mirror of
https://github.com/Steffo99/unisteffo.git
synced 2024-11-29 19:34:19 +00:00
94 lines
3.6 KiB
Markdown
94 lines
3.6 KiB
Markdown
|
# Visitare un grafo
|
||
|
|
|
||
|
|
Come per gli alberi radicati, esistono due modi per visitare un grafo: _depth-first search_ e _breadth-first search_.
|
||
|
|
|
||
|
|
In entrambi i casi, non visito mai due volte lo stesso nodo, e come risultato ottengo **molteplici alberi**, il cui insieme viene detto _foresta di copertura_.
|
||
|
|
|
||
|
|
Se il grafo che vogliamo visitare è diretto, allora dobbiamo **considerare come vicini solo gli archi uscenti**
|
||
|
|
|
||
|
|
## Depth-first search
|
||
|
|
|
||
|
|
La DFS ci può risultare utile per **identificare le componenti connesse** di un grafo e **identificare eventuali cicli**.
|
||
|
|
|
||
|
|
### Funzionamento
|
||
|
|
|
||
|
|
Posso utilizzare la DFS per classificare gli archi di un grafo in quattro categorie:
|
||
|
|
|
||
|
|
- _Tree_, archi che ci fanno **scoprire un nuovo nodo**
|
||
|
|
- _Forward_, archi che ci portano a un **discendente**
|
||
|
|
- _Back_, archi che ci portano ad un **antenato**
|
||
|
|
- _Cross_, archi che **connettono due sottoalberi** diversi
|
||
|
|
|
||
|
|
Usiamo due array inizializzati a 0 chiamati `pre` e `post`, grandi quanto il numero di archi del grafo, che ci indicano rispettivamente quando un nodo è stato scoperto e quando è terminata la visita.
|
||
|
|
Inoltre, creiamo una variabile `clock` che avanza ad ogni evento.
|
||
|
|
Alla scoperta di un nuovo nodo, mettiamo il valore attuale di `clock` all'interno di `pre[n]`.
|
||
|
|
Alla fine della visita di un nodo invece mettiamo il valore di `clock` in `post[n]`.
|
||
|
|
|
||
|
|
**Durante la visita**, gli archi avranno i seguenti valori:
|
||
|
|
- _Tree_: `pre[dst] == 0`
|
||
|
|
- _Forward_: `pre[src] < pre[dst] && post[dst] > 0`
|
||
|
|
- _Back_: `pre[dst] < pre[src] && post[dst] == 0`
|
||
|
|
- _Cross_: Tutti gli altri (`post[dst] < pre[src]`)
|
||
|
|
|
||
|
|
**A fine visita**, gli archi avranno i seguenti valori:
|
||
|
|
- _Tree_: `pre[dst] < pre[dst] < post[dst] < pre[src]`
|
||
|
|
- _Forward_: `pre[dst] < pre[dst] < post[dst] < pre[src]`
|
||
|
|
- _Back_: `pre[src] < pre[dst] < post[dst] < post[src]`
|
||
|
|
- _Cross_: `pre[dst] < post[dst] < pre[src] < post[src]`
|
||
|
|
|
||
|
|
Se un **grafo non diretto** contiene degli **archi Back**, allora esso **conterrà un ciclo**.
|
||
|
|
|
||
|
|
#### DFS nel grafo trasposto
|
||
|
|
|
||
|
|
Se effettuo una DFS sul trasposto di un grafo, posso **scoprire i nodi che hanno un cammino verso l'origine**.
|
||
|
|
|
||
|
|
#### DFS nella componente fortemente connessa
|
||
|
|
|
||
|
|
Se effettuo una DFS in una componente fortemente connessa e nella sua trasposta, il **`post` della trasposta sarà sempre minore** del `post` della componente originale.
|
||
|
|
|
||
|
|
### Costo computazionale
|
||
|
|
|
||
|
|
| Categoria | Upper bound | Lower bound | Tight bound |
|
||
|
|
|-----------|-------------|-------------|-------------|
|
||
|
|
| Tempo | `O(nodi + archi)` | `Ω(nodi + archi)` | **`θ(nodi + archi)`** |
|
||
|
|
| Memoria | `O(nodi)` | `Ω(nodi)` | **`θ(nodi)`** |
|
||
|
|
|
||
|
|
### Visualizzazione
|
||
|
|
|
||
|
|
[visualgo.net](https://visualgo.net/en/dfsbfs)
|
||
|
|
|
||
|
|
## Breadth-first search
|
||
|
|
|
||
|
|
La BFS ci può risultare utile per **trovare tutti i nodi a una certa distanza** da un'origine.
|
||
|
|
|
||
|
|
### Costo computazionale
|
||
|
|
|
||
|
|
| Categoria | Upper bound | Lower bound | Tight bound |
|
||
|
|
|-----------|-------------|-------------|-------------|
|
||
|
|
| Tempo | `O(nodi + archi)` | `Ω(nodi + archi)` | **`θ(nodi + archi)`** |
|
||
|
|
| Memoria | `O(nodi + archi)` | `Ω(nodi + archi)` | **`θ(nodi + archi)`** |
|
||
|
|
|
||
|
|
### Pseudocodice
|
||
|
|
|
||
|
|
Come per gli alberi, la implementiamo in modo **iterativo**:
|
||
|
|
|
||
|
|
```python
|
||
|
|
queue = [starting_node]
|
||
|
|
parents = [None for node in graph.nodes]
|
||
|
|
distance = [-1 for node in graph.nodes]
|
||
|
|
|
||
|
|
# TODO: controllami quando sei più sveglio
|
||
|
|
|
||
|
|
while queue:
|
||
|
|
node, source, distance = queue.pop(0)
|
||
|
|
parents[node.number] = source
|
||
|
|
distance[node.number] = distance
|
||
|
|
for neighbour in node.neighbours:
|
||
|
|
queue.append((neighbour, node, distance+1))
|
||
|
|
```
|
||
|
|
|
||
|
|
> Nella coda, la distanza massima tra un nodo e l'altro è 1.
|
||
|
|
|
||
|
|
### Visualizzazione
|
||
|
|
|
||
|
|
[visualgo.net](https://visualgo.net/en/dfsbfs)
|