From 0f67949dd1bfa4a53b00bdae50abbde3860c8bdd Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Stefano Pigozzi Date: Thu, 3 Feb 2022 17:43:43 +0100 Subject: [PATCH] Add more things --- components/compat1.tsx | 32 +- pages/index.tsx | 6 +- pages/year2/calcolo.tsx | 1868 + pages/year2/ottimizzazione.tsx | 1298 + pages/year2/sistemioperativi.tsx | 37 + .../05_Arzigogolo5_soluzione.md | 297 + .../year2/sistemioperativi/05_ftrace.txt | 28400 ++++++++++++++++ 7 files changed, 31932 insertions(+), 6 deletions(-) create mode 100644 pages/year2/calcolo.tsx create mode 100644 pages/year2/ottimizzazione.tsx create mode 100644 pages/year2/sistemioperativi.tsx create mode 100644 public/materials/year2/sistemioperativi/05_Arzigogolo5_soluzione.md create mode 100644 public/materials/year2/sistemioperativi/05_ftrace.txt diff --git a/components/compat1.tsx b/components/compat1.tsx index c3c1ce7..645e697 100644 --- a/components/compat1.tsx +++ b/components/compat1.tsx @@ -16,9 +16,9 @@ export const Split = ({title = undefined, children}) => { } export const Section = Split -export const Box = ({title = undefined, children}) => { +export const Box = ({title = undefined, children, color = undefined}) => { return ( - + {title ? {title} @@ -85,7 +85,7 @@ export const P = (props) => { export const Todo = (props) => { return ( - + ) } @@ -95,11 +95,37 @@ export const Help = ({text, ...props}) => { ) } +export const TablePanel = ({children, ...props}) => { + return ( + + + {children} +
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+            
+
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+ Calcolo numerico credo sia il corso per il quale ho realizzato il materiale più dettagliato. +

+

+ Avere tutto schematizzato mi ha permesso di apprendere facilmente tutti i concetti! +

+

+ Non ho però realizzato nessun materiale su MATLAB, in quanto esistevano già numerose guide su Internet a riguardo... +

+ + + + + +
+ +

+ Elemento neutro della moltiplicazione matriciale. +

+ + {r` + \begin{pmatrix} + {\color{Yellow} 1} & {\color{Yellow} 0} & {\color{Yellow} 0}\\ + {\color{Yellow} 0} & {\color{Yellow} 1} & {\color{Yellow} 0}\\ + {\color{Yellow} 0} & {\color{Yellow} 0} & {\color{Yellow} 1} + \end{pmatrix} + `} + + + +

+ Matrice con elementi diversi da 0 solo sulla diagonale. +

+ + {r` + \begin{pmatrix} + {\color{Yellow} 3} & {\color{Gray} 0} & {\color{Gray} 0}\\ + {\color{Gray} 0} & {\color{Yellow} 4} & {\color{Gray} 0}\\ + {\color{Gray} 0} & {\color{Gray} 0} & {\color{Yellow} 5} + \end{pmatrix} + `} + + + +

+ Matrice con elementi diversi da 0 sopra la diagonale. +

+ + {r` + \begin{pmatrix} + {\color{Yellow} 3} & {\color{Gray} 0} & {\color{Gray} 0}\\ + {\color{Orange} 4} & {\color{Yellow} 4} & {\color{Gray} 0}\\ + {\color{Orange} 5} & {\color{Orange} 5} & {\color{Yellow} 5} + \end{pmatrix} + `} + + + +

+ Matrice con elementi diversi da 0 sotto la diagonale. +

+ + {r` + \begin{pmatrix} + {\color{Yellow} 3} & {\color{Orange} 3} & {\color{Orange} 3}\\ + {\color{Gray} 0} & {\color{Yellow} 4} & {\color{Orange} 4}\\ + {\color{Gray} 0} & {\color{Gray} 0} & {\color{Yellow} 5} + \end{pmatrix} + `} + + + +

+ Matrice con determinante diverso da 0. +

+ {r`det(A) \neq 0`} +

+ Sono anche dette matrici linearmente indipendenti o matrici invertibili. +

+ + {r` + \begin{pmatrix} + {\color{Yellow} 1} & {\color{Yellow} 1} & {\color{Yellow} 2}\\ + {\color{Orange} 2} & {\color{Orange} 1} & {\color{Orange} 1}\\ + {\color{Red} 1} & {\color{Red} 2} & {\color{Red} 1} + \end{pmatrix} + `} + + + +

+ Matrice con un asse di simmetria lungo la diagonale. +

+ {r`A = A^T`} + + {r` + \begin{pmatrix} + 1 & {\color{Yellow} 2} & {\color{Orange} 4}\\ + {\color{Yellow} 2} & 3 & {\color{Red} 5}\\ + {\color{Orange} 4} & {\color{Red} 5} & 6 + \end{pmatrix} + `} + + + +

+ Matrice con un asse di simmetria lungo la diagonale; gli elementi nel triangolo superiore sono + però l'opposto di quelli del triangolo inferiore. +

+

+ Ha sempre degli 0 lungo la diagonale. +

+ {r`A = -A^T`} + + {r` + \begin{pmatrix} + {\color{Gray} 0} & {\color{Yellow} -2} & {\color{Orange} -4}\\ + {\color{Yellow} 2} & {\color{Gray} 0} & {\color{Red} -5}\\ + {\color{Orange} 4} & {\color{Red} 5} & {\color{Gray} 0} + \end{pmatrix} + `} + + + +

+ Matrice in cui i valori della diagonale sono maggiori della somma di tutti gli altri nella + riga/colonna. +

+ + {r` + \begin{pmatrix} + {\color{Orange} 9} & 1 & 2\\ + 1 & {\color{Orange} 8} & 1\\ + 1 & 2 & {\color{Orange} 7} + \end{pmatrix} + `} + + + +

+ Matrice che se moltiplicata per la sua trasposta dà come risultato la matrice identità. +

+ {r`A^T \cdot A = I`} + + {r` + \begin{pmatrix} + \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{2}{3}\\ + \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3}\\ + \frac{2}{3} & -\frac{2}{3} & -\frac{1}{3}\\ + \end{pmatrix} + `} + + + +

+ Matrice tale che: +

+ {r`A^{-1} \cdot A = I`} + + +

+ Matrice con pochissimi valori diversi da 0. +

+ + {r` + \begin{pmatrix} + {\color{Gray} 0} & 1 & {\color{Gray} 0}\\ + 1 & 1 & {\color{Gray} 0}\\ + {\color{Gray} 0} & {\color{Gray} 0} & 1 + \end{pmatrix} + `} + + + +

+ Matrice riempita di 0 eccetto per un solo 1 per riga e per colonna. +

+ + {r` + \begin{pmatrix} + {\color{Gray} 0} & {\color{Gray} 0} & 1\\ + {\color{Gray} 0} & 1 & {\color{Gray} 0}\\ + 1 & {\color{Gray} 0} & {\color{Gray} 0}\\ + \end{pmatrix} + `} + +

+ Se premoltiplicata per una matrice, ne riordina le righe; se invece postmoltiplicata, ne riordina le colonne. +

+ +

+ Premoltiplicare la matrice precedente scambia la prima e la terza righa, postmoltiplicarla scambia la prima e la terza colonna. +

+ + + +

+ Matrice di permutazione con un solo scambio. +

+

+ Sono nonsingolari, simmetriche e ortogonali. +

+ +
+
+ +

+ Funzione che associa un valore positivo a ogni vettore diverso da 0, e 0 al vettore zero. +

+ + Esempi + su Wikipedia + + + +

+ Massimo dei valori assoluti di tutti gli elementi del vettore. +

+

+ {r`\Vert x \Vert_\infty = max_{i = 1..n} | x_i |`} +

+ + +

+ Somma dei valori assoluti di tutti gli elementi del vettore. +

+

+ {r`\Vert x \Vert_1 = \sum_{i = 1}^n | x_i |`} +

+ + +

+ Radice quadrata della somma dei quadrati di tutti gli elementi del vettore. +

+

+ {r`\Vert x \Vert_2 = \sqrt{\sum_{i = 1}^n x_i^2}`} +

+ +
+
+ +

+ Funzione che associa un valore positivo a ogni matrice diversa da 0, e 0 alla matrice zero. +

+

+ Si ricavano dalle norme vettoriali: +

+

+ {r`\Vert A \Vert = sup_{x \in \mathbb{R}, x \neq 0} \frac{\Vert A \cdot x \Vert}{\Vert x \Vert}`} +

+ + sup è l'estremo superiore di un insieme. E' molto simile al massimo: ricordi le + prime lezioni di Analisi? + + + +

+ Massimo delle somme dei valori assoluti di tutti gli elementi di ogni riga di una matrice. +

+

+ {r`\Vert A \Vert_\infty = max_{i = 1..n} \sum_{j = 1}^n | a_{ij} |`} +

+ + +

+ Massimo delle somme dei valori assoluti di tutti gli elementi di ogni colonna di una matrice. +

+

+ {r`\Vert A \Vert_1 = max_{j = 1..n} \sum_{i = 1}^n | a_{ij} |`} +

+ + +

+ Radice quadrata del rango del prodotto tra una matrice e la sua trasposta. +

+

+ {r`\Vert A \Vert_2 = \sqrt{\rho ( A^T \times A ) }`} +

+ +
+
+ +

+ Funzione che associa un valore reale positivo a ogni funzione. +

+ + +

+ Valore massimo che assume la funzione nel suo dominio. +

+ {r`\| f \|_\infty = max | f(x) |`} + +
+
+ +

+ Le norme sono usate per calcolare l'errore relativo tra due vettori o matrici: +

+

+ {r`\frac{\Vert x - y \Vert}{\Vert x \Vert}`} +

+ + +

+ L'errore, ovvero la massima distanza tra due funzioni, si ottiene con: +

+ {r`\| f - g \|_\infty`} + +
+
+ +

+ Particolari algoritmi che hanno: +

+
    +
  • numeri reali in input e output
    • +
  • successioni delle quattro operazioni aritmetiche fondamentali come passi
    • +
+ +
+
+ +

+ Con i numeri floating point può capitare che un certo numero {r`\alpha`} non + sia rappresentato correttamente. +

+

+ In tal caso, il numero si indica con {r`\alpha^\star`}. +

+ +
+
+ +

+ È la differenza tra il numero desiderato e il numero rappresentato: +

+ {r`E_a = \left | \alpha - \alpha^\star \right |`} + + +

+ Indica quanto il numero rappresentato differisce dal numero desiderato: +

+ {r`\forall \alpha \neq 0, E_r = \frac{E_a}{\left | \alpha \right |}`} + +
+
+ +

+ Metodo con cui gestire gli underflow floating point: le cifre meno significative + vengono rimosse. +

+ + 
+                        1.00  →  1.0

+                        1.01  →  1.0

+                        1.10  →  1.1

+                        1.11  →  1.1
+
+ + + +

+ Metodo con cui gestire gli underflow floating point: se la cifra più significativa di + quelle che devono essere rimosse è 1, allora aumenta di 1 anche quella meno signficativa + che viene tenuta. +

+ + 
+                        1.00  →  1.0

+                        1.01  →  1.0

+                        1.10  →  1.1

+                        1.11  → 10.
+
+ + +
+
+ +

+ Un numero reale rappresentato in virgola mobile ha un errore relativo minore o + uguale alla precisione + di macchina: +

+

+ {r`\epsilon_x \leq k \cdot \beta^{1-t}`} +

+
    +
  • + \beta è uguale alla base utilizzata (solitamente 2). +
    • +
  • + t è uguale al numero di cifre della mantissa. +
    • +
  • + k è uguale a 1 se il numero viene rappresentato per + troncamento oppure a {r`\frac{1}{2}`} se viene rappresentato per + arrotondamento. +
    • +
+ + +

+ Associa un valore reale al suo corrispondente valore floating point, utilizzando uno dei + due metodi di gestione dell'undeflow. +

+ {r`fl(x) = (x)(1 + \epsilon_x)`} + + Indica che un valore è soggetto alla precisione di macchina. + {r`fl(1.11) = 1.1`} + + +
+
+ +

+ L'insieme {r`\mathbb{F}`} è il sottoinsieme dei numeri reali rappresentabili in + floating point dalla macchina che stiamo usando. +

+

+ Operazioni tra elementi di {r`\mathbb{F}`} producono risultati + in {r`\mathbb{R}`}, che però decaderanno nuovamente a elementi + di {r`\mathbb{F}`}, perdendo informazioni. +

+

+ Il teorema della precisione di macchina si applica quindi anche ai risultati delle operazioni. +

+ + +
    +
  • Hanno più elementi neutri.
    • +
  • Un numero ha più opposti.
    • +
  • Non sono associative.
    • +
  • Non sono distributive.
    • +
  • Non vale la legge di annullamento del prodotto.
    • +
+ +
+
+ +

+ Errore derivato da underflow sui dati. +

+

+ Si indica con {r`\epsilon_{nome\_var}`}. +

+ + L'errore sulla variabile x si indica con {r`\epsilon_{x}`}. + + + +

+ Errore derivato da underflow durante l'esecuzione dell'algoritmo. +

+

+ Si indica con {r`\epsilon_{num\_passo}`}. +

+ + L'errore al primo passo dell'algoritmo si indica con {r`\epsilon_{1}`}. + + +
+
+ +

+ Sensibilità di un problema all'errore inerente. +

+ + {r`y = \frac{1}{x}`} è mal condizionato intorno allo 0 e ben condizionato + lontano dallo 0. + + + +

+ Sensibilità di un problema all'errore algoritmico. +

+ +

+ Cerchiamo un algoritmo che risolva {r`2x^\star = 4`}. +

+

+ Calcolare prima {r`t = fl \left( \frac{1}{4} \right)`} e + poi {r`x = fl ( 2 \cdot t )`} porta a una perdita di precisione. +

+

+ Calcolare direttamente {r`x = fl \left( \frac{2}{4} \right)`} non ha alcuna + perdita di precisione e rende l'algoritmo più stabile del precedente. +

+ + +
+
+ +

+ È il coefficiente di proporzionalità tra i dati e l'errore inerente. +

+

+ Essendo sempre maggiore di uno, si può dire che sia un coefficiente di amplificazione. +

+

+ Minore è l'indice di condizionamento, meglio condizionato è un problema. +

+ + +

+ È il coefficiente di proporzionalità tra i dati e l'errore algoritmico. +

+

+ Essendo sempre maggiore di uno, si può dire che sia un coefficiente di amplificazione. +

+ +
+
+ +

+ Dato un sistema di equazioni lineari, si vuole trovare la sua soluzione. +

+

+ In forma matriciale, avrà una matrice dei coefficienti {r`A`}, un vettore + dei termini noti {r`b`} e un vettore delle incognite + {r`x`}. +

+

+ L'equazione matriciale del sistema è: +

+ {r`A \cdot x = b`} + + +

+ Il condizionamento della risoluzione di sistemi lineari è: +

+ {r`\frac{{\color{yellow} \|A\| \cdot \|A^{-1}\|} \cdot \| \Delta b \|}{\| b \|}`} +

+ In particolare, è segnato in giallo nella formula il numero di condizionamento: +

+ + {r`k(A) = \| A \| \cdot \| A^{-1} \|`} + + +
+
+ +

+ Metodi che trovano la soluzione esatta* di un sistema lineare. +

+

+ Tipicamente prevedono la fattorizzazione della matrice dei coefficienti in due + sottomatrici più facili da risolvere. +

+

+ Generalmente hanno una complessità temporale {r`O(n^3)`}. +

+ + +

+ Metodi che trovano una soluzione imperfetta* di + un sistema lineare. +

+

+ Tipicamente prevedono l'applicazione ripetuta di un metodo, in base al quale cambia + la velocità di convergenza alla soluzione. +

+

+ Generalmente hanno una complessità temporale {r`O(n^2)`}. +

+ +
+
+ +

+ Se la matrice dei coefficienti del sistema è diagonale, allora è possibile trovare la + soluzione dividendo ogni termine noto per l'unico coefficiente diverso da zero presente + nella sua riga: +

+ {r`x_i = \frac{b_i}{A_{ii}}`} + + +

+ Se la matrice dei coefficienti del sistema è triangolare inferiore o superiore, allora è + possibile trovare la soluzione effettuando una sostituzione all'avanti oppure + all'indietro: +

+ {r`x_i = \frac{b_i - \sum_{k = 1}^{i - 1} (x_k \cdot A_{ik})}{A_{ii}}`} + {r`x_i = \frac{b_i - \sum_{k = i - 1}^{n} (x_k \cdot A_{ik})}{A_{ii}}`} + +
+
+ Fattorizzazione {r`LU`}}> +

+ Se tutti i valori sulla diagonale di {r`A`} sono diversi da 0 (eccetto + l'ultimo) allora è possibile fattorizzarla in due matrici: + una {r`L`} triangolare inferiore, e una {r`U`} triangolare + superiore. +

+ {r`A = L \cdot U`} + + Abbiamo fatto questo metodo in Algebra Lineare, chiamandolo metodo di Gauss. + +

+ La matrice {r`L`} è così composta: +

+ {r` + \begin{cases} + L_{ii} = 1 \qquad \qquad (diagonale)\\ + L_{ik} = -\frac{A_{ik}}{A_{kk}} \qquad (tri.\ infer.) + \end{cases} + `} + + Sono i moltiplicatori usati per rendere annullare il triangolo inferiore! + +

+ La matrice {r`U`} è così composta: +

+ {r` + \begin{cases} + U_{ik} = A_{ik} \quad se\ i \leq k \quad (tri.\ super.)\\ + U_{ik} = 0 \qquad se\ i > k \quad (tri.\ infer.) + \end{cases} + `} + + È la parte triangolare superiore di {r`A`}! + +

+ Il sistema può essere poi risolto applicando due volte il metodo di sostituzione (all'avanti e + all'indietro): +

+ {r` + \begin{cases} + L \cdot y = b\\ + U \cdot x = y + \end{cases} + `} +

+ Questo metodo ha costo computazionale: +

+ {r`{\color{Yellow} O\left(\frac{n^3}{3}\right)} + 2 \cdot O\left(\frac{n^2}{2}\right)`} + + Fattorizzazione {r`LU`} con pivoting parziale}> +

+ È possibile applicare la fattorizzazione {r`LU`} a qualsiasi matrice + non-singolare permettendo lo scambio (pivoting) delle righe, potenzialmente aumentando + la stabilità dell'algoritmo. +

+ + Abbiamo fatto questo metodo in Algebra Lineare, chiamandolo metodo di Gauss-Jordan! + +

+ Alla formula precedente si aggiunge una matrice di permutazione che indica quali righe + sono state scambiate: +

+ {r`P \cdot A = L \cdot U`} +

+ Per massimizzare la stabilità, si cerca di usare come perno l'elemento più grande della + colonna. +

+

+ Questo metodo ha costo computazionale: +

+ {r`{\color{Yellow} O\left(\frac{n^2}{2}\right)} + O\left(\frac{n^3}{3}\right) + 2 \cdot O\left(\frac{n^2}{2}\right)`} + + Fattorizzazione {r`LU`} con pivoting totale}> +

+ È possibile anche permettere il pivoting sulle colonne per aumentare + ulteriormente la stabilità dell'algoritmo, a costo di maggiore costo computazionale: +

+ {r`P \cdot A \cdot Q = L \cdot U`} +

+ Per massimizzare la stabilità, si cerca di ordinare in modo decrescente la diagonale, + assicurandoci che il primo perno sia più grande del secondo e così via. +

+

+ Questo metodo ha costo computazionale: +

+ {r`{\color{Yellow} O\left(\frac{n^3}{3}\right)} + O\left(\frac{n^3}{3}\right) + 2 \cdot O\left(\frac{n^2}{2}\right)`} + +
+
+ Fattorizzazione {r`LU`} a banda}> +

+ Se la matrice {r`A`} è a banda, è possibile risparmiare spazio durante + la fattorizzazione, in quanto sia {r`L`} sia {r`U`} saranno a + banda! +

+ + Fattorizzazione {r`LU`} sparsa}> +

+ Se la matrice {r`A`} è sparsa, non è detto + che {r`L`} e {r`U`} siano sparse a loro volta. +

+

+ Per evitare il fill-in, è necessario riordinare la + matrice {r`A`} in modo che sia il più possibile simile a una matrice a + banda. +

+ +
+
+ Fattorizzazione {r`LDL^{-1}`}}> +

+ È possibile ridurre la complessità computazionale della + fattorizzazione {r`LU`} se la matrice dei coefficienti è simmetrica: +

+ {r`A = L \cdot D \cdot L^{-1}`} +

+ In questo caso, si calcola solo la matrice L, utilizzando il metodo di pavimentazione. +

+ {r` + \begin{cases} + d_{ii} = A_{ii} - \sum_{k=1}^{i-1} ( d_{kk} \cdot (l_{jk})^2 )\\ + \\ + l_{ij} = \frac{A_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} l_{ik} \cdot d_{kk} \cdot l_{jk}}{d_{ii}} + \end{cases} + `} + +

+ La prima colonna della matrice sarà: +

+ {r` + \begin{cases} + d_{11} = A_{11}\\ + \\ + l_{i1} = \frac{A_{i1}}{d_{11}} + \end{cases} + `} +

+ La seconda colonna della matrice sarà: +

+ {r` + \begin{cases} + d_{22} = A_{22} - d_{11} \cdot (l_{21})^2\\ + \\ + l_{i2} = \frac{A_{i2} - l_{i1} \cdot d_{11} \cdot l_{21}}{d_{ii}} + \end{cases} + `} + +

+ Questo metodo ha costo computazionale: +

+ {r`{\color{Yellow} O\left(\frac{n^3}{6}\right)} + O\left(\frac{n^3}{3}\right) + 2 \cdot O\left(\frac{n^2}{2}\right)`} + + Fattorizzazione {r`\mathcal{L} \mathcal{L}^{-1}`}}> +

+ È possibile dare stabilità forte alla fattorizzazione {r`LDL^{-1}`} se + la matrice dei coefficienti è simmetrica definita positiva: +

+ {r`A = \mathcal{L} \cdot \mathcal{L}^{-1}`} +

+ Il metodo di pavimentazione diventa: +

+ {r` + \begin{cases} + l_{ii} = \sqrt{A_{ii} - \sum_{k=1}^{i-1} (l_{ik})^2 }\\ + \\ + l_{ij} = \frac{A_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} l_{ik} \cdot l_{jk}}{l_{ii}} + \end{cases} + `} +

+ Questo metodo ha costo computazionale: +

+ {r`O\left(\frac{n^3}{3}\right) + O\left(\frac{n^3}{3}\right) + 2 \cdot O\left(\frac{n^2}{2}\right)`} + +
+
+ +

+ Matrice ricavata dalla seguente formula, dove {r`v`} è la colonna di un'altra + matrice: +

+ {r`U(v) = \mathbf{I} - \frac{2 \cdot v \cdot v^T}{\| v \|_{(2)}^2}`} +

+ Se moltiplicata per per la matrice da cui proviene {r`v`}, sostituirà la + colonna {r`v`} con la colonna: +

+ {r` + \begin{pmatrix} + - \| v \|\\\\ + 0\\\\ + 0\\\\ + \vdots\\\\ + 0 + \end{pmatrix} + `} +

+ Si calcola con una complessità computazionale nell'ordine di {r`O(n)`}. +

+ + Fattorizzazione {r`QR`}}> +

+ Metodo che fornisce una maggiore stabilità a costo di una maggiore complessità + computazionale. +

+

+ La matrice {r`A`} viene fattorizzata in due matrici, + una ortogonale {r`Q`} e una triangolare superiore + {r`R`}: +

+ {r`A = Q \cdot R`} +

+ Le matrici si ottengono dal prodotto delle trasformazioni di Householder (che concatenate + formano {r`Q`}) sulla matrice {r`A`} necessarie a trasformarla + in una matrice triangolare superiore ({r`R`}). +

+ + C'è un bell'esempietto qui. + +

+ Una volta fattorizzata, il sistema si può risolvere con: +

+ {r` + \begin{cases} + y = Q^T \cdot b\\ + R \cdot x = y + \end{cases} + `} +

+ Questo metodo ha costo computazionale: +

+ {r`{\color{Yellow} O\left(\frac{2 \cdot n^3}{3}\right)} + 2 \cdot O\left(\frac{n^2}{2}\right)`} + +
+
+ +

+ Se si pone che: +

+ {r` + \begin{cases} + G = I - M^{-1} \cdot A\\ + c = M^{-1} \cdot b + \end{cases} + `} +

+ Allora la formula generale di un sistema lineare può anche essere scritta in questo modo: +

+ {r`x = G \cdot x + c`} +

+ È particolarmente utile perchè ci permette di definire un algoritmo ricorsivo che + trovi {r`x`}: +

+ {r`x_{(i+1)} = G \cdot x_{(i)} + c`} +

+ {r`G`} è il metodo, e in base ad esso cambiano stabilità e velocità di + convergenza. +

+

+ Ponendo {r`A = M - N`}, la formula può essere scritta anche in questo modo: +

+ {r`M \cdot x_{(i+1)} = N \cdot x_{(i)} + b`} +

+ Possiamo ottenere alcuni metodi separando A in tre matrici: +

+
    +
  • La parte diagonale {r`D`}
    • +
  • L'opposto del triangolo inferiore {r`E`}
    • +
  • L'opposto del triangolo superiore {r`F`}
    • +
+ {r`A = D - E - F`} + + +

+ Un metodo è convergente se e solo se: +

+ {r`\rho (M) < 1`} +

+ (dove {r`\rho`} è il raggio spettrale, il massimo autovalore della + matrice) +

+

+ Perchè un metodo sia convergente, è sufficiente che: +

+ {r`\| M \| < 1`} + +
+
+ +

+ Il metodo di Jacobi si ottiene ponendo: +

+ {r` + \begin{cases} + M = D\\ + N = E + F + \end{cases} + `} +

+ Spostamenti simultanei: Permette di ottenere ogni componente + di {r`x`} indipendentemente dagli altri: è parallelizzabile. +

+

+ Se la matrice è diagonale dominante, allora il metodo di + Jacobi converge sicuramente. +

+ + +

+ Il metodo di Gauss-Seidel si ottiene ponendo: +

+ {r` + \begin{cases} + M = D - E\\ + N = F + \end{cases} + `} +

+ Ha una velocità di convergenza maggiore o uguale rispetto al metodo di Jacobi. +

+

+ Spostamenti successivi: Non è parallelizzabile, perchè ogni componente dipende da + quelle calcolate in precedenza. +

+

+ Se la matrice è diagonale dominante, allora il metodo di + Gauss-Seidel converge sicuramente. +

+ +
+
+ +

+ Si vogliono trovare i punti (zeri) in cui una funzione continua f : [a, b] + \to R vale 0. +

+

+ Per il teorema del valore medio, se {r`f(a) \cdot f(b) \leq 0`}, allora + esiste sicuramente un punto in cui la funzione vale 0. +

+

+ Denominiamo il punto in cui la funzione + vale 0 come {r`x_{(\star)}`}. +

+ + +

+ Più la derivata prima della funzione si avvicina allo 0, peggio il problema + sarà condizionato. +

+ {r`f'(x_{(\star)}) \simeq 0 \implies mal\ condizionato`} + +
+
+ +

+ Indice {r`{\color{Orange} p}`} di quanto in fretta una successione converge + alla soluzione. +

+ {r`\lim_{i \to +\infty} \frac{ \left| x_{(i+1)} - x_{(\star)} \right| }{ \left| x_{(k)} - x_{(\star)} \right|^{\color{Orange} p}}`} +
    +
  • Convergenza lineare: {r`p = 1`} e {r`0 < C < 1`} +
    • +
  • Convergenza superlineare: {r`p = 1`} e {r`C = 0`} +
    • +
  • Convergenza quadratica: {r`p = 2`} e {r`0 < C < 1`} +
    • +
  • Convergenza + superquadratica: {r`p = 2`} e {r`C = 0`}
    • +
  • ...
    • +
+ +
+
+ +

+ Sono metodi iterativi in grado di ridurre sempre di più l'intervallo in cui è definita la + funzione, facendolo convergere allo zero desiderato. +

+

+ Alcuni di essi sono il metodo dicotomico e il metodo regula falsi. +

+

+ Richiedono una valutazione di funzione non-lineare ad ogni iterazione. +

+

+ Ad ogni iterazione, l'intervallo viene sempre almeno dimezzato; si ha, pertanto, + che: +

+ {r`b_{(i)} - a_{(i)} = \frac{b - a}{2^{i - 1}}`} +

+ Hanno quindi convergenza lineare ({r`C = \frac{1}{2}, p = 1`}). +

+

+ Il loro criterio di arresto è un numero di iterazioni prefissato che dipende + dalla tolleranza sull'errore: +

+ {r`i \geq \log_2 \left( \frac{b - a}{\tau} \right)`} + + Dividi l'intervallo {r`[a, b]`} in tante parti grandi quanto la tolleranza. + L'algoritmo di bisezione ne escluderà metà ad ogni iterazione; la tolleranza sarà raggiunta + quando rimarrà una parte sola! + + +
+
+ +
    +
  1. Finchè non sono state compiute il numero di iterazioni prefissate: +
      +
    1. + Calcoliamo il punto + medio dell'intervallo {r`[a_{(n)}, b_{(n)}]`}: + {r`c_{(n)} = a_{(n)} + \frac{b_{(n)} - a_{(n)}}{2}`} +
      2. +
    2. + Dividiamo l'intervallo in due parti, separate da {r`c_{(n)}`}: +
        +
      • {r`[a_{(n)}, c_{(n)}]`} è la metà sinistra
        • +
      • {r`[c_{(n)}, b_{(n)}]`} è la metà destra
        • +
      +
      3. +
    3. + Teniamo l'intervallo in cui i valori della funzione ai due estremi sono discordi, e + rinominiamolo in {r`[a_{(n+1)}, b_{(n+1)}]`}. +
      4. +
    +
    2. +
+ + +
    +
  1. Finchè non sono state compiute il numero di iterazioni prefissate: +
      +
    1. + Calcoliamo l'intersezione tra la retta che congiunge i due estremi + {r`a_{(n)}, b_{(n)}`} e l'asse X: + {r`c_{(n)} = b_{(n)} - \frac{f(b_{(n)})}{\frac{f(b_{(n)}) - f(a_{(n)})}{b_{(n)} - a_{(n)}}}`} +
      2. +
    2. + Dividiamo l'intervallo in due parti, separate da {r`c_{(n)}`}: +
        +
      • {r`[a_{(n)}, c_{(n)}]`} è la parte sinistra
        • +
      • {r`[c_{(n)}, b_{(n)}]`} è la parte destra
        • +
      +
      3. +
    3. + Teniamo l'intervallo in cui i valori della funzione ai due estremi sono discordi, e + rinominiamolo in {r`[a_{(n+1)}, b_{(n+1)}]`}. +
      4. +
    +
    2. +
+ +
+
+ +

+ Sono metodi iterativi che funzionano in modo molto simile ai metodi iterativi per i + sistemi lineari, utilizzando una funzione {r`\phi`} come "metodo". +

+ {r`x = x - \phi(x) \cdot f(x)`} +

+ Che diventa: +

+ {r`x_{(k+1)} = g( x_{(k)} )`} +

+ Sfruttano i punti fissi {r`g(x_{(\star)}) = x_{(\star)}`} della + funzione {r`f`} per convergere:
+ se {r`\phi(x)`} non ha zeri, allora i punti fissi coincideranno con + gli zeri della funzione {r`f`}. +

+ {r`g(x) = x - \phi(x) \cdot f(x)`} +

+ Si può raggiungere iterativamente ad un punto fisso attraverso la formula: +

+ {r`x_{(k+1)} = g( x_{(k)} )`} +

+ Non si conosce in anticipo il numero di iterazioni necessarie per soddisfare la + tolleranza {r`\tau`}; ad ogni iterazione, si controlla se la tolleranza è + soddisfatta: +

+
    +
  • Nella differenza tra due + iterate: {r`\frac{\left| x_{(k+1)} - x_{(k)} \right|}{\left| x_{(k+1)} \right|} \leq \tau`} +
    • +
  • Nel residuo del problema: {r`\left| f(x_{(k)}) \right| \leq \tau`} +
    • +
+ + +

+ Se: +

+
    +
  • + Tutti i valori restituiti dalla funzione {r`g`} rientrano nel suo stesso + dominio: + {r`g : [a, b] \to [a, b]`} +
    • +
  • +

    + La funzione {r`g`} è una contrazione, ovvero restringe + l'intervallo {r`[a, b]`}: +

    + {r`\forall (x, y) \in [a, b], | g(x) - g(y) | \leq L \cdot | x - y |`} +

    + (dove {r`0 < L < 1`}) +

    +
    • +
+

+ Allora: +

+
    +
  • +

    + Il punto fisso esiste ed è unico: +

    + {r`\exists! x_{(\star)}`} +
    • +
  • + Il metodo delle approssimazioni successive converge per qualsiasi punto di partenza. +
    • +
  • +

    + Vale la seguente disequazione di maggiorazione dell'errore: +

    + {r`\left| x_{(k)} - x_{(\star)} \right| \leq \frac{ L^k }{ 1 - L } \cdot \left| x_{(1)} - x_{(0)} \right|`} +
    • +
+

+ Più è piccolo L, più il metodo convergerà in fretta. +

+ + L è molto simile al raggio spettrale {r`\rho(M)`} dei metodi + iterativi per i sistemi lineari! + + +
+
+ +

+ Sfrutta la continuità delle funzioni per ottenere una convergenza di ordine più alto. +

+ {r`\phi (x) = \frac{1}{f' (x)}`} + {r`x_{(k+1)} = x_{(k)} - \frac{ f(x_{(k)}) }{ f'(x_{(k)}) }`} + + Geometricamente, corrisponde a prolungare una retta nel + punto {r`(x_{(k)}, f(x_{(k)}))`} con pendenza {r`f'(x_{(k)})`}, + e prendendo come nuovo punto la sua intersezione con l'asse X e la sua corrispettiva immagine + nella funzione. + +

+ Ha costo computazionale di 2 valutazioni di funzione più 2 valutazioni di derivata. +

+

+ Ha convergenza quadratica. +

+ + +

+ È come il metodo di Newton, ma usa il rapporto incrementale, in modo da poter essere + applicato a funzioni non continue. +

+ {r`\phi (x) = \frac{ 1 }{ \frac{ f(x_{(k)}) - f(x_{(k-1)}) }{ x_{(k)} - x_{(k-1)} } }`} + {r`x_{(k+1)} = x_{(k)} - \frac{ f(x_{(k)}) }{ \frac{ f(x_{(k)}) - f(x_{(k-1)}) }{ x_{(k)} - x_{(k-1)} } }`} + + Geometricamente, corrisponde a costruire una retta che attraversa i + punti {r`(x_{(k)}, f(x_{(k)}))`} e {r`(x_{(k-1)}, f(x_{(k-1)}))`}, + e prendendo come nuovo punto la sua intersezione con l'asse X e la sua corrispettiva immagine + nella funzione. + +

+ Ha costo computazionale di 3 valutazioni di funzione. +

+

+ Ha convergenza superlineare. +

+ +
+
+ +

+ È possibile usare questi metodi per approssimare le soluzioni di sistemi non-lineari. +

+ +
+
+ +

+ Si vuole trovare una funzione in grado di approssimarne un'altra, di cui si conoscono + però solo alcuni punti. +

+ + È utile in un sacco di casi! Ad esempio, quando si vuole scalare un'immagine. + +

+ I punti sono detti nodi {r`(x_i, y_i)`}, mentre la funzione costruita su + di essi è detta interpolante {r`g`}: +

+ {r`g(x_i) = y_i`} +

+ Dato un insieme di punti, esistono infinite funzioni interpolanti. +

+ + +

+ Il teorema fondamentale dell'algebra dice che esiste una sola + interpolante polinomiale che interpola un dato insieme di punti. +

+

+ Con n+1 punti, l'interpolante sarà al massimo di grado n, e + viene detta {r`p_n`}. +

+

+ La sua forma canonica sarà: +

+ {r`p_n(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots + a_n x^n`} + +
+
+ +

+ È possibile scrivere la forma canonica come matrice: +

+ {r`A \cdot x = b`} +

+ Costruiamo la matrice di Vandermonde: +

+ {r` + A = + \begin{pmatrix} + 1 & x_0 & x_0^2 & \dots & x_0^n\\\\ + 1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^n\\\\ + 1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^n\\\\ + \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\\\ + 1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^n + \end{pmatrix} + `} +

+ Costruiamo il vettore delle incognite: +

+ {r` + x = + \begin{pmatrix} + a_0\\\\ + a_1\\\\ + a_2\\\\ + \vdots\\\\ + a_n + \end{pmatrix} + `} +

+ Costruiamo il vettore dei termini noti: +

+ {r` + b = + \begin{pmatrix} + y_0\\\\ + y_1\\\\ + y_2\\\\ + \vdots\\\\ + y_n + \end{pmatrix} + `} + + Per trovare il polinomio di interpolazione è sufficiente risolvere il problema! + +

+ È efficace perchè una volta calcolati i coefficienti essi valgono per tutti i punti, ma + ha come svantaggio che la matrice di Vandermonde è spesso malcondizionata. +

+ + +

+ È possibile scrivere il polinomio di interpolazione raccogliendo + le {r`y`}: +

+ {r`p_n (x) = y_0 L_0 + y_1 L_1 + y_2 L_2 + \dots + y_n L_n`} +

+ I polinomi {r`L_k`} sono detti polinomi di Lagrange, e hanno le seguenti + proprietà: +

+
    +
  • + Valgono 1 in corrispondenza del nodo con lo stesso + indice, 0 in corrispondenza dei nodi con indice diverso + e {r`0 < n < 1`} in tutti gli altri casi. + + {r` + \begin{cases} + L_k(x_k) = 1 \qquad (nel\ nodo)\\ + L_k(x_j) = 0 \qquad (altri\ nodi) + \end{cases} + `}
    • +
  • + Si compongono con questo prodotto: + + {r`L_k = \frac{(x - x_0) \cdot \dots \cdot (x - x_{k-1}) \cdot (x - x_{k+1}) \cdot \dots \cdot (x_k - x_n)}{(x_k - x_0) \cdot \dots \cdot (x_k - x_{k-1}) \cdot (x_k - x_{k+1}) \cdot \dots \cdot (x_k - x_n)}`} +
    • +
+ Non c'è il termine con {r`x_k`}! +

+ Tutti insieme formano la base di Lagrange. +

+ Si chiama base perchè sono linearmente indipendenti! +

+ Questo metodo permette di calcolare il valore del polinomio di interpolazione in un singolo + punto: +

+ +

+ Si può risparmiare tempo di calcolo calcolando una singola volta il numeratore + con tutti i termini: +

+ {r`\omega_n = (x - x_0) \cdot (x - x_1) \cdot \dots \cdot (x - x_n)`} +

+ E poi dividendo per il termine che andrebbe escluso: +

+ {r`L_k(x) = \frac{ \omega_n }{ (x - x_k) \cdot \prod_{i=0, i \neq k} (x_k - x_i) }`} + +

+ Ha costo computazionale {r`O(n^2)`}. +

+ +
+
+ +

+ È l'errore compiuto durante l'interpolazione. +

+

+ Se la funzione f è interpolata da p_n, allora esso varrà: +

+ {r`R_n(x) = f(x) - p_n(x)`} +

+ In particolare, è interessante la sua norma a + infinito, {r`\| f - p_n \|_\infty`}, che corrisponde alla distanza massima tra + le due funzioni. +

+

+ Un teorema dice che esso è uguale a: +

+ {r`R_n(x) = \frac{ \omega_n(x) }{ (n + 1)! } \cdot f^{(n+1)}(\xi)`} + + +

+ L'errore nell'interpolazione dipende principalmente da due fattori: +

+
    +
  • Come sono distribuiti sull'asse X i punti da interpolare
    • +
  • Il grado del polinomio di interpolazione
    • +
+ +
+
+ +

+ Fenomeno che si verifica cercando di interpolare la funzione di + Runge ({r`\frac{1}{1 + 25x^2}`}). +

+

+ Scegliendo nodi equispaziati, l'errore di interpolazione sarà enorme vicino ai due + estremi dell'intervallo. +

+ + Addirittura, più nodi verranno scelti, più esso sarà alto! + +

+ Si evita scegliendo i nodi in una maniera diversa. +

+ + +

+ Nodi ottenuti partizionando una semicirconferenza, e proiettando le partizioni sul + diametro. +

+

+ La formula usata per ottenere {r`n`} punti è: +

+ {r`x_i = \cos \left( \frac{ (2 \cdot i + 1) \cdot \pi }{ 2 \cdot (n+1) } \right)`} +

+ Proprietà di min-max: sono la scelta ottimale dei punti di interpolazione. +

+ {r`\omega_n(\star) = \max_{x \in [a, b]} \left| \omega_n(x) \right|`} +

+ In particolare, si ha che: +

+ {r`\omega_n(\star) = 2 \left( \frac{b-a}{4} \right)^{n+1}`} + +
+
+ +

+ Invece che costruire una singola funzione che interpola tutti i punti, per ogni intervallo + tra due punti (sottointervallo) si costruisce una funzione apposta. +

+ +
+
+ +

+ Interpolanti che: +

+
    +
  • sono polinomiali di grado massimo {r`n`}
    • +
  • sono continue fino al grado {r`n - 1`}
    • +
  • connettono {r`m + 2`} punti, e + hanno {r`m`} sottointervalli +
    • +
  • hanno funzioni definite appositamente per ogni sottointervallo
    • +
+ +

+ Significa che agli estremi dell'intervallo, i valori di tutte le derivate fino al + grado {r`n - 1`} devono essere uguali: +

+ {r`\forall \ k \leq n-1, \forall \ i \in \{intervalli\}, \quad s_i^{(k)} (x_{i+1}) = s_i^{(k)} (x_{i+1})`} + +

+ Hanno {r`n + m + 1`} gradi di libertà. +

+ + Esistono infinite spline di grado {r`n \geq 2`}! + + +
+
+ + + Sono anche dette interpolanti lineari a tratti. + +

+ Per ogni sottointervallo, costruiamo una funzione lineare passante per i due estremi: +

+ {r`s_i(x) = y_i + \frac{ y_{i + 1} - y_i }{ x_{i + 1} - x_i } \cdot (x - x_i)`} + + È una linea spezzata! + +

+ Il loro errore è: +

+ {r`\| R \|_\infty = \| f - s \|_\infty \leq \frac{1}{8} \cdot \max_{y \in [a, b]} \left| f''(y) \right| \cdot \left( \max_{i \in \{intervalli\}} (x_{i+1} - x_{i}) \right)^2`} +

+ Ha come vantaggi complessità computazionale molto più bassa e l'assenza del + fenomeno di Runge, ma allo stesso tempo si perde la derivabilità della funzione. +

+

+ Non hanno gradi di libertà. +

+ + +

+ Spline con {r`n = 3`}, che soddisfano le seguenti uguaglianze: +

+ {r` + \forall \ i \in \{0,\ \dots\ ,\ m - 1\},\ + \begin{cases} + s_i (x_{i+1}) = s_{i+1} (x_{i+1})\\\\ + s'_i (x_{i+1}) = s'_{i+1} (x_{i+1})\\\\ + s''_i (x_{i+1}) = s''_{i+1} (x_{i+1}) + \end{cases} + `} + {r` + \forall \ i \in \{0,\ \dots\ ,\ m + 1\},\ + \begin{cases} + s_i(x_i) = y_i + \end{cases} + `} +

+ Esse hanno la seguente equazione: +

+ {r`s_i(x) = \alpha_i + \beta_i \ ( x - x_i ) + \gamma_i \ ( x - x_i )^2 + \delta_i \ ( x - x_i )^3`} + + Spesso si indica con {r`h`} la distanza orizzontale tra due punti di un + sottointervallo. + + +
+
+ +

+ Classe di spline cubiche in cui: +

+
    +
  • {r`\beta_0`} e {r`\beta_{m+1}`} sono prefissati
    • +
+

+ È unica. +

+

+ Forma il seguente sistema di equazioni: +

+ {r`T z = c`} + {r` + b_i = h_{i+1} \beta_i + 2 ( h_i + h_{i+1} ) + h_{i} \beta_i+2 + `} + {r` + T = + \begin{pmatrix} + 2 (h_0 + 2 h_1) & h_0 & {\color{Gray} 0} & {\color{Gray} 0} & {\color{Gray} 0} \\\\ + h_2 & 2 (h_1 + h_2) & h_1 & {\color{Gray} 0} & {\color{Gray} 0} \\\\ + {\color{Gray} 0} & \ddots & \ddots & \ddots & {\color{Gray} 0} \\\\ + {\color{Gray} 0} & {\color{Gray} 0} & h_{m-1} & 2 (h_{m-2} + h_{m-1}) & h_{m-2} \\\\ + {\color{Gray} 0} & {\color{Gray} 0} & {\color{Gray} 0} & h_m & 2 (h_{m-1} + h_m) + \end{pmatrix} + `} + {r` + z = + \begin{pmatrix} + \beta_1\\\\ + \beta_2\\\\ + \vdots\\\\ + \beta_{m-1}\\\\ + \beta_{m} + \end{pmatrix} + `} + {r` + c = + \begin{pmatrix} + b_0 - h_1 \beta_0\\\\ + b_1\\\\ + \vdots\\\\ + b_{m-2}\\\\ + b_{m-1} - h_{m-1} \beta_{m+1} + \end{pmatrix} + `} + +
+
+ +

+ Classe di spline cubiche in cui: +

+
    +
  • {r`s''(x_0) = s''(x_{m+1}) = 0`}
    • +
+

+ È unica. +

+ + +

+ Classe di spline cubiche in cui: +

+
    +
  • {r`s(x) = s(m+1)`}
    • +
  • {r`s'(x) = s'(m+1)`}
    • +
  • {r`s''(x) = s''(m+1)`}
    • +
+

+ È unica. +

+ + +

+ Classe di spline cubiche in cui: +

+
    +
  • Negli + intervalli {r`[x_0, x_2]`} e {r`[x_{m-1}, x_{m+1}]`} si + presenta obbligatoriamente un polinomio di grado 3. +
    • +
+

+ È unica. +

+ +
+
+ +

+ Tra tutte le funzioni che interpolano dei punti, le tre classi di funzioni sopraelencate sono + quelle che interpolano la funzione più "dolcemente". +

+

+ Per loro è valida la seguente proprietà: +

+ {r`\int_a^b ( s''(x) )^2 dx \leq \int_a^b ( f''(x) )^2 dx`} + + +

+ Più diminuisce la lunghezza {r`h`} degli intervalli, più aumenta l'accuratezza. +

+

+ Non si verifica il fenomeno di Runge. +

+

+ Si ha un'interpolazione anche della derivata prima. +

+ +
+
+ +

+ Interpolare dati sperimentali non fornisce quasi mai un modello del fenomeno. +

+

+ Vogliamo costruire una funzione di regressione che, dati molti più dati del grado della + funzione, minimizzi il quadrato della distanza tra i punti sperimentali e i punti della funzione + di regressione. +

+

+ Denominiamo: +

+
    +
  • {r`{\color{Orange} f}`}: la funzione "effettiva" del fenomeno
    • +
  • {r`{\color{Yellow} q}`}: la funzione di regressione che costruiamo + per approssimarlo +
    • +
  • {r`{\color{Red} Q }`}: la funzione "errore di regressione" da + minimizzare +
    • +
  • {r`(\ x_i, f(x_i)\ )`}: i punti sperimentali
    • +
+

+ L'obiettivo è minimizzare l'errore di approssimazione {r`Q`}, ovvero: +

+ {r`\min {\color{Red} Q } = \sum_{i = 1}^m (\ {\color{Yellow} q(x_i)} - {\color{Orange} f(x_i)}\ )^2 `} + +
+
+ +

+ Trova la retta {r`{\color{Yellow} q}`} che meglio approssima tutti + gli {r`m`} dati sperimentali. +

+

+ Essendo una retta, avrà due parametri: il termine noto {r`a_0`}, e la + pendenza {`a_1`}. +

+ {r`{\color{Yellow} q(x) } = a_0 + a_1 \cdot {\color{Green} x}`} +

+ L'errore da minimizzare per ricavare i parametri sarà: +

+ {r` + \min {\color{Red} Q } = \sum_{i = 1}^m ( {\color{Yellow} a_0 + a_1 \cdot x_i} - {\color{Orange} f(x_i)} )^2 + `} + + +

+ Possiamo costruire una matrice di regressione {r`A`} contenente tutti + i punti sperimentali: +

+ {r` + A = + \begin{pmatrix} + 1 & x_1\\\\ + 1 & x_2\\\\ + \vdots & \vdots\\\\ + 1 & x_m + \end{pmatrix} + `} +

+ Inoltre, se costruiamo il vettore dei parametri {r`\alpha`}: +

+ {r` + \alpha = + \begin{pmatrix} + a_0\\\\ + a_1 + \end{pmatrix} + `} +

+ Avremo che: +

+ {r`{\color{Yellow} q(x) } = A \cdot \alpha`} +

+ Inoltre, potremo calcolare l'errore attraverso la norma: +

+ {r`{\color{Red} Q } = \| A \cdot \alpha - y \|^2`} + +
+
+ +

+ Trova il polinomio {r`{\color{Yellow} q}`} di + grado {r`n-1`} che meglio approssima tutti gli {r`m`} dati + sperimentali. +

+

+ Essendo un polinomio di grado {r`n-1`}, avrà {r`n`} parametri. +

+ {r`{\color{Yellow} q(x) } = a_0 + a_1 \cdot {\color{Green} x} + a_2 \cdot {\color{Green} x^2} +\ \dots \ + a_{n-1} \cdot {\color{Green} x^{n-1}`} + +

+ La regressione lineare è un caso particolare di regressione generale in cui i parametri sono + 2! +

+ +

+ L'errore da minimizzare per ricavare i parametri sarà: +

+ {r` + \min {\color{Red} Q} = \sum_{i = 1}^m ( {\color{Yellow} a_0 + a_1 \cdot x_i + a_2 \cdot x_i^2 +\ \dots \ + a_{n-1} \cdot x_i^{n-1}} - {\color{Orange} y_i} )^2 + `} + + +

+ Possiamo costruire una matrice di regressione {r`A`} contenente tutti + i punti sperimentali a tutti i gradi del polinomio: +

+ {r` + A = + \begin{pmatrix} + 1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^{n-1} \\\\ + 1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^{n-1} \\\\ + \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ + 1 & x_m & x_m^2 & \dots & x_m^{n-1} + \end{pmatrix} + `} +

+ Inoltre, se costruiamo il vettore dei parametri {r`\alpha`}: +

+ {r` + \alpha = + \begin{pmatrix} + a_0\\\\ + a_1\\\\ + \vdots\\\\ + a_{n-1} + \end{pmatrix} + `} +

+ Avremo che: +

+ {r`{\color{Yellow} q(x) } = A \cdot \alpha`} +

+ Inoltre, potremo calcolare l'errore attraverso la norma: +

+ {r`{\color{Red} Q } = \| A \cdot \alpha - y \|^2`} + + Normalmente, i dati sono molti di più, ma se il numero di + parametri {r`n`} fosse uguale al numero di dati {r`m`}, allora + si otterrebbe il polinomio di interpolazione! + + +
+
+ +

+ Trova i coefficienti della combinazione lineare + {r`{\color{Yellow} q}`} che meglio approssima tutti + gli {r`m`} dati sperimentali. +

+ {r`{\color{Yellow} q(x) } = a_0 \cdot {\color{Green} \phi_0 (x)} + a_1 \cdot {\color{Green} \phi_1 (x)} + \dots + a_2 \cdot {\color{Green} \phi_2 (x)} +\ \dots\ + a_{n-1} \cdot {\color{Green} \phi_{n-1} (x)}`} + +

+ La regressione polinomiale è un caso particolare di regressione generale in cui: +

+ {r`{\color{Green} \phi_{n} (x)} = x^n`} + +

+ L'errore da minimizzare per ricavare i parametri sarà: +

+ {r` + \min {\color{Red} Q } = \sum_{i = 1}^m ( {\color{Yellow} a_0 \cdot \phi_0 (x) + a_1 \cdot \phi_1 (x) + \dots + a_2 \cdot \phi_2 (x) +\ \dots\ + a_{n-1} \cdot \phi_{n-1} (x)} - {\color{Orange} f(x_i)} )^2 + `} + + +

+ Possiamo costruire una matrice di regressione {r`A`} contenente tutti + i punti sperimentali a tutti i gradi del polinomio: +

+ {r` + A = + \begin{pmatrix} + \phi_0(x_1) & \phi_1(x_1) & \phi_2(x_1) & \dots & \phi_{n_1}(x_1) \\\\ + \phi_0(x_2) & \phi_1(x_2) & \phi_2(x_2) & \dots & \phi_{n-1}(x_2) \\\\ + \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ + \phi_0(x_m) & \phi_1(x_m) & \phi_2(x_m) & \dots & \phi_{n-1}(x_m) + \end{pmatrix} + `} +

+ Inoltre, se costruiamo il vettore dei parametri {r`\alpha`}: +

+ {r` + \alpha = + \begin{pmatrix} + a_0\\\\ + a_1\\\\ + \vdots\\\\ + a_{n-1} + \end{pmatrix} + `} +

+ Avremo che: +

+ {r`{\color{Yellow} q(x) } = A \cdot \alpha`} +

+ Inoltre, potremo calcolare l'errore attraverso la norma: +

+ {r`{\color{Red} Q } = \| A \cdot \alpha - y \|^2`} + +
+
+ +

+ Caso che prevede che le colonne di {r`A`} siano linearmente indipendenti. +

+

+ La soluzione esiste sempre, ed è unica. +

+

+ Per trovarla: +

+
    +
  • Fattorizziamo {r`A = Q \cdot \begin{pmatrix} R\\ 0 \end{pmatrix}`}.
    • +
  • Calcoliamo {r`w = Q^T \cdot y`}.
    • +
  • Teniamo solo i primi n valori di {r`w`} e mettiamoli + in {r`w_1`}. +
    • +
  • Calcoliamo {r`R \cdot \alpha = w_1`}.
    • +
+ + +

+ Caso che non preclude alcuna composizione di {r`A`}. +

+

+ Ci sono infinite soluzioni, con {`n-k`} gradi di libertà. +

+

+ Si cerca sempre di trovare la soluzione di norma minima, che, + se {r`k \leq n \leq m`}, allora è unica. +

+

+ Per trovarla: +

+
    +
  • Fattorizziamo {r`A = U \cdot \Sigma \cdot V^T`} con la fattorizzazione + SVD
    • +
  • Calcoliamo {r`\zeta = U^T \cdot y`}
    • +
  • +

    + Calcoliamo: +

    + {r` + \gamma = + \begin{pmatrix} + \frac{z_1}{\sigma_1}\\\\ + \frac{z_2}{\sigma_2}\\\\ + \vdots\\\\ + \frac{z_{k-1}}{\sigma_{k-1}}\\\\ + \frac{z_k}{\sigma_k}\\\\ + 0\\\\ + 0\\\\ + \vdots\\\\ + 0 + \end{pmatrix} + `} +
    • +
  • Calcoliamo {r`\alpha = V \cdot \gamma`}
    • +
+ + Gli zeri nella {r`\gamma`} sono i gradi di libertà, sono zero in modo che essi + diano la norma minima. + + +
+ +} diff --git a/pages/year2/ottimizzazione.tsx b/pages/year2/ottimizzazione.tsx new file mode 100644 index 0000000..6c84503 --- /dev/null +++ b/pages/year2/ottimizzazione.tsx @@ -0,0 +1,1298 @@ +import * as Bluelib from "@steffo/bluelib-react" +import { BaseElement } from "@steffo/bluelib-react/dist/components/BaseElement" +import { Section, Box, Split, Panel, r, ILatex, BLatex, PLatex, Latex, Help, Example, Color, TablePanel, Code, Plus, Minus, BaseLink, Todo, Image } from "../../components/compat1" +import type { NextPage } from 'next' +import { WarningPorted, WarningUnchecked } from "../../components/warnings"; + + +const Min = ({ children = undefined, ...props }) => ( + + {props.children ? props.children : "min"} + +) +const Max = ({ children = undefined, ...props }) => ( + + {props.children ? props.children : "max"} + +) +const Empty = ({ children = undefined, ...props }) => ( + + {props.children ? props.children : "vuoto"} + +) +const Finite = ({ children = undefined, ...props }) => ( + + {props.children ? props.children : "finito"} + +) +const Unbounded = ({ children = undefined, ...props }) => ( + + {props.children ? props.children : "illimitato"} + +) +const ExampleBoxColor = "magenta" + + +const Page: NextPage = () => { + return <> + + Ottimizzazione lineare intera + + + + + Introduzione + +

+ +

+ + + + + + + + + v + s + Significato + + + + + {r`\mathbf{x}`} + {r`x_i`} + Incognite + + + {r`\mathbf{s}`} + {r`s_i`} + Variabili slack + + + {r`\mathbf{c}`} + {r`c_i`} + Coefficienti della funzione obiettivo + + + {r`\mathbf{A}`} + {r`a_{ij}`} + Coefficienti dei vincoli + + + {r`\mathbf{b}`} + {r`b_i`} + Termini noti dei vincoli + + + {r`\mathbf{y}`} + {r`y_i`} + Incognite artificiali + + + {r`\mathbf{u}`} + {r`u_i`} + Coefficienti di rilassamento + + + + {r`c_0`} + Valore ottimo di un problema + + + {r`\mathbf{x}_B`} + + Incognite in base + + + {r`\mathbf{c}_B`} + + Coefficienti della funzione obiettivo delle variabili in base + + + {r`\mathbf{B}`} + + Coefficienti dei vincoli delle variabili in base + + + {r`\mathbf{x}_F`} + + Incognite fuori base + + + {r`\mathbf{c}_F`} + + Coefficienti della funzione obiettivo delle variabili fuori base + + + {r`\mathbf{F}`} + + Coefficienti dei vincoli delle variabili fuori base + + + + + + + Simboli + Significato + + + + + {r`\mathbf{c}^T \mathbf{x}`} + Soluzione del problema + + + {r`\mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b}`} + Vincoli in forma standard + + + {r`z(\dots)`} + Funzione obiettivo + + + {r`\mathbf{u}^T \mathbf{b}`} + Soluzione del problema duale + + + {r`\mathbf{u}^T \mathbf{A} = \mathbf{c}^T`} + Vincoli del problema duale in forma standard + + + {r`\lfloor x \rfloor`} + Arrotondamento per difetto di x + + + {r`\lceil x \rceil`} + Arrotondamento per eccesso di x + + + {r`x - \lfloor x \rfloor`} + Parte frazionaria di x (se non è negativo) + + + + + + +

+ Problemi che cercano di minimizzare/massimizzare il valore di una funzione + obiettivo le cui incognite sono sottoposte a un sistema di vincoli. +

+

+ Spesso sono detti anche problemi di LP. +

+ + +

+ La funzione da minimizzare/massimizzare. +

+

+ Il vettore dei suoi coefficienti è detto {r`\mathbf{c}`}, mentre quello delle sue + incognite {r`\mathbf{x}`}. +

+

+ In genere, la funzione obiettivo è scritta in forma di combinazione lineare tra le incognite e i coefficienti: +

+

+ {r`z(\mathbf{x}) = c_1 \cdot x_1 + c_2 \cdot x_2 + \dots + c_n \cdot x_n`} +

+ + +

+ Funzione della funzione obiettivo che restituisce la direzione del suo aumento più + veloce. +

+

+ {r`\nabla (f) = \frac{d f}{d x_1} I_1 + \frac{d f}{d x_2} I_2 + \frac{d f}{d x_n} I_n`} +

+ + La matrice {r`\mathbf{I}`} è la matrice identità. + + + Se la funzione obiettivo è z = 2w + 3x + 4y, il suo gradiente + è {r`\nabla z = (2, 3, 4)`}. + + + +

+ Equazioni e disequazioni a cui devono sottostare le incognite perchè esse formino una soluzione + valida. +

+

+ I loro coefficienti sono contenuti nella matrice {r`\mathbf{A}`}, mentre i loro + termini noti nel vettore {r`\mathbf{b}`}. +

+ + +

+ L'insieme che racchiunde tutte le soluzioni ammissibili di un problema. +

+

+ Può essere , oppure . +

+ + Si chiama così perchè se si disegna su un piano cartesiano, esso forma una figura geometrica a + più lati, ovvero un poliedro. + + + +

+ La soluzione di un problema, ricavabile dal + prodotto {r`\mathbf{c}^T \mathbf{x}`}. +

+

+ In particolare, il valore ottimo è un vertice del poliedro, detto vertice ottimo. +

+ + + + +

+ Un problema con: +

+
    +
  • Equazioni e disequazioni
    • +
  • Variabili non vincolate
    • +
+ {r`min \left\{ \mathbf{c}^T \mathbf{x} : \mathbf{A} \mathbf{x} = b,\quad \mathbf{A'} \mathbf{x} \geq \mathbf{b'} \quad x_j \geq 0,\quad j = 1 \dots n \right\}`} + + +

+ Un problema con: +

+
    +
  • Solo disequazioni
    • +
  • Vincoli di non-negatività sulle incognite
    • +
+ {r`min \left\{ \mathbf{c}^T \mathbf{x} : \mathbf{A} \mathbf{x} \geq b,\quad x_j \geq 0,\quad j = 1 \dots n \right\}`} + + +

+ Un problema con: +

+
    +
  • Solo equazioni
    • +
  • Vincoli di non-negatività sulle incognite
    • +
+ {r`min \left\{ \mathbf{c}^T \mathbf{x} : \mathbf{A} \mathbf{x} = b,\quad x_j \geq 0,\quad j = 1 \dots n \right\}`} + + + + +

+ Applica questa conversione a ogni equazione nel sistema: +

+

+ {r` + a = b \Leftrightarrow + \begin{cases} + a \leq b\\ + a \geq b + \end{cases} + `} +

+ Serve solo nella teoria per dimostrare che le forme sono equivalenti. + + +

+ Aggiungi una variabile slack {r`s`} non-vincolata a ogni + disequazione nel sistema: +

+

+ {r` + a \leq b \Leftrightarrow a + s = b + `} +

+

+ {r` + a \geq b \Leftrightarrow a - s = b + `} +

+ + +

+ Sdoppia ogni variabile non-vincolata in due variabili con vincolo di non-negatività: +

+

+ {r` + \begin{cases} + a = a^+ - a^-\\ + a^+ \geq 0\\ + a^- \geq 0 + \end{cases} + `} +

+ + + + +

+ Un modo per rappresentare sistemi in forma standard, anche noto come matrice equivalente + completa del sistema. +

+ + +

+ Un tableau è un sistema di equazioni in forma matriciale completa. +

+

+ È possibile effettuare senza che cambi il risultato finale le seguenti trasformazioni: +

+
    +
  • Moltiplicare un'intera riga per una costante.
    • +
  • Sommare una riga a un'altra
    • +
+ + Suona familiare? Sì, lo abbiamo fatto anche in Algebra Lineare. + + + +

+ Variabili che hanno tutti 0 e un solo 1 nella loro colonna del tableau. +

+

+ La loro controparte sono le variabili fuori base, che hanno qualsiasi altro valore. +

+ + +

+ Il valore della funzione obiettivo che si otterrebbe se tutte le variabili fuori base + valessero 0. +

+

+ Procedendo nella risoluzione (descritta in seguito) del tableau, questo valore aumenterà, fino a + raggiungere il valore ottimo quando la risoluzione sarà completata. +

+ + + + +

+ Il sistema: +

+ {r` + \begin{cases} + 1x_1\ {\color{Cyan} \leq}\ {\color{Red} 3}\\ + 1x_2\ {\color{Cyan} \leq}\ {\color{Red} 3}\\ + 2x_1 + 2x_2\ {\color{Cyan} \leq}\ {\color{Red} 7}\\ + {\color{Yellow} \min}\ {\color{Green} 2000x_1 + 1000x_2} + \end{cases} + `} +

+ Diventa il tableau: +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
x_1x_2s_1s_2s_3TN
101003
010103
220017
200010000000
+

+ Con i seguenti elementi: +

+
    +
  • + Funzione obiettivo +
    • +
  • + Valore attuale +
    • +
  • + Termini noti +
    • +
  • + Variabili slack +
    • +
+ + + + +

+ Un algoritmo per trovare efficientemente il valore ottimo e le coordinate di un vertice + ottimo in problemi di ottimizzazione lineare. +

+ + Ricordi Gauss? Il Simplex è la stessa cosa, + in cui però si cerca di minimizzare/massimizzare il termine noto della funzione obiettivo. + + + Questa è la soluzione passo per passo del + problema 3 del file Ex_LP_testo. + +

+ Perchè sia possibile effettuare il Simplex è necessario che l'origine sia nel poliedro: + pertanto, non è possibile che un problema risolto con il Simplex sia . +

+ + +
    +
  1. Trasforma il sistema in forma standard.
    2. +
  2. Trova tante variabili linearmente indipendenti quante siano le righe: esse saranno + la base iniziale. +
    3. +
  3. Finchè ci sono variabili con coefficienti positivi/negativi nella + funzione obiettivo: +
      +
    1. +

      + Scegli la prima variabile fuori base con + coefficiente positivo/negativo nella funzione obiettivo: essa + è la variabile entrante. +

      + +
      2. +
    2. +

      + Scegli la variabile in base con il minor rapporto + positivo: +

      + {r`\frac{b_i}{A_ik}`} + +
      3. +
    3. +

      + Pivot: trasforma tutte le funzioni del sistema in modo che abbiano 0 + nella colonna della variabile entrante, tranne nella riga della variabile uscente, + in cui avrà 1. +

      +
      4. +
    +
    4. +
  4. Il poliedro è : i termini noti dei vincoli sono le coordinate del suo + vertice ottimo, mentre il termine noto della funzione obiettivo è il valore ottimo. +
    5. +
+ + +

+ Una soluzione con almeno una variabile di valore 0, dovuta a uno o più vincoli + ridondanti. +

+

+ Senza Regola di Bland e in presenza di vincoli ridondanti si rischia di trovarsi a fare + pivot infiniti. +

+ + + + +

+ Un estensione del Simplex per permettere la risoluzione di problemi la cui origine non + è una soluzione ammissibile. +

+

+ Prevede l'introduzione di un problema ausiliario, le cui incognite sono + dette artificiali. +

+

+ Il vettore delle incognite artificiali è solitamente chiamato {r`\mathbf{y}`}. +

+ + +
    +
  1. Crea un nuovo tableau, aggiungendo variabili artificiali in modo da avere una base + ammissibile. +
    2. +
  2. Sostituisci la vecchia funzione obiettivo con una nuova che minimizzi la somma di + tutte le variabili artificiali. +
    3. +
  3. Fase 1: Risolvi il nuovo problema con il Simplex primale.
    4. +
  4. Se il Simplex termina quando ci sono ancora variabili artificiali nella base, allora + il poliedro è . +
    5. +
  5. Una volta che le variabili artificiali sono fuori base, elimina le loro colonne e la + nuova funzione obiettivo.
    6. +
  6. Riporta il tableau in forma base compiendo operazioni per azzerare i + coefficienti delle variabili di base nella funzione obiettivo. +
    7. +
  7. Fase 2: Risolvi il tableau con il Simplex primale.
    8. +
+ + + + +

+ Una versione semplificata di un problema nella quale si ignora la violazione di uno o più + vincoli. +

+ + +

+ Un rilassamento che permette di misurare di quanto i vincoli vengono violati. +

+

+ I vincoli, moltiplicati per coefficienti di rilassamento, vengono inseriti nella funzione + obiettivo. +

+

+ Il vettore dei coefficienti di rilassamento solitamente è indicato + con {r`\mathbf{u}`}. +

+ +

+ Il sistema: +

+ {r` + \begin{cases} + z = 3 x_1 + 5 x_2\\ + 2 x_1 + 3 x_2 \geq 12\\ + - x_1 + 3 x_2 \geq 3\\ + x_1 \geq 0\\ + x_2 \geq 0 + \end{cases} + `} +

+ diventa: +

+ {r` + \begin{cases} + z = 3 x_1 + 5 x_2 + u_1 ( 12 - 2 x_1 - 3 x_2 ) + u_2 ( 3 + x_1 - 3 x_2 )\\ + x_1 \geq 0\\ + x_2 \geq 0 + \end{cases} + `} + + + + + +

+ Il sistema che massimizza/minimizza i moltiplicatori di + rilassamento di un problema detto primale. +

+ + +

+ Possiamo trasporre il tableau e sostituire le variabili {r`x_n`} con + variabili {r`u_n`} per ottenere il sistema duale! +

+

+ I maggiori e minori dei vincoli diventeranno maggiori e minori delle variabili e viceversa. +

+ + +
    +
  • Se un problema ha una soluzione finita, allora anche il suo duale la avrà.
    • +
  • Se un problema è , allora il suo duale potrà + essere oppure . +
    • +
  • Se un problema è , allora il suo duale sarà certamente .
    • +
+ + +

+ Variabili e vincoli del duale corrispondono rispettivamente a vincoli e variabili del primale. +

+

+ In particolare: +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
MinMax
Vincolo \leqVariabile \leq
Vincolo \geqVariabile \geq
Vincolo =Variabile libera
Variabile \leqVincolo \geq
Variabile \geqVincolo \leq
Variabile liberaVincolo =
+ + + + +

+ Una disuguaglianza lineare {r`c_0 \leq \mathbf{c}^T \mathbf{x}`} è verificata da + tutti i punti di un poliedro non- se e solo se esiste un + vettore {r`u \in \mathfrak{R}^m`} tale che: +

+ {r`\mathbf{c}^T \geq \mathbf{u}^T \mathbf{A}`} + {r`c_0 \leq \mathbf{u}^T \mathbf{b}`} + + +

+ Il teorema che dimostra l'equivalenza tra primale e duale. +

+

+ Se uno dei due problemi è finito, la soluzione di uno coincide con la soluzione dell'altro. +

+

+ {r`\mathbf{c}^T \mathbf{x} = \mathbf{u}^T \mathbf{b}`} +

+

+ TODO: Anche qui c'è una lunga dimostrazione... +

+ + +

+ Il teorema che dimostra che il valore della funzione obiettivo del duale (di un qualsiasi + tableau) è sempre minore o uguale/maggiore o uguale alla soluzione del + corrispettivo primale. +

+

+ TODO: Dimostrazione cortina, ma sembra complicata. +

+ + +

+ Il teorema che ci permette di passare dalla soluzione del duale alla soluzione del + primale. TODO: credo? +

+

+ Si deriva combinando le seguenti condizioni: +

+
    +
  • Ammissibilità del + primale: {r`\mathbf{A} \mathbf{X} \geq \mathbf{b}, \quad \mathbf{x} \geq 0`} +
    • +
  • Ammissibilità del + duale: {r`\mathbf{u}^T \mathbf{A} \leq \mathbf{c}^T, \quad \mathbf{u} \geq 0`} +
    • +
  • Teorema della dualità + forte: {r`\mathbf{c}^T \mathbf{x} = \mathbf{u}^T \mathbf{b}`} (alla soluzione + ottima) +
    • +
+

+ Ne risulta che una soluzione è ottima se e solo se: +

+ {r`\left( \mathbf{c}^T - \mathbf{u}^T \mathbf{A} \right) \mathbf{x} = 0`} + {r`\mathbf{u}^T \left( \mathbf{A} \mathbf{x} - \mathbf{b} \right) = 0`} + + + + +

+ Un'estensione al Simplex primale che opera sul problema duale. +

+ + +

+ Funziona esattamente come il Simplex primale, ma opera sul duale. +

+ + + + +

+ Un procedimento che misura di quanto può variare il termine noto di un + vincolo {r`b_i`} o il coefficiente della funzione + obiettivo {r`c_i`} prima che la base degeneri. +

+ + + + +

+ Particolari problemi di ottimizzazione lineare in cui le variabili sono vincolate ad essere + numeri interi. +

+ {r` + \mathbf{x} \in \mathbb{Z}^n + `} +

+ Spesso detti anche problemi di ILP. +

+ + +

+ Un rilassamento che rimuove il vincolo di integrità a un problema, trovando la sua soluzione + continua. +

+ + + + +

+ Un modo per passare dalla soluzione del rilassamento alla soluzione intera di un problema + di ILP. +

+

+ Consiste nel calcolare la soluzione di ogni singolo punto incluso nel poliedro, e selezionare + la minore/maggiore. +

+

+ Trova sicuramente la soluzione giusta, ma il costo computazionale è + esponenziale O(n^k)! +

+ + +

+ Un altro modo per passare dalla soluzione del rilassamento alla soluzione intera di un + problema di ILP. +

+

+ Consiste nell'arrotondare tutte le variabili al loro valore intero più vicino, e + calcolarne il valore ottimo. +

+

+ Funziona bene per valori grandi, ma più essi si avvicinano allo 0 più l'errore diventa + grande. +

+ + +

+ Un altro modo ancora per passare dalla soluzione del rilassamento alla soluzione intera + di un problema di ILP. +

+

+ Consiste nel tagliare il poliedro con nuovi vincoli (piani secanti) che riducono le + possibili soluzioni continue ma non quelle intere. +

+

+ Per selezionare i vincoli, si usano i tagli di Gomory: +

+ {r` + \sum_{j \in F} \left( \left( a_{tj} - \lfloor a_{tj} \rfloor \right) \cdot x_j \right) \geq (b_t - \lfloor b_t \rfloor) + `} +

+ Per ogni valore noto frazionario si viene quindi a creare una nuova variabile in base e + un nuovo vincolo formato dall'opposto di tutti i valori frazionari dei coefficienti fuori base. +

+ +

+ Il tableau: + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
{r`x_1`}{r`x_2`}{r`s_1`}{r`s_2`}TN
{r`1`}{r`1`}{r`0`}{r`0`}{r`0`}
{r`1`}{r`0`}{r`1`}{r`0`}{r`3`}
{r`\frac{3}{2}`}{r`\frac{1}{2}`}{r`0`}{r`1`}{r`\frac{6}{5}`}
+

+

+ Diventa: + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
{r`x_1`}{r`x_2`}{r`s_1`}{r`s_2`}{r`s_3`} + TN
{r`1`}{r`1`}{r`0`}{r`0`}{r`0`}{r`0`}
{r`1`}{r`0`}{r`1`}{r`0`}{r`0`}{r`3`}
{r`\frac{3}{2}`}{r`\frac{1}{2}`}{r`0`}{r`1`}{r`0`}{r`\frac{6}{5}`}
{r`-\frac{1}{2}`}{r`-\frac{1}{2}`}{r`0`}{r`0`}{r`1`}{r`-\frac{1}{5}`}
+

+ + + +

+ È possibile usare la tecnica divide et impera per rendere più efficiente l'enumerazione + totale. +

+

+ Si divide il problema principale (trovare il valore ottimo di un problema di ILP) in più + sottoproblemi (trovare il valore ottimo di un problema di ILP con una variabile impostata a un + valore fisso). +

+

+ Si crea così un albero. +

+

+ È possibile chiudere in anticipo alcuni nodi dell'albero se il loro miglior possibile + valore ottimo è inferiore a uno precedentemente trovato o se il loro poliedro è . +

+

+ È possibile utilizzare diverse strategie di esplorazione dell'albero: +

+
    +
  • depth-first: permette di raggiungere immediatamente a una soluzione accettabile + (ma non ottimale) +
    • +
  • best-first: permette di raggiungere più velocemente alla soluzione corretta
    • +
+ + +

+ È possibile combinare il metodo dei tagli secanti con la tecnica divide et + impera per raggiungere ancora più velocemente a una soluzione. +

+

+ Si effettuano poche iterazioni del metodo dei tagli secanti, e sul risultato di quelle + iterazioni si applica il divide et impera. +

+ + + Terminologia dei grafi TODO: migliorare}> + +

+ Insieme di nodi {r`N`} e archi {r`E`} che li + connettono. +

+

+ Può essere diretto se gli archi hanno una direzione. +

+ + +

+ Nodi connessi da un arco. +

+ + +

+ Arco connesso a un dato nodo. +

+ + +

+ Un arco diretto che termina o inizia da un dato nodo. +

+ + +

+ Conteggio degli archi incidenti di un nodo. +

+

+ Si può calcolare anche relativamente agli archi entranti o agli archi uscenti. +

+ + +

+ Sequenza di archi consecutivi. +

+ + +

+ Due nodi sono connessi se tra loro esiste almeno un percorso. +

+

+ Un grafo è connesso se tutti i suoi nodi sono connessi. +

+ + +

+ Percorsi rispettivamente indiretti e diretti in cui l'inizio coincide con la fine. +

+ + +

+ Grafo in cui ogni nodo è connesso con ogni altro. +

+

+ Se diretto, contiene {r`n \cdot (n - 1)`} archi; altrimenti, ne contiene la + metà. +

+ + +
+ Vedi Algoritmi. +
+ + +
+ Vedi Algoritmi. +
+ + +

+ Sottoinsieme di archi che connettono due sottoinsiemi di nodi. +

+

+ Può essere anche uscente o entrante; in tal caso include solo gli archi entranti o uscenti dal + sottoinsieme. +

+ + +

+ Sottoinsieme di nodi e archi di un grafo. +

+

+ Tutti gli archi di un sottografo possono connettere solo nodi all'interno di esso. +

+ + +

+ Sottografo connesso e aciclico. +

+ + +

+ Albero che include tutti i nodi di un grafo. +

+ + + + +

+ Crea uno spanning tree. +

+
    +
  1. Aggiungi l'arco di costo minimo all'albero.
    2. +
  2. Finchè mancano ancora archi: +
      +
    1. Trova tutti gli archi che aggiungerebbero un nuovo nodo all'albero.
      2. +
    2. Seleziona l'arco di costo minore.
      3. +
    +
    3. +
+ + +

+ Trova l'ordine topologico di un albero. +

+
    +
  1. Ripeti finchè ci sono nodi nel grafo: +
      +
    1. Assegna un numero sequenziale a un nodo senza archi entranti.
      2. +
    2. Elimina il nodo a cui hai assegnato il numero.
      3. +
    3. Elimina tutti gli archi incidenti sul nodo che hai eliminato.
      4. +
    +
    2. +
+ + +

+ Trova i percorsi di costo minimo in un albero. +

+
    +
  1. Trova l'ordine topologico dell'albero.
    2. +
  2. Invece che provare ogni singola combinazione di nodi, prova solo i nodi che hanno un numero + topologico maggiore di quello del nodo attuale. +
    3. +
+

+ TODO: forse spiegarlo meglio non farebbe male +

+ + + + +
+ Vedi Algoritmi. +
+ + + + Trova il volume massimo di acqua che è possibile fare scorrere attraverso tubature con una data + capacità. + +

+ Costruisci il grafo residuo e vedi se c'è un percorso che va dalla sorgente alla destinazione. +

+

+ +

+

+ +

+ + +
+ +

+ Valori che sono calcolati al momento della compilazione del programma: +

+ + param nomeparametro; + +

+ Si possono assegnare valori ai parametri nel codice con: +

+ + nomeparametro := 123 + 234; + + + +

+ Insiemi di parametri: +

+ + set NOMESET; + +

+ Si possono definire i contenuti dei set con: +

+ {r` + set DA_UNO_A_DIECI := 1 .. 10; + set DA_UNO_A_PARAMETRO := 1 .. parametro; + `} +

+ Si possono effettuare operazioni su set con: +

+ {r` + set UNIONE := SET_A union SET_B; + set INTERSEZIONE := SET_A inter SET_B; + `} + + +

+ Valori che sono calcolati al momento dell'esecuzione del programma: +

+ + var nomevariabile; + + +
+
+ +

+ È possibile richiedere che un parametro o una variabile soddisfino certi requisiti. +

+

+ Si può richiedere che siano {r`\geq`} o {r`\leq`} di un certo valore: +

+ {r` + param positivo, > 0; + var non_positiva, <= 0; + `} +

+ Si può richiedere che appartengano a un dato set: +

+ {r` + param intero_positivo, integer, > 0; + var zero_oppure_uno, binary; + `} + + +

+ È possibile creare anche un "array" di parametri o variabili: +

+ {r` + param dieci_parametri{1..10}; + var quadrato{1..10, 1..10}; + var cubo{1..10, 1..10, 1..10}; + `} +

+ Si possono usare anche set: +

+ {r` + param dieci_parametri{DA_UNO_A_DIECI}; + `} + +
+
+ +

+ La funzione obiettivo può comparire solo una volta nel programma. +

+

+ Si definisce con: +

+ {r` + minimize valore_ottimo_min: espressione; + maximize valore_ottimo_max: espressione; + `} + + +

+ I vincoli a cui sono soggette le variabili si definiscono con: +

+ {r` + nome_vincolo_1: espressione <= 1; + nome_vincolo_2: espressione >= parametro; + `} +

+ I vincoli possono essere indicizzati: +

+ {r` + // La diagonale del quadrato deve essere minore di 1 + v_3{i in DA_UNO_A_DIECI}: quadrato[i, i] <= 1; + + // Tutti i valori del quadrato devono essere minori o uguali a 1 + v_4{i in DA_UNO_A_DIECI, j in DA_UNO_A_DIECI}: quadrato[i, j] <= 1; + `} +

+ Esistono anche operatori aggregati: +

+ {r` + // La somma degli elementi della diagonale deve essere maggiore o uguale a 0 + v_5: sum{i in DA_UNO_A_DIECI} quadrato[i, i] >= 0; + + // Il prodotto degli elementi della diagonale deve essere maggiore o uguale a 0 + v_6: prod{i in DA_UNO_A_DIECI} quadrato[i, i] >= 0; + `} +

+ Si possono anche aggiungere requisiti agli indici: +

+ {r` + v_7: sum{i in DA_UNO_A_DIECI, i <= 5} quadrato[i, i] >= 0; + + v_8: prod{i in SET, i not in ALTRO_SET} quadrato[i, i] >= 0; + `} + +
+
+ +

+ Perchè il programma calcoli i valori di tutte le variabili, è necessaria l'istruzione: +

+ {r` + solve; + `} +

+ Per stampare i valori calcolati, è possibile usare: +

+ {r` + printf "%d \n", nomevar; + `} +

+ Eventualmente, anche in un ciclo for: +

+ {r` + for{i in DA_UNO_A_DIECI} { + printf "%d: %d \n", i, x[i]; + } + `} + + +

+ Per compilare ed eseguire il programma, è sufficiente eseguire: +

+ + glpsol --math nomefile.mod + +

+ È possibile specificare i dati in un file separato da quello del modello; in tal caso, si dovrà eseguire: +

+ + glpsol --math -m modello.mod -d dati.mod + +

+ Per salvare i risultati su file e visualizzarli a schermo: +

+ + glpsol --math nomefile.mod | tee risultati.txt + + +
+ +} + +export default Page diff --git a/pages/year2/sistemioperativi.tsx b/pages/year2/sistemioperativi.tsx new file mode 100644 index 0000000..cc8fb3d --- /dev/null +++ b/pages/year2/sistemioperativi.tsx @@ -0,0 +1,37 @@ +import Bluelib, { Heading, Chapter, Box, Idiomatic as I, Anchor as A, ListUnordered, ListOrdered } from '@steffo/bluelib-react' +import type { NextPage } from 'next' + +const Page: NextPage = () => { + return <> + + Sistemi operativi + + + + + Introduzione + +

+ Non ho appunti di Sistemi operativi: ho studiato direttamente le slides, in quanto ogni minimo dettaglio di esse poteva essermi chiesto all'esame. +

+

+ Ho però la soluzione che ho dato ad un Arzigogolo, una sfida particolarmente posta dal nostro prof. per verificare le abilità dei suoi studenti. +

+ + + + + + Arzigogoli + + + + Arzigogolo 5 (.md, ftrace) + + + + + +} + +export default Page diff --git a/public/materials/year2/sistemioperativi/05_Arzigogolo5_soluzione.md b/public/materials/year2/sistemioperativi/05_Arzigogolo5_soluzione.md new file mode 100644 index 0000000..50f5631 --- /dev/null +++ b/public/materials/year2/sistemioperativi/05_Arzigogolo5_soluzione.md @@ -0,0 +1,297 @@ +# Arzigogolo 5 + +## Prerequisiti + +Si allochino almeno 4 GB di memoria alla macchina virtuale Arch Linux, altrimenti `cscope` non sarà in grado di funzionare sul codice sorgente del kernel Linux. + +All'interno di essa, si installino tramite `pacman` i programmi necessari allo svolgimento degli esercizi: `pacman -S cscope wget git gcc`. + +_Per semplicità, si assume che in fase di installazione si sia installato su Arch il pacchetto `linux` contenente il kernel Linux standard, e non pacchetti contenenti kernel alternativi come `linux-hardened` o `linux-zen`._ + +## Esercizio 1 + +### Comandi utilizzati + +- `uname` è un comando che permette di visualizzare informazioni sul sistema operativo attualmente in esecuzione: con l'opzione `-r`, esso stampa la release del kernel attualmente in uso. + +- `wget` è un comando che permette di scaricare file dal web: il primo argomento che gli viene passato specifica quale pagina o file esso deve scaricare. + +- `tar` è un comando che permette di estrarre o inserire file in un archivio: l'opzione `-x` specifica che deve estrarre (e`x`tract) i file da un archivio, mentre l'opzione `-f {NOMEFILE}` specifica il file archivio da cui deve estrarre i file. + +- `ldd` è un comando che permette di visualizzare le librerie dinamiche richieste per il funzionamento di un certo eseguibile; se usato con l'opzione `--version`, esso stamperà la versione della libreria C del sistema. + +- `git clone` è un comando che permette di creare una copia del repository Git presente alla posizione del primo argomento. Il primo argomento può essere il percorso di un file locale, un percorso di un file remoto accessibile tramite `ssh`, oppure l'URL di una pagina web accessibile tramite i protocolli `https` o `git`. + +- `git checkout` è un comando che permette di cambiare branch del repository Git presente nella current working directory: il primo argomento specifica il nome del branch a cui si vuole passare. + +- `cscope` è un comando che indicizza il codice sorgente C di un programma per permettere di ricercare velocemente simboli al suo interno. + - Con l'opzione `-b`, `cscope` creerà l'indice dei simboli presenti nei file `.c`, `.h`, `.l` e `.y` della directory attuale. + - Con l'opzione `-q`, `cscope` creerà in aggiunta un indice inverso di simboli, permettendo l'utilizzo di un algoritmo più veloce per la ricerca (a costo di un maggiore utilizzo di memoria). + - Con l'opzione `-k`, `cscope` ignorerà le librerie presenti all'interno del sistema operativo (in `/usr/include`), e si limiterà a indicizzare i file nella directory attuale. + Questa modalità è detta “kernel mode”, e viene utilizzata nel caso si stia indicizzando il codice sorgente del kernel Linux, in quanto esso implementa le funzioni definite all’interno degli header include. + - Con l'opzione `-R`, `cscope` cercherà file sorgenti ricorsivamente (all'interno di tutte le sottocartelle presenti nella cartella attuale). + - Con l'opzione `-v`, `cscope` stamperà ogni secondo informazioni sul progresso attuale dell'indicizzazione. + +### Scaricare il codice sorgente del kernel Linux + +Si controlli la release del kernel Linux attualmente in esecuzione sul sistema con il comando `uname -r`. + +Si cerchi sul sito web https://www.kernel.org/ la versione corrispondente a quella attualmente in esecuzione, e se ne scarichi l'archivio del codice sorgente con il comando `wget`: nel caso della release 5.3.8, il comando è `wget https://cdn.kernel.org/pub/linux/kernel/v5.x/linux-5.3.8.tar.xz`. + +Si estraggano i file dall'archivio scaricato con il comando `tar -xf linux-5.3.8.tar.xz`: esso creerà una nuova cartella `linux-5.3.8` contenente il codice sorgente del kernel attualmente in uso. + +### Scaricare il codice sorgente della libreria C + +Si controlli la versione della libreria C (`glibc`) disponibile sul sistema con il comando `ldd --version`. + +Si cloni il repository Git di `glibc`, disponibile all'URL `git://sourceware.org/git/glibc.git`: `git clone git://sourceware.org/git/glibc.git`; sarà creata una cartella `glibc` contenente il codice sorgente più recente della libreria C. + +Si entri nella cartella `glibc` con `cd glibc`. + +Si risalga al codice sorgente della release attuale con il comando `git checkout`: nel caso della release 2.30, il comando sarà `git checkout release/2.30/master`: terminata l'esecuzione, nella cartella sarà presente il codice sorgente della libreria C attualmente in uso dal sistema. + +Si esca dalla cartella con `cd ..`. + +### Creazione del database `cscope` + +Si entri nella cartella `linux-5.3.8`, e si esegua `cscope -bqkRv`; saranno creati i file `cscope.out`, `cscope.in.out`, `cscope.po.out`, rappresentanti l'indice del codice sorgente del kernel Linux; si esca infine dalla cartella con `cd ..`. + +Si entri nella cartella `glibc` e si ripeta il comando `cscope -bqkRv`; si è ottenuto l'indice del codice sorgente della libreria C; si esca nuovamente dalla cartella con `cd ..`. + +## Esercizio 2 + +### Comandi utilizzati + +- `mount` è un comando che permette di connettere ad una cartella il file system di un dispositivo collegato al computer. + - L'opzione `-t {TIPO}` specifica il tipo di filesystem che si sta montando: ad esempio, alcuni tipi che possono essere specificati sono `ext4` (filesystem usato principalmente da Linux), `ntfs` (filesystem usato da Windows), e anche tipi speciali come `tracefs` (contenente file per la tracciatura di eventi nel kernel) e `debugfs` (contenente file per il debug del kernel) che non rappresentano dati contenuti all'interno di un dispositivo. + - Il primo argomento specifica il percorso del file dispositivo che si vuole montare; può essere il nome speciale `nodev`, che rappresenta nessun dispositivo ed è utilizzato dai tipi speciali precedentemente menzionati. + - Il secondo argomento specifica la directory in cui si vuole montare il file system; essa verrà popolata con tutti i rispettivi file al termine dell'esecuzione del comando. + +### Verificare che `ftrace` sia supportato dal kernel + +E' possibile verificare se `ftrace` sia supportato o no dal kernel Linux verificando l'esistenza della cartella `/sys/kernel/tracing`. + +Se la cartella esiste, è possibile montarvi il filesystem speciale `tracefs`, contenente tutti i file relativi al tracing, tramite il comando `mount -t tracefs nodev /sys/kernel/tracing`. + +### Verificare che `ftrace` sia attivo nel sistema + +E' possibile vedere lo stato di attivazione del tracing leggendo i contenuti del file `/sys/kernel/tracing/tracing_on`: esso conterrà `0` se `ftrace` è disattivato e `1` se `ftrace` è attivato. + +### Attivare o disattivare `ftrace` + +E' possibile attivare o disattivare `ftrace` scrivendo rispettivamente `1` o `0` nel file `/sys/kernel/tracing/tracing_on`: il modo più facile per farlo è con i comandi `echo 1 > /sys/kernel/tracing/tracing_on` e `echo 0 > /sys/kernel/tracing/tracing_on`. + +### Abilitare la tracciatura completa di tutte le funzioni del kernel + +E' possibile selezionare il tipo di tracciatura che si vuole effettuare scrivendo una stringa all'interno del file `/sys/kernel/tracing/current_tracer`. + +Un elenco di tutti i tipi di tracciatura supportati è presente all'interno del file `/sys/kernel/tracing/available_tracers`. + +Il tipo di tracciatura necessario per ottenere l'albero delle funzioni del kernel è `function_graph`; lo si scriva quindi sul file `current_tracer` con il comando `echo "function_graph" > /sys/kernel/tracing/current_tracer`. + +### Recuperare la traccia di esecuzione completa delle funzioni del kernel + +Una volta sottoscritti a uno più eventi, è possibile visualizzare la traccia degli eventi a cui si è sottoscritti all'interno del file `/sys/kernel/tracing/trace` (ad esempio con il comando `cat /sys/kernel/tracing/trace`). + +## Esercizio 3 + +### Comandi utilizzati + +Il comando `gcc` compila i file sorgente C che gli vengono passati come argomenti e come risultato crea il file eseguibile `a.out`. + +### Programma in C + +Si crei il seguente programma C, salvandolo su un file chiamato `programma.c`: + +```c +#include +#include + +int main(int argc, char* argv[]) { + if(access("/etc/passwd", R_OK)) { + printf("/etc/passwd è leggibile dall'utente attuale"); + return 0; + } + else { + printf("/etc/passwd NON è leggibile dall'utente attuale"); + return 1; + } +} +``` + +### `access()` (la funzione `s`) + +La funzione `int access(const char *pathname, int mode);` è una funzione di `glibc` che permette di controllare se un file esiste e se l'utente che ha eseguito il programma (l'utente _reale_, non l'utente _effettivo_) ha i permessi di leggere/scrivere/eseguire quel file. + +Per effettuare la verifica, la funzione effettua una syscall, chiamando la funzione `sys_access` del kernel Linux. + +L'argomento `pathname` specifica il percorso del file su cui si vuole effettuare il controllo. + +L'argomento `mode` specifica quali controlli si vogliono effettuare sui permessi del file: +- Con il flag `F_OK` si verifica solo l'esistenza del file +- Con il flag `R_OK` si verifica se l'utente che ha eseguito il programma ha permessi di lettura sul file +- Con il flag `W_OK` si verifica se l'utente che ha eseguito il programma ha permessi di scrittura sul file +- Con il flag `X_OK` si verifica se l'utente che ha eseguito il programma ha permessi di esecuzione sul file + +E' possibile effettuare l'OR bitwise tra più flag (`R_OK | W_OK`) per verificare che l'utente abbia tutti i permessi delle flag passate. + +### Compilazione del programma + +Si compili il file invocando il comando `gcc programma.c`; sarà creato l'eseguibile linkato dinamicamente `a.out`. + +Per creare l'albero di funzioni di `access()`, si userà `ftrace`, già configurato in precedenza, e `ltrace`, descritto nella sezione _Esercizio 3 > Comandi utilizzati_. + +### Recupero dell'albero di funzioni + +Si disattivi il tracing scrivendo `0` su `/sys/kernel/tracing/tracing_on` (`echo 0 > /sys/kernel/tracing/tracing_on`). + +Si svuoti la traccia attuale scrivendo `""` su `/sys/kernel/tracing/trace` (`echo "" > /sys/kernel/tracing/trace`). + +Si inserisca poi il comando `echo 1 > /sys/kernel/tracing/tracing_on; ./a.out; echo 0 > /sys/kernel/tracing/tracing_on; cat /sys/kernel/tracing/ > ftrace.txt`: si attiverà la tracciatura solo per il tempo necessario all'esecuzione del programma `./a.out`, in modo da tracciare solo le funzioni di sistema chiamate durante l'esecuzione del programma, e infine la traccia sarà copiata sul file `ftrace.txt`. + +Si cerchi all'interno del file `ftrace.txt` la riga contenente `sys_access()`: si è ottenuto l'albero delle chiamate della chiamata di sistema `access()`. + +Segue un estratto dal file ftrace, assieme al commento delle principali funzioni invocate (le linee di commento iniziano con un cancelletto). + +### Commento dell'albero di funzioni + +```python +# La chiamata di sistema access, per l'architettura x64 +__x64_sys_access() { + # Funzione corrispondente alla chiamata di sistema access + do_faccessat() { + # Crea una struttura "creds" modificabile, contenente le credenziali di un utente, e incrementa di 1 il suo reference counter + prepare_creds() { + # Alloca memoria dalla cache + kmem_cache_alloc() { + should_failslab(); + memcg_kmem_get_cache() { + __rcu_read_lock(); + preempt_count_add(); + preempt_count_sub(); + __rcu_read_unlock(); + } + memcg_kmem_put_cache() { + preempt_count_add(); + preempt_count_sub(); + } + } + # Riempi la struttura con dei dati + security_prepare_creds() { + lsm_cred_alloc.isra.0(); + } + } + # Se si passa da root a un altro utente, rimuovi i permessi + make_kuid() { + map_id_range_down(); + } + # Cambia le credenziali del processo attuale + override_creds(); + # Trova un file a un dato percorso in userspace + user_path_at_empty() { + # Trova le flag dei permessi del file con un dato nome + getname_flags() { + kmem_cache_alloc() { + should_failslab(); + memcg_kmem_put_cache(); + } + __check_object_size() { + check_stack_object(); + __virt_addr_valid(); + __check_heap_object(); + } + } + # Cerca il file con un dato nome + filename_lookup() { + path_lookupat.isra.0() { + path_init() { + __rcu_read_lock(); + # Parti dalla root directory ( / ) + set_root(); + nd_jump_root(); + } + # Attraversa le varie directory + link_path_walk() { + # Assicurati di avere i permessi per entrare in una directory + inode_permission() { + generic_permission(); + security_inode_permission(); + } + # Entra nella directory + walk_component() { + lookup_fast() { + __d_lookup_rcu(); + __follow_mount_rcu.isra.0() { + __lookup_mnt(); + } + } + } + inode_permission() { + generic_permission(); + security_inode_permission(); + } + } + walk_component() { + lookup_fast() { + __d_lookup_rcu(); + __follow_mount_rcu.isra.0(); + } + } + # Termina l'esplorazione delle directory + complete_walk() { + unlazy_walk() { + legitimize_links(); + legitimize_path.isra.0() { + __legitimize_mnt(); + } + __rcu_read_unlock(); + } + } + # Restituisci il risultato + terminate_walk() { + dput(); + mntput(); + } + } + restore_nameidata(); + putname() { + kmem_cache_free(); + } + } + } + # Controlla di avere i permessi di lettura + inode_permission() { + generic_permission(); + security_inode_permission(); + } + # Libera la memoria + path_put() { + dput() { + __rcu_read_lock(); + __rcu_read_unlock(); + } + mntput() { + mntput_no_expire() { + __rcu_read_lock(); + __rcu_read_unlock(); + } + } + } + # Ritorna alle credenziali originali + revert_creds(); + # Decrementa di 1 il reference counter delle credenziali create in precedenza, al fine di deallocare la struttura se nessun altro processo la stausando + __put_cred() { + put_cred_rcu() { + security_cred_free(); + key_put(); + key_put(); + key_put(); + key_put(); + free_uid(); + # Il reference counter ha raggiunto 0, si può deallocare la memoria occupata dalla struttura “creds” in sicurezza + kmem_cache_free(); + } + } + } +} +``` diff --git a/public/materials/year2/sistemioperativi/05_ftrace.txt b/public/materials/year2/sistemioperativi/05_ftrace.txt new file mode 100644 index 0000000..fcc459e --- /dev/null +++ b/public/materials/year2/sistemioperativi/05_ftrace.txt @@ -0,0 +1,28400 @@ +# tracer: function_graph +# +# CPU DURATION FUNCTION CALLS +# | | | | | | | + 0) 0.140 us | } /* mem_cgroup_uncharge_list */ + 0) 0.141 us | free_unref_page_list(); + 0) 0.932 us | } /* release_pages */ + 0) 2.344 us | } /* free_pages_and_swap_cache */ + 0) 6.563 us | } /* tlb_flush_mmu */ + 0) | free_pages() { + 0) | free_pages.part.0() { + 0) | __free_pages() { + 0) | free_unref_page() { + 0) 0.140 us | free_pcp_prepare(); + 0) 0.241 us | free_unref_page_prepare.part.0(); + 0) 0.190 us | free_unref_page_commit(); + 0) 1.132 us | } + 0) 1.413 us | } + 0) 1.693 us | } + 0) 1.943 us | } + 0) 8.947 us | } /* tlb_finish_mmu */ + 0) + 67.637 us | } /* unmap_region */ + 0) | remove_vma() { + 0) | fput() { + 0) | fput_many() { + 0) | task_work_add() { + 0) | kick_process() { + 0) 0.130 us | preempt_count_add(); + 0) 0.141 us | preempt_count_sub(); + 0) 0.691 us | } + 0) 0.982 us | } + 0) 1.412 us | } + 0) 1.663 us | } + 0) | vm_area_free() { + 0) | kmem_cache_free() { + 0) 0.170 us | __slab_free(); + 0) 0.511 us | } + 0) 0.802 us | } + 0) 2.956 us | } + 0) 0.140 us | preempt_count_add(); + 0) 0.130 us | preempt_count_sub(); + 0) + 75.051 us | } /* __do_munmap */ + 0) 0.131 us | up_read(); + 0) + 75.862 us | } /* __vm_munmap */ + 0) + 76.924 us | } /* __x64_sys_munmap */ + 0) | syscall_slow_exit_work() { + 0) | __audit_syscall_exit() { + 0) | path_put() { + 0) 0.130 us | dput(); + 0) 0.150 us | mntput(); + 0) 0.671 us | } + 0) 0.131 us | unroll_tree_refs(); 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