diff --git a/src/pages/statistica.js b/src/pages/statistica.js
index d784634..c206d77 100644
--- a/src/pages/statistica.js
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@@ -1389,11 +1389,17 @@ export default class Statistica extends Component {
chi-quadro a un grado di libertà
- Esiste una distribuzione Gamma particolare, "molto importante nella Statistica":
+ Esiste una distribuzione Gamma particolare:
{r`\Gamma (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \chi^2 (v = 1)`}
+
+ Più chi-quadro possono essere sommate per aumentare i loro gradi di libertà:
+
+
+ {r`\chi^2 (n) + \chi^2 (m) = \chi^2 (n + m)`}
+
@@ -1496,8 +1502,14 @@ export default class Statistica extends Component {
- TODO: cos'è la funzione g(X, Y)?
+ E' possibile calcolare la media di qualsiasi funzione g(X, Y) avente elementi del vettore come variabili:
+
+ {r`E(g(X, Y)) = \sum_{i, j} g(x_i, y_i) \cdot p_{X, Y} (x_i, y_i)`}
+
+
+ Solitamente si calcola la media di x \cdot y.
+
Le medie di più variabili aleatorie si possono sommare:
@@ -1509,7 +1521,10 @@ export default class Statistica extends Component {
- Un operatore che calcola TODO: cosa?:
+ Un operatore che misura la correlazione di due variabili aleatorie.
+
+
+ Si calcola con il valore atteso dei prodotti delle distanze dalla media:
{r`Cov(X, Y) = E((X - E(X) \cdot (Y - E(Y)) = E(XY) - E(X) \cdot E(Y)`}
@@ -1551,7 +1566,7 @@ export default class Statistica extends Component {
`}
- E' sempre simmetrica e TODO: semidefinita positiva.
+ E' sempre simmetrica e semidefinita positiva (tutti gli autovalori sono \geq 0.
@@ -1592,6 +1607,157 @@ export default class Statistica extends Component {
+
+
+
+ Una n-pla di variabili aleatorie con la stessa distribuzione della variabile aleatoria X ("popolazione") ma indipendenti tra loro.
+
+
+ Le variabili aleatorie sono come un lazy-load in programmazione; quando ci sarà bisogno del loro valore numerico, esse si realizzeranno nel loro valore.
+
+
+
+
+ Il valore dato dalla media aritmetica degli n elementi del campione elevati alla potenza k:
+
+
+ {r`M^{(k)}_n = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^n X_i^k `}
+
+
+ Il momento campionario di primo ordine è la media campionaria {r`\overline{X}_n`}.
+
+
+
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+ La media aritmetica dello scarto quadratico medio degli elementi del campione.
+
+
+ Se è noto il valore medio {r`m = E(X)`} di X:
+
+
+ {r`S_0^2 = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^n (X_i - m)^2 = M_n^(2) - 2 \cdot m \cdot \overline{X}_n + m^2`}
+
+
+ Altrimenti:
+
+
+ {r`S_n^2 = \frac{1}{n - 1} \cdot \sum_{i = 1}^n (X_i - \overline{X}_n)^2 = \frac{1}{n - 1} \cdot ( n \cdot M_2^{(2)} - n \cdot \overline{X}_n^2)`}
+
+
+
+
+
+
+ Se calcoliamo la media della media campionaria, risulterà vero che:
+
+
+ {r`E(\overline{X}_n) = E(X)`}
+
+
+ Quindi, è possibile usare i campioni per trovare la media di una variabile aleatoria!
+
+
+
+
+ Se calcoliamo la varianza della media campionaria, risulterà vero che:
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+
+ {r`Var(\overline{X}_n) = \frac{Var(X)}{n}`}
+
+
+ Quindi, possiamo stimare l'errore della media calcolata tramite campioni!
+
+
+
+
+ Se calcoliamo la media della varianza campionaria, risulterà vero che:
+
+
+ {r`E(S_0^2) = E(S_n^2) = Var(X)`}
+
+
+ Quindi, possiamo stimare l'errore della media calcolata tramite campioni!
+
+
+
+
+
+
+ Se la popolazione X ha una distribuzione normale ({r`X \sim Nor(\mu, \sigma^2)`})...
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+
+ TODO: non è nel mio stile
+
+
+
+
+ ...allora sappiamo anche la distribuzione della media campionaria!
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+ {r`\overline{X}_n \sim Nor \left( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \right)`}
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+
+
+
+ ...e anche della varianza campionaria!
+
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+ {r`S_0^2 \sim \frac{\sigma^2}{n} \cdot \chi^2 (n)`}
+
+
+ {r`S_n^2 \sim \frac{\sigma^2}{n - 1} \cdot \chi^2 (n-1)`}
+
+
+
+
+ ...e che media campionaria e varianza campionaria sono indipendenti tra loro!
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+
+
+
+
+
+ TODO: una spiegazione decente
+
+
+ {`\\lim_{n \\to +\\infty} F_{X_n} (x) = F_X (x) \\implies X_n \\xrightarrow{d} X`}
+
+
+
+
+ TODO: una spiegazione decente
+
+
+ {`\\forall \\epsilon > 0, \\lim_{n \\to +\\infty} P( | X_n - X | < \\epsilon) = 1 \\implies X_n \\xrightarrow{p} X`}
+
+
+
+
+ TODO: una spiegazione decente
+
+
+ {`\\forall \\epsilon > 0, P \left( \\lim_{n \\to +\\infty} | X_n - X | < \\epsilon) \right) = 1 \\implies X_n \\xrightarrow{qc} X`}
+
+
+
+
+ TODO: una spiegazione decente
+
+
+ {`\\lim_{n \\to +\\infty} E( | X_n - X |^2 = 0 \\implies X_n \\xrightarrow{mq} X`}
+
+
+
+
+ {`
+ \\begin{matrix}
+ X_n \\xrightarrow{mq} X\\\\
+ X_n \\xrightarrow{qc} X
+ \\end{matrix} \\implies X_n \\xrightarrow{p} X \\implies X_n \\xrightarrow{d} X`
+ }
+
+
+
)
}