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@ -380,14 +380,6 @@ export default class Statistica extends Component {
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<Latex>{r`P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)}`}</Latex>
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</p>
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</Panel>
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<Panel title={"Eventi indipendenti"}>
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<p>
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||||
Se due eventi sono indipendenti, sapere che uno dei due si è verificato non influisce sulle probabilità che si sia verificato l'altro.
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</p>
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<p>
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<Latex>{r`E, F\ indipendenti\ \Longleftrightarrow P(E|F) = P(E), P(F|E) = P(F)`}</Latex>
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</p>
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</Panel>
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<Panel title={"Eventi mutualmente esclusivi"}>
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<p>
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Se due eventi sono mutualmente esclusivi, entrambe le loro probabilità condizionate saranno uguali a 0.
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@ -465,8 +457,6 @@ export default class Statistica extends Component {
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</p>
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</Proof>
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</Theorem>
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</Split>
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<Split>
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<Panel title={"Legge condizionata delle alternative"}>
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<p>
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La legge delle alternative funziona anche per gli eventi, non solo per <Latex>{r`\Omega`}</Latex>:
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@ -475,20 +465,188 @@ export default class Statistica extends Component {
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|||
<Latex>{r`P(F|G) = \sum_i P(F|E_i \cap G) \cdot P(E_i | G)`}</Latex>
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</p>
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</Panel>
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</Split>
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<Split>
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<Theorem title={"Formula di Bayes"}>
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<Hypothesis>
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<ul>
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<li><Latex>E_i</Latex> <b>partizione</b> di <Latex>{r`\Omega`}</Latex></li>
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<li><Latex>{r`F`}</Latex> <b>evento</b> <Latex>{r`\in \Omega`}</Latex></li>
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</ul>
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</Hypothesis>
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<Thesis>
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<p>
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<Latex>{r`P(E_h | F) = \frac{P(F | E_h) \cdot P(E_h)}{P(F)}`}</Latex>
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</p>
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</Thesis>
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<Proof>
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<p>
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<Todo>TODO: ha un po' poco senso tbf</Todo>
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</p>
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<p>
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Partiamo dalla definizione di probabilità condizionata:
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</p>
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<p>
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<Latex>{r`P(E_h | F) \cdot P(F) = P(E_h \cap F) = P(F | E_h) \cdot P(E_h)`}</Latex>
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</p>
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<p>
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Spostiamo al denominatore un pezzo:
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</p>
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<p>
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<Latex>{r`P(E_h | F) = \frac{P(F | E_h) \cdot P(E_h)}{P(F)}`}</Latex>
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</p>
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<p>
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Applichiamo la legge delle alternative sul denominatore:
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</p>
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<p>
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<Latex>{r`P(E_h | F) = \frac{P(F | E_h) \cdot P(E_h)}{P(F)}`}</Latex>
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</p>
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</Proof>
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</Theorem>
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</Split>
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<Split title={"Eventi indipendenti"}>
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<Theorem title={"A due a due"}>
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<p>
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Se due eventi sono indipendenti, sapere che uno dei due si è verificato non influisce sulle probabilità che si sia verificato l'altro.
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</p>
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<p>
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<Todo>TODO: ha una dimostrazione</Todo>
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</p>
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<p>
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<Latex>{r`P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F) \Longleftrightarrow P(E|F) = P(E) \Longleftrightarrow P(F|E) = P(F)`}</Latex>
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</p>
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</Theorem>
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<Panel title={"A tre a tre"}>
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<p>
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Più eventi possono essere indipendenti tra di loro:
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</p>
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<p>
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<Latex>{r`P(E \cap F \cap G) = P(E) \cdot P(F) \cdot P(G)`}</Latex>
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</p>
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<p>
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||||
Eventi indipendenti a due a due non sono per forza indipendenti a tre a tre, e viceversa.
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</p>
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</Panel>
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<Panel title={"Famiglia di eventi indipendenti"}>
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<p>
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Un insieme di <Latex>n</Latex> eventi è una <i>famiglia di eventi indipendenti</i> se, preso un qualsiasi numero di eventi da essa, essi risulteranno indipendenti.
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</p>
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</Panel>
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</Split>
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<Split title={"Variabili aleatorie"}>
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<Panel title={"Variabile aleatoria"}>
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<p>
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Una variabile aleatoria è una funzione <Latex>{r`X(\omega) : \Omega \to \mathbb{R}`}</Latex>.
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</p>
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<p>
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||||
Essa fa corrispondere a ogni esito un numero reale.
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</p>
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<p>
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Per definizione, deve rispettare la seguente condizione:
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</p>
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<p>
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<Latex>{r`\forall t \in \mathbb{R}, \{ \omega | X(\omega) \leq t \} \in \mathcal{F}`}</Latex>
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</p>
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<p>
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||||
In particolare, l'insieme di eventi <Latex>{r`\{ \omega | X(\omega) \leq t \}`}</Latex> è a sua volta un evento detto <Latex>{r`A_t`}</Latex>, e contiene tutti gli eventi che la variabile aleatoria associa a un numero inferiore di t.
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</p>
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<p>
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||||
All'aumentare di t, l'insieme conterrà sempre più elementi.
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</p>
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<p>
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<Todo>TODO: insieme di ripartizione?</Todo>
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</p>
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</Panel>
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<Panel title={"Supporto"}>
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<p>
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Il codominio della variabile aleatoria è il suo <i>supporto</i>.
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</p>
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<p>
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<i>Per indicare che un valore <Latex>x_0</Latex> appartiene al supporto di <Latex>X</Latex>, ho usato la notazione <Latex>x_0 \leftarrow X</Latex>.</i>
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</p>
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</Panel>
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||||
</Split>
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||||
<Split title={"Funzione di ripartizione"}>
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<Panel title={"Definizione"}>
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<p>
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||||
Ogni variabile aleatoria ha una <i>funzione di ripartizione</i> <Latex>{r`F_X : \mathbb{R} \to [0, 1]`}</Latex> associata, che rappresenta la probabilità che la variabile aleatoria assuma un valore minore o uguale a <Latex>t</Latex>:
|
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</p>
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<p>
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||||
<Latex>{r`F_X (t) = P(X \leq t)`}</Latex>
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</p>
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<p>
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||||
Si può dire che essa rappresenti la probabilità dell'evento <Latex>{r`A_t`}</Latex>:
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</p>
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<p>
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<Latex>{r`F_X (t) = P(A_t)`}</Latex>
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||||
</p>
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</Panel>
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||||
<Theorem title={"Monotonia"}>
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||||
<p>
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||||
La funzione di ripartizione è sempre <b>monotona crescente</b> (non strettamente).
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</p>
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</Theorem>
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||||
<Theorem title={"Limiti infiniti"}>
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||||
<p>
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||||
La funzione di ripartizione vale 0 a <Latex>-\infty</Latex> e 1 a <Latex>+\infty</Latex>.
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||||
</p>
|
||||
</Theorem>
|
||||
<Panel title={"Probabilità di un valore"}>
|
||||
<p>
|
||||
Possiamo usare la funzione di ripartizione per calcolare la probabilità di un certo valore reale:
|
||||
</p>
|
||||
<p>
|
||||
<Latex>{r`P(X = x_0) = \lim_{t \to x^+_0} F_X (t) - \lim_{t \to x^-_0} F_X (t)`}</Latex>
|
||||
</p>
|
||||
</Panel>
|
||||
<Panel title={"Continuità"}>
|
||||
<p>
|
||||
La funzione di ripartizione è continua da destra:
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||||
</p>
|
||||
<p>
|
||||
<Latex>{r`\forall x_0 \in \mathbb{R}, F_X (x_0) = \lim_{t \to x^+_0} F_X (t)`}</Latex>
|
||||
</p>
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||||
</Panel>
|
||||
</Split>
|
||||
<Split title={"Densità"}>
|
||||
<Panel title={"Nel discreto"}>
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||||
<p>
|
||||
La <i>densità</i> <Latex>{r`p_X : X \to [0, 1]`}</Latex> di una variabile aleatoria <b>discreta</b> <Latex>X</Latex> è la funzione che rappresenta "quanta" probabilità è presente in un certo punto:
|
||||
</p>
|
||||
<p>
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||||
<Latex>{r`p_X (x) = P(X = x) = \begin{cases}
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||||
P(X = x) \quad se\ x \leftarrow X \\
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||||
0 \qquad \qquad \quad se\ x \not\leftarrow X
|
||||
\end{cases}`}</Latex>
|
||||
</p>
|
||||
</Panel>
|
||||
<Panel title={"Nel continuo"}>
|
||||
<p>
|
||||
La <i>funzione densità</i> <Latex>{r`f_X : X \to [0, 1]`}</Latex> di una variabile aleatoria <b>continua</b> <Latex>X</Latex> è la funzione che rappresenta "quanta" probabilità è presente in un certo intervallo:
|
||||
</p>
|
||||
<p>
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||||
<Latex>{r`P(a < X \leq b) = \int_a^b f_X (x) dx`}</Latex>
|
||||
</p>
|
||||
<p>
|
||||
Non esiste obbligatoriamente.
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</p>
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<p>
|
||||
<Todo>TODO: migliorare un po' qui.</Todo>
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</p>
|
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<p>
|
||||
Anche qui, <Latex>{r`x_0 \not\leftarrow X \implies f_X (x_0) = 0`}</Latex>.
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</p>
|
||||
</Panel>
|
||||
<Panel title={"Funzione di ripartizione rispetto alla densità"}>
|
||||
<p>
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||||
Possiamo definire la funzione di ripartizione rispetto alla densità e alla funzione densità:
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</p>
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<p>
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<Latex>{r`F_X (t) = \sum_{x_i \leq t} p_X (x_i)`}</Latex>
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||||
</p>
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<p>
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||||
<Latex>{r`F_X (t) = \int_{-\infty}^t f_X (x) dx`}</Latex>
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||||
</p>
|
||||
</Panel>
|
||||
</Split>
|
||||
</div>
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)
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}
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