From 11d02333a74a0eaef0500138afec336abdac2b71 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Stefano Pigozzi Date: Fri, 24 Jan 2020 19:06:56 +0100 Subject: [PATCH] do stuff --- src/pages/statistica.js | 122 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++---- 1 file changed, 111 insertions(+), 11 deletions(-) diff --git a/src/pages/statistica.js b/src/pages/statistica.js index c206d77..d225ff9 100644 --- a/src/pages/statistica.js +++ b/src/pages/statistica.js @@ -1646,7 +1646,7 @@ export default class Statistica extends Component { - +

Se calcoliamo la media della media campionaria, risulterà vero che:

@@ -1657,7 +1657,7 @@ export default class Statistica extends Component { Quindi, è possibile usare i campioni per trovare la media di una variabile aleatoria! - +

Se calcoliamo la varianza della media campionaria, risulterà vero che:

@@ -1668,7 +1668,7 @@ export default class Statistica extends Component { Quindi, possiamo stimare l'errore della media calcolata tramite campioni! - +

Se calcoliamo la media della varianza campionaria, risulterà vero che:

@@ -1685,9 +1685,6 @@ export default class Statistica extends Component {

Se la popolazione X ha una distribuzione normale ({r`X \sim Nor(\mu, \sigma^2)`})...

-

- TODO: non è nel mio stile -

@@ -1714,10 +1711,10 @@ export default class Statistica extends Component {

- +

- TODO: una spiegazione decente + Se la successione di variabili aleatorie X_n all'infinito ha la stessa funzione di ripartizione della popolazione X, allora essa converge in distribuzione.

{`\\lim_{n \\to +\\infty} F_{X_n} (x) = F_X (x) \\implies X_n \\xrightarrow{d} X`} @@ -1725,23 +1722,29 @@ export default class Statistica extends Component {

- TODO: una spiegazione decente + Se la successione di variabili aleatorie X_n all'infinito ha la stessa probabilità della popolazione X, allora essa converge in probabilità.

{`\\forall \\epsilon > 0, \\lim_{n \\to +\\infty} P( | X_n - X | < \\epsilon) = 1 \\implies X_n \\xrightarrow{p} X`}

+

+ TODO: non sono certissimo della definizione +

- TODO: una spiegazione decente + Se la successione di variabili aleatorie X_n all'infinito ha la stessa probabilità a della popolazione X, allora essa converge quasi certamente.

{`\\forall \\epsilon > 0, P \left( \\lim_{n \\to +\\infty} | X_n - X | < \\epsilon) \right) = 1 \\implies X_n \\xrightarrow{qc} X`}

+

+ TODO: non sono certissimo della definizione +

- TODO: una spiegazione decente + Se la successione di variabili aleatorie X_n all'infinito ha la media del quadrato della distanza tra la successione e la popolazione X uguale a 0, allora essa converge in media quadratica.

{`\\lim_{n \\to +\\infty} E( | X_n - X |^2 = 0 \\implies X_n \\xrightarrow{mq} X`} @@ -1756,6 +1759,103 @@ export default class Statistica extends Component { \\end{matrix} \\implies X_n \\xrightarrow{p} X \\implies X_n \\xrightarrow{d} X` }

+

+ In più: +

+

+ {`X_n \\xrightarrow{p} x \\Longleftrightarrow X_n \\xrightarrow{d} x`} +

+ + + + +

+ La successione delle medie campionarie {r`\overline{X}_n`} converge in probabilità alla media della popolazione {r`E(X)`}, se essa esiste. +

+

+ {`\\overline{X}_n \\xrightarrow{p} X`} +

+

+ Ovvero: +

+

+ {r`\forall \epsilon > 0, \lim_{n \to +\infty} P( | \overline{X}_n - E(X) | < \epsilon) = 1`} +

+

+ {r`P( | \overline{X}_n - E(X) | < \epsilon) \to 1`} +

+ + +

+ La successione delle medie campionarie {r`\overline{X}_n`} converge quasi certamente alla media della popolazione {r`E(X)`}, se essa esiste. +

+

+ {`\\overline{X}_n \\xrightarrow{qc} X`} +

+

+ Ovvero: +

+

+ {r`\forall \epsilon > 0, P \left( \lim_{n \to +\infty} | \overline{X}_n - E(X) | < \epsilon \right) = 1`} +

+ + + + +

+ La successione delle medie campionarie {r`\overline{X}_n`} converge in distribuzione a {r`Nor(0, 1) = \Phi()`}. +

+

+ {r`\overline{X}_n \approx Nor \left(E(X), \frac{Var(X)}{n} \right)`} +

+

+ Ovvero: +

+

+ {r`\forall x \in \mathbb{R}, \lim_{n \to +\infty} P \left( \frac{\overline{X}_n - E(X)}{\sqrt{\frac{Var(X)}{n}}} \leq x \right) = \Phi(x)`} +

+ + + + +

+ La binomiale è una somma di bernoulliane: +

+

+ {r`Bin(n, p) \approx Nor(n \cdot p, n \cdot p \cdot q)`} +

+ + +

+ E' una somma di geometriche: +

+

+ {r`\overline{Bin} (n, p) \approx Nor \left( \frac{n}{p}, \frac{n \cdot (1 - p)}{p^2} \right)`} +

+ + +

+ E' una somma di altre poissoniane: +

+

+ {r`Poi(\lambda) \approx Nor(\lambda, \lambda)`} +

+ + +

+ E' una somma di esponenziali: +

+

+ {r`\Gamma (\alpha, \lambda) \approx Nor \left( \frac{\alpha}{\lambda}, \frac{\alpha}{\lambda^2} \right)`} +

+ + +

+ Se n è grande, allora: +

+

+ {r`Y = \sum_{i=1}^{n} X_i`} +