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5e7efb59cd
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@ -1,7 +1,7 @@
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{
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"private": true,
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"name": "appuntiweb",
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"version": "0.8.6",
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"version": "0.8.7",
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"license": "AGPL-3.0-or-later",
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"scripts": {
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"start": "preact watch --template src/template.html",
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@ -7,12 +7,21 @@ import {Fragment} from "preact";
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const r = String.raw;
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export default function (props) {
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export default function () {
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return (
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<Fragment>
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<Section title={"Problema: Risoluzione di sistemi lineari"}>
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<Panel title={"Descrizione"}>
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<Todo>TODO</Todo>
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<p>
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Dato un sistema di equazioni lineari, si vuole trovare la sua soluzione.
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</p>
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<p>
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In forma matriciale, avrà una <b>matrice dei coefficienti</b> <ILatex>{r`A`}</ILatex>, un <b>vettore dei termini noti</b> <ILatex>{r`b`}</ILatex> e un <b>vettore delle incognite</b> <ILatex>{r`x`}</ILatex>.
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</p>
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<p>
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L'equazione matriciale del sistema è:
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</p>
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<PLatex>{r`A \cdot x = b`}</PLatex>
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</Panel>
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<Panel title={"Condizionamento"}>
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<p>
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@ -69,7 +78,7 @@ export default function (props) {
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<Section>
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<Panel title={<span>Fattorizzazione <ILatex>{r`LU`}</ILatex></span>}>
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<p>
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Se la matrice dei coefficienti del sistema <b>non ha <Link href={"https://it.wikipedia.org/wiki/Minore_(algebra_lineare)"}>minori</Link> uguali a 0 <small>(eccetto l'ultimo)</small></b> allora è possibile <i>fattorizzarla</i> in due matrici: una <ILatex>{r`L`}</ILatex> triangolare inferiore, e una <ILatex>{r`U`}</ILatex> triangolare superiore.
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||||
Se tutti i valori sulla diagonale di <ILatex>{r`A`}</ILatex> sono <b>diversi da 0 <small>(eccetto l'ultimo)</small></b> allora è possibile <i>fattorizzarla</i> in due matrici: una <ILatex>{r`L`}</ILatex> <b>triangolare inferiore</b>, e una <ILatex>{r`U`}</ILatex> <b>triangolare superiore</b>.
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</p>
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<PLatex>{r`A = L \cdot U`}</PLatex>
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<Example>
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@ -96,8 +105,11 @@ export default function (props) {
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U_{ik} = 0 \qquad se\ i > k \quad (tri.\ infer.)
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\end{cases}
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`}</PLatex>
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<Example>
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||||
È la parte triangolare superiore di <ILatex>{r`A`}</ILatex>!
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</Example>
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<p>
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||||
Il sistema può essere poi risolto applicando due volte il metodo di sostituzione:
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||||
Il sistema può essere poi risolto applicando due volte il metodo di sostituzione (all'avanti e all'indietro):
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</p>
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<PLatex>{r`
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\begin{cases}
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@ -118,9 +130,12 @@ export default function (props) {
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|||
Abbiamo fatto questo metodo in Algebra Lineare, chiamandolo <b>metodo di Gauss-Jordan</b>!
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</Example>
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<p>
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Alla formula precedente si aggiunge una <Link href={"https://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_di_permutazione"}>matrice di permutazione</Link> che indica quali righe sono state scambiate:
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||||
Alla formula precedente si aggiunge una <b>matrice di permutazione</b> che indica quali righe sono state scambiate:
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</p>
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<PLatex>{r`P \cdot A = L \cdot U`}</PLatex>
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<p>
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||||
Per massimizzare la stabilità, si cerca di <b>usare come perno l'elemento più grande</b> della colonna.
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</p>
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<p>
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Questo metodo ha costo computazionale:
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</p>
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@ -131,12 +146,30 @@ export default function (props) {
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È possibile anche permettere il <i>pivoting</i> <b>sulle colonne</b> per <b>aumentare ulteriormente la stabilità</b> dell'algoritmo, a costo di maggiore costo computazionale:
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</p>
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<PLatex>{r`P \cdot A \cdot Q = L \cdot U`}</PLatex>
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<p>
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Per massimizzare la stabilità, si cerca di <b>ordinare in modo decrescente la diagonale</b>, assicurandoci che il primo perno sia più grande del secondo e così via.
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</p>
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<p>
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Questo metodo ha costo computazionale:
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</p>
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<PLatex>{r`{\color{Yellow} O\left(\frac{n^3}{3}\right)} + O\left(\frac{n^3}{3}\right) + 2 \cdot O\left(\frac{n^2}{2}\right)`}</PLatex>
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</Panel>
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</Section>
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<Section>
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<Panel title={<span>Fattorizzazione <ILatex>{r`LU`}</ILatex> a banda</span>}>
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<p>
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Se la matrice <ILatex>{r`A`}</ILatex> è <b>a banda</b>, è possibile risparmiare spazio durante la fattorizzazione, in quanto sia <ILatex>{r`L`}</ILatex> sia <ILatex>{r`U`}</ILatex> saranno a banda!
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</p>
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</Panel>
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<Panel title={<span>Fattorizzazione <ILatex>{r`LU`}</ILatex> sparsa</span>}>
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<p>
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Se la matrice <ILatex>{r`A`}</ILatex> è <b>sparsa</b>, non è detto che <ILatex>{r`L`}</ILatex> e <ILatex>{r`U`}</ILatex> siano sparse a loro volta.
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</p>
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<p>
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Per evitare il <u>fill-in</u>, è necessario <b>riordinare</b> la matrice <ILatex>{r`A`}</ILatex> in modo che sia il più possibile simile a una matrice a banda. <Todo>TODO: Confermare?</Todo>
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</p>
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</Panel>
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</Section>
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<Section>
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<Panel title={<span>Fattorizzazione <ILatex>{r`LDL^{-1}`}</ILatex></span>}>
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<p>
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@ -204,10 +237,24 @@ export default function (props) {
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<Section>
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<Panel title={"Trasformazione di Householder"}>
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<p>
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Matrice ricavata dalla seguente formula:
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Matrice ricavata dalla seguente formula, dove <ILatex>{r`v`}</ILatex> è la colonna di un'altra matrice:
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</p>
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<PLatex>{r`U(v) = \mathbf{I} - \frac{2 \cdot v \cdot v^T}{\| v \|_{(2)}^2}`}</PLatex>
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<p>
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Se moltiplicata per per la matrice da cui proviene <ILatex>{r`v`}</ILatex>, sostituirà la colonna <ILatex>{r`v`}</ILatex> con la colonna:
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</p>
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<PLatex>{r`
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\begin{pmatrix}
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- \| v \|\\\\
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0\\\\
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||||
0\\\\
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||||
\vdots\\\\
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||||
0
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||||
\end{pmatrix}
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`}</PLatex>
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<p>
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Si calcola con una complessità computazionale nell'ordine di <ILatex>{r`O(n)`}</ILatex>.
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</p>
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<PLatex>{r`U(v) = I - \frac{1}{\alpha} \cdot v \cdot v^T`}</PLatex>
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||||
<PLatex>{r`\alpha = \frac{1}{2} \| v \|_{(2)}^2`}</PLatex>
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</Panel>
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||||
<Panel title={<span>Fattorizzazione <ILatex>{r`QR`}</ILatex></span>}>
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<p>
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@ -218,8 +265,11 @@ export default function (props) {
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</p>
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<PLatex>{r`A = Q \cdot R`}</PLatex>
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<p>
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Le matrici si ottengono dal prodotto delle trasformazioni di Householder (<ILatex>{r`Q`}</ILatex> sulle colonne della matrice <ILatex>{r`A`}</ILatex>, trasformandola in una matrice triangolare superiore (<ILatex>{r`R`}</ILatex>).
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||||
Le matrici si ottengono dal <b>prodotto delle trasformazioni di Householder</b> (che concatenate formano <ILatex>{r`Q`}</ILatex>) sulla matrice <ILatex>{r`A`}</ILatex> necessarie a trasformarla in una matrice triangolare superiore (<ILatex>{r`R`}</ILatex>).
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</p>
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<Example>
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||||
C'è un bell'esempietto <Link href={"https://web.archive.org/web/20200828003151/https://rpubs.com/aaronsc32/qr-decomposition-householder"}>qui</Link>.
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</Example>
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<p>
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Una volta fattorizzata, il sistema si può risolvere con:
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</p>
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@ -233,9 +283,6 @@ export default function (props) {
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Questo metodo ha costo computazionale:
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</p>
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<PLatex>{r`{\color{Yellow} O\left(\frac{2 \cdot n^3}{3}\right)} + 2 \cdot O\left(\frac{n^2}{2}\right)`}</PLatex>
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<p>
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<Todo>TODO: l'algoritmo con tau per ricavare la q se non è in memoria</Todo>
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</p>
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</Panel>
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</Section>
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<Section title={"Metodi iterativi"}>
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@ -4,7 +4,7 @@ import Example from "../components/Example";
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const r = String.raw;
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export default function (params) {
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export default function () {
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return (
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<div>
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<h1>Ripasso di Algebra Lineare <small>per <a href={"/calcolonumerico"}>Calcolo
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@ -168,6 +168,36 @@ export default function (params) {
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`}</PLatex>
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</Example>
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</Panel>
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||||
<Panel title={"Matrice di permutazione"}>
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<p>
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Matrice riempita di 0 eccetto per un solo 1 per riga e per colonna.
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</p>
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<Example>
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<PLatex>{r`
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\begin{pmatrix}
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{\color{Gray} 0} & {\color{Gray} 0} & 1
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||||
{\color{Gray} 0} & 1 & {\color{Gray} 0}\\
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||||
1 & {\color{Gray} 0} & {\color{Gray} 0}\\
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||||
\end{pmatrix}
|
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`}</PLatex>
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</Example>
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<p>
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Se premoltiplicata per una matrice, ne <b>riordina le righe</b>; se invece postmoltiplicata, ne <b>riordina le colonne</b>.
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</p>
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<Example>
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<p>
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Premoltiplicare la matrice precedente scambia la prima e la terza righa, postmoltiplicarla scambia la prima e la terza colonna.
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</p>
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</Example>
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</Panel>
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<Panel title={"Matrice di permutazione elementare"}>
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<p>
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Matrice di permutazione con un solo scambio.
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</p>
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<p>
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Sono <b>nonsingolari</b>, <b>simmetriche</b> e <b>ortogonali</b>.
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</p>
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</Panel>
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</Section>
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<Section title={"Norme vettoriali"}>
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<Panel title={"Norma vettoriale"}>
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