unimore/triennale-appunti-steffo
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174
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@ -1389,11 +1389,17 @@ export default class Statistica extends Component {
chi-quadro a un grado di libertà chi-quadro a un grado di libertà
</blockquote> </blockquote>
<p> <p>
Esiste una distribuzione Gamma particolare, "molto importante nella Statistica": Esiste una distribuzione Gamma particolare:
</p> </p>
<p> <p>
<Latex>{r`\Gamma (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \chi^2 (v = 1)`}</Latex> <Latex>{r`\Gamma (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \chi^2 (v = 1)`}</Latex>
</p> </p>
<p>
Più chi-quadro possono essere sommate per aumentare i loro gradi di libertà:
</p>
<p>
<Latex>{r`\chi^2 (n) + \chi^2 (m) = \chi^2 (n + m)`}</Latex>
</p>
</Panel> </Panel>
<Panel title={"Gamma e normale"}> <Panel title={"Gamma e normale"}>
<p> <p>
@ -1496,8 +1502,14 @@ export default class Statistica extends Component {
</Panel> </Panel>
<Panel title={"Media dei vettori aleatori"}> <Panel title={"Media dei vettori aleatori"}>
<p> <p>
<Todo>TODO: cos'è la funzione g(X, Y)?</Todo> E' possibile calcolare la media di qualsiasi funzione <Latex>g(X, Y)</Latex> avente elementi del vettore come variabili:
</p> </p>
<p>
<Latex>{r`E(g(X, Y)) = \sum_{i, j} g(x_i, y_i) \cdot p_{X, Y} (x_i, y_i)`}</Latex>
</p>
<Example>
Solitamente si calcola la media di <Latex>x \cdot y</Latex>.
</Example>
<p> <p>
Le medie di più variabili aleatorie si possono sommare: Le medie di più variabili aleatorie si possono sommare:
</p> </p>
@ -1509,7 +1521,10 @@ export default class Statistica extends Component {
<Split> <Split>
<Panel title={"Covarianza"}> <Panel title={"Covarianza"}>
<p> <p>
Un <b>operatore</b> che calcola <Todo>TODO: cosa?</Todo>: Un <b>operatore</b> che misura la correlazione di due variabili aleatorie.
</p>
<p>
Si calcola con il valore atteso dei prodotti delle distanze dalla media:
</p> </p>
<p> <p>
<Latex>{r`Cov(X, Y) = E((X - E(X) \cdot (Y - E(Y)) = E(XY) - E(X) \cdot E(Y)`}</Latex> <Latex>{r`Cov(X, Y) = E((X - E(X) \cdot (Y - E(Y)) = E(XY) - E(X) \cdot E(Y)`}</Latex>
@ -1551,7 +1566,7 @@ export default class Statistica extends Component {
`}</Latex> `}</Latex>
</p> </p>
<p> <p>
E' sempre simmetrica e <Todo>TODO: semidefinita positiva</Todo>. E' sempre simmetrica e semidefinita positiva (tutti gli autovalori sono <Latex>\geq 0</Latex>.
</p> </p>
</Panel> </Panel>
<Panel title={"Coefficiente di correlazione"}> <Panel title={"Coefficiente di correlazione"}>
@ -1592,6 +1607,157 @@ export default class Statistica extends Component {
</p> </p>
</Panel> </Panel>
</Split> </Split>
<Split title={"Campioni"}>
<Panel title={"Campione casuale"}>
<p>
Una <b>n-pla</b> di variabili aleatorie con la stessa distribuzione della variabile aleatoria <Latex>X</Latex> ("popolazione") ma <b>indipendenti</b> tra loro.
</p>
<Example>
Le variabili aleatorie sono come un lazy-load in programmazione; quando ci sarà bisogno del loro valore numerico, esse si <b>realizzeranno</b> nel loro valore.
</Example>
</Panel>
<Panel title={"Momento campionario"}>
<p>
Il valore dato dalla media aritmetica degli <Latex>n</Latex> elementi del campione elevati alla potenza <Latex>k</Latex>:
</p>
<p>
<Latex>{r`M^{(k)}_n = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^n X_i^k `}</Latex>
</p>
<p>
Il momento campionario di primo ordine è la <i>media campionaria</i> <Latex>{r`\overline{X}_n`}</Latex>.
</p>
</Panel>
<Panel title={"Varianza campionaria"}>
<p>
La media aritmetica dello scarto quadratico medio degli elementi del campione.
</p>
<p>
Se è noto il valore medio <Latex>{r`m = E(X)`}</Latex> di X:
</p>
<p>
<Latex>{r`S_0^2 = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^n (X_i - m)^2 = M_n^(2) - 2 \cdot m \cdot \overline{X}_n + m^2`}</Latex>
</p>
<p>
Altrimenti:
</p>
<p>
<Latex>{r`S_n^2 = \frac{1}{n - 1} \cdot \sum_{i = 1}^n (X_i - \overline{X}_n)^2 = \frac{1}{n - 1} \cdot ( n \cdot M_2^{(2)} - n \cdot \overline{X}_n^2)`}</Latex>
</p>
</Panel>
</Split>
<Split title={"Media-ception"}>
<Panel title={"Media della media campionaria"}>
<p>
Se calcoliamo la media della media campionaria, risulterà vero che:
</p>
<p>
<Latex>{r`E(\overline{X}_n) = E(X)`}</Latex>
</p>
<Example>
Quindi, è possibile usare i campioni per trovare la media di una variabile aleatoria!
</Example>
</Panel>
<Panel title={"Varianza della media campionaria"}>
<p>
Se calcoliamo la varianza della media campionaria, risulterà vero che:
</p>
<p>
<Latex>{r`Var(\overline{X}_n) = \frac{Var(X)}{n}`}</Latex>
</p>
<Example>
Quindi, possiamo stimare l'errore della media calcolata tramite campioni!
</Example>
</Panel>
<Panel title={"Media della varianza campionaria"}>
<p>
Se calcoliamo la media della varianza campionaria, risulterà vero che:
</p>
<p>
<Latex>{r`E(S_0^2) = E(S_n^2) = Var(X)`}</Latex>
</p>
<Example>
Quindi, possiamo stimare l'errore della media calcolata tramite campioni!
</Example>
</Panel>
</Split>
<Split title={"Campionamento di una distribuzione normale"}>
<Panel title={"Campionamento di una distribuzione normale"}>
<p>
Se la popolazione <Latex>X</Latex> ha una distribuzione normale (<Latex>{r`X \sim Nor(\mu, \sigma^2)`}</Latex>)...
</p>
<p>
<Todo>TODO: non è nel mio stile</Todo>
</p>
</Panel>
<Panel title={"Distribuzione della media campionaria"}>
<p>
...allora sappiamo anche la distribuzione della media campionaria!
</p>
<p>
<Latex>{r`\overline{X}_n \sim Nor \left( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \right)`}</Latex>
</p>
</Panel>
<Panel title={"Distribuzione della varianza campionaria"}>
<p>
...e anche della varianza campionaria!
</p>
<p>
<Latex>{r`S_0^2 \sim \frac{\sigma^2}{n} \cdot \chi^2 (n)`}</Latex>
</p>
<p>
<Latex>{r`S_n^2 \sim \frac{\sigma^2}{n - 1} \cdot \chi^2 (n-1)`}</Latex>
</p>
</Panel>
<Panel title={"Indipendenza"}>
<p>
...e che media campionaria e varianza campionaria sono indipendenti tra loro!
</p>
</Panel>
</Split>
<Split title={"Con campioni di dimensioni infinite"}>
<Panel title={"Convergenza in distribuzione"}>
<p>
<Todo>TODO: una spiegazione decente</Todo>
</p>
<p>
<Latex>{`\\lim_{n \\to +\\infty} F_{X_n} (x) = F_X (x) \\implies X_n \\xrightarrow{d} X`}</Latex>
</p>
</Panel>
<Panel title={"Convergenza in probabilità"}>
<p>
<Todo>TODO: una spiegazione decente</Todo>
</p>
<p>
<Latex>{`\\forall \\epsilon > 0, \\lim_{n \\to +\\infty} P( | X_n - X | < \\epsilon) = 1 \\implies X_n \\xrightarrow{p} X`}</Latex>
</p>
</Panel>
<Panel title={"Convergenza quasi certa"}>
<p>
<Todo>TODO: una spiegazione decente</Todo>
</p>
<p>
<Latex>{`\\forall \\epsilon > 0, P \left( \\lim_{n \\to +\\infty} | X_n - X | < \\epsilon) \right) = 1 \\implies X_n \\xrightarrow{qc} X`}</Latex>
</p>
</Panel>
<Panel title={"Convergenza in media quadratica"}>
<p>
<Todo>TODO: una spiegazione decente</Todo>
</p>
<p>
<Latex>{`\\lim_{n \\to +\\infty} E( | X_n - X |^2 = 0 \\implies X_n \\xrightarrow{mq} X`}</Latex>
</p>
</Panel>
<Panel title={"Gerarchia delle convergenze"}>
<p>
<Latex>{`
\\begin{matrix}
X_n \\xrightarrow{mq} X\\\\
X_n \\xrightarrow{qc} X
\\end{matrix} \\implies X_n \\xrightarrow{p} X \\implies X_n \\xrightarrow{d} X`
}</Latex>
</p>
</Panel>
</Split>
</div> </div>
) )
} }