From 16813ca9f29f7ca628e4da1ec1199d57b06ed5ba Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Stefano Pigozzi Date: Wed, 24 Mar 2021 17:07:56 +0100 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E2=9C=A8=20Add=20Statistica?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- src/App.js | 4 + src/routes/Apprendimento/index.js | 1 - src/routes/Home.js | 6 +- src/routes/Statistica/index.js | 2208 +++++++++++++++++++++++++++++ 4 files changed, 2215 insertions(+), 4 deletions(-) create mode 100644 src/routes/Statistica/index.js diff --git a/src/App.js b/src/App.js index c80d6e1..50b608a 100644 --- a/src/App.js +++ b/src/App.js @@ -8,6 +8,7 @@ import style from "./App.module.css" import Footer from "./components/Footer" import Fisica from "./routes/Fisica" import Apprendimento from "./routes/Apprendimento" +import Statistica from "./routes/Statistica" export default function App() { @@ -32,6 +33,9 @@ export default function App() { + + + diff --git a/src/routes/Apprendimento/index.js b/src/routes/Apprendimento/index.js index 381e10b..e755c3f 100644 --- a/src/routes/Apprendimento/index.js +++ b/src/routes/Apprendimento/index.js @@ -16,7 +16,6 @@ import Todo from "../../components/Todo" const r = String.raw - const BLatex = ({ children, ...props }) => {children} const ILatex = ({ children, ...props }) => {children} const PLatex = ({ children, ...props }) => {children} diff --git a/src/routes/Home.js b/src/routes/Home.js index 660ab80..c61a318 100644 --- a/src/routes/Home.js +++ b/src/routes/Home.js @@ -71,9 +71,9 @@ export default function Home({ skin, setSkin }) {
  • - - 🕸️ Statistica ed elementi di probabilità - + + ✨ Statistica ed elementi di probabilità +
  • diff --git a/src/routes/Statistica/index.js b/src/routes/Statistica/index.js new file mode 100644 index 0000000..3f508e8 --- /dev/null +++ b/src/routes/Statistica/index.js @@ -0,0 +1,2208 @@ +import { + Color, + Paragraph as P, + Bold as B, + Italic as I, + Anchor, ListItem as LI, BaseLink, +} from "bluelib/lib/components" +import { default as Latex } from "bluelib/lib/components/LatexMath" + +import Box, { default as Panel } from "../../components/Box" +import Split, { default as Section } from "../../components/Split" +import Todo from "../../components/Todo" + + +const r = String.raw +const Example = ({ children, ...props }) => {children} +const Plus = ({ children }) => {children} +const Minus = ({ children }) => {children} + + + +export default function Statistica() { + return ( +
    + + +

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    + 🎓 Il corso è stato tenuto dal Prof. Luca La Rocca. +

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    + 📘 Le dispense sono disponibili sulla pagina personale del professore. +

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    + 🎥 Non sono mai state registrate delle videolezioni. +

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    + {r`P(E) = \frac{casi\ favorevoli}{casi\ possibili}`} +

    +     + +

    + {r`P(E) = \frac{successi}{prove\ totali}`} +

    +     + +

    + Il prezzo che un individuo coerente riterrebbe equo per ricevere 1 nel caso + l'evento si verificasse e 0 nel caso l'evento non si verificasse. +

    +     +
    +
    + +
    + "omegone" +
    +

    + L'insieme di tutti gli esiti possibili di un esperimento. +

    +

    + {r`\Omega = \left \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right \}`} +

    +     + +
    + "omeghino" +
    +

    + Un elemento dello spazio campionario. +

    +

    + {r`\omega = 1`} +

    +     + +
    + "e" +
    +

    + Un sottoinsieme dello spazio campionario. +

    +

    + {r`E = \left \{ 1, 2 \right \}`} +

    +

    + Lo spazio campionario stesso è un evento certo. +

    +     + +
    + "not e" +
    +

    + Il complementare di un sottoinsieme. +

    +

    + {r`\bar{E} = \left \{ 3, 4, 5, 6 \right \}`} +

    +     + +
    + "e intersecato effe" +
    +

    + L'intersezione di più sottoinsiemi. +

    +

    + {r`E \cap F = \left \{ 1 \right \}`} +

    +     + +
    + "e unito a effe" +
    +

    + L'unione di più sottoinsiemi. +

    +

    + {r`E \cup F = \left \{ 1, 2, 3, 4 \right \}`} +

    +     + +
    + "e meno effe" +
    +

    + {r`E \setminus F = E \cap \bar{F}`} +

    +     + +
    + "e contenuto in effe" +
    +

    + L'inclusione del primo insieme in un altro. +

    +

    + {r`E \subseteq F`} +

    +

    + Se si verifica E, allora si verifica anche F. +

    +     + +
    + "e è impossibile" +
    +

    + Un sottoinsieme vuoto. +

    +

    + {r`E = \emptyset`} +

    +     + +
    + "e ed effe si escludono mutualmente" +
    +

    + La disgiunzione di due insiemi. +

    +

    + {r`E \cap F = \emptyset`} +

    +     +
    +
    + +
    + "famiglia effe" +
    +

    + I sottoinsiemi dello spazio campionario formano una famiglia di sottoinsiemi + detta famiglia degli eventi. +

    +

    + {r`\mathcal{F}`} +

    +

    + Qualsiasi sottoinsieme appartenente a {r`\mathcal{F}`} è considerato un + evento. +

    +     + {r`\sigma`}-algebra}> +
    + "sigma algebra" +
    +

    + Se la famiglia degli eventi soddisfa questi tre requisiti, allora viene + detta {r`\sigma`}-algebra: +

    +
      +
    1. + Lo spazio campionario è un evento: {r`\Omega \in \mathcal{F}`} +
      2. +
    2. + Se un sottoinsieme è un evento, allora anche il suo complementare lo + è: {r`E \in \mathcal{F} \implies \bar{E} \in \mathcal{F}`} +
      3. +
    3. + Se due sottoinsiemi sono eventi, allora lo sono anche la loro unione e + intersezione: {r`(E, F) \in \mathcal{F} \implies (E \cup F, E \cap F) \in \mathcal{F}`} +
      4. +
    +

    + Un + esempio: {r`E \in \mathcal{F} \implies \mathcal{F} = \{ \emptyset, E, \bar{E}, \Omega \}`} +

    +     +
    +
    + +
    + "la partizione e composta da e uno, e due, e tre..." +
    +

    + Un insieme di esiti e eventi: +

    +
      +
    • Finito.
      • +
    • In cui tutti gli eventi hanno probabilità diversa da 0.
      • +
    • In cui tutti gli eventi sono mutualmente esclusivi.
      • +
    • In cui l'unione di tutti i suoi elementi copre lo spazio campionario.
      • +
    +

    + La partizione {r`E_i`} è composta dagli + eventi {r`E_1`}, {r`E_2`}, {r`E_3`}, fino + a {r`E_n`}. +

    + + Se lo spazio campionario fosse una torta, una sua partizione sarebbe l'insieme delle + fette di uno dei modi in cui si potrebbe tagliare. + +     +
    +
    + +

    + La probabilità di un evento è un numero tra 0 e 1. +

    +

    + {r`\forall E \in \mathcal{F}, 0 \leq P(E) \leq 1`} +

    +     + +

    + La probabilità dello spazio campionario è sempre 1. +

    +

    + {r`P(\Omega) = 1`} +

    +     + +

    + La probabilità dell'unione di eventi indipendenti è uguale alla somma delle loro + probabilità. +

    +

    + {r`P \left ( \bigcup_i E_i \right ) = \sum_i P ( E_i )`} +

    +     +
    +
    + +

    + La probabilità di un evento negato è uguale a 1 meno la probabilità dell'evento non + negato. +

    +

    + {r`P(\bar{E}) = 1 - P({E})`} +

    +     + +

    + La probabilità di un evento incluso in un altro è sempre minore o uguale alla + probabilità dell'evento in cui è incluso. +

    +

    + {r`F \subseteq E \implies P(F) \leq P(E)`} +

    +     + +

    + La probabilità di un evento unito a un altro è uguale alla somma delle probabilità dei + due eventi meno la probabilità della loro intersezione. +

    +

    + {r`P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)`} +

    + + Sommando le probabilità dei due eventi, l'intersezione viene contata due volte, e va + quindi rimossa! + +     +
    +
    + +

    + Spazi campionari in cui ci sono un numero finito di esiti e ogni esito ha la stessa + probabilità di verificarsi. +

    +

    + {r`P(E) = \frac{len(E)}{len(\Omega)}`} +

    +     + +

    + Gli spazi campionari possono avere un numero infinito di esiti: sono equiprobabili + geometrici se nessun esito è privilegiato rispetto agli altri. +

    +     +
    +
    + +

    + Estraggo un numero, da un sacchetto con n numeri, mi segno che numero ho + estratto e lo tengo fuori dal sacchetto. Ripeto per k volte. +

    +

    + Tengo conto dell'ordine in cui ho estratto i numeri. +

    +

    + {r`\boldsymbol{D}_{n, k} = \frac{n!}{(n - k)!}`} +

    +     + +

    + Estraggo un numero, da un sacchetto con n numeri, mi segno che numero ho + estratto e lo rimetto nel sacchetto. Ripeto per k volte. +

    +

    + Tengo conto dell'ordine in cui ho estratto i numeri. +

    +

    + {r`\boldsymbol{D}^{r}_{n, k} = n^k`} +

    +     + +

    + Estraggo un numero, da un sacchetto con n numeri, mi segno che numero ho + estratto e lo tengo fuori dal sacchetto. Ripeto per k volte. +

    +

    + Non mi interessa l'ordine in cui ho estratto i numeri. +

    +

    + {r`\boldsymbol{C}_{n, k} = \binom{n}{k} = \frac{n!}{(k)! \cdot (n - k)!}`} +

    +     + +

    + Estraggo un numero, da un sacchetto con n numeri, mi segno che numero ho + estratto e lo rimetto nel sacchetto. Ripeto per k volte. +

    +

    + Non mi interessa l'ordine in cui ho estratto i numeri. +

    +

    + {r`\boldsymbol{C}^{r}_{n, k} = \binom{n + k - 1}{k} = \frac{(n + k - 1)!}{(k)! \cdot (n - 1)!}`} +

    +     + +

    + Estraggo n numeri e guardo in quanti ordini diversi li posso mettere. +

    +

    + {r`\boldsymbol{P}_n = n!`} +

    +     +
    +
    + +
    + "E dato F" +
    +

    + La probabilità che si verifichi E sapendo che si è già verificato + F. +

    +

    + {r`P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)}`} +

    + + Ricorda vagamente le pipe di bash, però al contrario... + +     + +

    + Se due eventi sono mutualmente esclusivi, entrambe le loro probabilità condizionate + saranno uguali a 0. +

    +

    + {r`E \cap F = \emptyset \Longleftrightarrow P(E|F) = P(F|E) = 0`} +

    +     +
    +
    + +

    + Si può sfruttare la formula inversa della probabilità condizionata per calcolare catene + di intersezioni: +

    +

    + {r`P(E_1 \cap \times \cap E_n) = P(E_1) \times P(E_2 | E_1) \times \dots \times P(E_n | E_1 \cap E_2 \cap \dots \cap E_{n-1})`} +

    +     +
    +
    + +

    + La probabilità che si verifichi un evento è pari alla somma delle probabilità + dell'evento stesso dati tutti gli eventi di una partizione. +

    +

    + {r`P(F) = \sum_{i} P(F|E_i) \cdot P(E_i)`} +

    +     + +

    + La legge delle alternative funziona anche quando ad essere partizionato è + un evento: +

    +

    + {r`P(F|G) = \sum_i P(F|E_i \cap G) \cdot P(E_i | G)`} +

    +     + +

    + Tramite la formula di Bayes possiamo risalire alla probabilità di un evento + condizionato a un altro partendo dalla probabilità di quest'ultimo condizionato al + primo: +

    +

    + {r`P(E_h | F) = \frac{P(F | E_h) \cdot P(E_h)}{P(F)}`} +

    + + In pratica, invertiamo gli eventi. + +     +
    +
    + +
    + "eventi indipendenti a due a due" +
    +

    + Se due eventi sono indipendenti, sapere che uno dei due si è verificato non influisce + sulle probabilità che si sia verificato l'altro. +

    +

    + {r`P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F) \Longleftrightarrow P(E|F) = P(E) \Longleftrightarrow P(F|E) = P(F)`} +

    +     + +
    + "eventi indipendenti a tre a tre, a quattro a quattro, a cinque a cinque..." +
    +

    + Si può verificare l'indipendenza di più eventi alla volta: +

    +

    + {r`P(E \cap F \cap G) = P(E) \cdot P(F) \cdot P(G)`} +

    +

    + Eventi indipendenti a due a due non sono per forza indipendenti a tre a tre, e + viceversa. +

    +     + +

    + Un insieme di n eventi è una famiglia di eventi indipendenti se, + preso un qualsiasi numero di eventi da essa, essi risulteranno indipendenti. +

    + + Tutti gli eventi provenienti da essa saranno indipendenti sia a due a due, sia a tre a + tre, sia a quattro a quattro, e così via! + +     +
    +
    + +

    + Una funzione che fa corrispondere un numero reale a ogni possibile esito dello spazio + campionario. {r`X(\omega) : \Omega \to \mathbb{R}`}. +

    +     + Insieme di ripartizione}> +

    + Ad ogni variabile aleatoria sono associati gli + eventi {r`A_t = \{ \omega | X(\omega) \leq t \}`}, che contengono tutti + gli esiti a cui la variabile aleatoria associa un valore minore o uguale + a t. +

    +

    + Per definizione, tutte le variabili aleatorie devono rispettare questa condizione: +

    +

    + {r`\forall t \in \mathbb{R}, A_t \in \mathcal{F}`} +

    + + All'aumentare di t, l'insieme conterrà sempre più elementi. + +     + +
    + "supporto di X" +
    +

    + Il codominio della variabile aleatoria è il suo supporto. +

    +

    + Per indicare che un valore x_0 appartiene al supporto di X, + si usa la notazione X \mapsto x_0. +

    +     +
    +
    + +

    + La funzione probabilità {r`p_X : X \to [0, 1]`} di una variabile + aleatoria discreta X è la funzione che associa ad ogni esito la + sua probabilità: +

    +

    + {r` + p_X (x) = \begin{cases} + P([X = x]) \quad se\ X \mapsto x \\ + 0 \qquad \qquad \quad se\ X \not\mapsto x + \end{cases} + `} +

    +     + +

    + La funzione densità {r`f_X : X \to [0, 1]`} di una variabile + aleatoria continua X è l'equivalente continuo della funzione + probabilità: +

    +

    + {r`P([a < X \leq b]) = \int_a^b f_X (x) dx`} +

    +

    + A differenza della funzione probabilità, è possibile che la funzione densità non + esista per una certa variabile aleatoria. +

    + + Rappresenta "quanta" probabilità c'è in un'unità di x! + +     +
    +
    + +

    + Ogni variabile aleatoria ha una funzione di ripartizione + {r`F_X : \mathbb{R} \to [0, 1]`} associata, che rappresenta la + probabilità che la variabile aleatoria assuma un valore minore o uguale + a t: +

    +

    + Si può dire che essa rappresenti la probabilità dell'evento {r`A_t`}: +

    +

    + {r` + F_X (t) = P(A_t) = \begin{cases} + \sum_{i = 0}^{t} p_X (x_i) \quad nel\ discreto\\ + \\ + \int_{-\infty}^t f_X (x) dx \quad nel\ continuo + \end{cases} + `} +

    +     + +
      +
    • È sempre monotona crescente (non strettamente).
      • +
      +
    • Vale 0 a -\infty e 1 a +\infty.
      • +
      +
    • È continua da + destra: {r`\forall x_0 \in \mathbb{R}, F_X (x_0) = \lim_{t \to x^+_0} F_X (t)`} +
      • +
    +     + +

    + Possiamo usare la funzione di ripartizione per calcolare la probabilità di un certo + valore reale: +

    +

    + {r`P([X = x_0]) = \lim_{t \to x^+_0} F_X (t) - \lim_{t \to x^-_0} F_X (t)`} +

    +     +
    +
    + +

    + Nel discreto basta abbinare un nuovo valore a ogni valore della variabile originale. +

    +     + +

    + Nel continuo applichiamo la formula dell'integrazione per sostituzione: +

    +

    + {r`f_Y (y) = \int_{g(a)}^{g(b)} f_X ( g^{-1} (x) ) g^{-2} (x)`} +

    +     + +

    + Trasformare variabili aleatorie è molto utile nell'informatica per creare distribuzioni + partendo da una funzione random() che + restituisce numeri da 0 a 1 con una distribuzione lineare. +

    +     +
    +
    + +

    + Ogni variabile aleatoria che ha una funzione di ripartizione e un supporto + finito ha anche una media (o valore medio o atteso): +

    +

    + {r`E(X) = \int_0^{+infty} (1 - F_X (t)) dt - \int_{-\infty}^{0} F_X (t) dt`} +

    +

    + Nel discreto, si può calcolare con: +

    +

    + {r`E(X) = \sum_i P(X = x_i) \cdot x_i`} +

    +

    + Nel continuo, si può calcolare con: +

    +

    + {r`E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X (x) \cdot x \cdot dx`} +

    +     +
    +
    + +

    + Valore per cui la funzione probabilità o funzione densità è massima. +

    +     + +

    + Il quantile {r`x_{\alpha}`} di + ordine {r`0 \leq \alpha \leq 1`} della variabile + aleatoria X è il più piccolo numero tale che: +

    +

    + {r`P([X < x_{\alpha}]) \leq \alpha \leq P([X \leq x_{\alpha}])`} +

    +

    + +

    +

    + Il quantile di ordine 0.5 {r`x_{0.5}`} è detto mediana. +

    +

    + I quantili di ordine 0.25 {r`x_{0.25}`} e + 0.75 {r`x_{0.75}`} sono detti quartili. +

    +

    + I quantili di ordine {r`\frac{n}{100}`} sono detti n-esima + percentile. +

    +     + +

    + È un valore che indica quanto la variabile aleatoria si discosta generalmente dalla + media: +

    +

    + {r`Var(X) = E( (X - E(X) )^2 ) = E ( X^2 ) - (E(X))^2`} +

    +     +
    +
    + +

    + Data una variabile aleatoria non-negativa: +

    +

    + {r`\forall k > 0, P([X \geq k]) \leq \frac{E(X)}{k}`} +

    +

    + Divide in due parti ({r`P(X < k)`} e {r`P(X \geq k)`}) la + funzione X, la cui media risulterà uguale a: +

    +

    + {r`E(X) = \overline{k} \cdot P(X < k) + k \cdot P(X \geq k)`} +

    +     + +
    + "disuguaglianza di cebicev" +
    +

    + Se la variabile aleatoria X ha media e varianza, allora la probabilità + che essa abbia un valore a più di {r`\epsilon`} di distanza dal valore + medio è minore o uguale a {r`\frac{Var(X)}{\epsilon^2}`}. +

    +

    + {r`\forall \epsilon > 0, P([ \left| X - E(X) \right| \geq \epsilon]) \leq \frac{Var(X)}{\epsilon^2}`} +

    +

    + E anche: +

    +

    + {r`\forall \epsilon > 0, P([ \left| X - E(X) \right| < \epsilon]) \geq 1 - \frac{Var(X)}{\epsilon^2}`} +

    + + Serve per semplificare i calcoli quando la funzione di ripartizione è difficile da + calcolare! + +     +
    +
    + +

    + Il momento k-esimo di una variabile aleatoria è: +

    +

    + {r` + \mu_k = E ( X^k ) = \begin{cases} + \sum_i x_i^k p_X (x_i) \qquad nel\ discreto\\ + \\ + \int_{-\infty}^{+\infty} x^k f_X (x) dx \qquad nel\ continuo + \end{cases}` + } +

    + + La media di una variabile aleatoria è anche il suo primo momento. + +     + +

    + La funzione generatrice dei momenti è: +

    +

    + {r`m_X (t) = E( e^{t \cdot X} )`} +

    +

    + Se due variabile aleatorie hanno la stessa funzione generatrice dei momenti, allora esse + hanno la stessa distribuzione. +

    +

    + E' la trasformata di Laplace della variabile aleatoria di X. +

    +     + +

    + La funzione caratteristica è: +

    +

    + {r`H_X (t) = E ( e^{i \cdot t \cdot X} )`} +

    +

    + Se due variabile aleatorie hanno la stessa funzione caratteristica, allora esse hanno + la stessa distribuzione. +

    +

    + E' la trasformata di Fourier della variabile aleatoria di X. +

    +     +
    +
    + +

    + Per dire che una variabile ha una certa distribuzione, si usa la notazione: +

    +

    + {r`X \sim Distribuzione()`} +

    +     + +

    + Una prova con solo due possibili + esiti: successo e insuccesso. +

    +     + +

    + Una sequenza di prove di Bernoulli per le quali le probabilità di successo e fallimento + rimangono invariate. +

    +     +
    +
    + +

    + Una variabile aleatoria che rappresenta una prova di Bernoulli: +

    +
      +
    • vale 1 in caso di successo.
      • +
    • vale 0 in caso di insuccesso.
      • +
    +

    + Il suo simbolo è {r`Ber(p)`} +

    +     + +

    + La distribuzione bernoulliana ha come densità: +

    +

    + {r` + f_X (k) : \{0, 1\} = \begin{cases} + p \quad se\ k = 1\\ + q \quad se\ k = 0\\ + 0 \quad altrimenti + \end{cases} = p^x \cdot q^{1 - k}` + } +

    +     +
    +
    + +

    + Una variabile aleatoria che conta il numero di successi di n prove di uno + schema di Bernoulli. +

    +

    + Il suo simbolo è {r`Bin(n, p)`}. +

    +     + +

    + La binomiale ha come densità: +

    +

    + {r`f_X (k) : \{0..n\} = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n - k}`} +

    +     + +

    + La funzione generatrice dei momenti della binomiale è: +

    +

    + {r`m_X (t) = (q + p \cdot e^t) ^ n`} +

    +

    + La media di una binomiale è: +

    +

    + {r`E(X) = n \cdot p`} +

    +

    + La varianza di una binomiale è: +

    +

    + {r`Var(X) = n \cdot p \cdot q`} +

    +     +
    +
    + +

    + Una variabile aleatoria che conta il numero di prove in uno schema di Bernoulli fino + alla comparsa del primo successo. +

    +

    + Il suo simbolo è Geo(p). +

    +     + +

    + La geometrica ha come densità: +

    +

    + {r`f_X (k) : \mathbb{N} = q^{k - 1} p`} +

    +     + +

    + La funzione generatrice dei momenti della geometrica è: +

    +

    + {r`m_X (t) = \frac{p \cdot e^t}{1 - q \cdot e^t}`} +

    +

    + La media della geometrica è: +

    +

    + {r`E(X) = \frac{1}{p}`} +

    +

    + La varianza della geometrica è: +

    +

    + {r`Var(X) = \frac{q}{p^2}`} +

    +     + +

    + La geometrica non tiene conto degli eventi avvenuti in passato: ha la proprietà + dell'assenza di memoria: +

    +

    + {r`P([X = i + j | X > i ]) = P([X = j])`} +

    + + Ovvero, riscalando opportunamente l'asse Y posso prendere come 0 qualsiasi punto + dell'asse X. + +     +
    +
    + +

    + Una variabile aleatoria che conta il numero di prove in uno schema di Bernoulli + necessarie perchè si verifichi l'n-esimo successo. +

    +

    + Il suo simbolo è {r`\overline{Bin}(n, p)`}. +

    +     + +

    + La binomiale negativa ha come densità: +

    +

    + {r`f_X (k) : \{ n .. +\infty \} \in \mathbb{N} = \binom{k - 1}{n - 1} \cdot p^n \cdot q^{k - n} `} +

    +     + +

    +

    + La funzione generatrice dei momenti della binomiale negativa è: +

    +

    + {r`m_X (t) : \{ t < ln(\frac{1}{q}) \} = \left( \frac{p \cdot e^t}{1 - q \cdot e^t} \right) ^n`} +

    +

    + La media della binomiale negativa è: +

    +

    + {r`E(X) = \frac{n}{p}`} +

    +

    + La varianza della binomiale negativa è: +

    +

    + {r`Var(X) = \frac{n \cdot q}{p^2}`} +

    +

    +     +
    +
    + +

    + Una variabile aleatoria che conta il numero k di insuccessi consecutivi + in uno schema di Bernoulli: +

    +

    + Il suo simbolo rimane {r`Geo(p)`}. +

    +     + +

    + La geometrica traslata ha come densità: +

    +

    + {r`f_X (k) : \mathbb{N} = p \cdot q^k `} +

    +     + +

    + La funzione generatrice dei momenti della geometrica traslata è: +

    +

    + {r`m_X (t) : \left\{ t < ln \left( \frac{1}{q} \right) \right\} = \frac{p}{1 - q \cdot e^t}`} +

    +

    + La media della geometrica traslata è: +

    +

    + {r`E(X) = \frac{q}{p}`} +

    +

    + La varianza della geometrica è: +

    +

    + {r`Var(X) = \frac{q}{p^2}`} +

    +     + +

    + La geometrica traslata non tiene conto degli eventi avvenuti in passato: ha la proprietà + dell'assenza di memoria: +

    +

    + {r`P([X = i + j | X > i ]) = P([X = j])`} +

    + + Ovvero, riscalando opportunamente l'asse Y posso prendere come 0 qualsiasi punto + dell'asse X. + +     +
    +
    + +

    + Una variabile aleatoria che conta il numero di insuccessi in uno schema di Bernoulli + prima che si verifichi l'n-esimo successo. +

    +

    + Il suo simbolo rimane {r`\overline{Bin}(n, p)`}. +

    +     + +

    + La binomiale negativa traslata ha come densità: +

    +

    + {r`f_X (k) : \mathbb{N} = \binom{k + n - 1}{n - 1} \cdot p^n \cdot q^k `} +

    +     + +

    +

    + La funzione generatrice dei momenti della binomiale negativa traslata è: +

    +

    + {r`m_X (t) : \left\{ t < ln \left( \frac{1}{q} \right) \right\} = \left( \frac{p \cdot e^t}{1 - q \cdot e^t} \right) ^n`} +

    +

    + La media della binomiale negativa traslata è: +

    +

    + {r`E(X) = \frac{n \cdot q}{p}`} +

    +

    + La varianza della binomiale negativa traslata è: +

    +

    + {r`Var(X) = \frac{n \cdot q}{p^2}`} +

    +

    +     +
    +
    + +

    + Una variabile aleatoria che, sapendo il numero di successi K e di + insuccessi N-K, conta quanti successi si otterrebbero se se ne + estraessero n in blocco. +

    +

    + Il suo simbolo è Ipe(N, K, n). +

    +     + +

    + La ipergeometrica ha come densità: +

    +

    + {r`f_X (k) : \{0..n\} \in \mathbb{N} = \frac{\binom{K}{k} \cdot \binom{N - K}{n - k}}{\binom{N}{n}}`} +

    +     + +

    +

    + La funzione generatrice dei momenti della ipergeometrica è trascurabile. +

    +

    + La media della ipergeometrica è: +

    +

    + {r`E(X) = n \cdot \frac{K}{N}`} +

    +

    + La varianza della ipergeometrica è: +

    +

    + {r`Var(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \frac{N - K}{N} \cdot \frac{N - n}{N - 1}`} +

    +

    +     +
    +
    + +

    + Una variabile aleatoria che soddisfa tutte le seguenti caratteristiche: +

    +
      +
    • Binomiale: {r`X \sim Bin(n, p)`}
      • +
    • Il numero di prove tende a infinito: {r`n \to +\infty`}
      • +
    • La probabilità di successo tende a 0: {r`p \to 0`}
      • +
    • La media è finita: {r`E(X) = n \cdot p \to \mu \neq 0`}
      • +
    +

    + Il suo simbolo è {r`Poi(\mu)`} +

    +     + +

    + La poissoniana ha come densità: +

    +

    + {r`f_X (k) : \mathbb{N} = \frac{e^{-\mu} \cdot \mu^k}{k!}`} +

    +     + +

    +

    + La funzione generatrice dei momenti della poissoniana è: +

    +

    + {r`m_X (t) = e^{\mu \cdot (e^t - 1)}`} +

    +

    + La media della poissoniana è: +

    +

    + {r`E(X) = \mu`} +

    +

    + La varianza della poissoniana è: +

    +

    + {r`Var(X) = \mu`} +

    +

    + Gli altri momenti della poissoniana sono: +

    +
      +
    1. {r`E(X^2) = \mu^2 + \mu`}
      2. +
    +

    +     +
    +
    + +

    + Una successione di arrivi avvenuti in un certo arco temporale che: +

    +
      +
    • non sono sovrapposti.
      • +
    • hanno intensità {r`\lambda`} costante.
      • +
    • avvengono indipendentemente gli uni dagli altri.
      • +
    +     + +

    + Una variabile aleatoria N_t che conta il numero di arrivi di uno schema + di Poisson di intensità {r`\lambda`} in un intervallo di tempo di + durata t. +

    +

    + E' una distribuzione poissoniana + con {r`\mu = t \cdot \lambda`}: {r`Poi(t \cdot \lambda)`} +

    + + E' paragonabile a una bernoulliana: ogni successo corrisponde a un arrivo, mentre il + tempo è il numero di prove effettuate (ma nel continuo). + +     +
    +
    + +

    + Una variabile aleatoria che conta il tempo diwidehattesa prima del primo arrivo di un + processo di Poisson di intensità {r`\lambda`}. +

    +

    + Il suo simbolo è {r`Esp(\lambda)`}. +

    +     + +

    + L'esponenziale ha come densità: +

    +

    + {r` + f_X (x) = \begin{cases} + 0 \qquad \qquad x < 0\\ + \lambda \cdot e^{-\lambda \cdot x} \quad x > 0 + \end{cases}` + } +

    +

    + L'esponenziale ha come funzione di ripartizione: +

    +

    + {r` + F_X (t) = \begin{cases} + 0 \qquad \qquad t < 0\\ + 1 - e^{-\lambda \cdot t} \quad t \geq 0 + \end{cases}` + } +

    +     + +

    + La funzione generatrice dei momenti dell'esponenziale è: +

    +

    + {r`m_X (t) : \{ t | t < \lambda \} \in \mathbb{R} = \frac{\lambda}{\lambda - t}`} +

    +

    + La media dell'esponenziale è: +

    +

    + {r`E(X) = \frac{1}{\lambda}`} +

    +

    + La varianza dell'esponenziale è: +

    +

    + {r`Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}`} +

    +     + +

    + L'esponenziale non tiene conto degli eventi avvenuti in passato: ha la proprietà + dell'assenza di memoria: +

    +

    + {r`P([X > s + t | X > s]) = P([X > t])`} +

    + + Ovvero, riscalando opportunamente l'asse Y posso prendere come 0 qualsiasi punto + dell'asse X. + +     +
    +
    + +

    + Una variabile aleatoria che conta il tempo diwidehattesa prima dell'n-esimo + arrivo di un processo di Poisson di intensità {r`\lambda`}. +

    +

    + Il suo simbolo è {r`\Gamma(n, \lambda)`}. +

    +     + +

    + La legge gamma ha come densità: +

    +

    + {r` + f_X (x) = \begin{cases} + 0 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x < 0\\ + \frac{1}{(n-1)!} \cdot \lambda^n \cdot x^{n-1} \cdot e^{-\lambda \cdot x} \quad k > 0 + \end{cases}` + } +

    +     + +

    +

    + La funzione generatrice dei momenti della legge gamma è: +

    +

    + {r`m_X (t) : ( t < \lambda ) \in \mathbb{R} = \left( \frac{\lambda}{\lambda - t} \right) ^\alpha`} +

    +

    + La media della legge gamma è: +

    +

    + {r`E(X) = \frac{\alpha}{\lambda}`} +

    +

    + La varianza della legge gamma è: +

    +

    + {r`Var(X) = \frac{\alpha}{\lambda^2}`} +

    +

    +     +
    +
    + +

    + Una variabile aleatoria che può assumere qualsiasi valore in un + intervallo {r`[a, b]`} in modo equiprobabile. +

    +

    + Il suo simbolo è {r`Uni(a, b)`} +

    +

    + Su di essa vale la seguente proprietà: +

    +

    + {r`P(X \in (c, d)) = \frac{d - c}{b - a}`} +

    +     + +

    + La distribuzione uniforme ha come densità: +

    +

    + {r` + f_X (x) = \begin{cases} + \frac{1}{b - a} \qquad a \leq x \leq b\\ + 0 \qquad \quad altrimenti + \end{cases} + `} +

    +

    + La distribuzione uniforme ha come funzione di ripartizione: +

    +

    + {r` + f_X (x) = \begin{cases} + 0 \qquad \quad x < a + \frac{1}{b - a} \qquad a \leq x \leq b\\ + 1 \qquad \quad x > b + \end{cases}` + } +

    +     + +

    +

    + La funzione generatrice dei momenti della distribuzione uniforme è: +

    +

    + {r`m_X (t) = \frac{e^{b \cdot t} - e^{a \cdot t}}{(b - a) \cdot t}`} +

    +

    + La media della distribuzione uniforme è: +

    +

    + {r`E(X) = \frac{a + b}{2}`} +

    +

    + La varianza della distribuzione uniforme è: +

    +

    + {r`Var(X) = \frac{(b - a)^2}{12}`} +

    +

    +     +
    +
    + +

    + Una variabile aleatoria con una specifica distribuzione. +

    +

    + Il suo simbolo è {r`Nor(\mu, \sigma^2)`}. +

    + + \mu e \sigma^2 sono rispettivamente la media e la varianza + della distribuzione! + +     + +

    + La distribuzione normale ha come densità: +

    +

    + {r`f_X (x) = \frac{e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}}}{\sqrt{2 \pi \cdot \sigma^2}}`} +

    +     + +

    +

    + La funzione generatrice dei momenti della distribuzione normale è: +

    +

    + {r`m_X (t) = e^{\mu \cdot t + \frac{\sigma^2 \cdot t^2}{2}}`} +

    +

    + La media della distribuzione normale è: +

    +

    + {r`E(X) = \mu`} +

    +

    + La varianza della distribuzione normale è: +

    +

    + {r`Var(X) = \sigma^2`} +

    +

    +     +
    +
    + +

    + Qualsiasi normale può essere trasformata in qualsiasi altra normale: +

    +

    + {r`X \sim Nor(m, v^2) \implies \alpha X + \beta \sim Nor(\alpha m + \beta, (\alpha v)^2)`} +

    +     + +

    + La distribuzione normale standard Z è: +

    +

    + Z \sim Nor(0, 1) +

    +

    + La sua funzione di ripartizione è detta {r`\phi(z)`} e vale: +

    +

    + {r`F_Z(z) = \phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-\frac{x^2}{2}} dx`} +

    +     + +

    + Da un quantile {r`z_\alpha`} della normale standard è possibile risalire + allo stesso quantile di qualsiasi altra normale: +

    +

    + {r`x_\alpha = \mu + z_\alpha \cdot \sqrt{\sigma^2}`} +

    +     +
    +
    + +

    + La distribuzione normale ha una particolare relazione con la distribuzione Gamma: +

    +

    + {r`Z^2 \sim \chi^2 (v = 1)`} +

    +     + +
    + "chi-quadro a un grado di libertà" +
    +

    + Esiste una distribuzione Gamma particolare: +

    +

    + {r`\Gamma \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right) = \chi^2 (v = 1)`} +

    +

    + Più chi-quadro possono essere sommate per aumentare i loro gradi di libertà: +

    +

    + {r`\chi^2 (n) + \chi^2 (m) = \chi^2 (n + m)`} +

    +     + +

    + Un'altra funzione particolare è la funzione T di Student: +

    +

    + {r`T(v) = \frac{Nor(0, 1)}{\sqrt{\frac{\chi^2(v)}{v}}}`} +

    +     +
    +
    + +

    + La binomiale è come una ipergeometrica ma con ripetizioni, quindi per valori molto + grandi di N rispetto a n, si può dire che: +

    +

    + {r`Ipe(N, K, n) \approx Bin(n, \frac{K}{N})`} +

    +     + +

    + La binomiale non è altro che una poissoniana a tempo discreto, quindi, + se n è grande e n \cdot p è nell'ordine di grandezza delle + unità, allora: +

    +

    + {r`Bin(n, p) \approx Poi(n \cdot p)`} +

    +     + +

    + Per il Teorema di De Moivre-Laplace, se una binomiale ha una n grande + e p non vicina a 0 o 1, si può approssimare con: +

    +

    + {r`Bin(n, p) \approx Nor(n \cdot p, n \cdot p \cdot q)`} +

    +     + +

    + Passando da una variabile discreta X a una continua Y, per + ogni valore discreto k la probabilità viene "spalmata" su tutto + l'intervallo {r`(k - \frac{1}{2}, k + \frac{1}{2})`}: +

    +
      +
    • {r`P(X < k) \simeq P(Y \leq k - \frac{1}{2})`}
      • +
    • {r`P(X \leq k) \simeq P(Y \leq k + \frac{1}{2})`}
      • +
    • {r`P(X \geq k) \simeq P(Y \geq k - \frac{1}{2})`}
      • +
    • {r`P(X > k) \simeq P(Y \geq k + \frac{1}{2})`}
      • +
    +     +
    +
    + +

    + Un vettore composto da variabili aleatorie. +

    +

    + Il suo simbolo generalmente + è {r`\boldsymbol{X}`} oppure {r`X, Y`}. +

    +     + +

    + I vettori aleatori hanno più funzioni di ripartizione che si differenziano in base al + numero di parametri. +

    +

    + Se il numero di parametri coincide con la dimensione del vettore aleatorio, allora la + funzione sarà una funzione di ripartizione congiunta: +

    +

    + {r`F_{X, Y} (x, y) = P(X \leq x, Y \leq y)`} +

    +

    + Se il numero di parametri è minore della dimensione del vettore aleatorio, allora la + funzione sarà una funzione di ripartizione marginale: +

    +

    + {r`F_X (x) = P(X \leq x) = \lim_{y \to +\infty} F_{X, Y} (x, y)`} +

    +     + +

    + I vettori aleatori discreti hanno più densità che si differenziano in base al + numero di parametri. +

    +

    + Se il numero di parametri coincide con la dimensione del vettore aleatorio, allora la + funzione sarà una densità congiunta: +

    +

    + {r`p_{X, Y} (x, y) = P(X = x, Y = y)`} +

    +

    + Se il numero di parametri è minore della dimensione del vettore aleatorio, allora la + funzione sarà una densità marginale: +

    +

    + {r`p_X (x) = \sum_j p_{X, Y} (x_i, y_j)`} +

    +     +
    +
    + +

    + Più variabili aleatorie sono indipendenti se, per qualsiasi scelta di + intervalli A_i: +

    +

    + {r`P(X_1 \in A_1, \dots, X_n \in A_n) = P(X_1 \in A_1) \times \dots \times P(X_n \in A_n)`} +

    +     + +

    + E' possibile calcolare la media di qualsiasi funzione g(X, Y) avente + elementi del vettore come variabili: +

    +

    + {r`E(g(X, Y)) = \sum_{i, j} g(x_i, y_i) \cdot p_{X, Y} (x_i, y_i)`} +

    + + Solitamente si calcola la media di x \cdot y. + +

    + Le medie di più variabili aleatorie si possono sommare: +

    +

    + {r`E(X + Y) = E(X) + E(Y)`} +

    +     +
    +
    + +

    + Un operatore che misura la correlazione di due variabili aleatorie. +

    +

    + Si calcola con il valore atteso dei prodotti delle distanze dalla media: +

    +

    + {r`Cov(X, Y) = E((X - E(X) \cdot (Y - E(Y)) = E(XY) - E(X) \cdot E(Y)`} +

    +

    + Ha diverse proprietà: +

    +
      +
    • Il suo valore nullo è 0: {r`Cov(X, \alpha) = 0`}
      • +
    • E' commutativa: {r`Cov(X, Y) = Cov(Y, X)`}
      • +
    • E' semplificabile: {r`Cov(X, X) = Var(X)`}
      • +
    • E' lineare: {r`Cov(\alpha X, \beta Y) = \alpha \cdot \beta \cdot Cov(X, Y)`} +
      • +
    • E' distributiva: {r`Cov(X + Y, V + W) = Cov(X, Y) + Cov(X, W) + Cov(Y, V) + Cov(Y, W)`} +
      • +
    +     + +

    + Due variabili sono variabili incorrelate se: +

    +

    + {r`Cov(X, Y) = 0`} +

    +

    + Variabili indipendenti sono sempre incorrelate. +

    +     + +

    + Una matrice {r`\boldsymbol{C_X}`} che contiene la covarianza tra tutte le + variabili di un vettore aleatorio {r`\boldsymbol{X}`}: +

    +

    + {r` + \boldsymbol{C_X} = + \begin{bmatrix} + Var(X_1) & Cov(X_1, X_2) & Cov(X_1, X_3)\\ + Cov(X_2, X_1) & Var(X_2) & Cov(X_2, X_3)\\ + Cov(X_3, X_1) & Cov(X_3, X_2) & Var(X_3) + \end{bmatrix} + `} +

    +

    + E' sempre simmetrica e semidefinita positiva (tutti gli autovalori sono \geq + 0. +

    +     + +

    + Un valore che misura come due variabili aleatorie sono correlate: +

    +

    + {r`\rho_{X, Y} = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{Var(X)} \cdot \sqrt{Var(Y)}}`} +

    +

    + E' sempre compreso tra -1 e 1: +

    +

    + {r`-1 \leq \rho_{X, Y} \leq 1`} +

    +

    + Vale esattamente -1 o 1 solo se esiste un legame lineare tra le due variaibli: +

    +

    + {r`Y = a X + b \Longleftrightarrow | \rho_{X, Y} | = 1`} +

    +     + +

    + La varianza di due variabili aleatorie sommate è: +

    +

    + {r`Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 \cdot Cov(X, Y)`} +

    + + Si dimostra applicando le proprietà della covarianza! + +

    + Se più variabili + aleatorie X_i sono indipendenti ({r`Cov(X, Y) = 0`}), + allora: +

    +

    + {r`Var \left( \sum_i X_i \right) = \sum_i Var(X_i)`} +

    +     +
    +
    + +

    + Una n-pla di variabili aleatorie con la stessa distribuzione della variabile + aleatoria X ("popolazione") ma indipendenti tra loro. +

    + + Le variabili aleatorie sono come un lazy-load in programmazione; quando ci sarà bisogno + del loro valore numerico, esse si realizzeranno nel loro valore. + +     + +

    + Il valore dato dalla media aritmetica degli n elementi del campione + elevati alla potenza k: +

    +

    + {r`M^{(k)}_n = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^n X_i^k `} +

    +

    + Il momento campionario di primo ordine è la media campionaria + {r`\overline{X}_n`}. +

    +     + +

    + La media aritmetica dello scarto quadratico medio degli elementi del campione. +

    +

    + Se è noto il valore medio {r`m = E(X)`} di X: +

    +

    + {r`S_0^2 = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^n (X_i - m)^2 = M_n^(2) - 2 \cdot m \cdot \overline{X}_n + m^2`} +

    +

    + Altrimenti: +

    +

    + {r`S_n^2 = \frac{1}{n - 1} \cdot \sum_{i = 1}^n (X_i - \overline{X}_n)^2 = \frac{1}{n - 1} \cdot ( n \cdot M_2^{(2)} - n \cdot \overline{X}_n^2)`} +

    +     +
    +
    + +

    + Se calcoliamo la media della media campionaria, risulterà vero che: +

    +

    + {r`E(\overline{X}_n) = E(X)`} +

    + + Quindi, è possibile usare i campioni per trovare la media di una variabile aleatoria! + +     + +

    + Se calcoliamo la varianza della media campionaria, risulterà vero che: +

    +

    + {r`Var(\overline{X}_n) = \frac{Var(X)}{n}`} +

    + + Quindi, possiamo stimare l'errore della media calcolata tramite campioni! + +     + +

    + Se calcoliamo la media della varianza campionaria, risulterà vero che: +

    +

    + {r`E(S_0^2) = E(S_n^2) = Var(X)`} +

    + + Quindi, possiamo stimare l'errore della media calcolata tramite campioni! + +     +
    +
    + +

    + Se la popolazione X ha una distribuzione normale + ({r`X \sim Nor(\mu, \sigma^2)`})... +

    +     + +

    + ...allora sappiamo anche la distribuzione della media campionaria! +

    +

    + {r`\overline{X}_n \sim Nor \left( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \right)`} +

    +     + +

    + ...e anche della varianza campionaria! +

    +

    + {r`S_0^2 \sim \frac{\sigma^2}{n} \cdot \chi^2 (n)`} +

    +

    + {r`S_n^2 \sim \frac{\sigma^2}{n - 1} \cdot \chi^2 (n-1)`} +

    +     + +

    + ...e che media campionaria e varianza campionaria sono indipendenti tra loro! +

    +     +
    +
    + +

    + Se la successione di variabili aleatorie X_n all'infinito ha la stessa + funzione di ripartizione della popolazione X, allora essa converge + in distribuzione. +

    +

    + {`\\lim_{n \\to +\\infty} F_{X_n} (x) = F_X (x) \\implies X_n \\xrightarrow{d} X`} +

    +     + +

    + Se la successione di variabili aleatorie X_n all'infinito ha la stessa + probabilità della popolazione X, allora essa converge in + probabilità. +

    +

    + {`\\forall \\epsilon > 0, \\lim_{n \\to +\\infty} P( | X_n - X | < \\epsilon) = 1 \\implies X_n \\xrightarrow{p} X`} +

    +     + +

    + Se la successione di variabili aleatorie X_n all'infinito ha la stessa + probabilità a della popolazione X, allora essa converge quasi + certamente. +

    +

    + {`\\forall \\epsilon > 0, P \left( \\lim_{n \\to +\\infty} | X_n - X | < \\epsilon) \right) = 1 \\implies X_n \\xrightarrow{qc} X`} +

    +     + +

    + Se la successione di variabili aleatorie X_n all'infinito ha la media + del quadrato della distanza tra la successione e la popolazione X uguale + a 0, allora essa converge in media quadratica. +

    +

    + {`\\lim_{n \\to +\\infty} E( | X_n - X |^2 = 0 \\implies X_n \\xrightarrow{mq} X`} +

    +     + +

    + {` + \\begin{matrix} + X_n \\xrightarrow{mq} X\\\\ + X_n \\xrightarrow{qc} X + \\end{matrix} \\implies X_n \\xrightarrow{p} X \\implies X_n \\xrightarrow{d} X` + } +

    +

    + In più: +

    +

    + {`X_n \\xrightarrow{p} x \\Longleftrightarrow X_n \\xrightarrow{d} x`} +

    +     +
    +
    + +

    + La successione delle medie campionarie {r`\overline{X}_n`} converge in + probabilità alla media della popolazione {r`E(X)`}, se essa esiste. +

    +

    + {`\\overline{X}_n \\xrightarrow{p} X`} +

    +

    + Ovvero: +

    +

    + {r`\forall \epsilon > 0, \lim_{n \to +\infty} P( | \overline{X}_n - E(X) | < \epsilon) = 1`} +

    +

    + {r`P( | \overline{X}_n - E(X) | < \epsilon) \to 1`} +

    +     + +

    + La successione delle medie campionarie {r`\overline{X}_n`} converge + quasi certamente alla media della popolazione {r`E(X)`}, se essa + esiste. +

    +

    + {`\\overline{X}_n \\xrightarrow{qc} X`} +

    +

    + Ovvero: +

    +

    + {r`\forall \epsilon > 0, P \left( \lim_{n \to +\infty} | \overline{X}_n - E(X) | < \epsilon \right) = 1`} +

    + + Dimostra che l'interpretazione frequentista della probabilità è valida! + +     +
    +
    + +

    + La successione delle medie campionarie {r`\overline{X}_n`} converge in + distribuzione a {r`Nor(0, 1) = \Phi()`}. +

    +

    + {r`\overline{X}_n \approx Nor \left(E(X), \frac{Var(X)}{n} \right)`} +

    +

    + Ovvero: +

    +

    + {r`\forall x \in \mathbb{R}, \lim_{n \to +\infty} P \left( \frac{\overline{X}_n - E(X)}{\sqrt{\frac{Var(X)}{n}}} \leq x \right) = \Phi(x)`} +

    +     +
    +
    + +

    + E' una somma di bernoulliane, e quindi si approssima a una normale: +

    +

    + {r`Bin(n, p) \approx Nor(n \cdot p, n \cdot p \cdot q)`} +

    +     + +

    + E' una somma di geometriche, e quindi si approssima a una normale: +

    +

    + {r`\overline{Bin} (n, p) \approx Nor \left( \frac{n}{p}, \frac{n \cdot (1 - p)}{p^2} \right)`} +

    +     + +

    + E' una somma di altre poissoniane, e quindi si approssima a una normale: +

    +

    + {r`Poi(\lambda) \approx Nor(\lambda, \lambda)`} +

    +     + +

    + E' una somma di esponenziali, e quindi si approssima a una normale: +

    +

    + {r`\Gamma (\alpha, \lambda) \approx Nor \left( \frac{\alpha}{\lambda}, \frac{\alpha}{\lambda^2} \right)`} +

    +     + +

    + Se n è grande, allora: +

    +

    + {r`Y = \sum_{i=1}^{n} X_i`} +

    +     +
    +
    + +

    + Per indicare parametri sconosciuti di una legge si usa \theta. +

    +     + +

    + Una variabile aleatoria funzione di un campione: +

    +

    + {r`T(\boldsymbol{X})`} +

    + + Ad esempio, sono statistiche media e varianza campionaria, così come il campione + stesso {r`T(\boldsymbol{X}) = \boldsymbol{X}`}. + +     +
    +
    + +

    + Una statistica T_n ottenuta da n osservazioni, che stimi i + parametri di una legge e sia indipendente da essi. +

    +     + +

    + Uno stimatore è corretto se il suo valore atteso coincide con quello dei + parametri che stima: +

    +

    + {r`E(T_n) = \theta`} +

    +     + +

    + Uno stimatore è asintoticamente corretto se, per infinite osservazioni, il suo + valore atteso coincide con quello dei parametri che stima: +

    +

    + {r`\lim_{n \to +\infty} E(T_n) = \theta`} +

    +     + +

    + Uno stimatore è consistente in media quadratica se: +

    +

    + {r`\lim_{n \to +\infty} E((T_n - \theta)^2) = 0`} +

    +     + +

    + Uno stimatore è consistente in probabilità se: +

    +

    + {r`\forall \epsilon > 0, \lim_{n \to +\infty} P( |T_n - \theta| < \epsilon) = 1`} +

    +     + +

    + Uno stimatore è asintoticamente normale se: +

    +

    + {r`\lim_{n \to +\infty} \frac{T_n - E(T_n)}{\sqrt{Var(T_n)}} \sim Nor(0, 1)`} +

    +     +
    +
    + +

    + Si può usare il metodo dei momenti per ottenere uno stimatore di una + popolazione X. +

    +

    + Lo stimatore di {r`\theta`} così ottenuto sarà indicato aggiungendo un + cappellino e + una M a \theta: {r`\widehat{\theta}_M`} +

    +

    + Visto che: +

    +
      +
    • {r`\theta = g(E(X))`}
      • +
    • {r`\widehat{E(X)} = \overline{X}_n`}
      • +
    +

    + Allora: +

    +

    + {r`\widehat{\theta}_M = g( \overline{X}_n )`} +

    +

    + Se {r`\theta`} non è esprimibile in termini di {r`E(X)`}, + si possono usare i momenti + successivi {r`M_n^2`}, {r`M_n^3`}, {r`M_n^3`}... +

    +     +
    +
    + +

    + Si può usare il metodo della massima verosomiglianza per ottenere uno stimatore + di una popolazione X. +

    +

    + Lo stimatore di {r`\theta`} così ottenuto sarà indicato aggiungendo un + cappellino e + una L a \theta: {r`\widehat{\theta}_L`} +

    +

    + Consiste nel trovare il massimo assoluto {r`\widehat{\theta}_L`} della la + funzione di verosomiglianza {r`L`}: +

    +

    + {r`L(x_1, ..., x_n; \theta) = \prod_{i=1}^n f_X(x_i; \theta)`} +

    +

    + Gli stimatori di massima verosomiglianza sono asintoticamente corretti, consistenti + in probabilità e asintoticamente normali. +

    +     + +

    + Gli stimatori di massima verosomiglianza godono delle seguenti proprietà: +

    +
      +
    • Sono asintoticamente corretti.
      • +
    • Sono consistenti in probabilità.
      • +
    • Sono asintoticamente normali.
      • +
    • Sono invarianti: {r`\widehat{g(\theta)}_L = g(\widehat{\theta}_L)`} +
      • +
    +     +
    +
    + +

    + Per il metodo dei momenti oppure per il metodo della massima verosomiglianza: +

    +

    + {r`\widehat{p}_M = \widehat{p}_L = \overline{X}_n`} +

    +     + +

    + Per il metodo dei momenti oppure per il metodo della massima verosomiglianza: +

    +

    + {r`\widehat{\mu}_M = \widehat{\mu}_L = \overline{X}_n`} +

    +     + +

    + Per il metodo dei momenti oppure per il metodo della massima verosomiglianza: +

    +

    + {r`\widehat{\lambda}_M = \widehat{\lambda}_L = \frac{1}{\overline{X}_n}`} +

    +     + +

    + Per il metodo della massima verosomiglianza: +

    +
      +
    • {r`\widehat{\mu}_L = \overline{X}_n`}
      • +
      +
    • {r`\widehat{\sigma^2}_L = \frac{\sum (X_i - \overline{X}_n)^2 }{n}`} +
      • +
    +     +
    +
    + +
    + "intervallo di confidenza al 95%" +
    +

    + L'intervallo di valori di \theta all'interno del quale siamo "più o meno + sicuri" si trovi il valore effettivo: +

    +

    + L'intervallo di confidenza a N della stima {r`\widehat{W}`} è + l'intervallo ]a, b[ tale che: +

    +

    + {r`P( a < W < b ) = N`} +

    +

    + Può anche essere unilatero nel caso limiti la stima in una sola direzione, + positiva o negativa. +

    +     +
    +
    + +

    + Se conosciamo la varianza di una normale, allora possiamo ricavare velocemente gli + intervalli di confidenza all'\alpha% con queste formule: +

    +
      +
    • Intervalli + bilateri: {r`\mu \in \left[ \overline{x}_n - z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}, \overline{x}_n + z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \right]`} +
      • +
    • Intervallo unilatero da + sinistra: {r`\mu \in \left( -\infty, \overline{x}_n + z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \right]`} +
      • +
    • Intervallo unilatero da + destra: {r`\mu \in \left[ \overline{x}_n - z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}, +\infty \right)`} +
      • +
    +     + +

    + Se non conosciamo la varianza di una normale, allora possiamo ricavare velocemente gli + intervalli di confidenza all'\alpha% con queste formule: +

    +
      +
    • Intervalli + bilateri: {r`\mu \in \left[ \overline{x}_n - t_{1 - \frac{\alpha}{2}; n-1} \cdot \sqrt{\frac{s_n^2}{n}}, \overline{x}_n + t_{1 - \frac{\alpha}{2}; n-1} \cdot \sqrt{\frac{s_n^2}{n}} \right]`} +
      • +
    • Intervallo unilatero da + sinistra: {r`\mu \in \left( -\infty, \overline{x}_n + t_{1 - \frac{\alpha}{2}; n-1} \cdot \sqrt{\frac{s_n^2}{n}} \right]`} +
      • +
    • Intervallo unilatero da + destra: {r`\mu \in \left[ \overline{x}_n - t_{1 - \frac{\alpha}{2}; n-1} \cdot \sqrt{\frac{s_n^2}{n}}, +\infty \right)`} +
      • +
    +

    + {r`t_{\alpha, v}`} è un quantile della distribuzione di Student di + parametro v. +

    +     +
    +
    + +

    + L'intervallo di confidenza per la proprorzione di una bernoulliana qualsiasi si ottiene + da questa formula: +

    +

    + {r`p \in \left[ \overline{p} - z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{p} \cdot (1 - \overline{p})}{n+4}}, \overline{p} + z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{p} \cdot (1 - \overline{p})}{n+4}} \right]`} +

    +     +
    +
    + +

    + L'intervallo di confidenza per la media di una qualsiasi popolazione si ottiene da + questa formula: +

    +

    + {r`m \in \left[ \overline{x}_n - z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^2_n}{n}}, \overline{x}_n + z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^2_n}{n}} \right]`} +

    +     +
    +
    + ) +}