From cdc71caf5fcb6d2fed685e2f728936fa51c987fe Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Stefano Pigozzi Date: Sun, 23 Aug 2020 15:07:27 +0200 Subject: [PATCH] Complete CN/01 --- .../CalcoloNumerico/01_SistemiLineari.js | 79 ++++++++++++++++++- 1 file changed, 77 insertions(+), 2 deletions(-) diff --git a/src/routes/CalcoloNumerico/01_SistemiLineari.js b/src/routes/CalcoloNumerico/01_SistemiLineari.js index 0dabcae..a6e4b22 100644 --- a/src/routes/CalcoloNumerico/01_SistemiLineari.js +++ b/src/routes/CalcoloNumerico/01_SistemiLineari.js @@ -235,11 +235,86 @@ export default function (props) {
+ +

+ Se si pone che: +

+ {r` + \begin{cases} + G = I - M^{-1} \cdot A\\ + c = M^{-1} \cdot b + \end{cases} + `} +

+ Allora la formula generale di un sistema lineare può anche essere scritta in questo modo: +

+ {r`x = G \cdot x + c`} +

+ È particolarmente utile perchè ci permette di definire un algoritmo ricorsivo che trovi {r`x`}: +

+ {r`x^{(i+1)} = G \cdot x^{(i)} + c`} +

+ {r`G`} è il metodo, e in base ad esso cambiano stabilità e velocità di convergenza. +

+

+ Ponendo {r`A = M - N`}, la formula può essere scritta anche in questo modo: +

+ {r`M \cdot x^{(i+1)} = N \cdot x^{(i)} + b`} +

+ Possiamo ottenere alcuni metodi separando A in tre matrici: +

+
    +
  • La parte diagonale {r`D`}
    • +
  • L'opposto del triangolo inferiore {r`E`}
    • +
  • L'opposto del triangolo superiore {r`F`}
    • +
+ {r`A = D - E - F`} + + +

+ Un metodo è convergente se e solo se: +

+ {r`\rho (M) < 1`} +

+ (dove {r`\rho`} è il raggio spettrale, il massimo autovalore della matrice) +

+

+ Perchè un metodo sia convergente, è sufficiente che: +

+ {r`\| M \| < 1`} + +
+
- TODO +

+ Il metodo di Jacobi si ottiene ponendo: +

+ {r` + \begin{cases} + M = D\\ + N = E + F + \end{cases} + `} +

+ Spostamenti simultanei: Permette di ottenere ogni componente di {r`x`} indipendentemente dagli altri: è parallelizzabile. +

- TODO +

+ Il metodo di Gauss-Seidel si ottiene ponendo: +

+ {r` + \begin{cases} + M = D - E\\ + N = F + \end{cases} + `} +

+ Ha una velocità di convergenza maggiore o uguale rispetto al metodo di Jacobi. +

+

+ Spostamenti successivi: Non è parallelizzabile, perchè ogni componente dipende da quelle calcolate in precedenza. +