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10
src/components/example.css Normal file
View file

@ -0,0 +1,10 @@
.example {
border: none;
color: #d3a1ff;
background-color: rgba(211, 161, 255, 0.1);
border-radius: 4px;
}
.example::before {
content: "♦ ";
}

12
src/components/example.js Normal file
View file

@ -0,0 +1,12 @@
import style from "./example.css";
import {Component} from "preact";
export default class Example extends Component {
render() {
return (
<blockquote class={style.example}>
{this.props.children}
</blockquote>
)
}
}

13
src/index.css
View file

@ -39,4 +39,17 @@ a:active {
img {
max-width: 100%;
}
code {
font-family: "Consolas", monospace;
}
blockquote {
border-left: 3px solid #a0ccff;
padding: 4px;
margin-left: 12px;
background-color: rgba(62.7%, 80%, 100%, 0.1);
border-top-right-radius: 4px;
border-bottom-right-radius: 4px;
}

634
src/pages/statistica.js
View file

@ -3,118 +3,139 @@ import { Component } from 'preact';
import Latex from '../components/latex';
import Panel from '../components/panel';
import Split from '../components/split';
import Plus from '../components/plus';
import Minus from '../components/minus';
import Todo from '../components/todo';
import Theorem from "../components/theorem";
import Hypothesis from "../components/hypothesis";
import Thesis from "../components/thesis";
import Proof from "../components/proof";
import Example from "../components/example";
const r = String.raw;
export default class Statistica extends Component {
render() {
/*
<Split title={"Popolazioni"}>
<Panel title={"Popolazione"} id={"popolazione"}>
<p>
Gruppo <b>intero</b> di oggetti di cui si cercano informazioni.
</p>
</Panel>
<Panel title={"Popolazione tangibile"}>
<p>
Popolazione finita di oggetti concreti che possono essere campionati ciascuno solo una volta.
</p>
</Panel>
<Panel title={"Popolazione concettuale"}>
<p>
Popolazione di valori ottenuti da prove sperimentali indipendenti ripetute più volte.
</p>
</Panel>
</Split>
<Split title={"Campionamento"}>
<Panel title={"Campione"}>
<p>
Sottoinsieme della <a href={"#popolazione"}>popolazione</a> che contiene gli oggetti che si sono osservati.
</p>
</Panel>
<Panel title={<i>Simple random sample</i>}>
<p>
Campione di una data dimensione in cui qualsiasi selezione di <i>n</i> elementi ha la stessa probabilità di costituire il campione.
</p>
</Panel>
<Panel title={<i>Sample of convenience</i>}>
<p>
Campione ottenuto in un modo casuale non ben definito.
</p>
</Panel>
<Panel title={<i>Sample with replacement</i>}>
<p>
Campione ottenuto sostituendo nella popolazione gli elementi estratti con dei nuovi elementi.
</p>
<p>
Dire che un campione è ottenuto <i>with replacement</i> è equivalente a dire che la popolazione che si sta campionando è infinita, e quindi che tutti gli elementi sono indipendenti.
</p>
</Panel>
<Panel title={"Campione pesato"}>
<p>
Campione ottenuto da una popolazione in cui certi elementi hanno più probabilità di essere stati selezionati di altri.
</p>
</Panel>
<Panel title={<i>Stratified random sample</i>}>
<p>
Campione ottenuto da un sottoinsieme della popolazione detto <i>strato</i>.
</p>
</Panel>
<Panel title={<i>Cluster sample</i>}>
<p>
Campione ottenuto selezionando più <i>cluster</i> di elementi alla volta.
</p>
</Panel>
</Split>
<Split>
<Panel title={<i>Sampling variation</i>}>
<p>
Differenza di informazioni presente tra due campioni diversi della stessa popolazione.
</p>
</Panel>
<Panel title={"Indipendenza"}>
<p>
Gli elementi in un campione sono indipendenti se gli elementi estratti in precedenza non influsicono <small>significativamente</small> sulle probabilità di estrazione dell'elemento successivo.
</p>
</Panel>
</Split>
<Split title={"Tipi di prove sperimentali"}>
<Panel title={"A campione singolo"}>
<p>
Esperimento in cui c'è una sola popolazione da cui vengono estratti campioni.
</p>
<p>
Serve per verificare delle condizioni.
</p>
</Panel>
<Panel title={"Multicampione"}>
<p>
Esperimento in cui sono presenti più popolazioni (aventi caratteristiche differenti una dall'altra dette <i>fattori</i>) da cui vengono estratti campioni.
</p>
<p>
Serve per capire quali fattori influenzano il risultato dell'esperimento.
</p>
</Panel>
</Split>
<Split title={"Tipi di dato"}>
<Panel title={<span>Numerico<small> o quantitativo</small></span>}>
Il dato descrive un valore numerico relativo all'elemento, come ad esempio una quantità fisica.
</Panel>
<Panel title={<span>Categorico<small> o qualitativo</small></span>}>
Il dato indica una categoria a cui appartiene l'elemento, come ad esempio il suo colore.
</Panel>
</Split>
*/
return (
<div style={style.statistica}>
<h1>Statistica ed Elementi di Probabilità</h1>
<Split title={"Popolazioni"}>
<Panel title={"Popolazione"} id={"popolazione"}>
<Split title={"Tipi di probabilità"}>
<Panel title={"Classica"}>
<p>
Gruppo <b>intero</b> di oggetti di cui si cercano informazioni.
<Latex>{r`P(E) = \frac{casi\ favorevoli}{casi\ possibili}`}</Latex>
</p>
</Panel>
<Panel title={"Popolazione tangibile"}>
<Panel title={"Frequentista"}>
<p>
Popolazione finita di oggetti concreti che possono essere campionati ciascuno solo una volta.
<Latex>{r`P(E) = \frac{successi}{prove\ totali}`}</Latex>
</p>
</Panel>
<Panel title={"Popolazione concettuale"}>
<Panel title={"Soggettiva"}>
<p>
Popolazione di valori ottenuti da prove sperimentali indipendenti ripetute più volte.
Il prezzo che un individuo coerente riterrebbe equo per ricevere <b>1</b> nel caso l'evento si verificasse e <b>0</b> nel caso l'evento non si verificasse.
</p>
</Panel>
</Split>
<Split title={"Campionamento"}>
<Panel title={"Campione"}>
<p>
Sottoinsieme della <a href={"#popolazione"}>popolazione</a> che contiene gli oggetti che si sono osservati.
</p>
</Panel>
<Panel title={<i>Simple random sample</i>}>
<p>
Campione di una data dimensione in cui qualsiasi selezione di <i>n</i> elementi ha la stessa probabilità di costituire il campione.
</p>
</Panel>
<Panel title={<i>Sample of convenience</i>}>
<p>
Campione ottenuto in un modo casuale non ben definito.
</p>
</Panel>
<Panel title={<i>Sample with replacement</i>}>
<p>
Campione ottenuto sostituendo nella popolazione gli elementi estratti con dei nuovi elementi.
</p>
<p>
Dire che un campione è ottenuto <i>with replacement</i> è equivalente a dire che la popolazione che si sta campionando è infinita, e quindi che tutti gli elementi sono indipendenti.
</p>
</Panel>
<Panel title={"Campione pesato"}>
<p>
Campione ottenuto da una popolazione in cui certi elementi hanno più probabilità di essere stati selezionati di altri.
</p>
</Panel>
<Panel title={<i>Stratified random sample</i>}>
<p>
Campione ottenuto da un sottoinsieme della popolazione detto <i>strato</i>.
</p>
</Panel>
<Panel title={<i>Cluster sample</i>}>
<p>
Campione ottenuto selezionando più <i>cluster</i> di elementi alla volta.
</p>
</Panel>
</Split>
<Split>
<Panel title={<i>Sampling variation</i>}>
<p>
Differenza di informazioni presente tra due campioni diversi della stessa popolazione.
</p>
</Panel>
<Panel title={"Indipendenza"}>
<p>
Gli elementi in un campione sono indipendenti se gli elementi estratti in precedenza non influsicono <small>significativamente</small> sulle probabilità di estrazione dell'elemento successivo.
</p>
</Panel>
</Split>
<Split title={"Tipi di prove sperimentali"}>
<Panel title={"A campione singolo"}>
<p>
Esperimento in cui c'è una sola popolazione da cui vengono estratti campioni.
</p>
<p>
Serve per verificare delle condizioni.
</p>
</Panel>
<Panel title={"Multicampione"}>
<p>
Esperimento in cui sono presenti più popolazioni (aventi caratteristiche differenti una dall'altra dette <i>fattori</i>) da cui vengono estratti campioni.
</p>
<p>
Serve per capire quali fattori influenzano il risultato dell'esperimento.
</p>
</Panel>
</Split>
<Split title={"Tipi di dato"}>
<Panel title={<span>Numerico<small> o quantitativo</small></span>}>
Il dato descrive un valore numerico relativo all'elemento, come ad esempio una quantità fisica.
</Panel>
<Panel title={<span>Categorico<small> o qualitativo</small></span>}>
Il dato indica una categoria a cui appartiene l'elemento, come ad esempio il suo colore.
</Panel>
</Split>
<Split title={"Linguaggio matematico"}>
<Panel title={"Spazio campionario"}>
<blockquote>
"omegone"
</blockquote>
<p>
L'<b>insieme</b> di tutti gli esiti possibili di un esperimento.
</p>
@ -123,17 +144,20 @@ export default class Statistica extends Component {
</p>
</Panel>
<Panel title={"Esito"}>
<blockquote>
"omeghino"
</blockquote>
<p>
Uno dei possibili risultati di un esperimento.
Un <b>elemento</b> dello spazio campionario.
</p>
<p>
E' un <b>elemento</b> dello spazio campionario.
</p>
<p>
<Latex>{r`\omega = 1`}</Latex> "omeghino"
<Latex>{r`\omega = 1`}</Latex>
</p>
</Panel>
<Panel title={"Evento"}>
<blockquote>
"e"
</blockquote>
<p>
Un <b>sottoinsieme</b> dello spazio campionario.
</p>
@ -144,7 +168,10 @@ export default class Statistica extends Component {
Lo spazio campionario stesso è un <b>evento certo</b>.
</p>
</Panel>
<Panel title={"NOT"}>
<Panel title={"Not"}>
<blockquote>
"not e"
</blockquote>
<p>
Il <b>complementare</b> di un sottoinsieme.
</p>
@ -152,7 +179,10 @@ export default class Statistica extends Component {
<Latex>{r`\bar{E} = \left \{ 3, 4, 5, 6 \right \}`}</Latex>
</p>
</Panel>
<Panel title={"AND"}>
<Panel title={"And"}>
<blockquote>
"e intersecato effe"
</blockquote>
<p>
L'<b>intersezione</b> di più sottoinsiemi.
</p>
@ -160,7 +190,10 @@ export default class Statistica extends Component {
<Latex>{r`E \cap F = \left \{ 1 \right \}`}</Latex>
</p>
</Panel>
<Panel title={"OR"}>
<Panel title={"Or"}>
<blockquote>
"e unito a effe"
</blockquote>
<p>
L'<b>unione</b> di più sottoinsiemi.
</p>
@ -169,11 +202,17 @@ export default class Statistica extends Component {
</p>
</Panel>
<Panel title={"Differenza"}>
<blockquote>
"e meno effe"
</blockquote>
<p>
<Latex>{r`E \setminus F = E \cap \bar{F}`}</Latex>
</p>
</Panel>
<Panel title={"Implicazione"}>
<blockquote>
"e contenuto in effe"
</blockquote>
<p>
L'<b>inclusione</b> del primo insieme in un altro.
</p>
@ -185,14 +224,20 @@ export default class Statistica extends Component {
</p>
</Panel>
<Panel title={"Evento impossibile"}>
<blockquote>
"e è impossibile"
</blockquote>
<p>
Un sottoinsieme <b>vuoto</b>.
</p>
<p>
<Latex>{r`I = \emptyset`}</Latex>
<Latex>{r`E = \emptyset`}</Latex>
</p>
</Panel>
<Panel title={"Mutua esclusione"}>
<blockquote>
"e ed effe si escludono mutualmente"
</blockquote>
<p>
La <b>disgiunzione</b> di due insiemi.
</p>
@ -201,21 +246,27 @@ export default class Statistica extends Component {
</p>
</Panel>
</Split>
<Split title={"Famiglia degli eventi"}>
<Panel title={"Famiglia"}>
<Split>
<Panel title={"Famiglia degli eventi"}>
<blockquote>
"famiglia effe"
</blockquote>
<p>
I sottoinsiemi dello spazio campionario formano una <b>famiglia</b> di sottoinsiemi detta <i>famiglia degli eventi</i>.
</p>
<p>
<Latex>{r`\mathcal{F}`}</Latex> ("effe")
<Latex>{r`\mathcal{F}`}</Latex>
</p>
<p>
Qualsiasi sottoinsieme appartenente a <Latex>{r`\mathcal{F}`}</Latex> è considerato un evento.
</p>
</Panel>
<Panel title={<span><Latex>{r`\sigma`}</Latex>-algebra</span>}>
<blockquote>
"sigma algebra"
</blockquote>
<p>
Se la famiglia degli eventi soddisfa questi tre requisiti, allora viene detta <span><Latex>{r`\sigma`}</Latex>-algebra</span>:
Se la famiglia degli eventi soddisfa questi tre requisiti, allora viene detta <i><Latex>{r`\sigma`}</Latex>-algebra</i>:
</p>
<ol>
<li>
@ -233,25 +284,30 @@ export default class Statistica extends Component {
</p>
</Panel>
</Split>
<Split title={"Tipi di probabilità"}>
<Panel title={"Classica"}>
<Split>
<Panel title={"Partizione"}>
<blockquote>
"la partizione e composta da e uno, e due, e tre..."
</blockquote>
<p>
<Latex>{r`P(E) = \frac{casi\ favorevoli}{casi\ possibili}`}</Latex>
Un insieme di esiti e eventi:
</p>
</Panel>
<Panel title={"Frequentista"}>
<ul>
<li><b>Finito</b>.</li>
<li>In cui tutti gli eventi hanno <b>probabilità diversa da 0</b>.</li>
<li>In cui tutti gli eventi sono <b>mutualmente esclusivi</b>.</li>
<li>In cui l'unione di tutti i suoi elementi <b>copre lo spazio campionario</b>.</li>
</ul>
<p>
<Latex>{r`P(E) = \frac{successi}{prove\ totali}`}</Latex>
</p>
</Panel>
<Panel title={"Soggettiva"}>
<p>
<Todo>TODO: Trovare un'espressione decente</Todo>
La partizione <Latex>{r`E_i`}</Latex> è composta dagli eventi <Latex>{r`E_1`}</Latex>, <Latex>{r`E_2`}</Latex>, <Latex>{r`E_3`}</Latex>, fino a <Latex>{r`E_n`}</Latex>.
</p>
<Example>
Se lo spazio campionario fosse una torta, una sua partizione sarebbe l'insieme delle fette di uno dei modi in cui si potrebbe tagliare.
</Example>
</Panel>
</Split>
<Split title={"Assiomi della probabilità"}>
<Panel title={"Primo"}>
<Panel title={"Primo assioma della probabilità"}>
<p>
La probabilità di un evento è un numero tra 0 e 1.
</p>
@ -259,7 +315,7 @@ export default class Statistica extends Component {
<Latex>{r`\forall E \in \mathcal{F}, 0 \leq P(E) \leq 1`}</Latex>
</p>
</Panel>
<Panel title={"Secondo"}>
<Panel title={"Secondo assioma della probabilità"}>
<p>
La probabilità dello spazio campionario è sempre 1.
</p>
@ -267,7 +323,7 @@ export default class Statistica extends Component {
<Latex>{r`P(\Omega) = 1`}</Latex>
</p>
</Panel>
<Panel title={"Terzo"}>
<Panel title={"Terzo assioma della probabilità"}>
<p>
La probabilità dell'unione di eventi indipendenti è uguale alla somma delle loro probabilità.
</p>
@ -277,20 +333,32 @@ export default class Statistica extends Component {
</Panel>
</Split>
<Split title={"Conseguenze degli assiomi"}>
<Panel title={"NOT"}>
<Panel title={"Probabilità di un evento negato"}>
<p>
<Latex>{r`P(\bar{E}) = 1 - P(\bar{E})`}</Latex>
La probabilità di un evento negato è uguale a 1 meno la probabilità dell'evento non negato.
</p>
<p>
<Latex>{r`P(\bar{E}) = 1 - P({E})`}</Latex>
</p>
</Panel>
<Panel title={"Inclusione"}>
<Panel title={"Probabilità di un evento incluso"}>
<p>
La probabilità di un evento incluso in un altro è sempre minore o uguale alla probabilità dell'evento in cui è incluso.
</p>
<p>
<Latex>{r`F \subseteq E \implies P(F) \leq P(E)`}</Latex>
</p>
</Panel>
<Panel title={"Unione"}>
<p>
La probabilità di un evento unito a un altro è uguale alla somma delle probabilità dei due eventi meno la probabilità della loro intersezione.
</p>
<p>
<Latex>{r`P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)`}</Latex>
</p>
<Example>
Sommando le probabilità dei due eventi, l'intersezione viene contata due volte, e va quindi rimossa!
</Example>
</Panel>
</Split>
<Split title={"Spazi equiprobabili"}>
@ -298,14 +366,17 @@ export default class Statistica extends Component {
<p>
Spazi campionari in cui ci sono un numero finito di esiti e ogni esito ha la stessa probabilità di verificarsi.
</p>
</Panel>
<Panel title={"Probabilità"}>
<p>
<Latex>{r`P(E) = \frac{len(E)}{len(\Omega)}`}</Latex>
</p>
</Panel>
<Panel title={"Spazi equiprobabili geometrici"}>
<p>
Gli spazi campionari possono avere un numero infinito di esiti: sono <i>equiprobabili geometrici</i> se nessun esito è privilegiato rispetto agli altri.
</p>
</Panel>
</Split>
<Split>
<Split title={"Calcolo combinatorio"}>
<Panel title={"Disposizioni"}>
<p>
Estraggo un numero, da un sacchetto con <Latex>n</Latex> numeri, mi segno che numero ho estratto e lo <b>tengo fuori dal sacchetto</b>. Ripeto per <Latex>k</Latex> volte.
@ -349,12 +420,7 @@ export default class Statistica extends Component {
<p>
<Latex>{r`\boldsymbol{C}^{r}_{n, k} = \binom{n + k - 1}{k} = \frac{(n + k - 1)!}{(k)! \cdot (n - 1)!}`}</Latex>
</p>
<p>
<Todo>TODO: Controllare la formula.</Todo>
</p>
</Panel>
</Split>
<Split>
<Panel title={"Permutazioni"}>
<p>
Estraggo <Latex>n</Latex> numeri e guardo in quanti ordini diversi li posso mettere.
@ -364,21 +430,20 @@ export default class Statistica extends Component {
</p>
</Panel>
</Split>
<Split>
<Panel title={"Spazi equiprobabili geometrici"}>
<p>
Gli spazi campionari possono avere un numero infinito di esisti: si ha equiprobabilità se nessun esito è privilegiato rispetto agli altri.
</p>
</Panel>
</Split>
<Split title={"Probabilità condizionata"}>
<Panel title={<span>E dato F</span>}>
<Panel title={"Eventi condizionati"}>
<blockquote>
"E dato F"
</blockquote>
<p>
La probabilità di un evento <Latex>E</Latex> dato un altro evento <Latex>F</Latex> indica la probabilità che si verifichi <Latex>E</Latex> sapendo che <b>si è già verificato</b> <Latex>F</Latex>.
La probabilità che si verifichi <Latex>E</Latex> sapendo che <b>si è già verificato</b> <Latex>F</Latex>.
</p>
<p>
<Latex>{r`P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)}`}</Latex>
</p>
<Example>
Ricorda vagamente le pipe di <code>bash</code>, però al contrario...
</Example>
</Panel>
<Panel title={"Eventi mutualmente esclusivi"}>
<p>
@ -388,6 +453,8 @@ export default class Statistica extends Component {
<Latex>{r`E \cap F = \emptyset \Longleftrightarrow P(E|F) = P(F|E) = 0`}</Latex>
</p>
</Panel>
</Split>
<Split>
<Panel title={"Regola della catena"}>
<p>
Si può sfruttare la formula inversa della probabilità condizionata per calcolare catene di intersezioni:
@ -397,25 +464,8 @@ export default class Statistica extends Component {
</p>
</Panel>
</Split>
<Split>
<Panel title={"Partizioni"}>
<p>
E' una partizione dello spazio campionario un insieme di eventi:
</p>
<ul>
<li><b>Finito</b>.</li>
<li>In cui tutti gli eventi hanno <b>probabilità diversa da 0</b>.</li>
<li>In cui tutti gli eventi sono <b>mutualmente esclusivi</b>.</li>
<li>L'unione di tutti gli eventi <b>copre lo spazio campionario</b>.</li>
</ul>
<p>
Se lo spazio campionario fosse una torta, una sua partizione sarebbe l'insieme delle fette di uno dei modi in cui si potrebbe tagliare.
</p>
<p>
La partizione <Latex>{r`E_i`}</Latex> è composta dagli eventi <Latex>{r`E_1`}</Latex>, <Latex>{r`E_2`}</Latex>, <Latex>{r`E_3`}</Latex>, fino a <Latex>{r`E_n`}</Latex>.
</p>
</Panel>
<Theorem title={"Legge delle alternative"}>
<Split title={"Legge delle alternative"}>
<Theorem title={"Teorema"}>
<Hypothesis>
<ul>
<li><Latex>E_i</Latex> <b>partizione</b> di <Latex>{r`\Omega`}</Latex></li>
@ -444,13 +494,13 @@ export default class Statistica extends Component {
<Latex>{r`\forall i, \exists! E_i`}</Latex>
</p>
<p>
Essendo mutualmente esclusivi, le probabilità di tutti gli <Latex>E_i</Latex> possono essere sommate:
Essendo mutualmente esclusivi, le probabilità di tutti gli <Latex>E_i</Latex> possono essere sommate senza bisogno di sottrarvi l'intersezione:
</p>
<p>
<Latex>{r`\sum_i P(F \cap E_i) = P \left( \bigcup_i (F \cap E_i) \right)`}</Latex>
</p>
<p>
Essendo una partizione di <Latex>{r`\Omega`}</Latex>, allora la loro unione lo forma:
Essendo <Latex>E</Latex> una partizione di <Latex>{r`\Omega`}</Latex>, allora la unione di tutti gli eventi che la compongono riforma lo spazio campionario:
</p>
<p>
<Latex>{r`\bigcup_i ( F \cap E_i ) = F \cap \left( \bigcup_i E_i \right) = F \cap \Omega = F`}</Latex>
@ -459,7 +509,7 @@ export default class Statistica extends Component {
</Theorem>
<Panel title={"Legge condizionata delle alternative"}>
<p>
La legge delle alternative funziona anche per gli eventi, non solo per <Latex>{r`\Omega`}</Latex>:
La legge delle alternative funziona anche quando ad essere partizionato è un <b>evento</b>:
</p>
<p>
<Latex>{r`P(F|G) = \sum_i P(F|E_i \cap G) \cdot P(E_i | G)`}</Latex>
@ -503,7 +553,10 @@ export default class Statistica extends Component {
</Theorem>
</Split>
<Split title={"Eventi indipendenti"}>
<Theorem title={"A due a due"}>
<Panel title={"Due eventi indipendenti"}>
<blockquote>
"eventi indipendenti a due a due"
</blockquote>
<p>
Se due eventi sono indipendenti, sapere che uno dei due si è verificato non influisce sulle probabilità che si sia verificato l'altro.
</p>
@ -513,10 +566,13 @@ export default class Statistica extends Component {
<p>
<Latex>{r`P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F) \Longleftrightarrow P(E|F) = P(E) \Longleftrightarrow P(F|E) = P(F)`}</Latex>
</p>
</Theorem>
<Panel title={"A tre a tre"}>
</Panel>
<Panel title={"Più eventi indipendenti"}>
<blockquote>
"eventi indipendenti a tre a tre, a quattro a quattro, a cinque a cinque..."
</blockquote>
<p>
Più eventi possono essere indipendenti tra di loro:
Si può verificare l'indipendenza di più eventi alla volta:
</p>
<p>
<Latex>{r`P(E \cap F \cap G) = P(E) \cdot P(F) \cdot P(G)`}</Latex>
@ -529,38 +585,64 @@ export default class Statistica extends Component {
<p>
Un insieme di <Latex>n</Latex> eventi è una <i>famiglia di eventi indipendenti</i> se, preso un qualsiasi numero di eventi da essa, essi risulteranno indipendenti.
</p>
<Example>
Tutti gli eventi provenienti da essa saranno indipendenti sia a due a due, sia a tre a tre, sia a quattro a quattro, e così via!
</Example>
</Panel>
</Split>
<Split title={"Variabili aleatorie"}>
<Panel title={"Variabile aleatoria"}>
<p>
Una variabile aleatoria è una funzione <Latex>{r`X(\omega) : \Omega \to \mathbb{R}`}</Latex>.
</p>
<p>
Essa fa corrispondere a ogni esito un numero reale.
</p>
<p>
Per definizione, deve rispettare la seguente condizione:
</p>
<p>
<Latex>{r`\forall t \in \mathbb{R}, \{ \omega | X(\omega) \leq t \} \in \mathcal{F}`}</Latex>
</p>
<p>
In particolare, l'insieme di eventi <Latex>{r`\{ \omega | X(\omega) \leq t \}`}</Latex> è a sua volta un evento detto <Latex>{r`A_t`}</Latex>, e contiene tutti gli eventi che la variabile aleatoria associa a un numero inferiore di t.
</p>
<p>
All'aumentare di t, l'insieme conterrà sempre più elementi.
</p>
<p>
<Todo>TODO: insieme di ripartizione?</Todo>
Una funzione che fa corrispondere un numero reale a ogni possibile esito dello spazio campionario. <Latex>{r`X(\omega) : \Omega \to \mathbb{R}`}</Latex>.
</p>
</Panel>
<Panel title={"Supporto"}>
<Panel title={<Todo>Titolo?</Todo>}>
<p>
Il codominio della variabile aleatoria è il suo <i>supporto</i>.
Ad ogni variabile aleatoria sono associati gli eventi <Latex>{r`A_t = \{ \omega | X(\omega) \leq t \}`}</Latex>, che contengono tutti gli esiti a cui la variabile aleatoria associa un valore minore o uguale a <Latex>t</Latex>.
</p>
<p>
<i>Per indicare che un valore <Latex>x_0</Latex> appartiene al supporto di <Latex>X</Latex>, ho usato la notazione <Latex>x_0 \leftarrow X</Latex>.</i>
Per definizione, tutte le variabili aleatorie devono rispettare questa condizione:
</p>
<p>
<Latex>{r`\forall t \in \mathbb{R}, A_t \in \mathcal{F}`}</Latex>
</p>
<Example>
All'aumentare di t, l'insieme conterrà sempre più elementi.
</Example>
</Panel>
<Panel title={"Supporto"}>
<blockquote>
"supporto di X"
</blockquote>
<p>
Il <b>codominio</b> della variabile aleatoria è il suo <i>supporto</i>.
</p>
<p>
Per indicare che un valore <Latex>x_0</Latex> appartiene al supporto di <Latex>X</Latex>, si usa la notazione <Latex>X \mapsto x_0</Latex>.
</p>
</Panel>
</Split>
<Split title={"Densità"}>
<Panel title={"Funzione probabilità"}>
<p>
La <i>funzione probabilità</i> <Latex>{r`p_X : X \to [0, 1]`}</Latex> di una variabile aleatoria <b>discreta</b> <Latex>X</Latex> è la funzione che associa ad ogni esito la sua probabilità:
</p>
<p>
<Latex>{r`p_X (x) = \begin{cases}
P([X = x]) \quad se\ X \mapsto x \\
0 \qquad \qquad \quad se\ X \not\mapsto x
\end{cases}`}</Latex>
</p>
</Panel>
<Panel title={"Funzione densità"}>
<p>
La <i>funzione densità</i> <Latex>{r`f_X : X \to [0, 1]`}</Latex> di una variabile aleatoria <b>continua</b> <Latex>X</Latex> è l'equivalente continuo della funzione probabilità:
</p>
<p>
<Latex>{r`P([a < X \leq b]) = \int_a^b f_X (x) dx`}</Latex>
</p>
<p>
A differenza della funzione probabilità, è possibile che la funzione densità <b>non esista</b> per una certa variabile aleatoria.
</p>
</Panel>
</Split>
@ -569,81 +651,171 @@ export default class Statistica extends Component {
<p>
Ogni variabile aleatoria ha una <i>funzione di ripartizione</i> <Latex>{r`F_X : \mathbb{R} \to [0, 1]`}</Latex> associata, che rappresenta la probabilità che la variabile aleatoria assuma un valore minore o uguale a <Latex>t</Latex>:
</p>
<p>
<Latex>{r`F_X (t) = P(X \leq t)`}</Latex>
</p>
<p>
Si può dire che essa rappresenti la probabilità dell'evento <Latex>{r`A_t`}</Latex>:
</p>
<p>
<Latex>{r`F_X (t) = P(A_t)`}</Latex>
<Latex>{r`F_X (t) = P(A_t) = \begin{cases}
\sum_{x_i \leq t} p_X (x_i) \quad nel\ discreto\\
\\
\int_{-\infty}^t f_X (x) dx \quad nel\ continuo
\end{cases}`}</Latex>
</p>
<p>
<Todo>TODO: sintassi del libro che non mi piace</Todo>
</p>
</Panel>
<Theorem title={"Monotonia"}>
<p>
La funzione di ripartizione è sempre <b>monotona crescente</b> (non strettamente).
</p>
</Theorem>
<Theorem title={"Limiti infiniti"}>
<p>
La funzione di ripartizione vale 0 a <Latex>-\infty</Latex> e 1 a <Latex>+\infty</Latex>.
</p>
</Theorem>
<Panel title={"Proprietà della funzione"}>
<ul>
<li>È sempre <b>monotona crescente</b> (non strettamente).</li><br/>
<li>Vale <b>0</b> a <Latex>-\infty</Latex> e <b>1</b> a <Latex>+\infty</Latex>.</li><br/>
<li>È <b>continua da destra</b>: <Latex>{r`\forall x_0 \in \mathbb{R}, F_X (x_0) = \lim_{t \to x^+_0} F_X (t)`}</Latex></li>
</ul>
</Panel>
<Panel title={"Probabilità di un valore"}>
<p>
Possiamo usare la funzione di ripartizione per calcolare la probabilità di un certo valore reale:
</p>
<p>
<Latex>{r`P(X = x_0) = \lim_{t \to x^+_0} F_X (t) - \lim_{t \to x^-_0} F_X (t)`}</Latex>
</p>
</Panel>
<Panel title={"Continuità"}>
<p>
La funzione di ripartizione è continua da destra:
</p>
<p>
<Latex>{r`\forall x_0 \in \mathbb{R}, F_X (x_0) = \lim_{t \to x^+_0} F_X (t)`}</Latex>
<Latex>{r`P([X = x_0]) = \lim_{t \to x^+_0} F_X (t) - \lim_{t \to x^-_0} F_X (t)`}</Latex>
</p>
</Panel>
</Split>
<Split title={"Densità"}>
<Split title={"Trasformazioni di variabili aleatorie"}>
<Panel title={"Nel discreto"}>
<p>
La <i>densità</i> <Latex>{r`p_X : X \to [0, 1]`}</Latex> di una variabile aleatoria <b>discreta</b> <Latex>X</Latex> è la funzione che rappresenta "quanta" probabilità è presente in un certo punto:
</p>
<p>
<Latex>{r`p_X (x) = P(X = x) = \begin{cases}
P(X = x) \quad se\ x \leftarrow X \\
0 \qquad \qquad \quad se\ x \not\leftarrow X
\end{cases}`}</Latex>
Nel discreto basta abbinare un nuovo valore a ogni valore della variabile originale.
</p>
</Panel>
<Panel title={"Nel continuo"}>
<Theorem title={"Nel continuo (invertibile)"}>
<Hypothesis>
<ul>
<li><Latex>{r`X`}</Latex> è una variabile aleatoria continua</li>
<li><Latex>{r`Y = g(X)`}</Latex> è invertibile</li>
</ul>
</Hypothesis>
<Thesis>
<p>
<Latex>{r`f_Y (y) = f_X ( g^{-1} (y) ) \cdot \left| g' (y) \right|`}</Latex>
</p>
</Thesis>
<Proof>
<p>
<Todo>TODO: è spiegata male!</Todo>
</p>
<p>
Per semplicità, assumiamo che <Latex>g</Latex> sia crescente.
</p>
<p>
Allora possiamo scrivere la funzione di ripartizione di <Latex>Y</Latex> in termini di <Latex>f_X</Latex>:
</p>
<p>
<Latex>{r`F_Y (y) = P( Y \leq y ) = P( g(X) \leq y ) = \int_{g(x) \leq y} f_X (x) dx`}</Latex>
</p>
<p>
Integriamo per sostituzione <Latex>{r`x = h(t)`}</Latex>:
</p>
<p>
<Latex>{r`\int_{g(x) \leq y} f_X (x) dx = \int_{t \leq y} f_X ( h(t) ) h'(t) dt`}</Latex>
</p>
</Proof>
</Theorem>
<Panel title={"Nel... digitale"}>
<p>
La <i>funzione densità</i> <Latex>{r`f_X : X \to [0, 1]`}</Latex> di una variabile aleatoria <b>continua</b> <Latex>X</Latex> è la funzione che rappresenta "quanta" probabilità è presente in un certo intervallo:
</p>
<p>
<Latex>{r`P(a < X \leq b) = \int_a^b f_X (x) dx`}</Latex>
</p>
<p>
Non esiste obbligatoriamente.
</p>
<p>
<Todo>TODO: migliorare un po' qui.</Todo>
</p>
<p>
Anche qui, <Latex>{r`x_0 \not\leftarrow X \implies f_X (x_0) = 0`}</Latex>.
Trasformare variabili aleatorie è molto utile nell'informatica per creare distribuzioni partendo da una funzione <a href={"https://docs.python.org/3/library/random.html#random.random"}><code>random()</code></a> che restituisce numeri da 0 a 1 con una distribuzione lineare.
</p>
</Panel>
<Panel title={"Funzione di ripartizione rispetto alla densità"}>
</Split>
<Split title={"Informazioni delle variabili aleatorie"}>
<Panel title={"Valore medio"}>
<p>
Possiamo definire la funzione di ripartizione rispetto alla densità e alla funzione densità:
Ogni variabile aleatoria che ha una <b>funzione di ripartizione</b> e un <b>supporto finito</b> ha anche un <i>valore medio</i> (o <i>valore atteso</i>):
</p>
<p>
<Latex>{r`F_X (t) = \sum_{x_i \leq t} p_X (x_i)`}</Latex>
<Latex>{r`E(X) = \int_0^{+infty} (1 - F_X (t)) dt - \int_{-\infty}^{0} F_X (t) dt`}</Latex>
</p>
<p>
<Latex>{r`F_X (t) = \int_{-\infty}^t f_X (x) dx`}</Latex>
Nel discreto, si può calcolare più facilmente con:
</p>
<p>
<Latex>{r`E(X) = \sum_i P(X = x_i) \cdot x_i`}</Latex>
</p>
<p>
<Todo>TODO: dimostrazione</Todo>
</p>
<p>
Nel continuo, si può calcolare più facilmente con:
</p>
<p>
<Latex>{r`E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X (x) \cdot x \cdot dx`}</Latex>
</p>
<p>
<Todo>TODO: dimostrazione</Todo>
</p>
</Panel>
</Split>
<Split>
<Panel title={"Moda"}>
<p>
Valore per cui la <b>funzione probabilità</b> o <b>funzione densità</b> è <b>massima</b>.
</p>
</Panel>
<Panel title={"Quantili"}>
<p>
Il <i>quantile</i> <Latex>{r`x_{\alpha}`}</Latex> di ordine <Latex>{r`0 \leq \alpha \leq 1`}</Latex> della variabile aleatoria <Latex>X</Latex> è il più piccolo numero tale che:
</p>
<p>
<Latex>
{r`P([X < x_{\alpha} \leq \alpha \leq P([X \leq x_{\alpha}])`}
</Latex>
</p>
<p>
</p>
<p>
Il quantile di ordine 0.5 <Latex>{r`x_{0.5}`}</Latex> è detto <i>mediana</i>.
</p>
<p>
I quantili di ordine 0.25 <Latex>{r`x_{0.25}`}</Latex> e 0.75 <Latex>{r`x_{0.75}`}</Latex> sono detti <i>quartili</i>.
</p>
<p>
I quantili di ordine <Latex>{r`\frac{n}{100}`}</Latex> sono detti <i><Latex>n</Latex>-esima percentile</i>.
</p>
</Panel>
<Panel title={"Varianza"}>
<p>
È un valore che indica quanto la variabile aleatoria si discosta generalmente dal valore medio:
</p>
<p>
<Latex>{r`Var(X) = E( (X - E(X) )^2 ) = E ( X^2 ) - (E(X))^2`}</Latex>
</p>
<p>
<Todo>TODO: dimostrazione per la formula alternativa</Todo>
</p>
</Panel>
</Split>
<Split title={"Disuguaglianze notevoli"}>
<Panel title={"Disuguaglianza di Markov"}>
<p>
<Todo>TODO: a cosa serve...?</Todo>
</p>
<p>
<Latex>{r`\forall K > 0, P([g(X) \geq K]) \leq \frac{E(g(X))}{K}`}</Latex>
</p>
</Panel>
<Panel title={"Disuguaglianza di Cebicev"}>
<p>
<Todo>TODO: a cosa serve...?</Todo>
</p>
<p>
<Latex>{r`\forall \epsilon > 0, P([\left| X - E(X) \right| \leq \epsilon]) \leq \frac{Var(X)}{\epsilon^2}`}</Latex>
</p>
</Panel>
</Split>
<Split>
<Panel title={"Momento di una variabile aleatoria"}>
<p>
<Todo>TODO</Todo>
</p>
</Panel>
</Split>