diff --git a/src/routes/CalcoloNumerico/02_ZeriDiFunzione.js b/src/routes/CalcoloNumerico/02_ZeriDiFunzione.js
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--- a/src/routes/CalcoloNumerico/02_ZeriDiFunzione.js
+++ b/src/routes/CalcoloNumerico/02_ZeriDiFunzione.js
@@ -18,14 +18,14 @@ export default function (props) {
Per il teorema del valore medio, se {r`f(a) \cdot f(b) \leq 0`}, allora esiste sicuramente un punto in cui la funzione vale 0.
- Denominiamo il punto in cui la funzione vale 0 come {r`x_{(*)}`}.
+ Denominiamo il punto in cui la funzione vale 0 come {r`x_{(\star)}`}.
Più la derivata prima della funzione si avvicina allo 0, peggio il problema sarà condizionato.
- {r`f'(x_{(*)}) \simeq 0 \implies mal\ condizionato`}
+ {r`f'(x_{(\star)}) \simeq 0 \implies mal\ condizionato`}
@@ -33,7 +33,7 @@ export default function (props) {
Indice {r`{\color{Orange} p}`} di quanto in fretta una successione converge alla soluzione.
- {r`\lim_{i \to +\infty} \frac{ \left| x_{(i+1)} - x_{(*)} \right| }{ \left| x_{(k)} - x_{(*)} \right|^{\color{Orange} p}}`}
+ {r`\lim_{i \to +\infty} \frac{ \left| x_{(i+1)} - x_{(\star)} \right| }{ \left| x_{(k)} - x_{(\star)} \right|^{\color{Orange} p}}`}
- Convergenza lineare: {r`p = 1`} e {r`0 < C < 1`}
- Convergenza superlineare: {r`p = 1`} e {r`C = 0`}
@@ -127,7 +127,7 @@ export default function (props) {
{r`x_{(k+1)} = g( x_{(k)} )`}
- Sfruttano i punti fissi {r`g(x_{(*)}) = x_{(*)}`} della funzione {r`f`} per convergere:
+ Sfruttano i punti fissi {r`g(x_{(\star)}) = x_{(\star)}`} della funzione {r`f`} per convergere:
se {r`\phi(x)`} non ha zeri, allora i punti fissi coincideranno con gli zeri della funzione {r`f`}.
{r`g(x) = x - \phi(x) \cdot f(x)`}
@@ -135,9 +135,6 @@ export default function (props) {
Si può raggiungere iterativamente ad un punto fisso attraverso la formula:
{r`x_{(k+1)} = g( x_{(k)} )`}
-
- Teorema della mappa contrattiva: il punto fisso esiste ed è unico. TODO: Studiarlo?
-
Non si conosce in anticipo il numero di iterazioni necessarie per soddisfare la tolleranza {r`\tau`}; ad ogni iterazione, si controlla se la tolleranza è soddisfatta:
@@ -146,6 +143,52 @@ export default function (props) {
- Nel residuo del problema: {r`\left| f(x_{(k)}) \right| \leq \tau`}
+
+
+ Se:
+
+
+ -
+ Tutti i valori restituiti dalla funzione {r`g`} rientrano nel suo stesso dominio:
+ {r`g : [a, b] \to [a, b]`}
+
+ -
+
+ La funzione {r`g`} è una contrazione, ovvero restringe l'intervallo {r`[a, b]`}:
+
+ {r`\forall (x, y) \in [a, b], | g(x) - g(y) | \leq L \cdot | x - y |`}
+
+ (dove {r`0 < L < 1`})
+
+
+
+
+ Allora:
+
+
+
+ Più è piccolo L, più il metodo convergerà in fretta.
+
+
+ L è molto simile al raggio spettrale {r`\rho(M)`} dei metodi iterativi per i sistemi lineari!
+
+
@@ -181,6 +224,13 @@ export default function (props) {
+
+
+
+ È possibile usare questi metodi per approssimare le soluzioni di sistemi non-lineari.
+
+
+
)
}