< p >
Consiste nel tagliare il poliedro con nuovi vincoli ( < i > piani secanti < / i > ) che < b > riducono le
possibili soluzioni continue < / b > ma non quelle intere .
< / p >
< p >
Per selezionare i vincoli , si usano i < b > tagli di Gomory < / b > :
< / p >
< PLatex > { r `
\ sum_ { j \ in F } \ left ( \ left ( a_ { tj } - \ lfloor a_ { tj } \ rfloor \ right ) \ cdot x_j \ right ) \ geq ( b_t - \ lfloor b_t \ rfloor )
` }</PLatex>
< p >
Per ogni valore noto frazionario si viene quindi a creare < b > una nuova variabile in base < / b > e
2022-02-04 01:14:51 +00:00
un nuovo vincolo formato dall & apos ; opposto di tutti i valori frazionari dei coefficienti fuori base .
2022-02-03 16:43:43 +00:00
< / p >
< Example >
< p >
Il tableau :
< table >
< thead >
< tr >
< th > < BLatex > { r ` x_1 ` } < / BLatex > < / th >
< th > < BLatex > { r ` x_2 ` } < / BLatex > < / th >
< th > < BLatex > { r ` s_1 ` } < / BLatex > < / th >
< th > < BLatex > { r ` s_2 ` } < / BLatex > < / th >
< th > < abbr title = { "Termine noto" } > TN < / abbr > < / th >
< / tr >
< / thead >
< tbody >
< tr >
< td > < BLatex > { r ` 1 ` } < / BLatex > < / td >
< td > < BLatex > { r ` 1 ` } < / BLatex > < / td >
< td > < BLatex > { r ` 0 ` } < / BLatex > < / td >
< td > < BLatex > { r ` 0 ` } < / BLatex > < / td >
< td > < BLatex > { r ` 0 ` } < / BLatex > < / td >
< / tr >
< tr >
< td > < BLatex > { r ` 1 ` } < / BLatex > < / td >
< td > < BLatex > { r ` 0 ` } < / BLatex > < / td >
< td > < BLatex > { r ` 1 ` } < / BLatex > < / td >
< td > < BLatex > { r ` 0 ` } < / BLatex > < / td >
< td > < BLatex > { r ` 3 ` } < / BLatex > < / td >
< / tr >
< tr >
< td > < BLatex > { r ` \ frac{3}{2} ` } < / BLatex > < / td >
< td > < BLatex > { r ` \ frac{1}{2} ` } < / BLatex > < / td >
< td > < BLatex > { r ` 0 ` } < / BLatex > < / td >
< td > < BLatex > { r ` 1 ` } < / BLatex > < / td >
< td > < BLatex > { r ` \ frac{6}{5} ` } < / BLatex > < / td >
< / tr >
< / tbody >
< / table >
< / p >
< p >
Diventa :
< table >
< thead >
< tr >
< th > < BLatex > { r ` x_1 ` } < / BLatex > < / th >
< th > < BLatex > { r ` x_2 ` } < / BLatex > < / th >
< th > < BLatex > { r ` s_1 ` } < / BLatex > < / th >
< th > < BLatex > { r ` s_2 ` } < / BLatex > < / th >
< th style = { { backgroundColor : "rgba(255, 255, 0, 0.1)" } } > < BLatex > { r ` s_3 ` } < / BLatex >
< / th >
< th > < abbr title = { "Termine noto" } > TN < / abbr > < / th >
< / tr >
< / thead >
< tbody >
< tr >
< td > < BLatex > { r ` 1 ` } < / BLatex > < / td >
< td > < BLatex > { r ` 1 ` } < / BLatex > < / td >
< td > < BLatex > { r ` 0 ` } < / BLatex > < / td >
< td > < BLatex > { r ` 0 ` } < / BLatex > < / td >
< td style = { { backgroundColor : "rgba(255, 255, 0, 0.1)" } } > < BLatex > { r ` 0 ` } < / BLatex > < / td >
< td > < BLatex > { r ` 0 ` } < / BLatex > < / td >
< / tr >
< tr >
< td > < BLatex > { r ` 1 ` } < / BLatex > < / td >
< td > < BLatex > { r ` 0 ` } < / BLatex > < / td >
< td > < BLatex > { r ` 1 ` } < / BLatex > < / td >
< td > < BLatex > { r ` 0 ` } < / BLatex > < / td >
< td style = { { backgroundColor : "rgba(255, 255, 0, 0.1)" } } > < BLatex > { r ` 0 ` } < / BLatex > < / td >
< td > < BLatex > { r ` 3 ` } < / BLatex > < / td >
< / tr >
< tr >
< td > < BLatex > { r ` \ frac{3}{2} ` } < / BLatex > < / td >
< td > < BLatex > { r ` \ frac{1}{2} ` } < / BLatex > < / td >
< td > < BLatex > { r ` 0 ` } < / BLatex > < / td >
< td > < BLatex > { r ` 1 ` } < / BLatex > < / td >
< td style = { { backgroundColor : "rgba(255, 255, 0, 0.1)" } } > < BLatex > { r ` 0 ` } < / BLatex > < / td >
< td > < BLatex > { r ` \ frac{6}{5} ` } < / BLatex > < / td >
< / tr >
< tr style = { { backgroundColor : "rgba(255, 255, 0, 0.1)" } } >
< td > < BLatex > { r ` - \ frac{1}{2} ` } < / BLatex > < / td >
< td > < BLatex > { r ` - \ frac{1}{2} ` } < / BLatex > < / td >
< td > < BLatex > { r ` 0 ` } < / BLatex > < / td >
< td > < BLatex > { r ` 0 ` } < / BLatex > < / td >
< td style = { { backgroundColor : "rgba(255, 255, 0, 0.2)" } } > < BLatex > { r ` 1 ` } < / BLatex > < / td >
< td > < BLatex > { r ` - \ frac{1}{5} ` } < / BLatex > < / td >
< / tr >
< / tbody >
< / table >
< / p >
< / Example >
< / Box >
< Box title = { "Divide et impera" } >
< p >
2022-02-04 01:14:51 +00:00
È possibile usare la tecnica < i > divide et impera < / i > per rendere più efficiente l & apos ; < b > enumerazione
2022-02-03 16:43:43 +00:00
totale < / b > .
< / p >
< p >
Si divide il problema principale ( trovare il valore ottimo di un problema di ILP ) in più
sottoproblemi ( trovare il valore ottimo di un problema di ILP con una variabile impostata a un
valore fisso ) .
< / p >
< p >
Si crea così un < b > albero < / b > .
< / p >
< p >
2022-02-04 01:14:51 +00:00
È possibile < b > chiudere in anticipo < / b > alcuni nodi dell & apos ; albero se il loro miglior possibile
2022-02-03 16:43:43 +00:00
valore ottimo è inferiore a uno precedentemente trovato o se il loro poliedro è < Empty / > .
< / p >
< p >
2022-02-04 01:14:51 +00:00
È possibile utilizzare diverse < b > strategie di esplorazione < / b > dell & apos ; albero :
2022-02-03 16:43:43 +00:00
< / p >
< ul >
< li > < b > depth - first < / b > : permette di raggiungere immediatamente a una soluzione accettabile
( ma non ottimale )
< / li >
< li > < b > best - first < / b > : permette di raggiungere più velocemente alla soluzione corretta < / li >
< / ul >
< / Box >
< Box title = { "Seca et impera" } >
< p >
È possibile combinare il metodo dei < b > tagli secanti < / b > con la tecnica < b > divide et
impera < / b > per raggiungere ancora più velocemente a una soluzione .
< / p >
< p >
Si effettuano < b > poche iterazioni < / b > del metodo dei tagli secanti , e sul risultato di quelle
iterazioni si applica il < b > divide et impera < / b > .
< / p >
< / Box >
< / Split >
< Split title = { < span > Terminologia dei grafi < Todo > TODO : migliorare < / Todo > < / span > } >
< Box title = { "Grafo" } >
< p >
Insieme di < b > nodi < / b > < ILatex > { r ` N ` } < / ILatex > e < b > archi < / b > < ILatex > { r ` E ` } < / ILatex > che li
connettono .
< / p >
< p >
Può essere < b > diretto < / b > se gli archi hanno una direzione .
< / p >
< / Box >
< Box title = { "Nodi adiacenti" } >
< p >
Nodi < b > connessi da un arco < / b > .
< / p >
< / Box >
< Box title = { "Arco incidente" } >
< p >
Arco < b > connesso a un dato nodo < / b > .
< / p >
< / Box >
< Box title = { "Arco entrante o uscente" } >
< p >
Un arco diretto che < b > termina < / b > o < b > inizia < / b > da un dato nodo .
< / p >
< / Box >
< Box title = { "Grado" } >
< p >
< b > Conteggio < / b > degli archi incidenti di un nodo .
< / p >
< p >
Si può calcolare anche relativamente agli archi entranti o agli archi uscenti .
< / p >
< / Box >
< Box title = { "Percorso" } >
< p >
Sequenza di < b > archi consecutivi < / b > .
< / p >
< / Box >
< Box title = { "Connessione" } >
< p >
Due nodi sono connessi se tra loro esiste < b > almeno un percorso < / b > .
< / p >
< p >
Un grafo è connesso se tutti i suoi nodi sono connessi .
< / p >
< / Box >
< Box title = { "Cicli e circuiti" } >
< p >
2022-02-04 01:14:51 +00:00
Percorsi rispettivamente indiretti e diretti in cui l & apos ; inizio coincide con la fine .
2022-02-03 16:43:43 +00:00
< / p >
< / Box >
< Box title = { "Grafo completo" } >
< p >
Grafo in cui ogni nodo è connesso con ogni altro .
< / p >
< p >
Se diretto , contiene < ILatex > { r ` n \ cdot (n - 1) ` } < / ILatex > archi ; altrimenti , ne contiene la
metà .
< / p >
< / Box >
< Box title = { "Matrice di adiacenza" } >
< blockquote >
2022-02-04 01:14:51 +00:00
Vedi < Link href = { "/year2/algoritmi" } > Algoritmi < / Link > .
2022-02-03 16:43:43 +00:00
< / blockquote >
< / Box >
< Box title = { "Lista di adiacenza" } >
< blockquote >
2022-02-04 01:14:51 +00:00
Vedi < Link href = { "/year2/algoritmi" } > Algoritmi < / Link > .
2022-02-03 16:43:43 +00:00
< / blockquote >
< / Box >
< Box title = { "Taglio" } >
< p >
Sottoinsieme di archi che connettono due sottoinsiemi di nodi .
< / p >
< p >
Può essere anche uscente o entrante ; in tal caso include solo gli archi entranti o uscenti dal
sottoinsieme .
< / p >
< / Box >
< Box title = { "Sottografo" } >
< p >
Sottoinsieme di nodi e archi di un grafo .
< / p >
< p >
2022-02-04 01:14:51 +00:00
Tutti gli archi di un sottografo possono connettere solo nodi all & apos ; interno di esso .
2022-02-03 16:43:43 +00:00
< / p >
< / Box >
< Box title = { "Albero" } >
< p >
Sottografo connesso e aciclico .
< / p >
< / Box >
< Box title = { "Spanning tree" } >
< p >
Albero che include tutti i nodi di un grafo .
< / p >
< / Box >
< / Split >
< Split title = { "Algoritmi con i grafi" } >
< Box title = { "Prim" } >
< p >
Crea uno spanning tree .
< / p >
< ol >
2022-02-04 01:14:51 +00:00
< li > Aggiungi l & apos ; arco di costo minimo all & apos ; albero . < / li >
2022-02-03 16:43:43 +00:00
< li > Finchè mancano ancora archi :
< ol >
2022-02-04 01:14:51 +00:00
< li > Trova tutti gli archi che aggiungerebbero un nuovo nodo all & apos ; albero . < / li >
< li > Seleziona l & apos ; arco di costo minore . < / li >
2022-02-03 16:43:43 +00:00
< / ol >
< / li >
< / ol >
< / Box >
< Box title = { "Ordine topologico" } >
< p >
2022-02-04 01:14:51 +00:00
Trova l & apos ; ordine topologico di un albero .
2022-02-03 16:43:43 +00:00
< / p >
< ol >
< li > Ripeti finchè ci sono nodi nel grafo :
< ol >
< li > Assegna un numero sequenziale a un nodo senza archi entranti . < / li >
< li > Elimina il nodo a cui hai assegnato il numero . < / li >
< li > Elimina tutti gli archi incidenti sul nodo che hai eliminato . < / li >
< / ol >
< / li >
< / ol >
< / Box >
< Box title = { "Percorsi minimi in grafo diretto" } >
< p >
Trova i percorsi di costo minimo in un albero .
< / p >
< ol >
2022-02-04 01:14:51 +00:00
< li > Trova l & apos ; ordine topologico dell & apos ; albero . < / li >
2022-02-03 16:43:43 +00:00
< li > Invece che provare ogni singola combinazione di nodi , prova solo i nodi che hanno un numero
topologico maggiore di quello del nodo attuale .
< / li >
< / ol >
< p >
< Todo > TODO : forse spiegarlo meglio non farebbe male < / Todo >
< / p >
< / Box >
< / Split >
< Split >
< Box title = { "Algoritmo di Dijkstra" } >
< blockquote >
2022-02-04 01:14:51 +00:00
Vedi < Link href = { "/year2/algoritmi" } > Algoritmi < / Link > .
2022-02-03 16:43:43 +00:00
< / blockquote >
< / Box >
< Panel title = { "Algoritmo di Ford-Fulkerson" } >
< Example >
Trova il volume massimo di acqua che è possibile fare scorrere attraverso tubature con una data
capacità .
< / Example >
< p >
2022-02-04 01:14:51 +00:00
Costruisci il grafo residuo e vedi se c & apos ; è un percorso che va dalla sorgente alla destinazione .
2022-02-03 16:43:43 +00:00
< / p >
< p >
2022-06-29 08:18:06 +00:00
< Image src = { imgFJk44q0 } alt = "Un esempio di grafo diretto con uso corrente e capacità." title = "Un esempio di grafo diretto con uso corrente e capacità." / >
2022-02-03 16:43:43 +00:00
< / p >
< p >
2022-06-29 08:18:06 +00:00
< Image src = { imgfzb6xz2 } alt = "Il grafo residuo dell'esempio precedente: visto che c'è un percorso che connette la sorgente al pozzo, è possibile aumentare il flusso attraverso gli archi di quel percorso." title = "Il grafo residuo dell'esempio precedente: visto che c'è un percorso che connette la sorgente al pozzo, è possibile aumentare il flusso attraverso gli archi di quel percorso." / >
2022-02-03 16:43:43 +00:00
< / p >
< / Panel >
< / Split >
< Section >
< Panel title = { "Parametri" } >
< p >
Valori che sono calcolati < b > al momento della compilazione < / b > del programma :
< / p >
< Code >
param nomeparametro ;
< / Code >
< p >
Si possono assegnare valori ai parametri nel codice con :
< / p >
< Code >
nomeparametro : = 123 + 234 ;
< / Code >
< / Panel >
< Panel title = { "Set" } >
< p >
Insiemi di parametri :
< / p >
< Code >
set NOMESET ;
< / Code >
< p >
Si possono definire i contenuti dei set con :
< / p >
< Code > { r `
set DA_UNO_A_DIECI : = 1 . . 10 ;
set DA_UNO_A_PARAMETRO : = 1 . . parametro ;
` }</Code>
< p >
Si possono effettuare operazioni su set con :
< / p >
< Code > { r `
set UNIONE : = SET_A union SET_B ;
set INTERSEZIONE : = SET_A inter SET_B ;
` }</Code>
< / Panel >
< Panel title = { "Variabili" } >
< p >
2022-02-04 01:14:51 +00:00
Valori che sono < b > calcolati al momento dell & apos ; esecuzione < / b > del programma :
2022-02-03 16:43:43 +00:00
< / p >
< Code >
var nomevariabile ;
< / Code >
< / Panel >
< / Section >
< Section >
< Panel title = { "Requisiti" } >
< p >
È possibile richiedere che un parametro o una variabile soddisfino certi < i > requisiti < / i > .
< / p >
< p >
Si può richiedere che < b > siano < ILatex > { r ` \ geq ` } < / ILatex > o < ILatex > { r ` \ leq ` } < / ILatex > di un certo valore < / b > :
< / p >
< Code > { r `
param positivo , > 0 ;
var non_positiva , <= 0 ;
` }</Code>
< p >
Si può richiedere che < b > appartengano a un dato set < / b > :
< / p >
< Code > { r `
param intero_positivo , integer , > 0 ;
var zero_oppure_uno , binary ;
` }</Code>
< / Panel >
< Panel title = { "Indici" } >
< p >
2022-02-04 01:14:51 +00:00
È possibile creare anche un & quot ; array & quot ; di parametri o variabili :
2022-02-03 16:43:43 +00:00
< / p >
< Code > { r `
param dieci_parametri { 1 . . 10 } ;
var quadrato { 1 . . 10 , 1 . . 10 } ;
var cubo { 1 . . 10 , 1 . . 10 , 1 . . 10 } ;
` }</Code>
< p >
Si possono usare anche set :
< / p >
< Code > { r `
param dieci_parametri { DA_UNO_A_DIECI } ;
` }</Code>
< / Panel >
< / Section >
< Section >
< Panel title = { "Funzione obiettivo" } >
< p >
La funzione obiettivo < b > può comparire solo una volta < / b > nel programma .
< / p >
< p >
Si definisce con :
< / p >
< Code > { r `
minimize valore_ottimo_min : espressione ;
maximize valore_ottimo_max : espressione ;
` }</Code>
< / Panel >
< Panel title = { "Vincoli" } >
< p >
I vincoli a cui sono soggette le variabili si definiscono con :
< / p >
< Code > { r `
nome_vincolo_1 : espressione <= 1 ;
nome_vincolo_2 : espressione >= parametro ;
` }</Code>
< p >
I vincoli possono essere indicizzati :
< / p >
< Code language = { "gmpl" } > { r `
// La diagonale del quadrato deve essere minore di 1
v_3 { i in DA_UNO_A_DIECI } : quadrato [ i , i ] <= 1 ;
// Tutti i valori del quadrato devono essere minori o uguali a 1
v_4 { i in DA_UNO_A_DIECI , j in DA_UNO_A_DIECI } : quadrato [ i , j ] <= 1 ;
` }</Code>
< p >
Esistono anche operatori aggregati :
< / p >
< Code language = { "gmpl" } > { r `
// La somma degli elementi della diagonale deve essere maggiore o uguale a 0
v_5 : sum { i in DA_UNO_A_DIECI } quadrato [ i , i ] >= 0 ;
// Il prodotto degli elementi della diagonale deve essere maggiore o uguale a 0
v_6 : prod { i in DA_UNO_A_DIECI } quadrato [ i , i ] >= 0 ;
` }</Code>
< p >
Si possono anche aggiungere requisiti agli indici :
< / p >
< Code > { r `
v_7 : sum { i in DA_UNO_A_DIECI , i <= 5 } quadrato [ i , i ] >= 0 ;
v_8 : prod { i in SET , i not in ALTRO_SET } quadrato [ i , i ] >= 0 ;
` }</Code>
< / Panel >
< / Section >
< Section >
< Panel title = { "Termine del programma" } >
< p >
2022-02-04 01:14:51 +00:00
Perchè il programma calcoli i valori di tutte le variabili , è necessaria l & apos ; istruzione :
2022-02-03 16:43:43 +00:00
< / p >
< Code > { r `
solve ;
` }</Code>
< p >
Per stampare i valori calcolati , è possibile usare :
< / p >
< Code > { r `
printf "%d \n" , nomevar ;
` }</Code>
< p >
Eventualmente , anche in un ciclo for :
< / p >
< Code > { r `
for { i in DA_UNO_A_DIECI } {
printf "%d: %d \n" , i , x [ i ] ;
}
` }</Code>
< / Panel >
< Panel title = { "Compilare ed eseguire" } >
< p >
Per compilare ed eseguire il programma , è sufficiente eseguire :
< / p >
< Code language = { "bash" } >
glpsol -- math nomefile . mod
< / Code >
< p >
È possibile specificare i dati in un file separato da quello del modello ; in tal caso , si dovrà eseguire :
< / p >
< Code language = { "bash" } >
glpsol -- math - m modello . mod - d dati . mod
< / Code >
< p >
Per salvare i risultati su file e visualizzarli a schermo :
< / p >
< Code language = { "bash" } >
glpsol -- math nomefile . mod | tee risultati . txt
< / Code >
< / Panel >
< / Section >
< / >
}
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