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-import {Heading, Chapter, Box, ListUnordered, BringAttention as B, Idiomatic as I, UAnnotation as U, Parenthesis, Quote} from "@steffo/bluelib-react"
+import {Heading, Chapter, Box, ListUnordered, BringAttention as B, Idiomatic as I, UAnnotation as U, Parenthesis} from "@steffo/bluelib-react"
 import type { NextPage, NextPageContext } from 'next'
 import { Link } from '../../../components/link'
 import 'katex/dist/katex.min.css';
 import TeX from "@matejmazur/react-katex"
 const r = String.raw
 
-const X = () => <TeX math={r`\mathbb{X}`}/>
-const Y = () => <TeX math={r`\mathbb{Y}`}/>
-
 export async function getStaticProps(_context: NextPageContext) {
     return {
         props: {}
@@ -25,37 +22,53 @@ const Page: NextPage = () => {
             <Heading level={2}>
                 Analisi multivariata
             </Heading>
-            <Box todo>
+            <Box>
                 <Heading level={3}>
                     Spazio vettoriale
                 </Heading>
                 <p>
-                    <B>Struttura algebrica</B> che rappresenta una generalizzazione del concetto di "piano" e "spazio" dei piani cartesiani rispettivamente bi e tri-dimensionali.
+                    <B>Insieme</B> di elementi che tra loro possono essere:
                 </p>
+                <ListUnordered>
+                    <ListUnordered.Item>
+                        <U>sommati</U>: <TeX math={r`\mathbf{a}+\mathbf{b}`}/>
+                    </ListUnordered.Item>
+                    <ListUnordered.Item>
+                        <U>scalati</U>: <TeX math={r`\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle`}/>
+                    </ListUnordered.Item>
+                </ListUnordered>
+                <Parenthesis>
+                    Rappresenta una generalizzazione dei concetti euclidei di <B>piano</B> (2D) e <B>spazio</B> (3D).
+                </Parenthesis>
             </Box>
-            <Box todo>
+            <Box>
                 <Heading level={3}>
                     Sottospazio vettoriale
                 </Heading>
                 <p>
-                    <B>Spazio vettoriale</B> contenuto nello spazio vettoriale da cui deriva.
+                    <B>Sottoinsieme chiuso</B> di uno spazio vettoriale.
+                </p>
+                <p>
+                    L'intersezione tra due sottospazi vettoriali è essa stessa un sottospazio vettoriale.
                 </p>
-                <Parenthesis>
-                    In genere ne riduce le dimensioni.
-                </Parenthesis>
             </Box>
-            <Box todo>
+            <Box>
                 <Heading level={3}>
-                    Varietà affine
+                    Varietà affine in <TeX math={r`\mathbb{R}^n`}/>
                 </Heading>
                 <p>
-                    Traslazione del sottospazio generato da un dato spazio <TeX math={r`s`}/> in un dato punto <TeX math={r`x_0`}/>
+                    <B>Sottospazio vettoriale</B> generato da <TeX math={r`\mathbf{s}`}/> e traslato di <TeX math={r`\mathbf{x_0}`}/>:
                 </p>
                 <p>
-                    <TeX block math={r`x(\alpha) = x_0 + \alpha s`}/>
+                    <TeX block math={"\\mathrm{x}(\\alpha) = \\mathbf{x_0} + \\alpha s"}/>
                 </p>
                 <Parenthesis>
-
+                    <p>
+                        È l'astrazione di una <B>retta</B> euclidea in uno spazio vettoriale reale e multidimensionale.
+                    </p>
+                    <p>
+                        Infatti, al variare di <TeX math={r`\alpha`}/>, il vettore <TeX math={r`\mathbf{x_0}`}/> contraendosi ed esapandendosi disegna una retta.
+                    </p>
                 </Parenthesis>
             </Box>
         </Chapter>
@@ -65,102 +78,175 @@ const Page: NextPage = () => {
                     Derivata direzionale unilaterale
                 </Heading>
                 <p>
-                    Limite del rapporto incrementale in una <B>specifica dimensione</B> per uno spazio multidimensionale:
+                    Limite del rapporto incrementale nella direzione <TeX math={r`\mathbf{s}`}/> per uno spazio multidimensionale:
                 </p>
                 <p>
-                    <TeX block math={r`f' (x_0; s) = \lim_{\alpha \to 0^+} \frac{f(x_0 + \alpha s) - f(x_0)}{\alpha}`}/>
+                    <TeX block math={r`f' (\mathbf{x_0}; \mathbf{s}) = \lim_{\alpha \to 0^+} \frac{f(\mathbf{x_0} + \alpha \mathbf{s}) - f(\mathbf{x_0})}{\alpha}`}/>
+                </p>
+                <Parenthesis>
+                    <p>
+                        <TeX math={r`\mathbf{x_0}`}/> è il punto fermo su cui viene effettuato il limite, mentre <TeX math={r`\alpha \mathbf{s}`}/> è il vettore direzionale che viene scalato sempre più "in piccolo".
+                    </p>
+                </Parenthesis>
+                <p>
+                    Il suo <U>opposto</U> è:
                 </p>
                 <p>
-                    Nell'altra direzione, diventa:
-                </p>
-                <p>
-                    <TeX block math={r`{\color{Orange}-}f' (x_0; {\color{Orange}-}s) = \lim_{\alpha \to 0^{\color{Orange}-}} \frac{f(x_0 + \alpha s) - f(x_0)}{\alpha}`}/>
+                    <TeX block math={r`{\color{Orange}-}f' (\mathbf{x_0}; {\color{Orange}-}\mathbf{s}) = \lim_{\alpha \to 0^{\color{Orange}-}} \frac{f(\mathbf{x_0} + \alpha \mathbf{s}) - f(\mathbf{x_0})}{\alpha}`}/>
                 </p>
             </Box>
-            <Box todo>
+            <Box>
                 <Heading level={3}>
-                    Derivata direzionale (bilaterale)
+                    Derivata direzionale bilaterale
                 </Heading>
                 <p>
-                    Se esistono entrambe le derivate direzionali unilaterali, allora possiamo dire che è bilaterale e che
+                    Se <B>esistono entrambe</B> le derivate direzionali unilaterali opposte per un dato punto e una data direzione, allora si ha una derivata direzionale <I>bilaterale</I>:
                 </p>
                 <p>
-                    <TeX block math={r`\frac{df(x_0; s)}{d\alpha} = f'(x_0; s) = -f'(x_0; -s)`}/>
+                    <TeX block math={r`\frac{df(\mathbf{x_0}; \mathbf{s})}{d\alpha} = f'(\mathbf{x_0}; \mathbf{s}) = -f'(\mathbf{x_0}; -\mathbf{s})`}/>
                 </p>
             </Box>
         </Chapter>
         <Chapter>
-            <Box todo>
+            <Box>
                 <Heading level={3}>
-                    Derivata parziale
+                    <TeX math={r`i`}/>-esima derivata parziale
                 </Heading>
                 <p>
-                    Particolare <B>derivata direzionale</B> rispetto a un vettore della <B>base canonica</B>
+                    <B>Derivata direzionale bilaterale</B> nella direzione dell'<TeX math={r`i`}/>-esimo vettore della <B>base canonica</B> <TeX math={r`\mathbf{e}`}/>:
                 </p>
+                <p>
+                    <TeX block math={r`\frac{{\color{Orange}\delta}f(\mathbf{x_0}; {\color{Orange}\mathbf{e_i}})}{{\color{Orange}\delta}\alpha} = f'(\mathbf{x_0}; {\color{Orange}\mathbf{e_i}}) = -f'(\mathbf{x_0}; -{\color{Orange}\mathbf{e_i}})`}/>
+                </p>
+                <Parenthesis>
+                    <p>
+                        Ovvero la pendenza lungo uno degli <B>assi</B>.
+                    </p>
+                </Parenthesis>
             </Box>
-            <Box todo>
+            <Box>
                 <Heading level={3}>
                     Gradiente
                 </Heading>
                 <p>
-                    Vettore contenenti tutte le derivate parziali di un altro vettore rispetto a ogni elemento della base canonica
+                    <B>Vettore</B> contenenti tutte le derivate parziali di una funzione rispetto a ogni elemento della base canonica:
                 </p>
                 <p>
-                    <TeX block math={r`\nabla`}/>
+                    <TeX block math={r`\nabla f(x_0) = \left( \begin{matrix} 
+                        \frac{\delta f( \mathbf{x_0}; \mathbf{e_{\color{Orange}0}} )}{\delta \alpha} \\
+                        \\
+                        \frac{\delta f( \mathbf{x_0}; \mathbf{e_{\color{Orange}1}} )}{\delta \alpha} \\
+                        \\
+                        \vdots \\
+                        \\
+                        \frac{\delta f( \mathbf{x_0}; \mathbf{e_{\color{Orange}n}} )}{\delta \alpha}
+                    \end{matrix} \right)`}/>
+                </p>
+                <p>
+                    Se il gradiente <B>esiste</B>, allora la funzione è <B>differenziabile</B> in <TeX math={r`\mathbf{x_0}`}/>.
+                </p>
+                <p>
+                    Se il gradiente è <B>continuo</B>, allora la funzione è <B>regolare</B> in <TeX math={r`\mathbf{x_0}`}/>.
                 </p>
             </Box>
         </Chapter>
         <Chapter>
-            <Box todo>
-                <Heading level={3}>
-                    Differenziabile
-                </Heading>
-                <p>
-                    Funzione con un gradiente per ogni valore reale
-                </p>
-            </Box>
-            <Box todo>
-                <Heading level={3}>
-                    Differenziabile con continuità
-                </Heading>
-                <p>
-                    Funzione differenziabile con un gradiente continuo per ogni valore reale
-                </p>
-                <p>
-                    Alias funzione regolare
-                </p>
-            </Box>
-            <Box todo>
+            <Box>
                 <Heading level={3}>
                     Hessiana
                 </Heading>
+                <Parenthesis todo>
+                    Migliorare la definizione.
+                </Parenthesis>
                 <p>
-                    <B>Matrice quadrata</B> di "doppie differenziazioni", praticamente l'equivalente matriciale della derivata seconda
+                    <B>Matrice quadrata</B> che applica alla derivata parziale un'altra derivata parziale:
                 </p>
                 <p>
-                    Dà informazioni sulla curvatura, secondo ordine
+                    <TeX block math={r`H(x) = \nabla^2 f(\mathbf{x}) = \left( \begin{matrix} 
+                        \frac{\delta f(\mathbf{x}) }{\delta x_{{\color{Orange} 1}} x_{{\color{Orange} 1}}} &
+                        \frac{\delta f(\mathbf{x}) }{\delta x_{{\color{Orange} 1}} x_{{\color{Orange} 2}}} &
+                        \dots &
+                        \frac{\delta f(\mathbf{x}) }{\delta x_{{\color{Orange} 1}} x_{{\color{Orange} n}}} \\
+                        \\
+                        \frac{\delta f(\mathbf{x}) }{\delta x_{{\color{Orange} 2}} x_{{\color{Orange} 1}}} &
+                        \frac{\delta f(\mathbf{x}) }{\delta x_{{\color{Orange} 2}} x_{{\color{Orange} 2}}} &
+                        \dots &
+                        \frac{\delta f(\mathbf{x}) }{\delta x_{{\color{Orange} 2}} x_{{\color{Orange} n}}} \\
+                        \\
+                        \vdots &
+                        \vdots &
+                        \ddots &
+                        \vdots \\
+                        \\
+                        \frac{\delta f(\mathbf{x}) }{\delta x_{{\color{Orange} n}} x_{{\color{Orange} 1}}} &
+                        \frac{\delta f(\mathbf{x}) }{\delta x_{{\color{Orange} n}} x_{{\color{Orange} 2}}} &
+                        \dots &
+                        \frac{\delta f(\mathbf{x}) }{\delta x_{{\color{Orange} n}} x_{{\color{Orange} n}}} &
+                    \end{matrix} \right)`}/>
                 </p>
+                <p>
+                    Dà informazioni sulla <B>curvatura</B>.
+                </p>
+                <Parenthesis>
+                    <p>
+                        L'astrazione multidimensionale della <B>derivata seconda</B>.
+                    </p>
+                </Parenthesis>
             </Box>
-            <Box todo>
+            <Box>
                 <Heading level={3}>
                     Iacobiana
                 </Heading>
                 <p>
-                    <B>Matrice quadrata</B>
+                    In una funzione che <B>restituisce vettori</B>, è una <B>matrice quadrata</B> costituita dal gradiente nei confronti di ogni elemento del vettore restituito:
+                </p>
+                <p>
+                    <TeX block math={r`J_f(x) = \nabla f(\mathbf{x})^{T} = \left( \begin{matrix} 
+                        \frac{\delta f_{{\color{Orange} 1}}(\mathbf{x}) }{\delta x_{{\color{Orange} 1}}} &
+                        \frac{\delta f_{{\color{Orange} 1}}(\mathbf{x}) }{\delta x_{{\color{Orange} 2}}} &
+                        \dots &
+                        \frac{\delta f_{{\color{Orange} 1}}(\mathbf{x}) }{\delta x_{{\color{Orange} n}}} \\
+                        \\
+                        \frac{\delta f_{{\color{Orange} 2}}(\mathbf{x}) }{\delta x_{{\color{Orange} 1}}} &
+                        \frac{\delta f_{{\color{Orange} 2}}(\mathbf{x}) }{\delta x_{{\color{Orange} 2}}} &
+                        \dots &
+                        \frac{\delta f_{{\color{Orange} 2}}(\mathbf{x}) }{\delta x_{{\color{Orange} n}}} \\
+                        \\
+                        \vdots &
+                        \vdots &
+                        \ddots &
+                        \vdots \\
+                        \\
+                        \frac{\delta f_{{\color{Orange} m}}(\mathbf{x}) }{\delta x_{{\color{Orange} 1}}} &
+                        \frac{\delta f_{{\color{Orange} m}}(\mathbf{x}) }{\delta x_{{\color{Orange} 1}}} &
+                        \dots &
+                        \frac{\delta f_{{\color{Orange} m}}(\mathbf{x}) }{\delta x_{{\color{Orange} 1}}}
+                    \end{matrix} \right)`}/>
                 </p>
             </Box>
-            <Box todo>
+        </Chapter>
+        <Chapter>
+            <Box>
                 <Heading level={3}>
-                    Curvatura
+                    Calcolo dell'inclinazione
                 </Heading>
                 <p>
-
+                    Usando le proprietà della moltiplicazione matriciale, la <B>direzione</B> <TeX math={r`\mathbf{s}`}/> che ci interessa e il <B>gradiente</B> <TeX math={r`\nabla`}/>, possiamo trovare in modo semplice tutte le derivate direzionali, l'<I>inclinazione</I> della funzione:
+                </p>
+                <p>
+                    <TeX block math={r`s^T {\color{Orange} \nabla f(x(\alpha))} = s^T {\color{Orange}g}`}/>
                 </p>
             </Box>
-            <Box todo>
+            <Box>
                 <Heading level={3}>
-                    Curva di livello
+                    Calcolo della curvatura
                 </Heading>
+                <p>
+                    Come per l'inclinazione, sfruttando la <B>direzione</B> <TeX math={r`\mathbf{s}`}/> che ci interessa e l'<B>Hessiana</B> <TeX math={"\nabla^2 f(x(\alpha))"}/>, possiamo trovare in modo semplice tutte le derivate seconde, la <I>curvatura</I> della funzione:
+                </p>
+                <p>
+                    <TeX block math={r`s^T {\color{Orange}\nabla^2 f(x(\alpha))} s = s^T {\color{Orange}H} s`}/>
+                </p>
             </Box>
         </Chapter>
     </>