2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
import {
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
BaseLink,
|
|
|
|
|
BLatex,
|
|
|
|
|
ILatex,
|
|
|
|
|
Image,
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
Latex,
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
LatexDefaultInline,
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
Panel,
|
|
|
|
|
PLatex,
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
Section,
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
TablePanel,
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
Timer,
|
|
|
|
|
Todo
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
} from "bluelib";
|
2020-06-18 17:46:40 +00:00
|
|
|
import Example from "../components/Example";
|
2020-06-18 15:23:31 +00:00
|
|
|
import Empty from "../components/OttimizzazioneLineare/Empty";
|
|
|
|
|
import Unbounded from "../components/OttimizzazioneLineare/Unbounded";
|
2020-06-18 17:46:40 +00:00
|
|
|
import Finite from "../components/OttimizzazioneLineare/Finite";
|
2020-06-18 15:23:31 +00:00
|
|
|
import Min from "../components/OttimizzazioneLineare/Min";
|
|
|
|
|
import Max from "../components/OttimizzazioneLineare/Max";
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
import Plus from "../components/Fisica/Plus";
|
|
|
|
|
import Minus from "../components/Fisica/Minus";
|
|
|
|
|
import ExampleBoxColor from "../components/ExampleBoxColor";
|
2020-09-01 14:54:51 +00:00
|
|
|
import {Link} from "preact-router";
|
2020-03-09 23:19:30 +00:00
|
|
|
|
|
|
|
|
const r = String.raw;
|
2020-03-09 23:18:13 +00:00
|
|
|
|
2020-06-18 17:46:40 +00:00
|
|
|
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
export default function (props) {
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
return (
|
|
|
|
|
<div>
|
|
|
|
|
<h1>Ottimizzazione lineare intera</h1>
|
2020-09-01 14:54:51 +00:00
|
|
|
<Section title={"Esame"}>
|
2020-06-09 15:13:22 +00:00
|
|
|
<Panel title={"Contatti"}>
|
|
|
|
|
<ul>
|
2020-09-01 14:54:51 +00:00
|
|
|
<li><Link href={"mailto:stefano.novellani@unimore.it"}>Prof. Stefano Novellani</Link></li>
|
2020-06-09 15:13:22 +00:00
|
|
|
</ul>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
<Panel title={"Scritto"}>
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
<p>
|
2020-06-09 15:13:22 +00:00
|
|
|
Uno scritto con tre domande:
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</p>
|
2020-06-09 15:13:22 +00:00
|
|
|
<ul>
|
|
|
|
|
<li>Progettazione concettuale e logica</li>
|
|
|
|
|
<li>Formulazione interrogazione</li>
|
|
|
|
|
<li>Una domanda tra:
|
|
|
|
|
<ul>
|
|
|
|
|
<li>Studio dato derivato</li>
|
|
|
|
|
<li>Progettazione fisica</li>
|
|
|
|
|
<li>Tecnologia database</li>
|
|
|
|
|
</ul>
|
|
|
|
|
</li>
|
|
|
|
|
</ul>
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
</Section>
|
|
|
|
|
<LatexDefaultInline.Provider value={false}>
|
|
|
|
|
<Section title={"Glossario"}>
|
2020-06-09 15:17:26 +00:00
|
|
|
<TablePanel>
|
|
|
|
|
<thead>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<th><abbr title={"Vettore / matrice"}>v</abbr></th>
|
|
|
|
|
<th><abbr title={"Elemento singolo"}>s</abbr></th>
|
|
|
|
|
<th>Significato</th>
|
|
|
|
|
</tr>
|
2020-06-09 15:17:26 +00:00
|
|
|
</thead>
|
|
|
|
|
<tbody>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<td><Latex>{r`\mathbf{x}`}</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td><Latex>{r`x_i`}</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td>Incognite</td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
|
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<td><Latex>{r`\mathbf{s}`}</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td><Latex>{r`s_i`}</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td>Variabili slack</td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
|
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<td><Latex>{r`\mathbf{c}`}</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td><Latex>{r`c_i`}</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td>Coefficienti della funzione obiettivo</td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
|
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<td><Latex>{r`\mathbf{A}`}</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td><Latex>{r`a_{ij}`}</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td>Coefficienti dei vincoli</td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
|
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<td><Latex>{r`\mathbf{b}`}</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td><Latex>{r`b_i`}</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td>Termini noti dei vincoli</td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
|
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<td><Latex>{r`\mathbf{y}`}</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td><Latex>{r`y_i`}</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td>Incognite artificiali</td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
|
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<td><Latex>{r`\mathbf{u}`}</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td><Latex>{r`u_i`}</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td>Coefficienti di rilassamento</td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
|
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<td/>
|
|
|
|
|
<td><Latex>{r`c_0`}</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td>Valore ottimo di un problema</td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
|
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<td><Latex>{r`\mathbf{x}_B`}</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td/>
|
|
|
|
|
<td>Incognite in base</td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
|
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<td><Latex>{r`\mathbf{c}_B`}</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td/>
|
|
|
|
|
<td>Coefficienti della funzione obiettivo delle variabili in base</td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
|
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<td><Latex>{r`\mathbf{B}`}</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td/>
|
|
|
|
|
<td>Coefficienti dei vincoli delle variabili in base</td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
|
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<td><Latex>{r`\mathbf{x}_F`}</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td/>
|
|
|
|
|
<td>Incognite fuori base</td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
|
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<td><Latex>{r`\mathbf{c}_F`}</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td/>
|
|
|
|
|
<td>Coefficienti della funzione obiettivo delle variabili fuori base</td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
|
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<td><Latex>{r`\mathbf{F}`}</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td/>
|
|
|
|
|
<td>Coefficienti dei vincoli delle variabili fuori base</td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
2020-06-09 15:17:26 +00:00
|
|
|
</tbody>
|
|
|
|
|
</TablePanel>
|
|
|
|
|
<TablePanel>
|
|
|
|
|
<thead>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<th>Simboli</th>
|
|
|
|
|
<th>Significato</th>
|
|
|
|
|
</tr>
|
2020-06-09 15:17:26 +00:00
|
|
|
</thead>
|
|
|
|
|
<tbody>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<td><Latex>{r`\mathbf{c}^T \mathbf{x}`}</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td>Soluzione del problema</td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
|
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<td><Latex>{r`\mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b}`}</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td>Vincoli in forma standard</td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
|
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<td><Latex>{r`z(\dots)`}</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td>Funzione obiettivo</td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
|
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<td><Latex>{r`\mathbf{u}^T \mathbf{b}`}</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td>Soluzione del problema duale</td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
|
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<td><Latex>{r`\mathbf{u}^T \mathbf{A} = \mathbf{c}^T`}</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td>Vincoli del problema duale in forma standard</td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
|
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<td><Latex>{r`\lfloor x \rfloor`}</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td>Arrotondamento per difetto di x</td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
|
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<td><Latex>{r`\lceil x \rceil`}</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td>Arrotondamento per eccesso di x</td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
|
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<td><Latex>{r`x - \lfloor x \rfloor`}</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td>Parte frazionaria di x (se non è negativo)</td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
2020-06-09 15:17:26 +00:00
|
|
|
</tbody>
|
|
|
|
|
</TablePanel>
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</Section>
|
|
|
|
|
</LatexDefaultInline.Provider>
|
|
|
|
|
<Section title={"Problemi di ottimizzazione lineare"}>
|
|
|
|
|
<Panel title={"Cosa sono?"}>
|
|
|
|
|
<p>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
Problemi che cercano di <Min>minimizzare</Min>/<Max>massimizzare</Max> il valore di una <i>funzione
|
|
|
|
|
obiettivo</i> le cui incognite sono sottoposte a un <b>sistema di <i>vincoli</i></b>.
|
2020-07-03 15:08:40 +00:00
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
<p>
|
|
|
|
|
Spesso sono detti anche <i>problemi di <abbr title={"Linear Programming"}>LP</abbr></i>.
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
<Panel title={"Funzione obiettivo"}>
|
|
|
|
|
<p>
|
|
|
|
|
La funzione da <Min>minimizzare</Min>/<Max>massimizzare</Max>.
|
|
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
<p>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
Il vettore dei suoi coefficienti è detto <Latex>{r`\mathbf{c}`}</Latex>, mentre quello delle sue
|
|
|
|
|
incognite <Latex>{r`\mathbf{x}`}</Latex>.
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</p>
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
<p>
|
|
|
|
|
In genere, la funzione obiettivo è scritta in questa forma:
|
|
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
<p>
|
|
|
|
|
<Latex>{r`z(\mathbf{x}) = c_1 \cdot x_1 + c_2 \cdot x_2 + \dots + c_n \cdot x_n`}</Latex>
|
|
|
|
|
</p>
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</Panel>
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
<Panel title={"Gradiente"}>
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
<p>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
<b>Funzione</b> della funzione obiettivo che restituisce la direzione del suo aumento più
|
|
|
|
|
veloce.
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
<p>
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
<Latex>{r`\nabla (f) = \frac{d f}{d x_1} I_1 + \frac{d f}{d x_2} I_2 + \frac{d f}{d x_n} I_n`}</Latex>
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</p>
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
<Example>
|
|
|
|
|
La matrice <Latex>{r`\mathbf{I}`}</Latex> è la matrice identità.
|
|
|
|
|
</Example>
|
|
|
|
|
<Example>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
Se la funzione obiettivo è <Latex>z = 2w + 3x + 4y</Latex>, il suo gradiente
|
|
|
|
|
è <Latex>{r`\nabla z = (2, 3, 4)`}</Latex>.
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
</Example>
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</Panel>
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
<Panel title={"Vincoli"}>
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
<p>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
Equazioni e disequazioni a cui devono sottostare le incognite perchè esse formino una soluzione
|
|
|
|
|
valida.
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
<p>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
I loro coefficienti sono contenuti nella matrice <Latex>{r`\mathbf{A}`}</Latex>, mentre i loro
|
|
|
|
|
termini noti nel vettore <Latex>{r`\mathbf{b}`}</Latex>.
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
<Panel title={"Poliedro"}>
|
|
|
|
|
<p>
|
|
|
|
|
L'<b>insieme</b> che racchiunde tutte le <b>soluzioni ammissibili</b> di un problema.
|
|
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
<p>
|
|
|
|
|
Può essere <i><Finite/></i>, <i><Empty/></i> oppure <i><Unbounded/></i>.
|
|
|
|
|
</p>
|
2020-07-03 15:08:40 +00:00
|
|
|
<Example>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
Si chiama così perchè se si disegna su un piano cartesiano, esso forma una figura geometrica a
|
|
|
|
|
più lati, ovvero un <a href={"https://it.wikipedia.org/wiki/Poliedro"}>poliedro</a>.
|
2020-07-03 15:08:40 +00:00
|
|
|
</Example>
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</Panel>
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
<Panel title={"Valore ottimo"}>
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
<p>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
La <b>soluzione</b> di un problema, ricavabile dal
|
|
|
|
|
prodotto <Latex>{r`\mathbf{c}^T \mathbf{x}`}</Latex>.
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
<p>
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
In particolare, il valore ottimo è un <b>vertice</b> del poliedro, detto <i>vertice ottimo</i>.
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
</Section>
|
|
|
|
|
<Section title={"Forme di un problema di ottimizzazione"}>
|
|
|
|
|
<Panel title={"Forma generale"}>
|
|
|
|
|
<p>
|
|
|
|
|
Un problema con:
|
|
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
<ul>
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
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<li><Plus>Equazioni e disequazioni</Plus></li>
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<li><Plus>Variabili non vincolate</Plus></li>
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2020-05-28 17:58:41 +00:00
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</ul>
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<PLatex>{r`min \left\{ \mathbf{c}^T \mathbf{x} : \mathbf{A} \mathbf{x} = b,\quad \mathbf{A'} \mathbf{x} \geq \mathbf{b'} \quad x_j \geq 0,\quad j = 1 \dots n \right\}`}</PLatex>
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|
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</Panel>
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<Panel title={"Forma canonica"}>
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<p>
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Un problema con:
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</p>
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<ul>
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2020-07-13 14:44:15 +00:00
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<li><Plus>Solo disequazioni</Plus></li>
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<li><Minus>Vincoli di non-negatività sulle incognite</Minus></li>
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2020-05-28 17:58:41 +00:00
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</ul>
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<PLatex>{r`min \left\{ \mathbf{c}^T \mathbf{x} : \mathbf{A} \mathbf{x} \geq b,\quad x_j \geq 0,\quad j = 1 \dots n \right\}`}</PLatex>
|
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|
|
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</Panel>
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|
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|
<Panel title={"Forma standard"}>
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<p>
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|
|
Un problema con:
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</p>
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<ul>
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2020-07-13 14:44:15 +00:00
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<li><Minus>Solo equazioni</Minus></li>
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<li><Minus>Vincoli di non-negatività sulle incognite</Minus></li>
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2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</ul>
|
|
|
|
|
<PLatex>{r`min \left\{ \mathbf{c}^T \mathbf{x} : \mathbf{A} \mathbf{x} = b,\quad x_j \geq 0,\quad j = 1 \dots n \right\}`}</PLatex>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
</Section>
|
|
|
|
|
<Section title={"Conversioni tra le forme"}>
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|
<Panel title={"Standard e generale"}>
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<p>
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|
Applica questa conversione a ogni equazione nel sistema:
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</p>
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<p>
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<Latex inline={false}>{r`a = b \Leftrightarrow
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|
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\begin{cases}
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a \leq b\\
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|
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a \geq b
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|
\end{cases}
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|
`}</Latex>
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|
</p>
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|
<Example>Serve solo nella teoria per dimostrare che le forme sono equivalenti.</Example>
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</Panel>
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|
<Panel title={"Canonica e standard"}>
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<p>
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2020-08-21 16:33:22 +00:00
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|
Aggiungi una <i>variabile slack</i> <Latex>{r`s`}</Latex> <b>non-vincolata</b> a ogni
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|
|
|
disequazione nel sistema:
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2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
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</p>
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<p>
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<Latex inline={false}>{r`
|
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a \leq b \Leftrightarrow a + s = b
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`}</Latex>
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|
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
<p>
|
|
|
|
|
<Latex inline={false}>{r`
|
|
|
|
|
a \geq b \Leftrightarrow a - s = b
|
|
|
|
|
`}</Latex>
|
|
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
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|
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|
<Panel title={"Generale e canonica"}>
|
|
|
|
|
<p>
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|
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|
Sdoppia ogni variabile non-vincolata in due variabili con vincolo di non-negatività:
|
|
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|
</p>
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|
|
<p>
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|
<Latex inline={false}>{r`\begin{cases}
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|
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|
|
a = a^+ - a^-\\
|
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|
|
|
a^+ \geq 0\\
|
|
|
|
|
a^- \geq 0
|
|
|
|
|
\end{cases}`}</Latex>
|
|
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
</Section>
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
<Section>
|
|
|
|
|
Valore attuale
|
|
|
|
|
</Section>
|
|
|
|
|
<Section title={"Tableau"}>
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|
|
|
|
<Panel title={"Cos'è?"}>
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
<p>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
Un modo per rappresentare sistemi in forma standard, anche noto come <b>matrice equivalente
|
|
|
|
|
completa</b> del sistema.
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</p>
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
<Panel title={"Trasformazioni"}>
|
|
|
|
|
<p>
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|
|
Un tableau è un sistema di equazioni in <b>forma matriciale completa</b>.
|
|
|
|
|
</p>
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|
|
|
|
<p>
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|
|
È possibile effettuare senza che cambi il risultato finale le seguenti trasformazioni:
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|
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</p>
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|
|
<ul>
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|
|
<li><b>Moltiplicare</b> un'intera riga per una costante.</li>
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|
|
|
|
<li><b>Sommare</b> una riga a un'altra</li>
|
|
|
|
|
</ul>
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
<Example>
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
Suona familiare? Sì, lo abbiamo fatto anche in Algebra Lineare.
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</Example>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
<Panel title={"Variabili nella base"}>
|
|
|
|
|
<p>
|
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|
|
Variabili che hanno <b>tutti 0 e un solo 1</b> nella loro colonna del tableau.
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|
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|
|
</p>
|
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|
|
|
<p>
|
|
|
|
|
La loro controparte sono le <i>variabili fuori base</i>, che hanno qualsiasi altro valore.
|
|
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
<Panel title={"Valore attuale"}>
|
|
|
|
|
<p>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
Il valore della funzione obiettivo che si otterrebbe se <b>tutte le variabili fuori base
|
|
|
|
|
valessero 0</b>.
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
<p>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
Procedendo nella risoluzione (descritta in seguito) del tableau, questo valore aumenterà, fino a
|
|
|
|
|
raggiungere il valore ottimo quando la risoluzione sarà completata.
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</Section>
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
<Section>
|
|
|
|
|
<Panel color={ExampleBoxColor} title={"Un esempio"}>
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
<p>
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
Il sistema:
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</p>
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
<PLatex>{r`
|
|
|
|
|
\begin{cases}
|
|
|
|
|
2000x_1 + 1000x_2 = z\\
|
|
|
|
|
1x_1 \leq 3\\
|
|
|
|
|
1x_2 \leq 3\\
|
|
|
|
|
2x_1 + 2x_2 \leq 7
|
|
|
|
|
\end{cases}
|
|
|
|
|
`}</PLatex>
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
<p>
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
Diventa il tableau:
|
|
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
<table className={"right"}>
|
|
|
|
|
<thead>
|
|
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<th><Latex>x_1</Latex></th>
|
|
|
|
|
<th><Latex>x_2</Latex></th>
|
|
|
|
|
<th><Latex>s_1</Latex></th>
|
|
|
|
|
<th><Latex>s_2</Latex></th>
|
|
|
|
|
<th><Latex>s_3</Latex></th>
|
|
|
|
|
<th><abbr title={"Termine noto"}>TN</abbr></th>
|
|
|
|
|
</tr>
|
|
|
|
|
</thead>
|
|
|
|
|
<tbody>
|
|
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<td><Latex>1</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td><Latex>0</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td style={"background-color: rgba(0, 0, 255, 0.1);"}><Latex>1</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td style={"background-color: rgba(0, 0, 255, 0.1);"}><Latex>0</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td style={"background-color: rgba(0, 0, 255, 0.1);"}><Latex>0</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td style={"background-color: rgba(255, 0, 0, 0.1);"}><Latex>3</Latex></td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
|
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<td><Latex>0</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td><Latex>1</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td style={"background-color: rgba(0, 0, 255, 0.1);"}><Latex>0</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td style={"background-color: rgba(0, 0, 255, 0.1);"}><Latex>1</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td style={"background-color: rgba(0, 0, 255, 0.1);"}><Latex>0</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td style={"background-color: rgba(255, 0, 0, 0.1);"}><Latex>3</Latex></td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
|
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<td><Latex>2</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td><Latex>2</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td style={"background-color: rgba(0, 0, 255, 0.1);"}><Latex>0</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td style={"background-color: rgba(0, 0, 255, 0.1);"}><Latex>0</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td style={"background-color: rgba(0, 0, 255, 0.1);"}><Latex>1</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td style={"background-color: rgba(255, 0, 0, 0.1);"}><Latex>7</Latex></td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
|
|
|
|
<tr style={"background-color: rgba(0, 255, 0, 0.1);"}>
|
|
|
|
|
<td><Latex>2000</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td><Latex>1000</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td><Latex>0</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td><Latex>0</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td><Latex>0</Latex></td>
|
|
|
|
|
<td style={"background-color: rgba(255, 255, 0, 0.2);"}><Latex>0</Latex></td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
|
|
|
|
</tbody>
|
|
|
|
|
</table>
|
|
|
|
|
<ul>
|
|
|
|
|
<li>
|
|
|
|
|
<u style={"color: #7dff7d;"}>Verde</u>: funzione obiettivo
|
|
|
|
|
</li>
|
|
|
|
|
<li>
|
|
|
|
|
<u style={"color: #ffff7d;"}>Giallo</u>: valore attuale della funzione
|
|
|
|
|
</li>
|
|
|
|
|
<li>
|
|
|
|
|
<u style={"color: #ff7d7d;"}>Rosso</u>: termini noti
|
|
|
|
|
</li>
|
|
|
|
|
<li>
|
|
|
|
|
<u style={"color: #7d7dff;"}>Blu</u>: Variabili slack
|
|
|
|
|
</li>
|
|
|
|
|
</ul>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
</Section>
|
|
|
|
|
<Section title={"Simplex primale"}>
|
|
|
|
|
<Panel title={"Cos'è?"}>
|
|
|
|
|
<p>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
Un algoritmo per trovare efficientemente il <b>valore ottimo</b> e le coordinate di un <b>vertice
|
|
|
|
|
ottimo</b> in problemi di ottimizzazione lineare.
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
<Example>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
Ricordi <BaseLink href={"/vldigeometria"}>Gauss-Jordan</BaseLink>? Il Simplex è la stessa cosa,
|
|
|
|
|
aggiungendo criteri per la selezione del pivot.
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</Example>
|
|
|
|
|
<Example title={"Esempio"}>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
<a href={"https://i.imgur.com/1r405Mb.jpg"}>Questa</a> è la soluzione passo per passo del
|
|
|
|
|
problema 3 del file <a href={"https://dolly.fim.unimore.it/2019/mod/resource/view.php?id=2716"}><code>Ex_LP_testo</code></a>.
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</Example>
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
<p>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
Perchè sia possibile effettuare il Simplex è necessario che l'<b>origine sia nel poliedro</b>:
|
|
|
|
|
pertanto, <b>non</b> è possibile che un problema risolto con il Simplex sia <Empty/>.
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
</p>
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
<Panel title={"I passi"}>
|
|
|
|
|
<ol>
|
|
|
|
|
<li>Trasforma il sistema in <b>forma standard</b>.</li>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
<li>Trova tante variabili <b>linearmente indipendenti</b> quante siano le righe: esse saranno
|
|
|
|
|
la <i>base iniziale</i>.
|
|
|
|
|
</li>
|
|
|
|
|
<li>Finchè ci sono variabili con coefficienti <Min>positivi</Min>/<Max>negativi</Max> nella
|
|
|
|
|
funzione obiettivo:
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
<ol>
|
|
|
|
|
<li>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
<b>Scegli</b> la prima variabile fuori base con
|
|
|
|
|
coefficiente <Min>positivo</Min>/<Max>negativo</Max> nella funzione obiettivo: essa
|
|
|
|
|
è la <i>variabile entrante</i>.<br/>
|
|
|
|
|
<aside><u>Regola di Bland</u>: Si potrebbe scegliere qualsiasi variabile come
|
|
|
|
|
entrante, ma scegliendo sempre la prima ammissibile ci si assicura che
|
|
|
|
|
l'algoritmo termini.
|
|
|
|
|
</aside>
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</li>
|
|
|
|
|
<li>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
<b>Scegli</b> la variabile in base con il minor rapporto
|
|
|
|
|
positivo <Latex>{r`\frac{termine\ noto}{coeff.\ variabile\ entrante}`}</Latex>.
|
|
|
|
|
<aside>Se non sei riuscito a trovare nessuna variabile con un rapporto positivo,
|
|
|
|
|
significa che il poliedro è <Unbounded/>.</aside>
|
|
|
|
|
</li>
|
|
|
|
|
<li><u>Pivot</u>: <b>trasforma</b> tutte le funzioni del sistema in modo che abbiano 0
|
|
|
|
|
nella colonna della variabile entrante, tranne nella riga della variabile uscente,
|
|
|
|
|
in cui avrà 1.
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</li>
|
|
|
|
|
</ol>
|
|
|
|
|
</li>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
<li>Il poliedro è <Finite/>: i <b>termini noti dei vincoli</b> sono le coordinate del suo
|
|
|
|
|
vertice ottimo, mentre il <b>termine noto della funzione obiettivo</b> è il valore ottimo.
|
|
|
|
|
</li>
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</ol>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
<Panel title={"Soluzioni di base degenerata"}>
|
|
|
|
|
<p>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
Una soluzione con almeno una variabile di valore <Latex>0</Latex>, dovuta a uno o più <b>vincoli
|
|
|
|
|
ridondanti</b>.
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
<p>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
Senza <b>Regola di Bland</b> e in presenza di vincoli ridondanti si rischia di trovarsi a fare
|
|
|
|
|
pivot infiniti.
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
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</p>
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</Panel>
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</Section>
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<Section title={"Metodo delle due fasi"}>
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|
<Panel title={"Metodo delle due fasi"}>
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<p>
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2020-08-21 16:33:22 +00:00
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|
Un <b>estensione del Simplex</b> per permettere la risoluzione di problemi la cui <b>origine non
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|
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è una soluzione ammissibile</b>.
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2020-05-28 17:58:41 +00:00
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</p>
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<p>
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2020-08-21 16:33:22 +00:00
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Prevede l'introduzione di un <i>problema ausiliario</i>, le cui incognite sono
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dette <i>artificiali</i>.
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2020-05-28 17:58:41 +00:00
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</p>
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<p>
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Il vettore delle incognite artificiali è solitamente chiamato <Latex>{r`\mathbf{y}`}</Latex>.
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</p>
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</Panel>
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|
<Panel title={"Procedimento"}>
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|
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<ol>
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2020-08-21 16:33:22 +00:00
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<li>Crea un nuovo tableau, <b>aggiungendo variabili artificiali</b> in modo da avere una base
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ammissibile.
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</li>
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<li>Sostituisci la vecchia funzione obiettivo con una nuova che <b>minimizzi la somma</b> di
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tutte le variabili artificiali.
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</li>
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2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
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|
<li><u>Fase 1</u>: <b>Risolvi</b> il nuovo problema con il Simplex primale.</li>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
<li>Se il Simplex termina quando ci sono ancora <b>variabili artificiali nella base</b>, allora
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il poliedro è <b><Empty/></b>.
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</li>
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<li>Una volta che le variabili artificiali sono fuori base, <b>elimina</b> le loro colonne e la
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nuova funzione obiettivo.<br/></li>
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<li>Riporta il tableau in forma base compiendo operazioni per <b>azzerare i
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|
coefficienti</b> delle variabili di base nella funzione obiettivo.
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</li>
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2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
<li><u>Fase 2</u>: <b>Risolvi</b> il tableau con il Simplex primale.</li>
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</ol>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
</Section>
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|
<Section title={"Rilassamento"}>
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|
|
|
|
<Panel title={"Cos'è?"}>
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|
|
<p>
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2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
Una versione semplificata di un problema nella quale si <b>ignora la violazione</b> di uno o più
|
|
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|
|
vincoli.
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2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
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</p>
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|
|
</Panel>
|
|
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|
|
<Panel title={"Rilassamento di Lagrange"}>
|
|
|
|
|
<p>
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|
Un rilassamento che permette di misurare <b>di quanto i vincoli vengono violati</b>.
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|
</p>
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|
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|
|
<p>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
I vincoli, moltiplicati per <b>coefficienti di rilassamento</b>, vengono inseriti nella funzione
|
|
|
|
|
obiettivo.
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2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
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</p>
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|
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|
<p>
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2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
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|
Il vettore dei coefficienti di rilassamento solitamente è indicato
|
|
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|
|
con <Latex>{r`\mathbf{u}`}</Latex>.
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2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</p>
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<Example>
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<p>
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Il sistema:
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</p>
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<Latex inline={false}>{r`
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\begin{cases}
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z = 3 x_1 + 5 x_2\\
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2 x_1 + 3 x_2 \geq 12\\
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- x_1 + 3 x_2 \geq 3\\
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|
x_1 \geq 0\\
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x_2 \geq 0
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|
\end{cases}
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|
`}</Latex>
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<p>
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|
diventa:
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</p>
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|
<Latex inline={false}>{r`
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\begin{cases}
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z = 3 x_1 + 5 x_2 + u_1 ( 12 - 2 x_1 - 3 x_2 ) + u_2 ( 3 + x_1 - 3 x_2 )\\
|
|
|
|
|
x_1 \geq 0\\
|
|
|
|
|
x_2 \geq 0
|
|
|
|
|
\end{cases}
|
|
|
|
|
`}</Latex>
|
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|
</Example>
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|
</Panel>
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|
</Section>
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|
<Section title={"Dualità"}>
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|
|
<Panel title={"Duale"}>
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|
<p>
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2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
Il sistema che <b><Min>massimizza</Min>/<Max>minimizza</Max> i moltiplicatori di
|
|
|
|
|
rilassamento</b> di un problema detto <i>primale</i>.
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</p>
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|
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
<Panel title={"In termini matriciali"}>
|
|
|
|
|
<p>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
Possiamo <b>trasporre</b> il tableau e sostituire le variabili <Latex>{r`x_n`}</Latex> con
|
|
|
|
|
variabili <Latex>{r`u_n`}</Latex> per ottenere il sistema duale!
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
<p>
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|
I maggiori e minori dei vincoli diventeranno maggiori e minori delle variabili e viceversa.
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</p>
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|
</Panel>
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|
|
|
<Panel title={"Feasibility del duale"}>
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|
|
|
<ul>
|
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|
|
<li>Se un problema ha una <b>soluzione finita</b>, allora anche il suo duale la avrà.</li>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
<li>Se un problema è <b><Empty/></b>, allora il suo duale potrà
|
|
|
|
|
essere <Empty/> oppure <Unbounded/>.
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|
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|
|
</li>
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
<li>Se un problema è <b><Unbounded/></b>, allora il suo duale sarà certamente <Empty/>.</li>
|
|
|
|
|
</ul>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
<Panel title={"Variabili e vincoli"}>
|
|
|
|
|
<p>
|
|
|
|
|
Variabili e vincoli del duale corrispondono rispettivamente a vincoli e variabili del primale.
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|
|
</p>
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|
|
<p>
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|
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|
|
In particolare:
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|
</p>
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|
<table>
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|
<thead>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<th><Min>Min</Min></th>
|
|
|
|
|
<th><Max>Max</Max></th>
|
|
|
|
|
</tr>
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
</thead>
|
|
|
|
|
<tbody>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<td>Vincolo <ILatex>\leq</ILatex></td>
|
|
|
|
|
<td>Variabile <ILatex>\leq</ILatex></td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
|
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<td>Vincolo <ILatex>\geq</ILatex></td>
|
|
|
|
|
<td>Variabile <ILatex>\geq</ILatex></td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
|
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<td>Vincolo <ILatex>=</ILatex></td>
|
|
|
|
|
<td>Variabile <b>libera</b></td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
|
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<td>Variabile <ILatex>\leq</ILatex></td>
|
|
|
|
|
<td>Vincolo <ILatex>\geq</ILatex></td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
|
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<td>Variabile <ILatex>\geq</ILatex></td>
|
|
|
|
|
<td>Vincolo <ILatex>\leq</ILatex></td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
|
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<td>Variabile <b>libera</b></td>
|
|
|
|
|
<td>Vincolo <ILatex>=</ILatex></td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
</tbody>
|
|
|
|
|
</table>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</Section>
|
|
|
|
|
<Section title={"Un po' di teoria"}>
|
|
|
|
|
<Panel title={"Lemma di Farkas"}>
|
|
|
|
|
<p>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
Una disuguaglianza lineare <Latex>{r`c_0 \leq \mathbf{c}^T \mathbf{x}`}</Latex> è verificata da
|
|
|
|
|
tutti i punti di un poliedro non-<Empty/> se e solo se esiste un
|
|
|
|
|
vettore <Latex>{r`u \in \mathfrak{R}^m`}</Latex> tale che:
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
<PLatex>{r`\mathbf{c}^T \geq \mathbf{u}^T \mathbf{A}`}</PLatex>
|
|
|
|
|
<PLatex>{r`c_0 \leq \mathbf{u}^T \mathbf{b}`}</PLatex>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
<Panel title={"Dualità forte"}>
|
|
|
|
|
<p>
|
|
|
|
|
Il teorema che dimostra l'equivalenza tra primale e duale.
|
|
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
<p>
|
|
|
|
|
Se uno dei due problemi è finito, la soluzione di uno coincide con la soluzione dell'altro.
|
|
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
<p>
|
|
|
|
|
<Latex>{r`\mathbf{c}^T \mathbf{x} = \mathbf{u}^T \mathbf{b}`}</Latex>
|
|
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
<p>
|
|
|
|
|
<Todo>TODO: Anche qui c'è una lunga dimostrazione...</Todo>
|
|
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
<Panel title={"Dualità debole"}>
|
|
|
|
|
<p>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
Il teorema che dimostra che il valore della funzione obiettivo del duale (di un qualsiasi
|
|
|
|
|
tableau) è sempre <Min>minore o uguale</Min>/<Max>maggiore o uguale</Max> alla soluzione del
|
|
|
|
|
corrispettivo primale.
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
<p>
|
|
|
|
|
<Todo>TODO: Dimostrazione cortina, ma sembra complicata.</Todo>
|
|
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
<Panel title={"Condizioni di ottimalità"}>
|
|
|
|
|
<p>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
Il teorema che ci permette di passare dalla soluzione del duale alla soluzione del
|
|
|
|
|
primale. <Todo>TODO: credo?</Todo>
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
<p>
|
|
|
|
|
Si deriva combinando le seguenti condizioni:
|
|
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
<ul>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
<li>Ammissibilità del
|
|
|
|
|
primale: <Latex>{r`\mathbf{A} \mathbf{X} \geq \mathbf{b}, \quad \mathbf{x} \geq 0`}</Latex>
|
|
|
|
|
</li>
|
|
|
|
|
<li>Ammissibilità del
|
|
|
|
|
duale: <Latex>{r`\mathbf{u}^T \mathbf{A} \leq \mathbf{c}^T, \quad \mathbf{u} \geq 0`}</Latex>
|
|
|
|
|
</li>
|
|
|
|
|
<li>Teorema della dualità
|
|
|
|
|
forte: <Latex>{r`\mathbf{c}^T \mathbf{x} = \mathbf{u}^T \mathbf{b}`}</Latex> (alla soluzione
|
|
|
|
|
ottima)
|
|
|
|
|
</li>
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</ul>
|
|
|
|
|
<p>
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|
|
Ne risulta che una soluzione è ottima se e solo se:
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|
|
</p>
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|
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|
|
<PLatex>{r`\left( \mathbf{c}^T - \mathbf{u}^T \mathbf{A} \right) \mathbf{x} = 0`}</PLatex>
|
|
|
|
|
<PLatex>{r`\mathbf{u}^T \left( \mathbf{A} \mathbf{x} - \mathbf{b} \right) = 0`}</PLatex>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
</Section>
|
|
|
|
|
<Section title={"Simplex duale"}>
|
|
|
|
|
<Panel title={"Cos'è?"}>
|
|
|
|
|
<p>
|
|
|
|
|
Un'estensione al Simplex primale che opera sul problema duale.
|
|
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
<Panel title={"Come funziona?"}>
|
|
|
|
|
<p>
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
Funziona esattamente come il Simplex primale, ma opera sul duale.
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
</Section>
|
|
|
|
|
<Section title={"Analisi di sensibilità"}>
|
|
|
|
|
<Panel title={"Cos'è?"}>
|
|
|
|
|
<p>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
Un procedimento che misura di <b>quanto può variare</b> il termine noto di un
|
|
|
|
|
vincolo <Latex>{r`b_i`}</Latex> o il coefficiente della funzione
|
|
|
|
|
obiettivo <Latex>{r`c_i`}</Latex> prima che la base degeneri.
|
2020-07-03 15:08:40 +00:00
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
</Section>
|
|
|
|
|
<Section title={"Ottimizzazione lineare intera"}>
|
|
|
|
|
<Panel title={"Cos'è?"}>
|
|
|
|
|
<p>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
Particolari problemi di ottimizzazione lineare in cui le <b>variabili sono vincolate ad essere
|
|
|
|
|
numeri interi</b>.
|
2020-07-03 15:08:40 +00:00
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
<PLatex>{r`
|
|
|
|
|
\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^n
|
|
|
|
|
`}</PLatex>
|
|
|
|
|
<p>
|
|
|
|
|
Spesso detti anche <i>problemi di <abbr title={"Integer Linear Programming"}>ILP</abbr></i>.
|
|
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
<Panel title={"Rilassamento lineare"}>
|
|
|
|
|
<p>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
Un rilassamento che rimuove il <b>vincolo di integrità</b> a un problema, trovando la sua <b>soluzione
|
|
|
|
|
continua</b>.
|
2020-07-03 15:08:40 +00:00
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
</Section>
|
|
|
|
|
<Section title={"Dal rilassamento alla soluzione"}>
|
|
|
|
|
<Panel title={"Enumerazione totale"}>
|
|
|
|
|
<p>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
Un <b>modo</b> per passare dalla soluzione del rilassamento alla soluzione intera di un problema
|
|
|
|
|
di ILP.
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</p>
|
2020-07-03 15:08:40 +00:00
|
|
|
<p>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
Consiste nel calcolare la soluzione di ogni singolo punto incluso nel poliedro, e selezionare
|
|
|
|
|
la <Min>minore</Min>/<Max>maggiore</Max>.
|
2020-07-03 15:08:40 +00:00
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
<p>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
Trova <b>sicuramente</b> la soluzione giusta, ma il costo computazionale è
|
|
|
|
|
esponenziale <ILatex>O(n^k)</ILatex>!
|
2020-07-03 15:08:40 +00:00
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
<Panel title={"Arrotondamento"}>
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<p>
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2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
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|
Un altro <b>modo</b> per passare dalla soluzione del rilassamento alla soluzione intera di un
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|
|
problema di ILP.
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2020-07-03 15:08:40 +00:00
|
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</p>
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<p>
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2020-08-21 16:33:22 +00:00
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Consiste nell'<b>arrotondare tutte le variabili al loro valore intero più vicino</b>, e
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calcolarne il valore ottimo.
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2020-07-03 15:08:40 +00:00
|
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</p>
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<p>
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2020-08-21 16:33:22 +00:00
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Funziona bene per valori grandi, ma più essi si avvicinano allo 0 più l'<b>errore diventa
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grande</b>.
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2020-07-03 15:08:40 +00:00
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</p>
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|
</Panel>
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<Panel title={"Piani secanti"}>
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<p>
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2020-08-21 16:33:22 +00:00
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Un altro <b>modo</b> ancora per passare dalla soluzione del rilassamento alla soluzione intera
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di un problema di ILP.
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2020-07-03 15:08:40 +00:00
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</p>
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<p>
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2020-08-21 16:33:22 +00:00
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Consiste nel tagliare il poliedro con nuovi vincoli (<i>piani secanti</i>) che <b>riducono le
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possibili soluzioni continue</b> ma non quelle intere.
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2020-07-03 15:08:40 +00:00
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</p>
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<p>
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Per selezionare i vincoli, si usano i <b>tagli di Gomory</b>:
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</p>
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<PLatex>{r`
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\sum_{j \in F} \left( \left( a_{tj} - \lfloor a_{tj} \rfloor \right) \cdot x_j \right) \geq (b_t - \lfloor b_t \rfloor)
|
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|
`}</PLatex>
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<p>
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2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
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|
Per ogni valore noto frazionario si viene quindi a creare <b>una nuova variabile in base</b> e
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|
un nuovo vincolo formato dall'opposto di tutti i valori frazionari dei coefficienti fuori base.
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2020-07-03 15:08:40 +00:00
|
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|
</p>
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|
|
<Example>
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|
|
<p>
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|
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|
|
Il tableau:
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|
|
<table>
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|
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<thead>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<th><BLatex>{r`x_1`}</BLatex></th>
|
|
|
|
|
<th><BLatex>{r`x_2`}</BLatex></th>
|
|
|
|
|
<th><BLatex>{r`s_1`}</BLatex></th>
|
|
|
|
|
<th><BLatex>{r`s_2`}</BLatex></th>
|
|
|
|
|
<th><abbr title={"Termine noto"}>TN</abbr></th>
|
|
|
|
|
</tr>
|
2020-07-03 15:08:40 +00:00
|
|
|
</thead>
|
|
|
|
|
<tbody>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<td><BLatex>{r`1`}</BLatex></td>
|
|
|
|
|
<td><BLatex>{r`1`}</BLatex></td>
|
|
|
|
|
<td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>
|
|
|
|
|
<td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>
|
|
|
|
|
<td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
|
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<td><BLatex>{r`1`}</BLatex></td>
|
|
|
|
|
<td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>
|
|
|
|
|
<td><BLatex>{r`1`}</BLatex></td>
|
|
|
|
|
<td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>
|
|
|
|
|
<td><BLatex>{r`3`}</BLatex></td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
|
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<td><BLatex>{r`\frac{3}{2}`}</BLatex></td>
|
|
|
|
|
<td><BLatex>{r`\frac{1}{2}`}</BLatex></td>
|
|
|
|
|
<td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>
|
|
|
|
|
<td><BLatex>{r`1`}</BLatex></td>
|
|
|
|
|
<td><BLatex>{r`\frac{6}{5}`}</BLatex></td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
2020-07-03 15:08:40 +00:00
|
|
|
</tbody>
|
|
|
|
|
</table>
|
|
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
<p>
|
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|
|
Diventa:
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|
<table>
|
|
|
|
|
<thead>
|
|
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<th><BLatex>{r`x_1`}</BLatex></th>
|
|
|
|
|
<th><BLatex>{r`x_2`}</BLatex></th>
|
|
|
|
|
<th><BLatex>{r`s_1`}</BLatex></th>
|
|
|
|
|
<th><BLatex>{r`s_2`}</BLatex></th>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
<th style={"background-color: rgba(255, 255, 0, 0.1);"}><BLatex>{r`s_3`}</BLatex>
|
|
|
|
|
</th>
|
2020-07-03 15:08:40 +00:00
|
|
|
<th><abbr title={"Termine noto"}>TN</abbr></th>
|
|
|
|
|
</tr>
|
|
|
|
|
</thead>
|
|
|
|
|
<tbody>
|
|
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<td><BLatex>{r`1`}</BLatex></td>
|
|
|
|
|
<td><BLatex>{r`1`}</BLatex></td>
|
|
|
|
|
<td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>
|
|
|
|
|
<td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>
|
|
|
|
|
<td style={"background-color: rgba(255, 255, 0, 0.1);"}><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>
|
|
|
|
|
<td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
|
|
|
|
<tr>
|
|
|
|
|
<td><BLatex>{r`1`}</BLatex></td>
|
|
|
|
|
<td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>
|
|
|
|
|
<td><BLatex>{r`1`}</BLatex></td>
|
|
|
|
|
<td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>
|
|
|
|
|
<td style={"background-color: rgba(255, 255, 0, 0.1);"}><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>
|
|
|
|
|
<td><BLatex>{r`3`}</BLatex></td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
|
|
|
|
<tr>
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
<td><BLatex>{r`\frac{3}{2}`}</BLatex></td>
|
2020-07-03 15:08:40 +00:00
|
|
|
<td><BLatex>{r`\frac{1}{2}`}</BLatex></td>
|
|
|
|
|
<td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>
|
|
|
|
|
<td><BLatex>{r`1`}</BLatex></td>
|
|
|
|
|
<td style={"background-color: rgba(255, 255, 0, 0.1);"}><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>
|
|
|
|
|
<td><BLatex>{r`\frac{6}{5}`}</BLatex></td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
|
|
|
|
<tr style={"background-color: rgba(255, 255, 0, 0.1);"}>
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
<td><BLatex>{r`-\frac{1}{2}`}</BLatex></td>
|
2020-07-03 15:08:40 +00:00
|
|
|
<td><BLatex>{r`-\frac{1}{2}`}</BLatex></td>
|
|
|
|
|
<td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>
|
|
|
|
|
<td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>
|
|
|
|
|
<td style={"background-color: rgba(255, 255, 0, 0.2);"}><BLatex>{r`1`}</BLatex></td>
|
|
|
|
|
<td><BLatex>{r`-\frac{1}{5}`}</BLatex></td>
|
|
|
|
|
</tr>
|
|
|
|
|
</tbody>
|
|
|
|
|
</table>
|
|
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
</Example>
|
2020-05-28 17:58:41 +00:00
|
|
|
</Panel>
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
<Panel title={"Divide et impera"}>
|
|
|
|
|
<p>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
È possibile usare la tecnica <i>divide et impera</i> per rendere più efficiente l'<b>enumerazione
|
|
|
|
|
totale</b>.
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
<p>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
Si divide il problema principale (trovare il valore ottimo di un problema di ILP) in più
|
|
|
|
|
sottoproblemi (trovare il valore ottimo di un problema di ILP con una variabile impostata a un
|
|
|
|
|
valore fisso).
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
<p>
|
|
|
|
|
Si crea così un <b>albero</b>.
|
|
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
<p>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
È possibile <b>chiudere in anticipo</b> alcuni nodi dell'albero se il loro miglior possibile
|
|
|
|
|
valore ottimo è inferiore a uno precedentemente trovato o se il loro poliedro è <Empty/>.
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
<p>
|
|
|
|
|
È possibile utilizzare diverse <b>strategie di esplorazione</b> dell'albero:
|
|
|
|
|
<ul>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
<li><b>depth-first</b>: permette di raggiungere immediatamente a una soluzione accettabile
|
|
|
|
|
(ma non ottimale)
|
|
|
|
|
</li>
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
<li><b>best-first</b>: permette di raggiungere più velocemente alla soluzione corretta</li>
|
|
|
|
|
</ul>
|
|
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
<Panel title={"Seca et impera"}>
|
|
|
|
|
<p>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
È possibile combinare il metodo dei <b>tagli secanti</b> con la tecnica <b>divide et
|
|
|
|
|
impera</b> per raggiungere ancora più velocemente a una soluzione.
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
<p>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
Si effettuano <b>poche iterazioni</b> del metodo dei tagli secanti, e sul risultato di quelle
|
|
|
|
|
iterazioni si applica il <b>divide et impera</b>.
|
2020-07-13 14:44:15 +00:00
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
</Section>
|
2020-07-14 14:04:51 +00:00
|
|
|
<Section title={<span>Terminologia dei grafi <Todo>TODO: migliorare</Todo></span>}>
|
|
|
|
|
<Panel title={"Grafo"}>
|
|
|
|
|
<p>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
Insieme di <b>nodi</b> <ILatex>{r`N`}</ILatex> e <b>archi</b> <ILatex>{r`E`}</ILatex> che li
|
|
|
|
|
connettono.
|
2020-07-14 14:04:51 +00:00
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
<p>
|
|
|
|
|
Può essere <b>diretto</b> se gli archi hanno una direzione.
|
|
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
<Panel title={"Nodi adiacenti"}>
|
|
|
|
|
<p>
|
|
|
|
|
Nodi <b>connessi da un arco</b>.
|
|
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
<Panel title={"Arco incidente"}>
|
|
|
|
|
<p>
|
|
|
|
|
Arco <b>connesso a un dato nodo</b>.
|
|
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
<Panel title={"Arco entrante o uscente"}>
|
|
|
|
|
<p>
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|
|
|
|
Un arco diretto che <b>termina</b> o <b>inizia</b> da un dato nodo.
|
|
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
<Panel title={"Grado"}>
|
|
|
|
|
<p>
|
|
|
|
|
<b>Conteggio</b> degli archi incidenti di un nodo.
|
|
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
<p>
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|
|
|
|
Si può calcolare anche relativamente agli archi entranti o agli archi uscenti.
|
|
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|
</p>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
<Panel title={"Percorso"}>
|
|
|
|
|
<p>
|
|
|
|
|
Sequenza di <b>archi consecutivi</b>.
|
|
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
<Panel title={"Connessione"}>
|
|
|
|
|
<p>
|
|
|
|
|
Due nodi sono connessi se tra loro esiste <b>almeno un percorso</b>.
|
|
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
<p>
|
|
|
|
|
Un grafo è connesso se tutti i suoi nodi sono connessi.
|
|
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
<Panel title={"Cicli e circuiti"}>
|
|
|
|
|
<p>
|
|
|
|
|
Percorsi rispettivamente indiretti e diretti in cui l'inizio coincide con la fine.
|
|
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
<Panel title={"Grafo completo"}>
|
|
|
|
|
<p>
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|
|
|
|
Grafo in cui ogni nodo è connesso con ogni altro.
|
|
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
<p>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
Se diretto, contiene <ILatex>{r`n \cdot (n - 1)`}</ILatex> archi; altrimenti, ne contiene la
|
|
|
|
|
metà.
|
2020-07-14 14:04:51 +00:00
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
<Panel title={"Matrice di adiacenza"}>
|
|
|
|
|
<blockquote>
|
|
|
|
|
Vedi <BaseLink href={"/algoritmiestrutturedati"}>Algoritmi</BaseLink>.
|
|
|
|
|
</blockquote>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
<Panel title={"Lista di adiacenza"}>
|
|
|
|
|
<blockquote>
|
|
|
|
|
Vedi <BaseLink href={"/algoritmiestrutturedati"}>Algoritmi</BaseLink>.
|
|
|
|
|
</blockquote>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
<Panel title={"Taglio"}>
|
|
|
|
|
<p>
|
|
|
|
|
Sottoinsieme di archi che connettono due sottoinsiemi di nodi.
|
|
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
<p>
|
2020-08-21 16:33:22 +00:00
|
|
|
Può essere anche uscente o entrante; in tal caso include solo gli archi entranti o uscenti dal
|
|
|
|
|
sottoinsieme.
|
2020-07-14 14:04:51 +00:00
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
<Panel title={"Sottografo"}>
|
|
|
|
|
<p>
|
|
|
|
|
Sottoinsieme di nodi e archi di un grafo.
|
|
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
<p>
|
|
|
|
|
Tutti gli archi di un sottografo possono connettere solo nodi all'interno di esso.
|
|
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
<Panel title={"Albero"}>
|
|
|
|
|
<p>
|
|
|
|
|
Sottografo connesso e aciclico.
|
|
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
<Panel title={"Spanning tree"}>
|
|
|
|
|
<p>
|
|
|
|
|
Albero che include tutti i nodi di un grafo.
|
|
|
|
|
</p>
|
|
|
|
|
</Panel>
|
|
|
|
|
</Section>
|
|
|
|
|
<Section title={"Algoritmi con i grafi"}>
|
|
|
|
|
<Panel title={"Prim"}>
|
|
|
|
|
<p>
|
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|
|
Crea uno spanning tree.
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|
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|
|
</p>
|
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|
|
<ol>
|
|
|
|
|
<li>Aggiungi l'arco di costo minimo all'albero.</li>
|
|
|
|
|
<li>Finchè mancano ancora archi:
|
|
|
|
|
<ol>
|
|
|
|
|
<li>Trova tutti gli archi che aggiungerebbero un nuovo nodo all'albero.</li>
|
|
|
|
|
<li>Seleziona l'arco di costo minore.</li>
|
|
|
|
|
</ol>
|
|
|
|
|
</li>
|
|
|
|
|
</ol>
|
|
|
|
|
</Panel>
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<Panel title={"Ordine topologico"}>
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<p>
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Trova l'ordine topologico di un albero.
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</p>
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<ol>
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<li>Ripeti finchè ci sono nodi nel grafo:
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<ol>
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<li>Assegna un numero sequenziale a un nodo senza archi entranti.</li>
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<li>Elimina il nodo a cui hai assegnato il numero.</li>
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<li>Elimina tutti gli archi incidenti sul nodo che hai eliminato.</li>
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</ol>
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</li>
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</ol>
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</Panel>
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<Panel title={"Percorsi minimi in grafo diretto"}>
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<p>
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Trova i percorsi di costo minimo in un albero.
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</p>
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<ol>
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<li>Trova l'ordine topologico dell'albero.</li>
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2020-08-21 16:33:22 +00:00
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<li>Invece che provare ogni singola combinazione di nodi, prova solo i nodi che hanno un numero
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topologico maggiore di quello del nodo attuale.
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</li>
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2020-07-14 14:04:51 +00:00
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</ol>
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<p>
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<Todo>TODO: forse spiegarlo meglio non farebbe male</Todo>
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</p>
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</Panel>
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<Panel title={"Algoritmo di Dijkstra"}>
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<blockquote>
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Vedi <BaseLink href={"/algoritmiestrutturedati"}>Algoritmi</BaseLink>.
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</blockquote>
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</Panel>
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<Panel title={"Algoritmo di Ford-Fulkerson"}>
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<Example>
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2020-08-21 16:33:22 +00:00
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Trova il volume massimo di acqua che è possibile fare scorrere attraverso tubature con una data
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capacità.
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2020-07-14 14:04:51 +00:00
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</Example>
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<p>
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Costruisci il grafo residuo e vedi se c'è un percorso che va dalla sorgente alla destinazione.
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</p>
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<p>
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<Image src={"https://i.imgur.com/FJk44q0.png"}/>
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</p>
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<p>
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<Image src={"https://i.imgur.com/fzb6xz2.png"}/>
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</p>
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2020-07-13 14:44:15 +00:00
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</Panel>
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2020-05-28 17:58:41 +00:00
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</Section>
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</div>
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)
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2020-03-09 23:18:13 +00:00
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}
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