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351
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@ -466,49 +466,15 @@ export default class Statistica extends Component {
</p>
</Panel>
</Split>
<Split title={"Legge delle alternative"}>
<Theorem title={"Teorema"}>
<Hypothesis>
<ul>
<li><Latex>E_i</Latex> <b>partizione</b> di <Latex>{r`\Omega`}</Latex></li>
<li><Latex>{r`F`}</Latex> <b>evento</b> <Latex>{r`\in \Omega`}</Latex></li>
</ul>
</Hypothesis>
<Thesis>
<Split title={"Le alternative"}>
<Panel title={"Legge delle alternative"}>
<p>
La probabilità che si verifichi un evento è pari alla somma delle probabilità dell'evento stesso dati tutti gli eventi di una partizione.
</p>
<p>
<Latex>{r`P(F) = \sum_{i} P(F|E_i) \cdot P(E_i)`}</Latex>
</p>
</Thesis>
<Proof>
<p>
Per la definizione di probabilità condizionata:
</p>
<p>
<Latex>{r`P(F|E_i) \cdot P(E_i) = P(F \cap E_i)`}</Latex>
</p>
<p>
Essendo parte di una partizione, tutti gli <Latex>E_i</Latex> sono distinti:
</p>
<p>
<Latex>{r`\forall i, \exists! E_i`}</Latex>
</p>
<p>
Essendo mutualmente esclusivi, le probabilità di tutti gli <Latex>E_i</Latex> possono essere sommate senza bisogno di sottrarvi l'intersezione:
</p>
<p>
<Latex>{r`\sum_i P(F \cap E_i) = P \left( \bigcup_i (F \cap E_i) \right)`}</Latex>
</p>
<p>
Essendo <Latex>E</Latex> una partizione di <Latex>{r`\Omega`}</Latex>, allora la unione di tutti gli eventi che la compongono riforma lo spazio campionario:
</p>
<p>
<Latex>{r`\bigcup_i ( F \cap E_i ) = F \cap \left( \bigcup_i E_i \right) = F \cap \Omega = F`}</Latex>
</p>
</Proof>
</Theorem>
</Panel>
<Panel title={"Legge condizionata delle alternative"}>
<p>
La legge delle alternative funziona anche quando ad essere partizionato è un <b>evento</b>:
@ -517,42 +483,17 @@ export default class Statistica extends Component {
<Latex>{r`P(F|G) = \sum_i P(F|E_i \cap G) \cdot P(E_i | G)`}</Latex>
</p>
</Panel>
<Theorem title={"Formula di Bayes"}>
<Hypothesis>
<ul>
<li><Latex>E_i</Latex> <b>partizione</b> di <Latex>{r`\Omega`}</Latex></li>
<li><Latex>{r`F`}</Latex> <b>evento</b> <Latex>{r`\in \Omega`}</Latex></li>
</ul>
</Hypothesis>
<Thesis>
<Panel title={"Formula di Bayes"}>
<p>
<Latex>{r`P(E_h | F) = \frac{P(F | E_h) \cdot P(E_h)}{P(F)}`}</Latex>
</p>
</Thesis>
<Proof>
<p>
<Todo>TODO: ha un po' poco senso tbf</Todo>
</p>
<p>
Partiamo dalla definizione di probabilità condizionata:
</p>
<p>
<Latex>{r`P(E_h | F) \cdot P(F) = P(E_h \cap F) = P(F | E_h) \cdot P(E_h)`}</Latex>
</p>
<p>
Spostiamo al denominatore un pezzo:
Tramite la <i>formula di Bayes</i> possiamo risalire alla probabilità di un evento condizionato a un altro partendo dalla probabilità di quest'ultimo condizionato al primo:
</p>
<p>
<Latex>{r`P(E_h | F) = \frac{P(F | E_h) \cdot P(E_h)}{P(F)}`}</Latex>
</p>
<p>
Applichiamo la legge delle alternative sul denominatore:
</p>
<p>
<Latex>{r`P(E_h | F) = \frac{P(F | E_h) \cdot P(E_h)}{P(F)}`}</Latex>
</p>
</Proof>
</Theorem>
<Example>
In pratica, invertiamo gli eventi.
</Example>
</Panel>
</Split>
<Split title={"Eventi indipendenti"}>
<Panel title={"Due eventi indipendenti"}>
@ -562,9 +503,6 @@ export default class Statistica extends Component {
<p>
Se due eventi sono indipendenti, sapere che uno dei due si è verificato non influisce sulle probabilità che si sia verificato l'altro.
</p>
<p>
<Todo>TODO: ha una dimostrazione</Todo>
</p>
<p>
<Latex>{r`P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F) \Longleftrightarrow P(E|F) = P(E) \Longleftrightarrow P(F|E) = P(F)`}</Latex>
</p>
@ -598,7 +536,7 @@ export default class Statistica extends Component {
Una funzione che fa corrispondere un numero reale a ogni possibile esito dello spazio campionario. <Latex>{r`X(\omega) : \Omega \to \mathbb{R}`}</Latex>.
</p>
</Panel>
<Panel title={<Todo>Titolo?</Todo>}>
<Panel title={<abbr title={"Nome artigianale dato da Steffo."}>Insieme di ripartizione</abbr>}>
<p>
Ad ogni variabile aleatoria sono associati gli eventi <Latex>{r`A_t = \{ \omega | X(\omega) \leq t \}`}</Latex>, che contengono tutti gli esiti a cui la variabile aleatoria associa un valore minore o uguale a <Latex>t</Latex>.
</p>
@ -661,14 +599,11 @@ export default class Statistica extends Component {
</p>
<p>
<Latex>{r`F_X (t) = P(A_t) = \begin{cases}
\sum_{x_i \leq t} p_X (x_i) \quad nel\ discreto\\
\sum_{i = 0}^{t} p_X (x_i) \quad nel\ discreto\\
\\
\int_{-\infty}^t f_X (x) dx \quad nel\ continuo
\end{cases}`}</Latex>
</p>
<p>
<Todo>TODO: sintassi del libro che non mi piace</Todo>
</p>
</Panel>
<Panel title={"Proprietà della funzione"}>
<ul>
@ -693,36 +628,6 @@ export default class Statistica extends Component {
</p>
</Panel>
<Panel title={"Nel continuo (invertibile)"}>
{/*
<Hypothesis>
<ul>
<li><Latex>{r`X`}</Latex> è una variabile aleatoria continua</li>
<li><Latex>{r`Y = g(X)`}</Latex> è invertibile</li>
</ul>
</Hypothesis>
<Thesis>
<p>
<Latex>{r`f_Y (y) = f_X ( g^{-1} (y) ) \cdot \left| g' (y) \right|`}</Latex>
</p>
</Thesis>
<Proof>
<p>
Per semplicità, assumiamo che <Latex>g</Latex> sia crescente.
</p>
<p>
Allora possiamo scrivere la funzione di ripartizione di <Latex>Y</Latex> in termini di <Latex>f_X</Latex>:
</p>
<p>
<Latex>{r`F_Y (y) = P( Y \leq y ) = P( g(X) \leq y ) = \int_{g(x) \leq y} f_X (x) dx`}</Latex>
</p>
<p>
Integriamo per sostituzione <Latex>{r`x = h(t)`}</Latex>:
</p>
<p>
<Latex>{r`\int_{g(x) \leq y} f_X (x) dx = \int_{t \leq y} f_X ( h(t) ) h'(t) dt`}</Latex>
</p>
</Proof>
*/}
<p>
Nel continuo applichiamo la formula dell'integrazione per sostituzione:
</p>
@ -989,14 +894,14 @@ export default class Statistica extends Component {
</Panel>
<Panel title={"Assenza di memoria della geometrica"}>
<p>
La geometrica traslata gode della proprietà dell'assenza di memoria:
La geometrica non tiene conto degli eventi avvenuti in passato: ha la proprietà dell'assenza di memoria:
</p>
<p>
<Latex>{r`P([X = i + j | X > i ]) = P([X = j])`}</Latex>
</p>
<p>
<Todo>TODO: spiegarla in modo chiaro.</Todo>
</p>
<Example>
Ovvero, riscalando opportunamente l'asse Y posso prendere come 0 qualsiasi punto dell'asse X.
</Example>
</Panel>
</Split>
<Split title={"Binomiale negativa"}>
@ -1078,14 +983,14 @@ export default class Statistica extends Component {
</Panel>
<Panel title={"Assenza di memoria della geometrica traslata"}>
<p>
La geometrica traslata gode della proprietà dell'assenza di memoria:
La geometrica traslata non tiene conto degli eventi avvenuti in passato: ha la proprietà dell'assenza di memoria:
</p>
<p>
<Latex>{r`P([X = i + j | X > i ]) = P([X = j])`}</Latex>
</p>
<p>
<Todo>TODO: spiegarla in modo chiaro.</Todo>
</p>
<Example>
Ovvero, riscalando opportunamente l'asse Y posso prendere come 0 qualsiasi punto dell'asse X.
</Example>
</Panel>
</Split>
<Split title={"Binomiale negativa traslata"}>
@ -1291,14 +1196,14 @@ export default class Statistica extends Component {
</Panel>
<Panel title={"Assenza di memoria della esponenziale"}>
<p>
L'esponenziale gode della proprietà dell'assenza di memoria:
L'esponenziale non tiene conto degli eventi avvenuti in passato: ha la proprietà dell'assenza di memoria:
</p>
<p>
<Latex>{r`P([X > s + t | X > s]) = P([X > t])`}</Latex>
</p>
<p>
<Todo>TODO: spiegarla in modo chiaro.</Todo>
</p>
<Example>
Ovvero, riscalando opportunamente l'asse Y posso prendere come 0 qualsiasi punto dell'asse X.
</Example>
</Panel>
</Split>
<Split title={"Legge gamma"}>
@ -1344,24 +1249,6 @@ export default class Statistica extends Component {
</p>
</Panel>
</Split>
{/*
<Split>
<Panel title={"Funzione di rischio"}>
<p>
La funzione di rischio della variabile aleatoria <Latex>{r`T`}</Latex> è:
</p>
<p>
<Latex>{r`\Lambda (t) = \frac{f_T (t)}{1 - F_T(t)}`}</Latex>
</p>
<p>
Essa è <b>univoca</b> per ogni variabile aleatoria, e da essa si può ricavare la funzione di ripartizione:
</p>
<p>
<Latex>{r`F_X (t) = 1 - e^{- \int_0^t \Lambda (\tau) \cdot d\tau}`}</Latex>
</p>
</Panel>
</Split>
*/}
<Split title={"Uniforme"}>
<Panel title={"Distribuzione uniforme"}>
<p>
@ -1505,7 +1392,7 @@ export default class Statistica extends Component {
Esiste una distribuzione Gamma particolare, "molto importante nella Statistica":
</p>
<p>
<Latex>{r`\Gamma (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \Chi (v = 1)`}</Latex>
<Latex>{r`\Gamma (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \chi^2 (v = 1)`}</Latex>
</p>
</Panel>
<Panel title={"Gamma e normale"}>
@ -1513,7 +1400,195 @@ export default class Statistica extends Component {
La distribuzione normale ha una particolare relazione con la distribuzione Gamma:
</p>
<p>
<Latex>{r`Z^2 \sim \Chi (v = 1)`}</Latex>
<Latex>{r`Z^2 \sim \chi^2 (v = 1)`}</Latex>
</p>
</Panel>
</Split>
<Split title={"Approssimazioni notevoli"}>
<Panel title={"Ipergeometrica e binomiale"}>
<p>
La binomiale è come una ipergeometrica ma con ripetizioni, quindi per valori molto grandi di <Latex>N</Latex> rispetto a <Latex>n</Latex>, si può dire che:
</p>
<p>
<Latex>{r`Ipe(N, K, n) \approx Bin(n, \frac{K}{N})`}</Latex>
</p>
</Panel>
<Panel title={"Binomiale e poissoniana"}>
<p>
La binomiale non è altro che una poissoniana a tempo discreto, quindi, se <Latex>n</Latex> è grande e <Latex>n \cdot p</Latex> è nell'ordine di grandezza delle unità, allora:
</p>
<p>
<Latex>{r`Bin(n, p) \approx Poi(n \cdot p)`}</Latex>
</p>
</Panel>
<Panel title={"Binomiale e normale"}>
<p>
Per il Teorema di De Moivre-Laplace, se una binomiale ha una <Latex>n</Latex> grande e <Latex>p</Latex> non vicina a 0 o 1, si può approssimare con:
</p>
<p>
<Latex>{r`Bin(n, p) \approx Nor(n \cdot p, n \cdot p \cdot q)`}</Latex>
</p>
</Panel>
<Panel title={"Correzione di Yates"}>
<p>
Passando da una variabile discreta <Latex>X</Latex> a una continua <Latex>Y</Latex>, per ogni valore discreto <Latex>k</Latex> la probabilità viene "spalmata" su tutto l'intervallo <Latex>{r`(k - \frac{1}{2}, k + \frac{1}{2})`}</Latex>:
</p>
<ul>
<li><Latex>{r`P(X < k) \simeq P(Y \leq k - \frac{1}{2})`}</Latex></li>
<li><Latex>{r`P(X \leq k) \simeq P(Y \leq k + \frac{1}{2})`}</Latex></li>
<li><Latex>{r`P(X \geq k) \simeq P(Y \geq k - \frac{1}{2})`}</Latex></li>
<li><Latex>{r`P(X > k) \simeq P(Y \geq k + \frac{1}{2})`}</Latex></li>
</ul>
</Panel>
</Split>
<Split title={"Vettori aleatori"}>
<Panel title={"Vettore aleatorio"}>
<p>
Un vettore <b>composto da variabili aleatorie</b>.
</p>
<p>
Il suo simbolo generalmente è <Latex>{r`\boldsymbol{X}`}</Latex> oppure <Latex>{r`X, Y`}</Latex>.
</p>
</Panel>
<Panel title={"Funzioni di ripartizione"}>
<p>
I vettori aleatori hanno più funzioni di ripartizione che si differenziano in base al numero di parametri.
</p>
<p>
Se il numero di parametri coincide con la dimensione del vettore aleatorio, allora la funzione sarà una <i>funzione di ripartizione congiunta</i>:
</p>
<p>
<Latex>{r`F_{X, Y} (x, y) = P(X \leq x, Y \leq y)`}</Latex>
</p>
<p>
Se il numero di parametri è minore della dimensione del vettore aleatorio, allora la funzione sarà una <i>funzione di ripartizione marginale</i>:
</p>
<p>
<Latex>{r`F_X (x) = P(X \leq x) = \lim_{y \to +\infty} F_{X, Y} (x, y)`}</Latex>
</p>
</Panel>
<Panel title={"Densità discreta"}>
<p>
I vettori aleatori <b>discreti</b> hanno più densità che si differenziano in base al numero di parametri.
</p>
<p>
Se il numero di parametri coincide con la dimensione del vettore aleatorio, allora la funzione sarà una <i>densità congiunta</i>:
</p>
<p>
<Latex>{r`p_{X, Y} (x, y) = P(X = x, Y = y)`}</Latex>
</p>
<p>
Se il numero di parametri è minore della dimensione del vettore aleatorio, allora la funzione sarà una <i>densità marginale</i>:
</p>
<p>
<Latex>{r`p_X (x) = \sum_j p_{X, Y} (x_i, y_j)`}</Latex>
</p>
</Panel>
</Split>
<Split title={"Più variabili aleatorie"}>
<Panel title={"Indipendenza delle variabili aleatorie"}>
<p>
Più variabili aleatorie sono indipendenti se, per qualsiasi scelta di intervalli <Latex>A_i</Latex>:
</p>
<p>
<Latex>{r`P(X_1 \in A_1, \dots, X_n \in A_n) = P(X_1 \in A_1) \times \dots \times P(X_n \in A_n)`}</Latex>
</p>
</Panel>
<Panel title={"Media dei vettori aleatori"}>
<p>
<Todo>TODO: cos'è la funzione g(X, Y)?</Todo>
</p>
<p>
Le medie di più variabili aleatorie si possono sommare:
</p>
<p>
<Latex>{r`E(X + Y) = E(X) + E(Y)`}</Latex>
</p>
</Panel>
</Split>
<Split>
<Panel title={"Covarianza"}>
<p>
Un <b>operatore</b> che calcola <Todo>TODO: cosa?</Todo>:
</p>
<p>
<Latex>{r`Cov(X, Y) = E((X - E(X) \cdot (Y - E(Y)) = E(XY) - E(X) \cdot E(Y)`}</Latex>
</p>
<p>
Ha diverse proprietà:
</p>
<ul>
<li>Il suo <b>valore nullo</b> è 0: <Latex>{r`Cov(X, \alpha) = 0`}</Latex></li>
<li>E' <b>commutativa</b>: <Latex>{r`Cov(X, Y) = Cov(Y, X)`}</Latex></li>
<li>E' <b>semplificabile</b>: <Latex>{r`Cov(X, X) = Var(X)`}</Latex></li>
<li>E' <b>lineare</b>: <Latex>{r`Cov(\alpha X, \beta Y) = \alpha \cdot \beta \cdot Cov(X, Y)`}</Latex></li>
<li>E' <b>distributiva</b>: <Latex>{r`Cov(X + Y, V + W) = Cov(X, Y) + Cov(X, W) + Cov(Y, V) + Cov(Y, W)`}</Latex></li>
</ul>
</Panel>
<Panel title={"Variabili incorrelate"}>
<p>
Due variabili sono <i>variabili incorrelate</i> se:
</p>
<p>
<Latex>{r`Cov(X, Y) = 0`}</Latex>
</p>
<p>
Variabili indipendenti sono sempre incorrelate.
</p>
</Panel>
<Panel title={"Matrice di covarianza"}>
<p>
Una matrice <Latex>{r`\boldsymbol{C_X}`}</Latex> che contiene la covarianza tra tutte le variabili di un vettore aleatorio <Latex>{r`\boldsymbol{X}`}</Latex>:
</p>
<p>
<Latex>{r`
\boldsymbol{C_X} =
\begin{bmatrix}
Var(X_1) & Cov(X_1, X_2) & Cov(X_1, X_3)\\
Cov(X_2, X_1) & Var(X_2) & Cov(X_2, X_3)\\
Cov(X_3, X_1) & Cov(X_3, X_2) & Var(X_3)
\end{bmatrix}
`}</Latex>
</p>
<p>
E' sempre simmetrica e <Todo>TODO: semidefinita positiva</Todo>.
</p>
</Panel>
<Panel title={"Coefficiente di correlazione"}>
<p>
Un valore che misura come due variabili aleatorie sono correlate:
</p>
<p>
<Latex>{r`\rho_{X, Y} = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{Var(X)} \cdot \sqrt{Var(Y)}}`}</Latex>
</p>
<p>
E' sempre compreso tra -1 e 1:
</p>
<p>
<Latex>{r`-1 \leq \rho_{X, Y} \leq 1`}</Latex>
</p>
<p>
Vale esattamente -1 o 1 solo se esiste un legame lineare tra le due variaibli:
</p>
<p>
<Latex>{r`Y = a X + b \Longleftrightarrow | \rho_{X, Y} | = 1`}</Latex>
</p>
</Panel>
<Panel title={"Varianza di variabili aleatorie sommate"}>
<p>
La varianza di due variabili aleatorie sommate è:
</p>
<p>
<Latex>{r`Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 \cdot Cov(X, Y)`}</Latex>
</p>
<Example>
Si dimostra applicando le proprietà della covarianza!
</Example>
<p>
Se più variabili aleatorie <Latex>X_i</Latex> sono <b>indipendenti</b> (<Latex>{r`Cov(X, Y) = 0`}</Latex>), allora:
</p>
<p>
<Latex>{r`Var \left( \sum_i X_i \right) = \sum_i Var(X_i)`}</Latex>
</p>
</Panel>
</Split>