From 003cc446721349186a7fbfce50f42924d2894dd5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Stefano Pigozzi Date: Thu, 3 Feb 2022 05:00:06 +0100 Subject: [PATCH] Add apprevol --- components/compat1.tsx | 37 +- components/warnings.tsx | 11 +- pages/index.tsx | 4 +- pages/year2/apprendimento.tsx | 787 ++++++++++++ pages/year2/fisica.tsx | 6 + pages/year2/statistica.tsx | 2186 +++++++++++++++++++++++++++++++++ 6 files changed, 3024 insertions(+), 7 deletions(-) create mode 100644 pages/year2/apprendimento.tsx create mode 100644 pages/year2/statistica.tsx diff --git a/components/compat1.tsx b/components/compat1.tsx index afee057..cd068d8 100644 --- a/components/compat1.tsx +++ b/components/compat1.tsx @@ -14,6 +14,7 @@ export const Split = ({title = undefined, children}) => { ) } +export const Section = Split export const Box = ({title = undefined, children}) => { return ( @@ -28,6 +29,12 @@ export const Box = ({title = undefined, children}) => { ) } +export const Example = (props) => { + return ( + + ) +} + export const Plus = (props) => { return ( @@ -52,15 +59,27 @@ export const LatexMath = ({children, ...props}) => { ) } -export const P = (props) => { +export const ILatex = (props) => { return ( -

+ + ) +} +export const BLatex = (props) => { + return ( + + ) +} +export const PLatex = (props) => { + return ( +

+ +

) } -export const B = (props) => { +export const P = (props) => { return ( - +

) } @@ -70,6 +89,16 @@ export const Todo = (props) => { ) } +export const Help = ({text, ...props}) => { + return ( + + ) +} + +export const Latex = LatexMath +export const B = Bluelib.BringAttention +export const I = Bluelib.Idiomatic +export const LI = Bluelib.ListUnordered.Item export const Anchor = Bluelib.Anchor export const r = String.raw diff --git a/components/warnings.tsx b/components/warnings.tsx index 855f815..5e7a302 100644 --- a/components/warnings.tsx +++ b/components/warnings.tsx @@ -1,4 +1,4 @@ -import { Panel, BringAttention as B } from "@steffo/bluelib-react" +import { Panel, BringAttention as B, Anchor as A } from "@steffo/bluelib-react" export const WarningUnchecked = () => { @@ -27,3 +27,12 @@ export const WarningBlocked = () => { ) } + +export const WarningPorted = () => { + return ( + + 🗒️ Nota: questi materiali sono stati importati da una versione vecchia di Bluelib, e potrebbero non essere visualizzati correttamente.
+ Se ti accorgi di un problema di visualizzazione, fammelo sapere su GitHub! + + ) +} diff --git a/pages/index.tsx b/pages/index.tsx index 9a73ea2..d8e248a 100644 --- a/pages/index.tsx +++ b/pages/index.tsx @@ -78,12 +78,12 @@ const Home: NextPage = () => { - Statistica ed elementi di probabilità + Statistica ed elementi di probabilità - Apprendimento ed evoluzione in sistemi artificiali + Apprendimento ed evoluzione in sistemi artificiali diff --git a/pages/year2/apprendimento.tsx b/pages/year2/apprendimento.tsx new file mode 100644 index 0000000..4f7e94f --- /dev/null +++ b/pages/year2/apprendimento.tsx @@ -0,0 +1,787 @@ +import * as Bluelib from "@steffo/bluelib-react" +import { BaseElement } from "@steffo/bluelib-react/dist/components/BaseElement" +import { Split, Box, Color, Plus, Minus, r, ILatex, BLatex, PLatex, P, Anchor, I, B, Help, Example, LI } from "../../components/compat1" +import 'katex/dist/katex.min.css'; +import { WarningPorted, WarningUnchecked } from "../../components/warnings"; + + +const Tick = (props) => {props.children ?? "tick"} + + +export default function Apprendimento() { + return <> + + Apprendimento ed evoluzione in sistemi artificiali + + + + + Introduzione + +

+ Come Fisica, Statistica ed elementi di probabilità è stato un altro esame in cui il modello "a carte mnemoniche" mi ha aiutato un sacco a ricordare i concetti per l'orale. +

+

+ Spero che questi contenuti possano essere altrettanto utili a voi! +

+ + + + + + +

+ NetLogo è un software di modellazione sistemi multiagente, da noi usato per le lezioni di + laboratorio. +

+

+ Si può scaricare o usare da browser. +

+

+ Il suo codice sorgente è disponibile su GitHub, e ha una pagina di documentazione. +

+ + + + +

+ Sistemi naturali o artificiali che si basano su leggi reversibili e deterministiche. +

+

+ In natura, alcuni leggi possono sembrare irreversibili a livello macroscopico, ma sono in realtà + reversibili a livello microscopico. +

+ + Urne di Ehrenfest: + due urne con N palline; estraggo una pallina da una urna casuale ad ogni passo e la sposto + nell'altra; con tante palline il sistema appare irreversibile. + + + +

+ Stati in cui si può trovare un sistema dinamico. +

+

+ Tutte insieme formano lo (iper)spazio delle fasi. +

+ + +

+ Lo stato finale di un sistema dinamico. +

+

+ Tutte le fasi tendono a uno specifico attrattore. +

+ + +

+ I sistemi dinamici elaborano informazione attraversando fasi e raggiungendo un + attrattore. +

+ + L'evoluzione biologica crea nuove specie partendo da quelle precedenti di maggiore successo fino + a quando non si raggiunge la specie perfetta. + + + Si può vedere l'universo come un gigantesco sistema dinamico. Che sia artificiale? Qual è il suo + attrattore? + + + + + +

+ Sistemi dinamici i cui cambiamenti sono descritti da funzioni lineari. +

+ + +

+ Situazioni iniziali di un sistema lineare. +

+

+ Possono essere: +

+
    +
  • Stabili: convergono ad un punto fisso
    • +
  • Instabili: divergono da un punto fisso
    • +
  • Di sella
    • +
+

+ Nell'insieme dei {r`\mathbb{C}`} possono anche dare origine a: +

+
    +
  • Spirali stabili: spirali che convergono
    • +
  • Spirali instabili: spirali che divergono
    • +
  • Cicli: il sistema forma un ciclo diverso in base alla posizione del nodo
    • +
  • Cicli limite: il sistema evolve fino a formare un ciclo specifico
    • +
+

+ Infine, in sistemi dissipativi può anche comparire: +

+
    +
  • Caos: il sistema evolve in maniera pseudo-casuale
    • +
+ + Mai sentito parlare di Mersenne + Twister? + + + +

+ Funzione che rappresenta lo stato attuale del sistema. +

+

+ Gli attrattori coincidono con i suoi punti di minimo, detti punti fissi. +

+

+ Il suo complementare è la funzione energia. +

+ + + + +

+ Sono sistemi con le seguenti caratteristiche: +

+
    +
  • Autonomia: agiscono gli uni indipendentemente dagli altri
    • +
  • Reattività: percepiscono ciò che sta nel loro ambiente e reagiscono ai + cambiamenti di quest'ultimo +
    • +
  • Proattività: agiscono in maniera tale da portare a termine i loro obiettivi
    • +
  • Socialità: comunicano con gli altri agenti, scambiando informazioni
    • +
+ + +

+ Hanno anche caratteristiche di livello più alto derivate dalle quattro precedenti: +

+
    +
  • Conoscenza
    • +
  • Intenzioni
    • +
  • Emozioni
    • +
  • Obblighi
    • +
  • Obiettivi
    • +
  • etc...
    • +
+ + Gli umani possono benissimo essere considerati agenti del sistema universo. + + + +

+ Gli agenti si distinguono anche in: +

+
    +
  • Mobilità: quanto e come possono muoversi nell'ambiente
    • +
  • + Veridicità: quanto producono informazioni corrette + + È possibile effettuare un attacco a un sistema introducendovi agenti maliziosi che + producono intenzionalmente informazioni sbagliate! + +
    • +
  • + Benevolenza: quanto beneficiano gli altri delle loro azioni + + Agenti malevoli: ad esempio, troll in siti web
    + Agenti benevoli: ad esempio, filtri che bannano i troll +     +
    • +
  • + Razionalità: quanto le loro azioni sono coerenti con i loro obiettivi e lo stato + dell'ambiente + + Razionalità limitata: gli agenti non conoscono completamente l'ambiente, e + compiono le azioni che suppongono essere giuste + +
    • +
+ + + + +

+ Lo sviluppo negli agenti di nuove capacità per cui non erano stati programmati. +

+ + Ad esempio, la Swarm Intelligence, descritta dopo! + + + + + +

+ Classificazione in base a come prende le decisioni un agente: +

+
    +
  • Logic-based: prende le decisioni attraverso deduzioni logiche
    • +
  • Reactive: mappa una reazione a ogni situazione dell'ambiente
    • +
  • Belief-desire-intention: per decidere, considera le proprie assunzioni sul + mondo (belief), i propri desideri (desire) e le + sue intenzioni correnti (intention) +
    • +
  • Layered: utilizza diversi strati di capacità cognitive per giungere a una + decisione +
    • +
+ + +

+ Classificazione in base a come sono definiti gli obiettivi di un agente: +

+
    +
  • Teleonomico: gli obiettivi sono predefiniti ed espliciti
    • +
  • Riflessivo: l'agente è libero di scegliere il suo obiettivo in base alle proprie + percezioni interne +
    • +
+ + +

+ Classificazione in base a quanto conosce dell'ambiente un agente: +

+
    +
  • Cognitivo: l'agente è immediatamente a conoscenza di tutto l'ambiente
    • +
  • Reattivo: l'agente deve scoprire l'ambiente con le sue capacità sensoriali
    • +
+ + + + +
    +
  • Distribuzione: più agenti possono coprire aree di ambiente più vaste, o elaborare più + in fretta zone più dense di informazione +
    • +
  • Rappresentazione: i sistemi multi-agente modellano più accuratamente il mondo reale +
    • +
+ + +

+ Influenza esercitata dal sistema sugli agenti per guidarli verso il loro obiettivo. +

+

+ Può essere: +

+
    +
  • Positivo: incentiva gli agenti ad avere un dato comportamento
    • +
  • Negativo: disincentiva gli agenti ad avere un dato comportamento
    • +
+ + +

+ Comportamento emergente che si manifesta nei sistemi multiagente con tantissimi agenti. +

+

+ Indica la capacità di risoluzione di problemi complessi attraverso la collaborazione di più + agenti semplici. +

+ + + + +

+ Meccanismi simili a quelli evolutivi umani che permettono ai tratti degli agenti + di convergere verso un valore. +

+ + +

+ Inizialmente definita come numero di discendenti fertili, solitamente indica quanto è + probabile che i tratti di un individuo siano passati alla generazione successiva. +

+ + +

+ Sequenza di valori che definisce uno o più tratti di un individuo. +

+ + +

+ Un insieme di individui aventi tutti gli stessi cromosomi. +

+ + +

+ Fenomeno che causa una piccola variazione casuale nei cromosomi dei figli. +

+

+ Previene la convergenza prematura in un sistema. +

+ + +

+ Meccanismo di costruzione dei cromosomi in un figlio: i cromosomi dei genitori vengono + tagliati nello stesso punto scelto a caso, e per costruire quelli del figlio viene presa una + parte dal padre e l'altra parte dalla madre. +

+

+ Può portare al miglioramento di un individuo e allo sviluppo di nuovi tratti, ma solo nelle + parti di cromosoma che sono diverse tra i due genitori. +

+ + +

+ Sequenza di valori all'interno di un cromosoma, che può includere anche sezioni in cui il + valore è irrilevante. +

+

+ Gli algoritmi genetici permettono di trovare gli schemi con la fitness più alta in + assoluto in un tempo relativamente breve: il sistema generalmente favorisce gli + schemi corti con fitness alta. +

+ + +

+ Situazione in cui si è raggiunta una soluzione non-ottimale a causa dell'assenza di novità nel + sistema. +

+

+ Si può impedire con vari metodi: con la mutazione, introducendo requisiti di + località per l'accoppiamento, scegliendo diversamente i genitori, etc... +

+ + + + +

+ Programmi che dati tanti esempi sono in grado di classificare un elemento in una o più + categorie. +

+

+ Sono formati da classificatori, liste + di messaggi, detettori e effettori. +

+ + + + +

+ Strutture logiche che elaborano i messaggi. +

+

+ Valutano una espressione logica (condizione) sui messaggi in arrivo, e se questa risulta + essere vera, emettono un nuovo messaggio in risposta (azione). +

+ + Condizione e azione possono essere considerati come due cromosomi di un algoritmo genetico! + + + +

+ Unità di informazione di un sistema a classificatori: + sono generati da detettori e classificatori, + e consumati da classificatori ed effettori. +

+ + +

+ Sensori che percepiscono lo stato dell'ambiente esterno e lo riportano sotto forma + di messaggi. +

+ + +

+ Motori che rispondono ai messaggi effettuando una qualche azione nell'ambiente. +

+ + + + +

+ Un punteggio associato ad ogni classificatore. +

+

+ Più un classificatore viene attivato, più la sua forza crescerà. +

+ + I classificatori più deboli vengono lentamente eliminati! + + + +

+ Il numero di condizioni che devono essere soddisfatte perchè il classificatore si attivi. +

+

+ +

+ + +

+ Prodotto di specificità e forza di un classificatore. +

+

+ Rappresenta quanto è probabile che venga utilizzato un dato classificatore nel caso che + le condizioni di più di uno vengano soddisfatte. +

+ + È la fitness degli algoritmi genetici applicata ai classificatori. + + + + + +

+ Se l'input non soddisfa nessun classificatore esistente, se ne crea uno nuovo soddisfatto + dall'input attuale con una azione casuale. +

+ + +

+ Se i classificatori emettono in output un messaggio non valido, si crea un nuovo classificatore + che trasforma quel messaggio in un output valido. +

+ + + + +

+ Agenti che possono collegarsi tra loro tramite sinapsi (dirette) + e ricevere ed emettere impulsi lungo di esse. +

+

+ Gli impulsi ricevuti vengono temporaneamente memorizzati dal neurone attraverso valori + che decadono nel tempo. +

+

+ Se la somma dei valori di tutti gli impulsi ricevuti è maggiore di una certa soglia, + allora il neurone emetterà un impulso. +

+ + + + +

+ Un modello semplificato di rete neurale in cui vengono considerati solo tempi + discreti (ticks), e non è presente la memorizzazione degli impulsi nel tempo. +

+

+ È stato sviluppato da Warren + McCulloch (un neurofisiologo) e Walter + Pitts (un matematico). +

+ + È importante perchè dimostra che le reti neurali possono elaborare qualsiasi cosa, ma + incompleto perchè non descrive nessun metodo per la loro creazione automatica. + + + +

+ I neuroni si attivano in un dato se la somma dei loro + impulsi nel precedente è maggiore o uguale a 1. +

+ + +

+ Le sinapsi hanno una intensità: è un moltiplicatore che viene applicato a tutti + gli impulsi transitanti la sinapsi. +

+ + + + +

+ Un neurone con una sinapsi entrante con intensità {r`-1`}. +

+ + +

+ Un neurone con due o più sinapsi entranti con intensità {r`1`}. +

+ + +

+ Un neurone con due o più sinapsi entranti con + intensità {r`\frac{1}{numero\ sinapsi}`}. +

+ + + + +

+ Un'estensione del modello booleano per permettere l'apprendimento automatico delle + configurazioni giuste di neuroni. +

+

+ È stato sviluppato da John + Hopfield (uno scienziato). +

+ + Non è molto avanzato, ma ha portato a ulteriori studi nel campo delle reti neurali. + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
vsGlossario
+ {r`t`}Tick attuale
+ {r`n`}, {r`m`}Identificatore di un neurone specifico
{r`\mathbf{W}`}{r`w_{nm}`}Intensità della sinapsi diretta da {r`n`} verso {r`m`} +
{r`\mathbf{\Theta}`}{r`\theta_n`}Soglia di attivazione di un neurone
{r`\mathbf{X}(t)`}{r`x_n(t)`}Emissione di un neurone
{r`\mathbf{I}(t)`}{r`i_n(t)`}Somma degli ingressi di un neurone
+ {r`E`}Energia del sistema
{r`\mathbf{A}`}{r`a_i`}Stato di un neurone in un pattern
+ {r`Q(\mathbf{A}, \mathbf{B})`}Sovrapposizione tra due pattern
+ + + + +

+ In ogni , i neuroni: +

+
    +
  • Emettono {r`0`} se gli input nel precedente erano + inferiori alla soglia di attivazione +
    • +
  • Emettono {r`1`} se gli input nel precedente superavano la + soglia di attivazione +
    • +
  • Non cambiano stato se gli input nel precedente erano uguali alla soglia di + attivazione +
    • +
+ + +

+ Tutti i neuroni del modello sono intercollegati tra loro da sinapsi. +

+

+ I neuroni non possono essere collegati a loro stessi. +

+

+ Questo porta il costo computazionale del modello ad essere {r`O(n^2)`}. +

+ + +

+ Una funzione dell'intero sistema che rappresenta il totale degli stati di tutti i neuroni e + tutte le connessioni. +

+ {r` + E = - \frac{1}{2} \sum_{n, m} ( w_{nm} \cdot x_n \cdot x_m ) + \sum_n ( \theta_n \cdot x_n ) + `} + + + + +

+ Un metodo per realizzare l'apprendimento nel modello di Hopfield. +

+

+ Si incrementa l'intensità delle sinapsi che connettono neuroni nello stesso stato, e invece si + decrementa l'intensità di quelle che connettono neuroni in stati opposti. +

+

+ Considerando i neuroni spenti e quelli accesi + come {r`0`} e {r`1`} rispettivamente, si ha che per ogni + pattern: +

+ {r` + \Delta w_{ik} = (2 \cdot A_i - 1)(2 \cdot A_k - 1) + `} + + Così facendo, si insegna sia il pattern normale sia il suo complementare! + + + +

+ Applicando l'apprendimento hebbiano al modello di Hopfield si ottengono sinapsi simmetriche. +

+

+ Se è valida questa proprietà, si può dimostrare che l'energia del sistema è sempre + decrescente, e che quindi che tenderà a un punto fisso! +

+ + +

+ Il numero di neuroni attivati in entrambi i pattern. +

+ {r` + Q(A, B) = \sum_{i = 1}^n A_i B_i + `} + + +

+ Più pattern vengono imparati da un modello, più è facile che essi interferiscano tra loro. +

+

+ In caso di pattern completamente scorrelati tra loro, il limite di pattern imparabili è circa: +

+ + {r`0.14 \cdot N`} + + + +

+ Per minimizzare l'interferenza tra pattern, è possibile insegnare al modello un archetipo: + si insegna più volte il pattern originale applicandoci una minima quantità di interferenza + casuale. +

+ + + + +

+ Un modello di rete neurale che supporta l'apprendimento e che presenta più strati di + neuroni. +

+

+ Ha costi computazionali molto più bassi del modello di Hopfield. +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
SimboloDescrizione
{r`N`}Numero totale di neuroni nel sistema
{r`n`}Numero di un neurone specifico
{r`w_{nm}`}Intensità della sinapsi diretta da {r`n`} verso {r`m`} +
{r`x_n`}Emissione del neurone {r`n`}
{r`H(v)`}Funzione che restituisce lo stato di un neurone dato un valore di input
{r`\sum_1^N ( w_n \cdot x_n )`}Somma degli input di un neurone
{r`b`}Bias di un neurone
+ + + + +

+ Una rete neurale che viene incapsulata all'interno di un singolo neurone. +

+

+ La sua emissione è determinata dalla sua funzione di emissione {r`H`}: +

+ {r` + x_n = H \left( \sum_1^N ( w_n \cdot x_n + b) \right) + `} +

+ {r`b`} è una costante configurabile, detta bias, che rappresenta il + valore di partenza della somma degli input. +

+ + +

+ Un percettrone la cui funzione di emissione è: +

+ {r` + \begin{cases} + 1 \qquad se\ v > 0\\ + 0 \qquad se\ v = 0\\ + -1 \qquad se\ v < 0 + \end{cases} + `} + + +

+ Si parte da intensità casuali delle sinapsi. +

+

+ Si prova a classificare degli esempi pre-classificati: se un esempio viene classificato nel modo + sbagliato, si alterano le intensità delle sinapsi in direzione della sua classificazione + corretta. +

+

+ Nel caso che vi siano più strati di neuroni, allora sarà necessario ricorrere alla backpropagation, che stima l'errore + di classificazione di ogni singolo neurone e li corregge di conseguenza. +

+ + + + +

+ Un modello a percettroni in cui non si presentano cicli. +

+

+ Alcuni dei neuroni che vi sono all'interno saranno dunque dei neuroni sorgente e dei neuroni pozzo. +

+ + + +} diff --git a/pages/year2/fisica.tsx b/pages/year2/fisica.tsx index 860de8c..18ad8ce 100644 --- a/pages/year2/fisica.tsx +++ b/pages/year2/fisica.tsx @@ -2,6 +2,7 @@ import * as Bluelib from "@steffo/bluelib-react" import { BaseElement } from "@steffo/bluelib-react/dist/components/BaseElement" import { Split, Box, Color, Plus, Minus, r, LatexMath, P, Anchor, B, Todo } from "../../components/compat1" import 'katex/dist/katex.min.css'; +import { WarningPorted, WarningUnchecked } from "../../components/warnings"; export default function Fisica() { @@ -14,6 +15,11 @@ export default function Fisica() { Introduzione +

+ Fisica è stato il corso che mi ha spinto a sviluppare il progetto Unisteffo: avendo tante definizioni e formule, avere una visualizzazione "a carte mnemoniche" mi ha aiutato molto a studiare per l'esame, e quindi ho deciso di rendere il materiale che ho creato disponibile per tutti. +

+ + diff --git a/pages/year2/statistica.tsx b/pages/year2/statistica.tsx new file mode 100644 index 0000000..387767b --- /dev/null +++ b/pages/year2/statistica.tsx @@ -0,0 +1,2186 @@ +import * as Bluelib from "@steffo/bluelib-react" +import { BaseElement } from "@steffo/bluelib-react/dist/components/BaseElement" +import { Split, Box, Color, Plus, Minus, r, LatexMath, P, Anchor, I, B, Todo, Section, Latex, Example } from "../../components/compat1" +import 'katex/dist/katex.min.css'; +import { WarningPorted, WarningUnchecked } from "../../components/warnings"; + + +export default function Statistica() { + return <> + + Statistica ed elementi di probabilità + + + + + Introduzione + +

+ Come Fisica, Statistica ed elementi di probabilità è stato un altro esame in cui il modello "a carte mnemoniche" mi ha aiutato un sacco a ricordare i concetti per l'orale. +

+

+ Spero che questi contenuti possano essere altrettanto utili a voi! +

+ + + + +
+ +

+ {r`P(E) = \frac{casi\ favorevoli}{casi\ possibili}`} +

+ + +

+ {r`P(E) = \frac{successi}{prove\ totali}`} +

+ + +

+ Il prezzo che un individuo coerente riterrebbe equo per ricevere 1 nel caso + l'evento si verificasse e 0 nel caso l'evento non si verificasse. +

+ +
+
+ + + "omegone" + +

+ L'insieme di tutti gli esiti possibili di un esperimento. +

+

+ {r`\Omega = \left \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right \}`} +

+ + + + "omeghino" + +

+ Un elemento dello spazio campionario. +

+

+ {r`\omega = 1`} +

+ + + + "e" + +

+ Un sottoinsieme dello spazio campionario. +

+

+ {r`E = \left \{ 1, 2 \right \}`} +

+

+ Lo spazio campionario stesso è un evento certo. +

+ + + + "not e" + +

+ Il complementare di un sottoinsieme. +

+

+ {r`\bar{E} = \left \{ 3, 4, 5, 6 \right \}`} +

+ + + + "e intersecato effe" + +

+ L'intersezione di più sottoinsiemi. +

+

+ {r`E \cap F = \left \{ 1 \right \}`} +

+ + + + "e unito a effe" + +

+ L'unione di più sottoinsiemi. +

+

+ {r`E \cup F = \left \{ 1, 2, 3, 4 \right \}`} +

+ + + + "e meno effe" + +

+ {r`E \setminus F = E \cap \bar{F}`} +

+ + + + "e contenuto in effe" + +

+ L'inclusione del primo insieme in un altro. +

+

+ {r`E \subseteq F`} +

+

+ Se si verifica E, allora si verifica anche F. +

+ + + + "e è impossibile" + +

+ Un sottoinsieme vuoto. +

+

+ {r`E = \emptyset`} +

+ + + + "e ed effe si escludono mutualmente" + +

+ La disgiunzione di due insiemi. +

+

+ {r`E \cap F = \emptyset`} +

+ +
+
+ + + "famiglia effe" + +

+ I sottoinsiemi dello spazio campionario formano una famiglia di sottoinsiemi + detta famiglia degli eventi. +

+

+ {r`\mathcal{F}`} +

+

+ Qualsiasi sottoinsieme appartenente a {r`\mathcal{F}`} è considerato un + evento. +

+ + {r`\sigma`}-algebra}> + + "sigma algebra" + +

+ Se la famiglia degli eventi soddisfa questi tre requisiti, allora viene + detta {r`\sigma`}-algebra: +

+
    +
  1. + Lo spazio campionario è un evento: {r`\Omega \in \mathcal{F}`} +
    2. +
  2. + Se un sottoinsieme è un evento, allora anche il suo complementare lo + è: {r`E \in \mathcal{F} \implies \bar{E} \in \mathcal{F}`} +
    3. +
  3. + Se due sottoinsiemi sono eventi, allora lo sono anche la loro unione e + intersezione: {r`(E, F) \in \mathcal{F} \implies (E \cup F, E \cap F) \in \mathcal{F}`} +
    4. +
+

+ Un + esempio: {r`E \in \mathcal{F} \implies \mathcal{F} = \{ \emptyset, E, \bar{E}, \Omega \}`} +

+ +
+
+ + + "la partizione e composta da e uno, e due, e tre..." + +

+ Un insieme di esiti e eventi: +

+
    +
  • Finito.
    • +
  • In cui tutti gli eventi hanno probabilità diversa da 0.
    • +
  • In cui tutti gli eventi sono mutualmente esclusivi.
    • +
  • In cui l'unione di tutti i suoi elementi copre lo spazio campionario.
    • +
+

+ La partizione {r`E_i`} è composta dagli + eventi {r`E_1`}, {r`E_2`}, {r`E_3`}, fino + a {r`E_n`}. +

+ + Se lo spazio campionario fosse una torta, una sua partizione sarebbe l'insieme delle + fette di uno dei modi in cui si potrebbe tagliare. + + +
+
+ +

+ La probabilità di un evento è un numero tra 0 e 1. +

+

+ {r`\forall E \in \mathcal{F}, 0 \leq P(E) \leq 1`} +

+ + +

+ La probabilità dello spazio campionario è sempre 1. +

+

+ {r`P(\Omega) = 1`} +

+ + +

+ La probabilità dell'unione di eventi indipendenti è uguale alla somma delle loro + probabilità. +

+

+ {r`P \left ( \bigcup_i E_i \right ) = \sum_i P ( E_i )`} +

+ +
+
+ +

+ La probabilità di un evento negato è uguale a 1 meno la probabilità dell'evento non + negato. +

+

+ {r`P(\bar{E}) = 1 - P({E})`} +

+ + +

+ La probabilità di un evento incluso in un altro è sempre minore o uguale alla + probabilità dell'evento in cui è incluso. +

+

+ {r`F \subseteq E \implies P(F) \leq P(E)`} +

+ + +

+ La probabilità di un evento unito a un altro è uguale alla somma delle probabilità dei + due eventi meno la probabilità della loro intersezione. +

+

+ {r`P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)`} +

+ + Sommando le probabilità dei due eventi, l'intersezione viene contata due volte, e va + quindi rimossa! + + +
+
+ +

+ Spazi campionari in cui ci sono un numero finito di esiti e ogni esito ha la stessa + probabilità di verificarsi. +

+

+ {r`P(E) = \frac{len(E)}{len(\Omega)}`} +

+ + +

+ Gli spazi campionari possono avere un numero infinito di esiti: sono equiprobabili + geometrici se nessun esito è privilegiato rispetto agli altri. +

+ +
+
+ +

+ Estraggo un numero, da un sacchetto con n numeri, mi segno che numero ho + estratto e lo tengo fuori dal sacchetto. Ripeto per k volte. +

+

+ Tengo conto dell'ordine in cui ho estratto i numeri. +

+

+ {r`\boldsymbol{D}_{n, k} = \frac{n!}{(n - k)!}`} +

+ + +

+ Estraggo un numero, da un sacchetto con n numeri, mi segno che numero ho + estratto e lo rimetto nel sacchetto. Ripeto per k volte. +

+

+ Tengo conto dell'ordine in cui ho estratto i numeri. +

+

+ {r`\boldsymbol{D}^{r}_{n, k} = n^k`} +

+ + +

+ Estraggo un numero, da un sacchetto con n numeri, mi segno che numero ho + estratto e lo tengo fuori dal sacchetto. Ripeto per k volte. +

+

+ Non mi interessa l'ordine in cui ho estratto i numeri. +

+

+ {r`\boldsymbol{C}_{n, k} = \binom{n}{k} = \frac{n!}{(k)! \cdot (n - k)!}`} +

+ + +

+ Estraggo un numero, da un sacchetto con n numeri, mi segno che numero ho + estratto e lo rimetto nel sacchetto. Ripeto per k volte. +

+

+ Non mi interessa l'ordine in cui ho estratto i numeri. +

+

+ {r`\boldsymbol{C}^{r}_{n, k} = \binom{n + k - 1}{k} = \frac{(n + k - 1)!}{(k)! \cdot (n - 1)!}`} +

+ + +

+ Estraggo n numeri e guardo in quanti ordini diversi li posso mettere. +

+

+ {r`\boldsymbol{P}_n = n!`} +

+ +
+
+ + + "E dato F" + +

+ La probabilità che si verifichi E sapendo che si è già verificato + F. +

+

+ {r`P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)}`} +

+ + Ricorda vagamente le pipe di bash, però al contrario... + + + +

+ Se due eventi sono mutualmente esclusivi, entrambe le loro probabilità condizionate + saranno uguali a 0. +

+

+ {r`E \cap F = \emptyset \Longleftrightarrow P(E|F) = P(F|E) = 0`} +

+ +
+
+ +

+ Si può sfruttare la formula inversa della probabilità condizionata per calcolare catene + di intersezioni: +

+

+ {r`P(E_1 \cap \times \cap E_n) = P(E_1) \times P(E_2 | E_1) \times \dots \times P(E_n | E_1 \cap E_2 \cap \dots \cap E_{n-1})`} +

+ +
+
+ +

+ La probabilità che si verifichi un evento è pari alla somma delle probabilità + dell'evento stesso dati tutti gli eventi di una partizione. +

+

+ {r`P(F) = \sum_{i} P(F|E_i) \cdot P(E_i)`} +

+ + +

+ La legge delle alternative funziona anche quando ad essere partizionato è + un evento: +

+

+ {r`P(F|G) = \sum_i P(F|E_i \cap G) \cdot P(E_i | G)`} +

+ + +

+ Tramite la formula di Bayes possiamo risalire alla probabilità di un evento + condizionato a un altro partendo dalla probabilità di quest'ultimo condizionato al + primo: +

+

+ {r`P(E_h | F) = \frac{P(F | E_h) \cdot P(E_h)}{P(F)}`} +

+ + In pratica, invertiamo gli eventi. + + +
+
+ + + "eventi indipendenti a due a due" + +

+ Se due eventi sono indipendenti, sapere che uno dei due si è verificato non influisce + sulle probabilità che si sia verificato l'altro. +

+

+ {r`P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F) \Longleftrightarrow P(E|F) = P(E) \Longleftrightarrow P(F|E) = P(F)`} +

+ + + + "eventi indipendenti a tre a tre, a quattro a quattro, a cinque a cinque..." + +

+ Si può verificare l'indipendenza di più eventi alla volta: +

+

+ {r`P(E \cap F \cap G) = P(E) \cdot P(F) \cdot P(G)`} +

+

+ Eventi indipendenti a due a due non sono per forza indipendenti a tre a tre, e + viceversa. +

+ + +

+ Un insieme di n eventi è una famiglia di eventi indipendenti se, + preso un qualsiasi numero di eventi da essa, essi risulteranno indipendenti. +

+ + Tutti gli eventi provenienti da essa saranno indipendenti sia a due a due, sia a tre a + tre, sia a quattro a quattro, e così via! + + +
+
+ +

+ Una funzione che fa corrispondere un numero reale a ogni possibile esito dello spazio + campionario. {r`X(\omega) : \Omega \to \mathbb{R}`}. +

+ + Insieme di ripartizione}> +

+ Ad ogni variabile aleatoria sono associati gli + eventi {r`A_t = \{ \omega | X(\omega) \leq t \}`}, che contengono tutti + gli esiti a cui la variabile aleatoria associa un valore minore o uguale + a t. +

+

+ Per definizione, tutte le variabili aleatorie devono rispettare questa condizione: +

+

+ {r`\forall t \in \mathbb{R}, A_t \in \mathcal{F}`} +

+ + All'aumentare di t, l'insieme conterrà sempre più elementi. + + + + + "supporto di X" + +

+ Il codominio della variabile aleatoria è il suo supporto. +

+

+ Per indicare che un valore x_0 appartiene al supporto di X, + si usa la notazione X \mapsto x_0. +

+ +
+
+ +

+ La funzione probabilità {r`p_X : X \to [0, 1]`} di una variabile + aleatoria discreta X è la funzione che associa ad ogni esito la + sua probabilità: +

+

+ {r` + p_X (x) = \begin{cases} + P([X = x]) \quad se\ X \mapsto x \\ + 0 \qquad \qquad \quad se\ X \not\mapsto x + \end{cases} + `} +

+ + +

+ La funzione densità {r`f_X : X \to [0, 1]`} di una variabile + aleatoria continua X è l'equivalente continuo della funzione + probabilità: +

+

+ {r`P([a < X \leq b]) = \int_a^b f_X (x) dx`} +

+

+ A differenza della funzione probabilità, è possibile che la funzione densità non + esista per una certa variabile aleatoria. +

+ + Rappresenta "quanta" probabilità c'è in un'unità di x! + + +
+
+ +

+ Ogni variabile aleatoria ha una funzione di ripartizione + {r`F_X : \mathbb{R} \to [0, 1]`} associata, che rappresenta la + probabilità che la variabile aleatoria assuma un valore minore o uguale + a t: +

+

+ Si può dire che essa rappresenti la probabilità dell'evento {r`A_t`}: +

+

+ {r` + F_X (t) = P(A_t) = \begin{cases} + \sum_{i = 0}^{t} p_X (x_i) \quad nel\ discreto\\ + \\ + \int_{-\infty}^t f_X (x) dx \quad nel\ continuo + \end{cases} + `} +

+ + +
    +
  • È sempre monotona crescente (non strettamente).
    • +
    +
  • Vale 0 a -\infty e 1 a +\infty.
    • +
    +
  • È continua da + destra: {r`\forall x_0 \in \mathbb{R}, F_X (x_0) = \lim_{t \to x^+_0} F_X (t)`} +
    • +
+ + +

+ Possiamo usare la funzione di ripartizione per calcolare la probabilità di un certo + valore reale: +

+

+ {r`P([X = x_0]) = \lim_{t \to x^+_0} F_X (t) - \lim_{t \to x^-_0} F_X (t)`} +

+ +
+
+ +

+ Nel discreto basta abbinare un nuovo valore a ogni valore della variabile originale. +

+ + +

+ Nel continuo applichiamo la formula dell'integrazione per sostituzione: +

+

+ {r`f_Y (y) = \int_{g(a)}^{g(b)} f_X ( g^{-1} (x) ) g^{-2} (x)`} +

+ + +

+ Trasformare variabili aleatorie è molto utile nell'informatica per creare distribuzioni + partendo da una funzione random() che + restituisce numeri da 0 a 1 con una distribuzione lineare. +

+ +
+
+ +

+ Ogni variabile aleatoria che ha una funzione di ripartizione e un supporto + finito ha anche una media (o valore medio o atteso): +

+

+ {r`E(X) = \int_0^{+infty} (1 - F_X (t)) dt - \int_{-\infty}^{0} F_X (t) dt`} +

+

+ Nel discreto, si può calcolare con: +

+

+ {r`E(X) = \sum_i P(X = x_i) \cdot x_i`} +

+

+ Nel continuo, si può calcolare con: +

+

+ {r`E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X (x) \cdot x \cdot dx`} +

+ +
+
+ +

+ Valore per cui la funzione probabilità o funzione densità è massima. +

+ + +

+ Il quantile {r`x_{\alpha}`} di + ordine {r`0 \leq \alpha \leq 1`} della variabile + aleatoria X è il più piccolo numero tale che: +

+

+ {r`P([X < x_{\alpha}]) \leq \alpha \leq P([X \leq x_{\alpha}])`} +

+

+ +

+

+ Il quantile di ordine 0.5 {r`x_{0.5}`} è detto mediana. +

+

+ I quantili di ordine 0.25 {r`x_{0.25}`} e + 0.75 {r`x_{0.75}`} sono detti quartili. +

+

+ I quantili di ordine {r`\frac{n}{100}`} sono detti n-esima + percentile. +

+ + +

+ È un valore che indica quanto la variabile aleatoria si discosta generalmente dalla + media: +

+

+ {r`Var(X) = E( (X - E(X) )^2 ) = E ( X^2 ) - (E(X))^2`} +

+ +
+
+ +

+ Data una variabile aleatoria non-negativa: +

+

+ {r`\forall k > 0, P([X \geq k]) \leq \frac{E(X)}{k}`} +

+

+ Divide in due parti ({r`P(X < k)`} e {r`P(X \geq k)`}) la + funzione X, la cui media risulterà uguale a: +

+

+ {r`E(X) = \overline{k} \cdot P(X < k) + k \cdot P(X \geq k)`} +

+ + + + "disuguaglianza di cebicev" + +

+ Se la variabile aleatoria X ha media e varianza, allora la probabilità + che essa abbia un valore a più di {r`\epsilon`} di distanza dal valore + medio è minore o uguale a {r`\frac{Var(X)}{\epsilon^2}`}. +

+

+ {r`\forall \epsilon > 0, P([ \left| X - E(X) \right| \geq \epsilon]) \leq \frac{Var(X)}{\epsilon^2}`} +

+

+ E anche: +

+

+ {r`\forall \epsilon > 0, P([ \left| X - E(X) \right| < \epsilon]) \geq 1 - \frac{Var(X)}{\epsilon^2}`} +

+ + Serve per semplificare i calcoli quando la funzione di ripartizione è difficile da + calcolare! + + +
+
+ +

+ Il momento k-esimo di una variabile aleatoria è: +

+

+ {r` + \mu_k = E ( X^k ) = \begin{cases} + \sum_i x_i^k p_X (x_i) \qquad nel\ discreto\\ + \\ + \int_{-\infty}^{+\infty} x^k f_X (x) dx \qquad nel\ continuo + \end{cases}` + } +

+ + La media di una variabile aleatoria è anche il suo primo momento. + + + +

+ La funzione generatrice dei momenti è: +

+

+ {r`m_X (t) = E( e^{t \cdot X} )`} +

+

+ Se due variabile aleatorie hanno la stessa funzione generatrice dei momenti, allora esse + hanno la stessa distribuzione. +

+

+ E' la trasformata di Laplace della variabile aleatoria di X. +

+ + +

+ La funzione caratteristica è: +

+

+ {r`H_X (t) = E ( e^{i \cdot t \cdot X} )`} +

+

+ Se due variabile aleatorie hanno la stessa funzione caratteristica, allora esse hanno + la stessa distribuzione. +

+

+ E' la trasformata di Fourier della variabile aleatoria di X. +

+ +
+
+ +

+ Per dire che una variabile ha una certa distribuzione, si usa la notazione: +

+

+ {r`X \sim Distribuzione()`} +

+ + +

+ Una prova con solo due possibili + esiti: successo e insuccesso. +

+ + +

+ Una sequenza di prove di Bernoulli per le quali le probabilità di successo e fallimento + rimangono invariate. +

+ +
+
+ +

+ Una variabile aleatoria che rappresenta una prova di Bernoulli: +

+
    +
  • vale 1 in caso di successo.
    • +
  • vale 0 in caso di insuccesso.
    • +
+

+ Il suo simbolo è {r`Ber(p)`} +

+ + +

+ La distribuzione bernoulliana ha come densità: +

+

+ {r` + f_X (k) : \{0, 1\} = \begin{cases} + p \quad se\ k = 1\\ + q \quad se\ k = 0\\ + 0 \quad altrimenti + \end{cases} = p^x \cdot q^{1 - k}` + } +

+ +
+
+ +

+ Una variabile aleatoria che conta il numero di successi di n prove di uno + schema di Bernoulli. +

+

+ Il suo simbolo è {r`Bin(n, p)`}. +

+ + +

+ La binomiale ha come densità: +

+

+ {r`f_X (k) : \{0..n\} = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n - k}`} +

+ + +

+ La funzione generatrice dei momenti della binomiale è: +

+

+ {r`m_X (t) = (q + p \cdot e^t) ^ n`} +

+

+ La media di una binomiale è: +

+

+ {r`E(X) = n \cdot p`} +

+

+ La varianza di una binomiale è: +

+

+ {r`Var(X) = n \cdot p \cdot q`} +

+ +
+
+ +

+ Una variabile aleatoria che conta il numero di prove in uno schema di Bernoulli fino + alla comparsa del primo successo. +

+

+ Il suo simbolo è Geo(p). +

+ + +

+ La geometrica ha come densità: +

+

+ {r`f_X (k) : \mathbb{N} = q^{k - 1} p`} +

+ + +

+ La funzione generatrice dei momenti della geometrica è: +

+

+ {r`m_X (t) = \frac{p \cdot e^t}{1 - q \cdot e^t}`} +

+

+ La media della geometrica è: +

+

+ {r`E(X) = \frac{1}{p}`} +

+

+ La varianza della geometrica è: +

+

+ {r`Var(X) = \frac{q}{p^2}`} +

+ + +

+ La geometrica non tiene conto degli eventi avvenuti in passato: ha la proprietà + dell'assenza di memoria: +

+

+ {r`P([X = i + j | X > i ]) = P([X = j])`} +

+ + Ovvero, riscalando opportunamente l'asse Y posso prendere come 0 qualsiasi punto + dell'asse X. + + +
+
+ +

+ Una variabile aleatoria che conta il numero di prove in uno schema di Bernoulli + necessarie perchè si verifichi l'n-esimo successo. +

+

+ Il suo simbolo è {r`\overline{Bin}(n, p)`}. +

+ + +

+ La binomiale negativa ha come densità: +

+

+ {r`f_X (k) : \{ n .. +\infty \} \in \mathbb{N} = \binom{k - 1}{n - 1} \cdot p^n \cdot q^{k - n} `} +

+ + +

+

+ La funzione generatrice dei momenti della binomiale negativa è: +

+

+ {r`m_X (t) : \{ t < ln(\frac{1}{q}) \} = \left( \frac{p \cdot e^t}{1 - q \cdot e^t} \right) ^n`} +

+

+ La media della binomiale negativa è: +

+

+ {r`E(X) = \frac{n}{p}`} +

+

+ La varianza della binomiale negativa è: +

+

+ {r`Var(X) = \frac{n \cdot q}{p^2}`} +

+

+ +
+
+ +

+ Una variabile aleatoria che conta il numero k di insuccessi consecutivi + in uno schema di Bernoulli: +

+

+ Il suo simbolo rimane {r`Geo(p)`}. +

+ + +

+ La geometrica traslata ha come densità: +

+

+ {r`f_X (k) : \mathbb{N} = p \cdot q^k `} +

+ + +

+ La funzione generatrice dei momenti della geometrica traslata è: +

+

+ {r`m_X (t) : \left\{ t < ln \left( \frac{1}{q} \right) \right\} = \frac{p}{1 - q \cdot e^t}`} +

+

+ La media della geometrica traslata è: +

+

+ {r`E(X) = \frac{q}{p}`} +

+

+ La varianza della geometrica è: +

+

+ {r`Var(X) = \frac{q}{p^2}`} +

+ + +

+ La geometrica traslata non tiene conto degli eventi avvenuti in passato: ha la proprietà + dell'assenza di memoria: +

+

+ {r`P([X = i + j | X > i ]) = P([X = j])`} +

+ + Ovvero, riscalando opportunamente l'asse Y posso prendere come 0 qualsiasi punto + dell'asse X. + + +
+
+ +

+ Una variabile aleatoria che conta il numero di insuccessi in uno schema di Bernoulli + prima che si verifichi l'n-esimo successo. +

+

+ Il suo simbolo rimane {r`\overline{Bin}(n, p)`}. +

+ + +

+ La binomiale negativa traslata ha come densità: +

+

+ {r`f_X (k) : \mathbb{N} = \binom{k + n - 1}{n - 1} \cdot p^n \cdot q^k `} +

+ + +

+

+ La funzione generatrice dei momenti della binomiale negativa traslata è: +

+

+ {r`m_X (t) : \left\{ t < ln \left( \frac{1}{q} \right) \right\} = \left( \frac{p \cdot e^t}{1 - q \cdot e^t} \right) ^n`} +

+

+ La media della binomiale negativa traslata è: +

+

+ {r`E(X) = \frac{n \cdot q}{p}`} +

+

+ La varianza della binomiale negativa traslata è: +

+

+ {r`Var(X) = \frac{n \cdot q}{p^2}`} +

+

+ +
+
+ +

+ Una variabile aleatoria che, sapendo il numero di successi K e di + insuccessi N-K, conta quanti successi si otterrebbero se se ne + estraessero n in blocco. +

+

+ Il suo simbolo è Ipe(N, K, n). +

+ + +

+ La ipergeometrica ha come densità: +

+

+ {r`f_X (k) : \{0..n\} \in \mathbb{N} = \frac{\binom{K}{k} \cdot \binom{N - K}{n - k}}{\binom{N}{n}}`} +

+ + +

+

+ La funzione generatrice dei momenti della ipergeometrica è trascurabile. +

+

+ La media della ipergeometrica è: +

+

+ {r`E(X) = n \cdot \frac{K}{N}`} +

+

+ La varianza della ipergeometrica è: +

+

+ {r`Var(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \frac{N - K}{N} \cdot \frac{N - n}{N - 1}`} +

+

+ +
+
+ +

+ Una variabile aleatoria che soddisfa tutte le seguenti caratteristiche: +

+
    +
  • Binomiale: {r`X \sim Bin(n, p)`}
    • +
  • Il numero di prove tende a infinito: {r`n \to +\infty`}
    • +
  • La probabilità di successo tende a 0: {r`p \to 0`}
    • +
  • La media è finita: {r`E(X) = n \cdot p \to \mu \neq 0`}
    • +
+

+ Il suo simbolo è {r`Poi(\mu)`} +

+ + +

+ La poissoniana ha come densità: +

+

+ {r`f_X (k) : \mathbb{N} = \frac{e^{-\mu} \cdot \mu^k}{k!}`} +

+ + +

+

+ La funzione generatrice dei momenti della poissoniana è: +

+

+ {r`m_X (t) = e^{\mu \cdot (e^t - 1)}`} +

+

+ La media della poissoniana è: +

+

+ {r`E(X) = \mu`} +

+

+ La varianza della poissoniana è: +

+

+ {r`Var(X) = \mu`} +

+

+ Gli altri momenti della poissoniana sono: +

+
    +
  1. {r`E(X^2) = \mu^2 + \mu`}
    2. +
+

+ +
+
+ +

+ Una successione di arrivi avvenuti in un certo arco temporale che: +

+
    +
  • non sono sovrapposti.
    • +
  • hanno intensità {r`\lambda`} costante.
    • +
  • avvengono indipendentemente gli uni dagli altri.
    • +
+ + +

+ Una variabile aleatoria N_t che conta il numero di arrivi di uno schema + di Poisson di intensità {r`\lambda`} in un intervallo di tempo di + durata t. +

+

+ E' una distribuzione poissoniana + con {r`\mu = t \cdot \lambda`}: {r`Poi(t \cdot \lambda)`} +

+ + E' paragonabile a una bernoulliana: ogni successo corrisponde a un arrivo, mentre il + tempo è il numero di prove effettuate (ma nel continuo). + + +
+
+ +

+ Una variabile aleatoria che conta il tempo diwidehattesa prima del primo arrivo di un + processo di Poisson di intensità {r`\lambda`}. +

+

+ Il suo simbolo è {r`Esp(\lambda)`}. +

+ + +

+ L'esponenziale ha come densità: +

+

+ {r` + f_X (x) = \begin{cases} + 0 \qquad \qquad x < 0\\ + \lambda \cdot e^{-\lambda \cdot x} \quad x > 0 + \end{cases}` + } +

+

+ L'esponenziale ha come funzione di ripartizione: +

+

+ {r` + F_X (t) = \begin{cases} + 0 \qquad \qquad t < 0\\ + 1 - e^{-\lambda \cdot t} \quad t \geq 0 + \end{cases}` + } +

+ + +

+ La funzione generatrice dei momenti dell'esponenziale è: +

+

+ {r`m_X (t) : \{ t | t < \lambda \} \in \mathbb{R} = \frac{\lambda}{\lambda - t}`} +

+

+ La media dell'esponenziale è: +

+

+ {r`E(X) = \frac{1}{\lambda}`} +

+

+ La varianza dell'esponenziale è: +

+

+ {r`Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}`} +

+ + +

+ L'esponenziale non tiene conto degli eventi avvenuti in passato: ha la proprietà + dell'assenza di memoria: +

+

+ {r`P([X > s + t | X > s]) = P([X > t])`} +

+ + Ovvero, riscalando opportunamente l'asse Y posso prendere come 0 qualsiasi punto + dell'asse X. + + +
+
+ +

+ Una variabile aleatoria che conta il tempo diwidehattesa prima dell'n-esimo + arrivo di un processo di Poisson di intensità {r`\lambda`}. +

+

+ Il suo simbolo è {r`\Gamma(n, \lambda)`}. +

+ + +

+ La legge gamma ha come densità: +

+

+ {r` + f_X (x) = \begin{cases} + 0 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x < 0\\ + \frac{1}{(n-1)!} \cdot \lambda^n \cdot x^{n-1} \cdot e^{-\lambda \cdot x} \quad k > 0 + \end{cases}` + } +

+ + +

+

+ La funzione generatrice dei momenti della legge gamma è: +

+

+ {r`m_X (t) : ( t < \lambda ) \in \mathbb{R} = \left( \frac{\lambda}{\lambda - t} \right) ^\alpha`} +

+

+ La media della legge gamma è: +

+

+ {r`E(X) = \frac{\alpha}{\lambda}`} +

+

+ La varianza della legge gamma è: +

+

+ {r`Var(X) = \frac{\alpha}{\lambda^2}`} +

+

+ +
+
+ +

+ Una variabile aleatoria che può assumere qualsiasi valore in un + intervallo {r`[a, b]`} in modo equiprobabile. +

+

+ Il suo simbolo è {r`Uni(a, b)`} +

+

+ Su di essa vale la seguente proprietà: +

+

+ {r`P(X \in (c, d)) = \frac{d - c}{b - a}`} +

+ + +

+ La distribuzione uniforme ha come densità: +

+

+ {r` + f_X (x) = \begin{cases} + \frac{1}{b - a} \qquad a \leq x \leq b\\ + 0 \qquad \quad altrimenti + \end{cases} + `} +

+

+ La distribuzione uniforme ha come funzione di ripartizione: +

+

+ {r` + f_X (x) = \begin{cases} + 0 \qquad \quad x < a + \frac{1}{b - a} \qquad a \leq x \leq b\\ + 1 \qquad \quad x > b + \end{cases}` + } +

+ + +

+

+ La funzione generatrice dei momenti della distribuzione uniforme è: +

+

+ {r`m_X (t) = \frac{e^{b \cdot t} - e^{a \cdot t}}{(b - a) \cdot t}`} +

+

+ La media della distribuzione uniforme è: +

+

+ {r`E(X) = \frac{a + b}{2}`} +

+

+ La varianza della distribuzione uniforme è: +

+

+ {r`Var(X) = \frac{(b - a)^2}{12}`} +

+

+ +
+
+ +

+ Una variabile aleatoria con una specifica distribuzione. +

+

+ Il suo simbolo è {r`Nor(\mu, \sigma^2)`}. +

+ + \mu e \sigma^2 sono rispettivamente la media e la varianza + della distribuzione! + + + +

+ La distribuzione normale ha come densità: +

+

+ {r`f_X (x) = \frac{e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}}}{\sqrt{2 \pi \cdot \sigma^2}}`} +

+ + +

+

+ La funzione generatrice dei momenti della distribuzione normale è: +

+

+ {r`m_X (t) = e^{\mu \cdot t + \frac{\sigma^2 \cdot t^2}{2}}`} +

+

+ La media della distribuzione normale è: +

+

+ {r`E(X) = \mu`} +

+

+ La varianza della distribuzione normale è: +

+

+ {r`Var(X) = \sigma^2`} +

+

+ +
+
+ +

+ Qualsiasi normale può essere trasformata in qualsiasi altra normale: +

+

+ {r`X \sim Nor(m, v^2) \implies \alpha X + \beta \sim Nor(\alpha m + \beta, (\alpha v)^2)`} +

+ + +

+ La distribuzione normale standard Z è: +

+

+ Z \sim Nor(0, 1) +

+

+ La sua funzione di ripartizione è detta {r`\phi(z)`} e vale: +

+

+ {r`F_Z(z) = \phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-\frac{x^2}{2}} dx`} +

+ + +

+ Da un quantile {r`z_\alpha`} della normale standard è possibile risalire + allo stesso quantile di qualsiasi altra normale: +

+

+ {r`x_\alpha = \mu + z_\alpha \cdot \sqrt{\sigma^2}`} +

+ +
+
+ +

+ La distribuzione normale ha una particolare relazione con la distribuzione Gamma: +

+

+ {r`Z^2 \sim \chi^2 (v = 1)`} +

+ + + + "chi-quadro a un grado di libertà" + +

+ Esiste una distribuzione Gamma particolare: +

+

+ {r`\Gamma \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right) = \chi^2 (v = 1)`} +

+

+ Più chi-quadro possono essere sommate per aumentare i loro gradi di libertà: +

+

+ {r`\chi^2 (n) + \chi^2 (m) = \chi^2 (n + m)`} +

+ + +

+ Un'altra funzione particolare è la funzione T di Student: +

+

+ {r`T(v) = \frac{Nor(0, 1)}{\sqrt{\frac{\chi^2(v)}{v}}}`} +

+ +
+
+ +

+ La binomiale è come una ipergeometrica ma con ripetizioni, quindi per valori molto + grandi di N rispetto a n, si può dire che: +

+

+ {r`Ipe(N, K, n) \approx Bin(n, \frac{K}{N})`} +

+ + +

+ La binomiale non è altro che una poissoniana a tempo discreto, quindi, + se n è grande e n \cdot p è nell'ordine di grandezza delle + unità, allora: +

+

+ {r`Bin(n, p) \approx Poi(n \cdot p)`} +

+ + +

+ Per il Teorema di De Moivre-Laplace, se una binomiale ha una n grande + e p non vicina a 0 o 1, si può approssimare con: +

+

+ {r`Bin(n, p) \approx Nor(n \cdot p, n \cdot p \cdot q)`} +

+ + +

+ Passando da una variabile discreta X a una continua Y, per + ogni valore discreto k la probabilità viene "spalmata" su tutto + l'intervallo {r`(k - \frac{1}{2}, k + \frac{1}{2})`}: +

+
    +
  • {r`P(X < k) \simeq P(Y \leq k - \frac{1}{2})`}
    • +
  • {r`P(X \leq k) \simeq P(Y \leq k + \frac{1}{2})`}
    • +
  • {r`P(X \geq k) \simeq P(Y \geq k - \frac{1}{2})`}
    • +
  • {r`P(X > k) \simeq P(Y \geq k + \frac{1}{2})`}
    • +
+ +
+
+ +

+ Un vettore composto da variabili aleatorie. +

+

+ Il suo simbolo generalmente + è {r`\boldsymbol{X}`} oppure {r`X, Y`}. +

+ + +

+ I vettori aleatori hanno più funzioni di ripartizione che si differenziano in base al + numero di parametri. +

+

+ Se il numero di parametri coincide con la dimensione del vettore aleatorio, allora la + funzione sarà una funzione di ripartizione congiunta: +

+

+ {r`F_{X, Y} (x, y) = P(X \leq x, Y \leq y)`} +

+

+ Se il numero di parametri è minore della dimensione del vettore aleatorio, allora la + funzione sarà una funzione di ripartizione marginale: +

+

+ {r`F_X (x) = P(X \leq x) = \lim_{y \to +\infty} F_{X, Y} (x, y)`} +

+ + +

+ I vettori aleatori discreti hanno più densità che si differenziano in base al + numero di parametri. +

+

+ Se il numero di parametri coincide con la dimensione del vettore aleatorio, allora la + funzione sarà una densità congiunta: +

+

+ {r`p_{X, Y} (x, y) = P(X = x, Y = y)`} +

+

+ Se il numero di parametri è minore della dimensione del vettore aleatorio, allora la + funzione sarà una densità marginale: +

+

+ {r`p_X (x) = \sum_j p_{X, Y} (x_i, y_j)`} +

+ +
+
+ +

+ Più variabili aleatorie sono indipendenti se, per qualsiasi scelta di + intervalli A_i: +

+

+ {r`P(X_1 \in A_1, \dots, X_n \in A_n) = P(X_1 \in A_1) \times \dots \times P(X_n \in A_n)`} +

+ + +

+ E' possibile calcolare la media di qualsiasi funzione g(X, Y) avente + elementi del vettore come variabili: +

+

+ {r`E(g(X, Y)) = \sum_{i, j} g(x_i, y_i) \cdot p_{X, Y} (x_i, y_i)`} +

+ + Solitamente si calcola la media di x \cdot y. + +

+ Le medie di più variabili aleatorie si possono sommare: +

+

+ {r`E(X + Y) = E(X) + E(Y)`} +

+ +
+
+ +

+ Un operatore che misura la correlazione di due variabili aleatorie. +

+

+ Si calcola con il valore atteso dei prodotti delle distanze dalla media: +

+

+ {r`Cov(X, Y) = E((X - E(X) \cdot (Y - E(Y)) = E(XY) - E(X) \cdot E(Y)`} +

+

+ Ha diverse proprietà: +

+
    +
  • Il suo valore nullo è 0: {r`Cov(X, \alpha) = 0`}
    • +
  • E' commutativa: {r`Cov(X, Y) = Cov(Y, X)`}
    • +
  • E' semplificabile: {r`Cov(X, X) = Var(X)`}
    • +
  • E' lineare: {r`Cov(\alpha X, \beta Y) = \alpha \cdot \beta \cdot Cov(X, Y)`} +
    • +
  • E' distributiva: {r`Cov(X + Y, V + W) = Cov(X, Y) + Cov(X, W) + Cov(Y, V) + Cov(Y, W)`} +
    • +
+ + +

+ Due variabili sono variabili incorrelate se: +

+

+ {r`Cov(X, Y) = 0`} +

+

+ Variabili indipendenti sono sempre incorrelate. +

+ + +

+ Una matrice {r`\boldsymbol{C_X}`} che contiene la covarianza tra tutte le + variabili di un vettore aleatorio {r`\boldsymbol{X}`}: +

+

+ {r` + \boldsymbol{C_X} = + \begin{bmatrix} + Var(X_1) & Cov(X_1, X_2) & Cov(X_1, X_3)\\ + Cov(X_2, X_1) & Var(X_2) & Cov(X_2, X_3)\\ + Cov(X_3, X_1) & Cov(X_3, X_2) & Var(X_3) + \end{bmatrix} + `} +

+

+ E' sempre simmetrica e semidefinita positiva (tutti gli autovalori sono \geq + 0. +

+ + +

+ Un valore che misura come due variabili aleatorie sono correlate: +

+

+ {r`\rho_{X, Y} = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{Var(X)} \cdot \sqrt{Var(Y)}}`} +

+

+ E' sempre compreso tra -1 e 1: +

+

+ {r`-1 \leq \rho_{X, Y} \leq 1`} +

+

+ Vale esattamente -1 o 1 solo se esiste un legame lineare tra le due variaibli: +

+

+ {r`Y = a X + b \Longleftrightarrow | \rho_{X, Y} | = 1`} +

+ + +

+ La varianza di due variabili aleatorie sommate è: +

+

+ {r`Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 \cdot Cov(X, Y)`} +

+ + Si dimostra applicando le proprietà della covarianza! + +

+ Se più variabili + aleatorie X_i sono indipendenti ({r`Cov(X, Y) = 0`}), + allora: +

+

+ {r`Var \left( \sum_i X_i \right) = \sum_i Var(X_i)`} +

+ +
+
+ +

+ Una n-pla di variabili aleatorie con la stessa distribuzione della variabile + aleatoria X ("popolazione") ma indipendenti tra loro. +

+ + Le variabili aleatorie sono come un lazy-load in programmazione; quando ci sarà bisogno + del loro valore numerico, esse si realizzeranno nel loro valore. + + + +

+ Il valore dato dalla media aritmetica degli n elementi del campione + elevati alla potenza k: +

+

+ {r`M^{(k)}_n = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^n X_i^k `} +

+

+ Il momento campionario di primo ordine è la media campionaria + {r`\overline{X}_n`}. +

+ + +

+ La media aritmetica dello scarto quadratico medio degli elementi del campione. +

+

+ Se è noto il valore medio {r`m = E(X)`} di X: +

+

+ {r`S_0^2 = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^n (X_i - m)^2 = M_n^(2) - 2 \cdot m \cdot \overline{X}_n + m^2`} +

+

+ Altrimenti: +

+

+ {r`S_n^2 = \frac{1}{n - 1} \cdot \sum_{i = 1}^n (X_i - \overline{X}_n)^2 = \frac{1}{n - 1} \cdot ( n \cdot M_2^{(2)} - n \cdot \overline{X}_n^2)`} +

+ +
+
+ +

+ Se calcoliamo la media della media campionaria, risulterà vero che: +

+

+ {r`E(\overline{X}_n) = E(X)`} +

+ + Quindi, è possibile usare i campioni per trovare la media di una variabile aleatoria! + + + +

+ Se calcoliamo la varianza della media campionaria, risulterà vero che: +

+

+ {r`Var(\overline{X}_n) = \frac{Var(X)}{n}`} +

+ + Quindi, possiamo stimare l'errore della media calcolata tramite campioni! + + + +

+ Se calcoliamo la media della varianza campionaria, risulterà vero che: +

+

+ {r`E(S_0^2) = E(S_n^2) = Var(X)`} +

+ + Quindi, possiamo stimare l'errore della media calcolata tramite campioni! + + +
+
+ +

+ Se la popolazione X ha una distribuzione normale + ({r`X \sim Nor(\mu, \sigma^2)`})... +

+ + +

+ ...allora sappiamo anche la distribuzione della media campionaria! +

+

+ {r`\overline{X}_n \sim Nor \left( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \right)`} +

+ + +

+ ...e anche della varianza campionaria! +

+

+ {r`S_0^2 \sim \frac{\sigma^2}{n} \cdot \chi^2 (n)`} +

+

+ {r`S_n^2 \sim \frac{\sigma^2}{n - 1} \cdot \chi^2 (n-1)`} +

+ + +

+ ...e che media campionaria e varianza campionaria sono indipendenti tra loro! +

+ +
+
+ +

+ Se la successione di variabili aleatorie X_n all'infinito ha la stessa + funzione di ripartizione della popolazione X, allora essa converge + in distribuzione. +

+

+ {`\\lim_{n \\to +\\infty} F_{X_n} (x) = F_X (x) \\implies X_n \\xrightarrow{d} X`} +

+ + +

+ Se la successione di variabili aleatorie X_n all'infinito ha la stessa + probabilità della popolazione X, allora essa converge in + probabilità. +

+

+ {`\\forall \\epsilon > 0, \\lim_{n \\to +\\infty} P( | X_n - X | < \\epsilon) = 1 \\implies X_n \\xrightarrow{p} X`} +

+ + +

+ Se la successione di variabili aleatorie X_n all'infinito ha la stessa + probabilità a della popolazione X, allora essa converge quasi + certamente. +

+

+ {`\\forall \\epsilon > 0, P \left( \\lim_{n \\to +\\infty} | X_n - X | < \\epsilon) \right) = 1 \\implies X_n \\xrightarrow{qc} X`} +

+ + +

+ Se la successione di variabili aleatorie X_n all'infinito ha la media + del quadrato della distanza tra la successione e la popolazione X uguale + a 0, allora essa converge in media quadratica. +

+

+ {`\\lim_{n \\to +\\infty} E( | X_n - X |^2 = 0 \\implies X_n \\xrightarrow{mq} X`} +

+ + +

+ {` + \\begin{matrix} + X_n \\xrightarrow{mq} X\\\\ + X_n \\xrightarrow{qc} X + \\end{matrix} \\implies X_n \\xrightarrow{p} X \\implies X_n \\xrightarrow{d} X` + } +

+

+ In più: +

+

+ {`X_n \\xrightarrow{p} x \\Longleftrightarrow X_n \\xrightarrow{d} x`} +

+ +
+
+ +

+ La successione delle medie campionarie {r`\overline{X}_n`} converge in + probabilità alla media della popolazione {r`E(X)`}, se essa esiste. +

+

+ {`\\overline{X}_n \\xrightarrow{p} X`} +

+

+ Ovvero: +

+

+ {r`\forall \epsilon > 0, \lim_{n \to +\infty} P( | \overline{X}_n - E(X) | < \epsilon) = 1`} +

+

+ {r`P( | \overline{X}_n - E(X) | < \epsilon) \to 1`} +

+ + +

+ La successione delle medie campionarie {r`\overline{X}_n`} converge + quasi certamente alla media della popolazione {r`E(X)`}, se essa + esiste. +

+

+ {`\\overline{X}_n \\xrightarrow{qc} X`} +

+

+ Ovvero: +

+

+ {r`\forall \epsilon > 0, P \left( \lim_{n \to +\infty} | \overline{X}_n - E(X) | < \epsilon \right) = 1`} +

+ + Dimostra che l'interpretazione frequentista della probabilità è valida! + + +
+
+ +

+ La successione delle medie campionarie {r`\overline{X}_n`} converge in + distribuzione a {r`Nor(0, 1) = \Phi()`}. +

+

+ {r`\overline{X}_n \approx Nor \left(E(X), \frac{Var(X)}{n} \right)`} +

+

+ Ovvero: +

+

+ {r`\forall x \in \mathbb{R}, \lim_{n \to +\infty} P \left( \frac{\overline{X}_n - E(X)}{\sqrt{\frac{Var(X)}{n}}} \leq x \right) = \Phi(x)`} +

+ +
+
+ +

+ E' una somma di bernoulliane, e quindi si approssima a una normale: +

+

+ {r`Bin(n, p) \approx Nor(n \cdot p, n \cdot p \cdot q)`} +

+ + +

+ E' una somma di geometriche, e quindi si approssima a una normale: +

+

+ {r`\overline{Bin} (n, p) \approx Nor \left( \frac{n}{p}, \frac{n \cdot (1 - p)}{p^2} \right)`} +

+ + +

+ E' una somma di altre poissoniane, e quindi si approssima a una normale: +

+

+ {r`Poi(\lambda) \approx Nor(\lambda, \lambda)`} +

+ + +

+ E' una somma di esponenziali, e quindi si approssima a una normale: +

+

+ {r`\Gamma (\alpha, \lambda) \approx Nor \left( \frac{\alpha}{\lambda}, \frac{\alpha}{\lambda^2} \right)`} +

+ + +

+ Se n è grande, allora: +

+

+ {r`Y = \sum_{i=1}^{n} X_i`} +

+ +
+
+ +

+ Per indicare parametri sconosciuti di una legge si usa \theta. +

+ + +

+ Una variabile aleatoria funzione di un campione: +

+

+ {r`T(\boldsymbol{X})`} +

+ + Ad esempio, sono statistiche media e varianza campionaria, così come il campione + stesso {r`T(\boldsymbol{X}) = \boldsymbol{X}`}. + + +
+
+ +

+ Una statistica T_n ottenuta da n osservazioni, che stimi i + parametri di una legge e sia indipendente da essi. +

+ + +

+ Uno stimatore è corretto se il suo valore atteso coincide con quello dei + parametri che stima: +

+

+ {r`E(T_n) = \theta`} +

+ + +

+ Uno stimatore è asintoticamente corretto se, per infinite osservazioni, il suo + valore atteso coincide con quello dei parametri che stima: +

+

+ {r`\lim_{n \to +\infty} E(T_n) = \theta`} +

+ + +

+ Uno stimatore è consistente in media quadratica se: +

+

+ {r`\lim_{n \to +\infty} E((T_n - \theta)^2) = 0`} +

+ + +

+ Uno stimatore è consistente in probabilità se: +

+

+ {r`\forall \epsilon > 0, \lim_{n \to +\infty} P( |T_n - \theta| < \epsilon) = 1`} +

+ + +

+ Uno stimatore è asintoticamente normale se: +

+

+ {r`\lim_{n \to +\infty} \frac{T_n - E(T_n)}{\sqrt{Var(T_n)}} \sim Nor(0, 1)`} +

+ +
+
+ +

+ Si può usare il metodo dei momenti per ottenere uno stimatore di una + popolazione X. +

+

+ Lo stimatore di {r`\theta`} così ottenuto sarà indicato aggiungendo un + cappellino e + una M a \theta: {r`\widehat{\theta}_M`} +

+

+ Visto che: +

+
    +
  • {r`\theta = g(E(X))`}
    • +
  • {r`\widehat{E(X)} = \overline{X}_n`}
    • +
+

+ Allora: +

+

+ {r`\widehat{\theta}_M = g( \overline{X}_n )`} +

+

+ Se {r`\theta`} non è esprimibile in termini di {r`E(X)`}, + si possono usare i momenti + successivi {r`M_n^2`}, {r`M_n^3`}, {r`M_n^3`}... +

+ +
+
+ +

+ Si può usare il metodo della massima verosomiglianza per ottenere uno stimatore + di una popolazione X. +

+

+ Lo stimatore di {r`\theta`} così ottenuto sarà indicato aggiungendo un + cappellino e + una L a \theta: {r`\widehat{\theta}_L`} +

+

+ Consiste nel trovare il massimo assoluto {r`\widehat{\theta}_L`} della la + funzione di verosomiglianza {r`L`}: +

+

+ {r`L(x_1, ..., x_n; \theta) = \prod_{i=1}^n f_X(x_i; \theta)`} +

+

+ Gli stimatori di massima verosomiglianza sono asintoticamente corretti, consistenti + in probabilità e asintoticamente normali. +

+ + +

+ Gli stimatori di massima verosomiglianza godono delle seguenti proprietà: +

+
    +
  • Sono asintoticamente corretti.
    • +
  • Sono consistenti in probabilità.
    • +
  • Sono asintoticamente normali.
    • +
  • Sono invarianti: {r`\widehat{g(\theta)}_L = g(\widehat{\theta}_L)`} +
    • +
+ +
+
+ +

+ Per il metodo dei momenti oppure per il metodo della massima verosomiglianza: +

+

+ {r`\widehat{p}_M = \widehat{p}_L = \overline{X}_n`} +

+ + +

+ Per il metodo dei momenti oppure per il metodo della massima verosomiglianza: +

+

+ {r`\widehat{\mu}_M = \widehat{\mu}_L = \overline{X}_n`} +

+ + +

+ Per il metodo dei momenti oppure per il metodo della massima verosomiglianza: +

+

+ {r`\widehat{\lambda}_M = \widehat{\lambda}_L = \frac{1}{\overline{X}_n}`} +

+ + +

+ Per il metodo della massima verosomiglianza: +

+
    +
  • {r`\widehat{\mu}_L = \overline{X}_n`}
    • +
    +
  • {r`\widehat{\sigma^2}_L = \frac{\sum (X_i - \overline{X}_n)^2 }{n}`} +
    • +
+ +
+
+ + + "intervallo di confidenza al 95%" + +

+ L'intervallo di valori di \theta all'interno del quale siamo "più o meno + sicuri" si trovi il valore effettivo: +

+

+ L'intervallo di confidenza a N della stima {r`\widehat{W}`} è + l'intervallo ]a, b[ tale che: +

+

+ {r`P( a < W < b ) = N`} +

+

+ Può anche essere unilatero nel caso limiti la stima in una sola direzione, + positiva o negativa. +

+ +
+
+ +

+ Se conosciamo la varianza di una normale, allora possiamo ricavare velocemente gli + intervalli di confidenza all'\alpha% con queste formule: +

+
    +
  • Intervalli + bilateri: {r`\mu \in \left[ \overline{x}_n - z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}, \overline{x}_n + z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \right]`} +
    • +
  • Intervallo unilatero da + sinistra: {r`\mu \in \left( -\infty, \overline{x}_n + z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \right]`} +
    • +
  • Intervallo unilatero da + destra: {r`\mu \in \left[ \overline{x}_n - z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}, +\infty \right)`} +
    • +
+ + +

+ Se non conosciamo la varianza di una normale, allora possiamo ricavare velocemente gli + intervalli di confidenza all'\alpha% con queste formule: +

+
    +
  • Intervalli + bilateri: {r`\mu \in \left[ \overline{x}_n - t_{1 - \frac{\alpha}{2}; n-1} \cdot \sqrt{\frac{s_n^2}{n}}, \overline{x}_n + t_{1 - \frac{\alpha}{2}; n-1} \cdot \sqrt{\frac{s_n^2}{n}} \right]`} +
    • +
  • Intervallo unilatero da + sinistra: {r`\mu \in \left( -\infty, \overline{x}_n + t_{1 - \frac{\alpha}{2}; n-1} \cdot \sqrt{\frac{s_n^2}{n}} \right]`} +
    • +
  • Intervallo unilatero da + destra: {r`\mu \in \left[ \overline{x}_n - t_{1 - \frac{\alpha}{2}; n-1} \cdot \sqrt{\frac{s_n^2}{n}}, +\infty \right)`} +
    • +
+

+ {r`t_{\alpha, v}`} è un quantile della distribuzione di Student di + parametro v. +

+ +
+
+ +

+ L'intervallo di confidenza per la proprorzione di una bernoulliana qualsiasi si ottiene + da questa formula: +

+

+ {r`p \in \left[ \overline{p} - z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{p} \cdot (1 - \overline{p})}{n+4}}, \overline{p} + z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{p} \cdot (1 - \overline{p})}{n+4}} \right]`} +

+ +
+
+ +

+ L'intervallo di confidenza per la media di una qualsiasi popolazione si ottiene da + questa formula: +

+

+ {r`m \in \left[ \overline{x}_n - z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^2_n}{n}}, \overline{x}_n + z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^2_n}{n}} \right]`} +

+ +
+ +}