diff --git a/src/routes/CalcoloNumerico/02_ZeriDiFunzione.js b/src/routes/CalcoloNumerico/02_ZeriDiFunzione.js index 03dec7d..9a0acf1 100644 --- a/src/routes/CalcoloNumerico/02_ZeriDiFunzione.js +++ b/src/routes/CalcoloNumerico/02_ZeriDiFunzione.js @@ -43,8 +43,8 @@ export default function (props) { -
- +
+

Sono metodi iterativi in grado di ridurre sempre di più l'intervallo in cui è definita la funzione, facendolo convergere allo zero desiderato.

@@ -57,22 +57,12 @@ export default function (props) {

Hanno convergenza lineare.

-
-

- Sono metodi iterativi che funzionano in modo molto simile ai metodi iterativi per i sistemi lineari, utilizzando una funzione {r`\phi`} come "metodo". -

- {r`x = x - \phi(x) \cdot f(x)`} -

- Che diventa: -

- {r`x_{(k+1)} = g( x_{(k)} )`} -

- Sfruttano i punti fissi {r`g(x_{(*)}) = x_{(*)}`} della funzione per convergere. + TODO: What?

-
+

Calcoliamo il punto medio dell'intervallo {r`[a_{(n)}, b_{(n)}]`}: @@ -135,13 +125,37 @@ export default function (props) {

+ +

+ Sono metodi iterativi che funzionano in modo molto simile ai metodi iterativi per i sistemi lineari, utilizzando una funzione {r`\phi`} come "metodo". +

+ {r`x = x - \phi(x) \cdot f(x)`} +

+ Che diventa: +

+ {r`x_{(k+1)} = g( x_{(k)} )`} +

+ Sfruttano i punti fissi {r`g(x_{(*)}) = x_{(*)}`} della funzione per convergere. +

+

+ Non si conosce il numero di iterazioni necessarie per soddisfare la tolleranza {r`\tau`}; ad ogni iterazione, si controlla se la tolleranza è soddisfatta in: +

+
    +
  • Il residuo del problema: {r`\left| f(x_{(k)}) \right| \leq \tau`}
  • +
  • La differenza tra due iterate: {r`\frac{\left| x_{(k+1)} - x_{(k)} \right|}{\left| x_{(k+1)} \right|} \leq \tau`}
  • +
+

Se {r`\forall x \in [a, b], \phi(x) \neq 0`}, allora i punti fissi della funzione {r`g`} coincideranno con gli zeri.

{r`g(x) = x - \phi(x) \cdot f(x)`}

- È possibile avvicinarsi sempre di più ai punti fissi utilizzando TODO + Si può raggiungere iterativamente ad un punto fisso attraverso la formula: +

+ {r`x_{(k+1)} = g( x_{(k)} )`} +

+ Attraverso il teorema della mappa contrattiva si può dimostrare che il punto fisso esiste ed è unico. TODO: Studiarlo?

@@ -149,6 +163,7 @@ export default function (props) { Sfrutta la continuità delle funzioni per ottenere una convergenza di ordine più alto.

{r`\phi (x) = \frac{1}{f' (x)}`} + {r`x_{(k+1)} = x_{(k)} - \frac{ f(x_{(k)}) }{ f'(x_{(k)}) }`} Geometricamente, corrisponde a prolungare una retta nel punto {r`(x, f(x))`} con pendenza {r`f'(x)`}, e prendendo come nuovo punto l'intersezione con l'asse X. @@ -157,7 +172,10 @@ export default function (props) {

- TODO +

+ Come il metodo di Newton, ma non ha bisogno della continuità. +

+ {r`\phi (x) = \frac{}{}`}