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Prof. Stefano Novellani
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+ Esame digitale in 3 fasi: +
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- 25 domande di teoria stile vero/falso +
- 2 domande a risposta aperta +
- 2 modelli matematici da rappresentare tramite GLPK/MathProg +
+ Ti serve una mano anche in GLPK? Che in realtà si chiama GMPL, ma vabbè... +
++ Ho fatto una pagina apposta: +
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+ Problemi che cercano di
+ Spesso sono detti anche problemi di LP. +
+
+ La funzione da
+ Il vettore dei suoi coefficienti è detto
+ In genere, la funzione obiettivo è scritta in forma di combinazione lineare tra le incognite e i coefficienti: +
+
+
+ Funzione della funzione obiettivo che restituisce la direzione del suo aumento più + veloce. +
+
+
+ Equazioni e disequazioni a cui devono sottostare le incognite perchè esse formino una soluzione + valida. +
+
+ I loro coefficienti sono contenuti nella matrice
+ L'insieme che racchiunde tutte le soluzioni ammissibili di un problema. +
+
+ Può essere
+ La soluzione di un problema, ricavabile dal
+ prodotto
+ In particolare, il valore ottimo è un vertice del poliedro, detto vertice ottimo. +
++ Un problema con: +
+-
+
Equazioni e disequazioni
+ Variabili non vincolate
+
+ Un problema con: +
+-
+
Solo disequazioni
+ Vincoli di non-negatività sulle incognite
+
+ Un problema con: +
+-
+
Solo equazioni
+ Vincoli di non-negatività sulle incognite
+
+ Applica questa conversione a ogni equazione nel sistema: +
+
+
+ Aggiungi una variabile slack
+
+
+ Sdoppia ogni variabile non-vincolata in due variabili con vincolo di non-negatività: +
+
+
+ Un modo per rappresentare sistemi in forma standard, anche noto come matrice equivalente + completa del sistema. +
++ Un tableau è un sistema di equazioni in forma matriciale completa. +
++ È possibile effettuare senza che cambi il risultato finale le seguenti trasformazioni: +
+-
+
- Moltiplicare un'intera riga per una costante. +
- Sommare una riga a un'altra +
+ Variabili che hanno tutti 0 e un solo 1 nella loro colonna del tableau. +
++ La loro controparte sono le variabili fuori base, che hanno qualsiasi altro valore. +
++ Il valore della funzione obiettivo che si otterrebbe se tutte le variabili fuori base + valessero 0. +
++ Procedendo nella risoluzione (descritta in seguito) del tableau, questo valore aumenterà, fino a + raggiungere il valore ottimo quando la risoluzione sarà completata. +
++ Il sistema: +
++ Diventa il tableau: +
+| TN | +|||||
|---|---|---|---|---|---|
+ Con i seguenti elementi: +
+-
+
- + Funzione obiettivo + +
- + Valore attuale + +
- + Termini noti + +
- + Variabili slack + +
+ Un algoritmo per trovare efficientemente il valore ottimo e le coordinate di un vertice + ottimo in problemi di ottimizzazione lineare. +
+![Questa]({"https://i.imgur.com/1r405Mb.jpg"}){kind=link}
Ex_LP_testo.
+
+ Perchè sia possibile effettuare il Simplex è necessario che l'origine sia nel poliedro:
+ pertanto, non è possibile che un problema risolto con il Simplex sia
-
+
- Trasforma il sistema in forma standard. +
- Trova tante variabili linearmente indipendenti quante siano le righe: esse saranno + la base iniziale. + +
- Finchè ci sono variabili con coefficienti
positivi /negativi nella + funzione obiettivo: +-
+
-
+
+ Scegli la prima variabile fuori base con + coefficiente
+ +positivo /negativo nella funzione obiettivo: essa + è la variabile entrante. +
+ -
+
+ Scegli la variabile in base con il minor rapporto + positivo: +
+{r`\frac{b_i}{A_ik}`} + +
+ -
+
+ Pivot: trasforma tutte le funzioni del sistema in modo che abbiano 0 + nella colonna della variabile entrante, tranne nella riga della variabile uscente, + in cui avrà 1. +
+
+
+ -
+
- Il poliedro è
: i termini noti dei vincoli sono le coordinate del suo + vertice ottimo, mentre il termine noto della funzione obiettivo è il valore ottimo. +
+
+ Una soluzione con almeno una variabile di valore
+ Senza Regola di Bland e in presenza di vincoli ridondanti si rischia di trovarsi a fare + pivot infiniti. +
++ Un estensione del Simplex per permettere la risoluzione di problemi la cui origine non + è una soluzione ammissibile. +
++ Prevede l'introduzione di un problema ausiliario, le cui incognite sono + dette artificiali. +
+
+ Il vettore delle incognite artificiali è solitamente chiamato
-
+
- Crea un nuovo tableau, aggiungendo variabili artificiali in modo da avere una base + ammissibile. + +
- Sostituisci la vecchia funzione obiettivo con una nuova che minimizzi la somma di + tutte le variabili artificiali. + +
- Fase 1: Risolvi il nuovo problema con il Simplex primale. +
- Se il Simplex termina quando ci sono ancora variabili artificiali nella base, allora
+ il poliedro è
. +
+ - Una volta che le variabili artificiali sono fuori base, elimina le loro colonne e la
+ nuova funzione obiettivo.
- Riporta il tableau in forma base compiendo operazioni per azzerare i + coefficienti delle variabili di base nella funzione obiettivo. + +
- Fase 2: Risolvi il tableau con il Simplex primale. +
+ Una versione semplificata di un problema nella quale si ignora la violazione di uno o più + vincoli. +
++ Un rilassamento che permette di misurare di quanto i vincoli vengono violati. +
++ I vincoli, moltiplicati per coefficienti di rilassamento, vengono inseriti nella funzione + obiettivo. +
+
+ Il vettore dei coefficienti di rilassamento solitamente è indicato
+ con
+ Il sistema: +
++ diventa: +
+
+ Il sistema che
+ Possiamo trasporre il tableau e sostituire le variabili
+ I maggiori e minori dei vincoli diventeranno maggiori e minori delle variabili e viceversa. +
+-
+
- Se un problema ha una soluzione finita, allora anche il suo duale la avrà. +
- Se un problema è
, allora il suo duale potrà + essere oppure . +
+ - Se un problema è
, allora il suo duale sarà certamente .
+
+ Variabili e vincoli del duale corrispondono rispettivamente a vincoli e variabili del primale. +
++ In particolare: +
+| Vincolo |
+ Variabile |
+
| Vincolo |
+ Variabile |
+
| Vincolo |
+ Variabile libera | +
| Variabile |
+ Vincolo |
+
| Variabile |
+ Vincolo |
+
| Variabile libera | +Vincolo |
+
+ Una disuguaglianza lineare
+ Il teorema che dimostra l'equivalenza tra primale e duale. +
++ Se uno dei due problemi è finito, la soluzione di uno coincide con la soluzione dell'altro. +
+
+
+
+ Il teorema che dimostra che il valore della funzione obiettivo del duale (di un qualsiasi
+ tableau) è sempre
+
+ Il teorema che ci permette di passare dalla soluzione del duale alla soluzione del
+ primale.
+ Si deriva combinando le seguenti condizioni: +
+-
+
- Ammissibilità del
+ primale:
{r`\mathbf{A} \mathbf{X} \geq \mathbf{b}, \quad \mathbf{x} \geq 0`} +
+ - Ammissibilità del
+ duale:
{r`\mathbf{u}^T \mathbf{A} \leq \mathbf{c}^T, \quad \mathbf{u} \geq 0`} +
+ - Teorema della dualità
+ forte:
{r`\mathbf{c}^T \mathbf{x} = \mathbf{u}^T \mathbf{b}`} (alla soluzione + ottima) +
+
+ Ne risulta che una soluzione è ottima se e solo se: +
++ Un'estensione al Simplex primale che opera sul problema duale. +
++ Funziona esattamente come il Simplex primale, ma opera sul duale. +
+
+ Un procedimento che misura di quanto può variare il termine noto di un
+ vincolo
+ Particolari problemi di ottimizzazione lineare in cui le variabili sono vincolate ad essere + numeri interi. +
++ Spesso detti anche problemi di ILP. +
++ Un rilassamento che rimuove il vincolo di integrità a un problema, trovando la sua soluzione + continua. +
++ Un modo per passare dalla soluzione del rilassamento alla soluzione intera di un problema + di ILP. +
+
+ Consiste nel calcolare la soluzione di ogni singolo punto incluso nel poliedro, e selezionare
+ la
+ Trova sicuramente la soluzione giusta, ma il costo computazionale è
+ esponenziale
+ Un altro modo per passare dalla soluzione del rilassamento alla soluzione intera di un + problema di ILP. +
++ Consiste nell'arrotondare tutte le variabili al loro valore intero più vicino, e + calcolarne il valore ottimo. +
++ Funziona bene per valori grandi, ma più essi si avvicinano allo 0 più l'errore diventa + grande. +
++ Un altro modo ancora per passare dalla soluzione del rilassamento alla soluzione intera + di un problema di ILP. +
++ Consiste nel tagliare il poliedro con nuovi vincoli (piani secanti) che riducono le + possibili soluzioni continue ma non quelle intere. +
++ Per selezionare i vincoli, si usano i tagli di Gomory: +
++ Per ogni valore noto frazionario si viene quindi a creare una nuova variabile in base e + un nuovo vincolo formato dall'opposto di tutti i valori frazionari dei coefficienti fuori base. +
++ Il tableau: +
| TN | +||||
|---|---|---|---|---|
+ Diventa: +
| TN | +|||||
|---|---|---|---|---|---|
+ È possibile usare la tecnica divide et impera per rendere più efficiente l'enumerazione + totale. +
++ Si divide il problema principale (trovare il valore ottimo di un problema di ILP) in più + sottoproblemi (trovare il valore ottimo di un problema di ILP con una variabile impostata a un + valore fisso). +
++ Si crea così un albero. +
+
+ È possibile chiudere in anticipo alcuni nodi dell'albero se il loro miglior possibile
+ valore ottimo è inferiore a uno precedentemente trovato o se il loro poliedro è
+ È possibile utilizzare diverse strategie di esplorazione dell'albero: +
+-
+
- depth-first: permette di raggiungere immediatamente a una soluzione accettabile + (ma non ottimale) + +
- best-first: permette di raggiungere più velocemente alla soluzione corretta +
+ È possibile combinare il metodo dei tagli secanti con la tecnica divide et + impera per raggiungere ancora più velocemente a una soluzione. +
++ Si effettuano poche iterazioni del metodo dei tagli secanti, e sul risultato di quelle + iterazioni si applica il divide et impera. +
+
+ Insieme di nodi
+ Può essere diretto se gli archi hanno una direzione. +
++ Nodi connessi da un arco. +
++ Arco connesso a un dato nodo. +
++ Un arco diretto che termina o inizia da un dato nodo. +
++ Conteggio degli archi incidenti di un nodo. +
++ Si può calcolare anche relativamente agli archi entranti o agli archi uscenti. +
++ Sequenza di archi consecutivi. +
++ Due nodi sono connessi se tra loro esiste almeno un percorso. +
++ Un grafo è connesso se tutti i suoi nodi sono connessi. +
++ Percorsi rispettivamente indiretti e diretti in cui l'inizio coincide con la fine. +
++ Grafo in cui ogni nodo è connesso con ogni altro. +
+
+ Se diretto, contiene
+ Vedi+Algoritmi . +
+ Vedi+Algoritmi . +
+ Sottoinsieme di archi che connettono due sottoinsiemi di nodi. +
++ Può essere anche uscente o entrante; in tal caso include solo gli archi entranti o uscenti dal + sottoinsieme. +
++ Sottoinsieme di nodi e archi di un grafo. +
++ Tutti gli archi di un sottografo possono connettere solo nodi all'interno di esso. +
++ Sottografo connesso e aciclico. +
++ Albero che include tutti i nodi di un grafo. +
++ Crea uno spanning tree. +
+-
+
- Aggiungi l'arco di costo minimo all'albero. +
- Finchè mancano ancora archi:
+
-
+
- Trova tutti gli archi che aggiungerebbero un nuovo nodo all'albero. +
- Seleziona l'arco di costo minore. +
+
+ Trova l'ordine topologico di un albero. +
+-
+
- Ripeti finchè ci sono nodi nel grafo:
+
-
+
- Assegna un numero sequenziale a un nodo senza archi entranti. +
- Elimina il nodo a cui hai assegnato il numero. +
- Elimina tutti gli archi incidenti sul nodo che hai eliminato. +
+
+ Trova i percorsi di costo minimo in un albero. +
+-
+
- Trova l'ordine topologico dell'albero. +
- Invece che provare ogni singola combinazione di nodi, prova solo i nodi che hanno un numero + topologico maggiore di quello del nodo attuale. + +
+
+ Vedi+Algoritmi . +
+ Costruisci il grafo residuo e vedi se c'è un percorso che va dalla sorgente alla destinazione. +
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+ ![{""}]({"https://i.imgur.com/FJk44q0.png"}/)
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+ ![{""}]({"https://i.imgur.com/fzb6xz2.png"}/)
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