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<!DOCTYPE html><html lang="en"><head><meta charset="utf-8"><title>Appunti Web</title><meta name="viewport" content="width=device-width,initial-scale=1"><meta name="mobile-web-app-capable" content="yes"><meta name="apple-mobile-web-app-capable" content="yes"><link rel="apple-touch-icon" href="./assets/icons/apple-touch-icon.png"><link rel="manifest" href="/manifest.json"><meta name="theme-color" content="#a0ccff"><link rel="shortcut icon" href="/favicon.ico"><style>*{box-sizing:border-box}body{background-color:#0d193b;color:#a0ccff;font-family:Arial,sans-serif}</style><link href="/bundle.1e4c7.css" rel="preload" as="style"></head><body><script type="__PREACT_CLI_DATA__">{"preRenderData":{"url":"/"}}</script><script nomodule="">!function(){var e=document,t=e.createElement("script");if(!("noModule"in t)&&"onbeforeload"in t){var n=!1;e.addEventListener("beforeload",function(e){if(e.target===t)n=!0;else if(!e.target.hasAttribute("nomodule")||!n)return;e.preventDefault()},!0),t.type="module",t.src=".",e.head.appendChild(t),t.remove()}}();</script><script crossorigin="anonymous" src="/bundle.5531a.esm.js" type="module"></script><script nomodule="" src="/polyfills.700d1.js"></script><script nomodule="" defer="defer" src="/bundle.c81be.js"></script><link rel="stylesheet" href="/bundle.1e4c7.css"></body></html>

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docs/route-ottimizzazioneLineare.chunk.f48cc.esm.js generated
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docs/sw-esm.js generated
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@ -1,4 +1,4 @@
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!function(e){function t(n){if(r[n])return r[n].exports;var o=r[n]={i:n,l:!1,exports:{}};return e[n].call(o.exports,o,o.exports,t),o.l=!0,o.exports}var r={};t.m=e,t.c=r,t.d=function(e,r,n){t.o(e,r)||Object.defineProperty(e,r,{enumerable:!0,get:n})},t.r=function(e){"undefined"!=typeof Symbol&&Symbol.toStringTag&&Object.defineProperty(e,Symbol.toStringTag,{value:"Module"}),Object.defineProperty(e,"__esModule",{value:!0})},t.t=function(e,r){if(1&r&&(e=t(e)),8&r)return e;if(4&r&&"object"==typeof e&&e&&e.__esModule)return e;var n=Object.create(null);if(t.r(n),Object.defineProperty(n,"default",{enumerable:!0,value:e}),2&r&&"string"!=typeof e)for(var o in e)t.d(n,o,function(t){return e[t]}.bind(null,o));return n},t.n=function(e){var r=e&&e.__esModule?function(){return e.default}:function(){return e};return t.d(r,"a",r),r},t.o=function(e,t){return Object.prototype.hasOwnProperty.call(e,t)},t.p="/",t(t.s="idKB")}({idKB:function(){self.__precacheManifest=[].concat(self.__precacheManifest||[]);const e=e=>"navigate"===e.request.mode;workbox.routing.registerRoute(({event:t})=>e(t),new workbox.strategies.NetworkFirst({cacheName:workbox.core.cacheNames.precache,networkTimeoutSeconds:5,plugins:[new workbox.cacheableResponse.Plugin({statuses:[200]})]})),workbox.precaching.precacheAndRoute(self.__precacheManifest,{}),workbox.routing.setCatchHandler(({event:t})=>e(t)?caches.match(workbox.precaching.getCacheKeyForURL("/index.html")):Response.error())}});
//# sourceMappingURL=sw-esm.js.map

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docs/sw.js generated
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@ -1,4 +1,4 @@
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//# sourceMappingURL=sw.js.map

7
src/components/OttimizzazioneLineare/Empty.js Normal file
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@ -0,0 +1,7 @@
import style from "./Styles.less";
export default function (props) {
return (
<abbr class={style.unfeasible} title={"Il poliedro non contiene punti."}>{props.children ? props.children : "vuoto"}</abbr>
);
}

7
src/components/OttimizzazioneLineare/Finite.js Normal file
View file

@ -0,0 +1,7 @@
import style from "./Styles.less";
export default function (props) {
return (
<abbr class={style.finite} title={"I punti del poliedro sono finiti."}>{props.children ? props.children : "finito"}</abbr>
);
}

2
src/components/OttimizzazioneLineare/Max.js
View file

@ -2,6 +2,6 @@ import style from "./Styles.less";
export default function (props) {
return (
<span class={style.max}>{props.children ? props.children : "max"}</span>
<abbr class={style.max} title={"In problemi in cui il primale è di massimizzazione."}>{props.children ? props.children : "max"}</abbr>
);
}

2
src/components/OttimizzazioneLineare/Min.js
View file

@ -2,6 +2,6 @@ import style from "./Styles.less";
export default function (props) {
return (
<span class={style.min}>{props.children ? props.children : "min"}</span>
<abbr class={style.min} title={"In problemi in cui il primale è di minimizzazione."}>{props.children ? props.children : "min"}</abbr>
);
}

4
src/components/OttimizzazioneLineare/Styles.less
View file

@ -8,6 +8,10 @@
color: @red;
}
.finite {
color: @lime;
}
.min {
color: @cyan;
}

2
src/components/OttimizzazioneLineare/Unbounded.js
View file

@ -2,6 +2,6 @@ import style from "./Styles.less";
export default function (props) {
return (
<span class={style.unbounded}>{props.children ? props.children : "unbounded"}</span>
<abbr class={style.unbounded} title={"I punti del poliedro sono infiniti."}>{props.children ? props.children : "illimitato"}</abbr>
);
}

7
src/components/OttimizzazioneLineare/Unfeasible.js
View file

@ -1,7 +0,0 @@
import style from "./Styles.less";
export default function (props) {
return (
<span class={style.unfeasible}>{props.children ? props.children : "unfeasible"}</span>
);
}

9
src/components/TablePanel.js Normal file
View file

@ -0,0 +1,9 @@
import style from "./TablePanel.less";
export default function (props) {
return (
<table class={style.tablepanel}>
{props.children}
</table>
);
}

6
src/components/TablePanel.less Normal file
View file

@ -0,0 +1,6 @@
@import "../styles/constants.less";
.tablepanel {
margin: 4px;
width: calc(100% - 8px);
}

12
src/index.less
View file

@ -140,3 +140,15 @@ p:last-child {
b {
color: @accent;
}
abbr {
cursor: help;
}
aside {
margin: 4px 0;
padding: 4px;
font-size: smaller;
background-color: @plus;
border-radius: 4px;
}

178
src/routes/ottimizzazioneLineare.js
View file

@ -9,11 +9,14 @@ import Plus from "../components/old/plus";
import Code from "../components/old/code";
import Timer from "../components/old/timer";
import Image from "../components/Image";
import Unfeasible from "../components/OttimizzazioneLineare/Unfeasible";
import Empty from "../components/OttimizzazioneLineare/Empty";
import Unbounded from "../components/OttimizzazioneLineare/Unbounded";
import Min from "../components/OttimizzazioneLineare/Min";
import Max from "../components/OttimizzazioneLineare/Max";
import PLatex from "../components/PLatex";
import LatexDefaultInline from "../contexts/LatexDefaultInline";
import TablePanel from "../components/TablePanel";
import Finite from "../components/OttimizzazioneLineare/Finite";
const r = String.raw;
@ -39,6 +42,91 @@ export default class OttimizzazioneLineare extends Component {
</ol>
</Panel>
</Split>
<LatexDefaultInline.Provider value={false}>
<Split title={"Glossario"}>
<TablePanel>
<thead>
<tr>
<th><abbr title={"Vettore / matrice"}>v</abbr></th>
<th><abbr title={"Elemento singolo"}>s</abbr></th>
<th>Significato</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td><Latex>{r`\mathbf{x}`}</Latex></td>
<td><Latex>{r`x_i`}</Latex></td>
<td>Incognite</td>
</tr>
<tr>
<td><Latex>{r`\mathbf{s}`}</Latex></td>
<td><Latex>{r`s_i`}</Latex></td>
<td>Variabili slack</td>
</tr>
<tr>
<td><Latex>{r`\mathbf{c}`}</Latex></td>
<td><Latex>{r`c_i`}</Latex></td>
<td>Coefficienti della funzione obiettivo</td>
</tr>
<tr>
<td><Latex>{r`\mathbf{A}`}</Latex></td>
<td><Latex>{r`a_{ij}`}</Latex></td>
<td>Coefficienti dei vincoli</td>
</tr>
<tr>
<td><Latex>{r`\mathbf{b}`}</Latex></td>
<td><Latex>{r`b_i`}</Latex></td>
<td>Termini noti dei vincoli</td>
</tr>
<tr>
<td><Latex>{r`\mathbf{y}`}</Latex></td>
<td><Latex>{r`y_i`}</Latex></td>
<td>Incognite artificiali</td>
</tr>
<tr>
<td><Latex>{r`\mathbf{u}`}</Latex></td>
<td><Latex>{r`u_i`}</Latex></td>
<td>Coefficienti di rilassamento</td>
</tr>
<tr>
<td/>
<td><Latex>{r`c_0`}</Latex></td>
<td>Valore ottimo di un problema</td>
</tr>
</tbody>
</TablePanel>
<TablePanel>
<thead>
<tr>
<th>Simboli</th>
<th>Significato</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td><Latex>{r`\mathbf{c}^T \mathbf{x}`}</Latex></td>
<td>Soluzione del problema</td>
</tr>
<tr>
<td><Latex>{r`\mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b}`}</Latex></td>
<td>Vincoli in forma standard</td>
</tr>
<tr>
<td><Latex>{r`z(\dots)`}</Latex></td>
<td>Funzione obiettivo</td>
</tr>
<tr>
<td><Latex>{r`\mathbf{u}^T \mathbf{b}`}</Latex></td>
<td>Soluzione del problema duale</td>
</tr>
<tr>
<td><Latex>{r`\mathbf{u}^T \mathbf{A} = \mathbf{c}^T`}</Latex></td>
<td>Vincoli del problema duale in forma standard</td>
</tr>
</tbody>
</TablePanel>
</Split>
</LatexDefaultInline.Provider>
<Split title={"Le basi"}>
<Panel title={"Funzione obiettivo"}>
<p>
@ -62,12 +150,6 @@ export default class OttimizzazioneLineare extends Component {
<p>
Il vettore dei suoi coefficienti è detto <Latex>{r`\mathbf{c}`}</Latex>, mentre quello delle sue incognite <Latex>{r`\mathbf{x}`}</Latex>.
</p>
<p>
Si può ricavare la sua soluzione, detta <i>valore ottimo</i>, dal prodotto vettoriale <Latex>{r`\mathbf{c} \times \mathbf{x}`}</Latex>, scritto solitamente in forma matriciale come <Latex>{r`\mathbf{c}^T \mathbf{x}`}</Latex>.
</p>
<p>
Spesso, la funzione obiettivo è indicata con il nome <Latex>{r`z(\dots)`}</Latex>.
</p>
</Panel>
<Panel title={"Vincoli"}>
<p>
@ -77,6 +159,25 @@ export default class OttimizzazioneLineare extends Component {
I loro coefficienti sono contenuti nella matrice <Latex>{r`\mathbf{A}`}</Latex>, mentre i loro termini noti nel vettore <Latex>{r`\mathbf{b}`}</Latex>.
</p>
</Panel>
<Panel title={"Valore ottimo"}>
<p>
La <b>soluzione</b> di un problema, ricavabile dal prodotto <Latex>{r`\mathbf{c}^T \mathbf{x}`}</Latex>.
</p>
<p>
Spesso, la funzione obiettivo è indicata con il nome <Latex>{r`z(\dots)`}</Latex>.
</p>
</Panel>
<Panel title={"Poliedro"}>
<p>
L'<b>insieme</b> che racchiunde tutte le <b>soluzioni ammissibili</b> di un problema.
</p>
<p>
In particolare, il valore ottimo è un <b>vertice</b> del poliedro, detto <i>vertice ottimo</i>.
</p>
<p>
Può essere <i><Finite/></i>, <i><Empty/></i> oppure <i><Unbounded/></i>.
</p>
</Panel>
<Panel title={"Gradiente"}>
<p>
<b>Funzione</b> della funzione obiettivo che restituisce la direzione del suo aumento più veloce.
@ -235,10 +336,10 @@ export default class OttimizzazioneLineare extends Component {
</p>
</Panel>
</Split>
<Split title={"Simplex"}>
<Split title={"Simplex primale"}>
<Panel title={"Cos'è?"}>
<p>
Un algoritmo per <Min>minimizzare</Min>/<Max>massimizzare</Max> efficientemente variabili di sistemi lineari, derivato da Gauss-Jordan.
Un algoritmo per <Min>minimizzare</Min>/<Max>massimizzare</Max> trovare efficientemente <b>valore e vertice ottimo</b> di problemi di ottimizzazione lineare, derivato da Gauss-Jordan.
</p>
<Example>
E' spiegato in modo semplice <a href={"https://web.archive.org/web/20200523052252/https://www.cs.cmu.edu/~15451-f17/handouts/simplex.pdf"}>qui</a>, e ci sono dei codici sorgenti di esempio <a href={"https://www.cs.cmu.edu/~15451-f17/handouts/simplexcodes/"}>qui</a>.
@ -256,17 +357,20 @@ export default class OttimizzazioneLineare extends Component {
<li>Finchè ci sono variabili con coefficienti <Min>positivi</Min>/<Max>negativi</Max> nella funzione obiettivo:
<ol>
<li>
<b>Scegli</b> la prima variabile con coefficiente <Min>positivo</Min>/<Max>negativo</Max> nella funzione obiettivo: essa è la <i>variabile entrante</i>.
<Example>Si potrebbe scegliere qualsiasi variabile, ma scegliendo sempre la prima possibile (<i>Regola di Bland</i>) ci si assicura che l'algoritmo termini.</Example>
<b>Scegli</b> la prima variabile fuori base con coefficiente <Min>positivo</Min>/<Max>negativo</Max> nella funzione obiettivo: essa è la <i>variabile entrante</i>.<br/>
<aside><i>Regola di Bland</i>: Si potrebbe scegliere qualsiasi variabile come entrante, ma scegliendo sempre la prima ammissibile ci si assicura che l'algoritmo termini.</aside>
</li>
<li>Trova la variabile di base (detta <i>variabile uscente</i>) tramite il rapporto <Latex>{r`\frac{termine\ noto}{coeff.\ variabile\ entrante}`}</Latex>:<br/> scegli la variabile con il <b>rapporto minore</b>, assicurandoti che esso sia <b>positivo</b>.<br/> Se tutti i rapporti sono negativi, allora il problema è <b><Unbounded/></b>.</li>
<li><b>Riscrivi</b> tutte le funzioni del sistema in termini della variabile entrante.</li>
<li>
<b>Scegli</b> la variabile in base con il minor rapporto positivo <Latex>{r`\frac{termine\ noto}{coeff.\ variabile\ entrante}`}</Latex>.
<aside>Se non sei riuscito a trovare nessuna variabile con un rapporto positivo, significa che il poliedro è <Unbounded/>.</aside>
</li>
<li><u>Pivot</u>: <b>riscrivi</b> tutte le funzioni del sistema in termini della variabile entrante.</li>
</ol>
</li>
<li>I <b>termini noti dei vincoli</b> sono le coordinate del risultato, mentre il <b>termine noto della funzione obiettivo</b> è il valore ottimo.</li>
</ol>
<Example>
È praticamente l'algoritmo di Gauss-Jordan applicato il tableau con delle regole aggiuntive per la decisione delle variabili di pivot.
È praticamente l'algoritmo di Gauss-Jordan applicato al tableau, con delle regole aggiuntive per la decisione delle variabili di pivot.
</Example>
</Panel>
<Panel title={"Soluzioni di base degenerata"}>
@ -287,7 +391,7 @@ export default class OttimizzazioneLineare extends Component {
Prevede l'introduzione di un <i>problema ausiliario</i>, le cui incognite sono dette <i>artificiali</i>.
</p>
<p>
Il vettore delle incognite artificiali è solitamente chiamato <Latex>{r`\mathbf{y}`}.</Latex>
Il vettore delle incognite artificiali è solitamente chiamato <Latex>{r`\mathbf{y}`}</Latex>.
</p>
<Example>
E' spiegato in modo semplice <a href={"https://web.archive.org/web/20200523052252/https://www.cs.cmu.edu/~15451-f17/handouts/simplex.pdf"}>qui</a>.
@ -297,11 +401,11 @@ export default class OttimizzazioneLineare extends Component {
<ol>
<li>Crea un nuovo tableau, <b>aggiungendo variabili artificiali</b> in modo da avere una base ammissibile.</li>
<li>Sostituisci la vecchia funzione obiettivo con una nuova che <b>minimizzi la somma</b> di tutte le variabili artificiali.</li>
<li><u>Fase 1</u>: <b>Risolvi</b> il nuovo problema con il metodo Simplex.</li>
<li>Se il Simplex termina con ancora <b>variabili artificiali nella base</b>, allora il problema è <b><Unfeasible/></b>.</li>
<li><u>Fase 1</u>: <b>Risolvi</b> il nuovo problema con il simplex primale.</li>
<li>Se il Simplex termina quando ci sono ancora <b>variabili artificiali nella base</b>, allora il poliedro è <b><Empty/></b>.</li>
<li>Una volta che le variabili artificiali sono fuori base, <b>elimina</b> le loro colonne e la nuova funzione obiettivo.<br/></li>
<li>Riporta il tableau in forma base compiendo operazioni per <b>azzerare i coefficienti</b> delle variabili di base nella funzione obiettivo.</li>
<li><u>Fase 2</u>: <b>Risolvi</b> il tableau con il metodo Simplex.</li>
<li><u>Fase 2</u>: <b>Risolvi</b> il tableau con il simplex primale.</li>
</ol>
</Panel>
</Split>
@ -339,7 +443,7 @@ export default class OttimizzazioneLineare extends Component {
</p>
<Latex inline={false}>{r`
\begin{cases}
z_{LR} = 3 x_1 + 5 x_2 + u_1 ( 12 - 2 x_1 - 3 x_2 ) + u_2 ( 3 + x_1 - 3 x_2 )\\
z = 3 x_1 + 5 x_2 + u_1 ( 12 - 2 x_1 - 3 x_2 ) + u_2 ( 3 + x_1 - 3 x_2 )\\
x_1 \geq 0\\
x_2 \geq 0
\end{cases}
@ -350,10 +454,7 @@ export default class OttimizzazioneLineare extends Component {
<Split title={"Dualità"}>
<Panel title={"Duale"}>
<p>
Il sistema che <b><Min>massimizza</Min>/<Max>minimizza</Max> i moltiplicatori di rilassamento</b> di un qualsiasi sistema, detto <i>primale</i>.
</p>
<p>
Si dimostra che la sua soluzione (se esiste) è <b>uguale</b> alla soluzione del problema primale.
Il sistema che <b><Min>massimizza</Min>/<Max>minimizza</Max> i moltiplicatori di rilassamento</b> di un problema detto <i>primale</i>.
</p>
</Panel>
<Panel title={"In termini matriciali"}>
@ -367,15 +468,20 @@ export default class OttimizzazioneLineare extends Component {
<Panel title={"Feasibility del duale"}>
<ul>
<li>Se un problema ha una <b>soluzione finita</b>, allora anche il suo duale la avrà.</li>
<li>Se un problema è <b><Unfeasible/></b>, allora il suo duale potrà essere <Unfeasible/> oppure <Unbounded/>.</li>
<li>Se un problema è <b><Unbounded/></b>, allora il suo duale sarà certamente <Unfeasible/>.</li>
<li>Se un problema è <b><Empty/></b>, allora il suo duale potrà essere <Empty/> oppure <Unbounded/>.</li>
<li>Se un problema è <b><Unbounded/></b>, allora il suo duale sarà certamente <Empty/>.</li>
</ul>
</Panel>
</Split>
<Split>
<Split title={"Un po' di teoria"}>
<Panel title={"Lemma di Farkas"}>
<p>
<Todo>TODO: una complicata dimostrazione per dire varie cose. Probabilmente si riesce a saltare se non si dà l'orale...</Todo>
Una disuguaglianza lineare <Latex>{r`c_0 \leq \mathbf{c}^T \mathbf{x}`}</Latex> è verificata da tutti i punti di un poliedro non-<Empty/> se e solo se esiste un vettore <Latex>{r`u \in \mathfrak{R}^m`}</Latex> tale che:
</p>
<PLatex>{r`\mathbf{c}^T \geq \mathbf{u}^T \mathbf{A}`}</PLatex>
<PLatex>{r`c_0 \leq \mathbf{u}^T \mathbf{b}`}</PLatex>
<p>
<Todo>TODO: Cioè?</Todo>
</p>
</Panel>
<Panel title={"Dualità forte"}>
@ -400,6 +506,24 @@ export default class OttimizzazioneLineare extends Component {
<Todo>TODO: Dimostrazione cortina, ma sembra complicata.</Todo>
</p>
</Panel>
<Panel title={"Condizioni di ottimalità"}>
<p>
Il teorema che ci permette di passare dalla soluzione del duale alla soluzione del primale. <Todo>TODO: credo?</Todo>
</p>
<p>
Si deriva combinando le seguenti condizioni:
</p>
<ul>
<li>Ammissibilità del primale: <Latex>{r`\mathbf{A} \mathbf{X} \geq \mathbf{b}, \quad \mathbf{x} \geq 0`}</Latex></li>
<li>Ammissibilità del duale: <Latex>{r`\mathbf{u}^T \mathbf{A} \leq \mathbf{c}^T, \quad \mathbf{u} \geq 0`}</Latex></li>
<li>Teorema della dualità forte: <Latex>{r`\mathbf{c}^T \mathbf{x} = \mathbf{u}^T \mathbf{b}`}</Latex> (alla soluzione ottima)</li>
</ul>
<p>
Ne risulta che una soluzione è ottima se e solo se:
</p>
<PLatex>{r`\left( \mathbf{c}^T - \mathbf{u}^T \mathbf{A} \right) \mathbf{x} = 0`}</PLatex>
<PLatex>{r`\mathbf{u}^T \left( \mathbf{A} \mathbf{x} - \mathbf{b} \right) = 0`}</PLatex>
</Panel>
</Split>
</div>
)