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@ -5,7 +5,7 @@ export default class Latex extends Component {
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render() {
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render() {
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let equation = `{\\color{White} ${this.props.children} }`;
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let equation = `{\\color{White} ${this.props.children} }`;
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return (
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return (
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<img src={`https://latex.codecogs.com/png.latex?${equation}`}
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<img src={`https://latex.codecogs.com/svg.latex?${equation}`}
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alt={this.props.children}
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alt={this.props.children}
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title={this.props.children}
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title={this.props.children}
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class={style.latex}
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class={style.latex}
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@ -1817,33 +1817,33 @@ export default class Statistica extends Component {
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</Panel>
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</Panel>
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</Split>
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</Split>
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<Split title={"Altre approsimazioni"}>
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<Split title={"Altre approsimazioni"}>
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<Panel title={"Binomiale"}>
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<Panel title={"Binomiale e normale"}>
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<p>
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<p>
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La <b>binomiale</b> è una somma di bernoulliane:
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E' una somma di <b>bernoulliane</b>, e quindi si approssima a una normale:
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</p>
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</p>
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<p>
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<p>
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<Latex>{r`Bin(n, p) \approx Nor(n \cdot p, n \cdot p \cdot q)`}</Latex>
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<Latex>{r`Bin(n, p) \approx Nor(n \cdot p, n \cdot p \cdot q)`}</Latex>
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</p>
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</p>
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</Panel>
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</Panel>
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<Panel title={"Binomiale negativa"}>
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<Panel title={"Binomiale negativa e normale"}>
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<p>
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<p>
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E' una somma di <b>geometriche</b>:
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E' una somma di <b>geometriche</b>, e quindi si approssima a una normale:
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</p>
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</p>
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<p>
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<p>
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<Latex>{r`\overline{Bin} (n, p) \approx Nor \left( \frac{n}{p}, \frac{n \cdot (1 - p)}{p^2} \right)`}</Latex>
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<Latex>{r`\overline{Bin} (n, p) \approx Nor \left( \frac{n}{p}, \frac{n \cdot (1 - p)}{p^2} \right)`}</Latex>
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</p>
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</p>
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</Panel>
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</Panel>
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<Panel title={"Poissoniana"}>
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<Panel title={"Poissoniana e normale"}>
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E' una somma di altre <b>poissoniane</b>:
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E' una somma di altre <b>poissoniane</b>, e quindi si approssima a una normale:
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</p>
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</p>
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<p>
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<p>
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<Latex>{r`Poi(\lambda) \approx Nor(\lambda, \lambda)`}</Latex>
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<Latex>{r`Poi(\lambda) \approx Nor(\lambda, \lambda)`}</Latex>
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</p>
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</p>
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</Panel>
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</Panel>
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<Panel title={"Gamma"}>
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<Panel title={"Gamma e normale"}>
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E' una somma di <b>esponenziali</b>:
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E' una somma di <b>esponenziali</b>, e quindi si approssima a una normale:
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</p>
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</p>
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<p>
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<p>
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<Latex>{r`\Gamma (\alpha, \lambda) \approx Nor \left( \frac{\alpha}{\lambda}, \frac{\alpha}{\lambda^2} \right)`}</Latex>
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<Latex>{r`\Gamma (\alpha, \lambda) \approx Nor \left( \frac{\alpha}{\lambda}, \frac{\alpha}{\lambda^2} \right)`}</Latex>
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@ -1858,6 +1858,147 @@ export default class Statistica extends Component {
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</p>
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</p>
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</Panel>
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</Panel>
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</Split>
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</Split>
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<Split title={"Actually statistica"}>
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<Panel title={"Parametri sconosciuti"}>
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<p>
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Per indicare parametri sconosciuti di una legge si usa <Latex>\theta</Latex>.
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</p>
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</Panel>
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<Panel title={"Statistica"}>
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<p>
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Una variabile aleatoria funzione di un campione:
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</p>
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<p>
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<Latex>{r`T(\boldsymbol{X})`}</Latex>
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</p>
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<Example>
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Ad esempio, sono statistiche media e varianza campionaria, così come il campione stesso <Latex>{r`T(\boldsymbol{X}) = \boldsymbol{X}`}</Latex>.
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</Example>
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</Panel>
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</Split>
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<Split title={"Stimatori"}>
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<Panel title={"Stimatore"}>
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<p>
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Una statistica <Latex>T_n</Latex> ottenuta da <Latex>n</Latex> osservazioni, che stimi i parametri di una legge e sia indipendente da essi.
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</p>
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</Panel>
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<Panel title={"Corretto"}>
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<p>
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Uno stimatore è <i>corretto</i> se il suo valore atteso coincide con quello dei parametri che stima:
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</p>
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<p>
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<Latex>{r`E(T_n) = \theta`}</Latex>
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</p>
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</Panel>
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<Panel title={"Asintoticamente corretto"}>
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<p>
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Uno stimatore è <i>asintoticamente corretto</i> se, per infinite osservazioni, il suo valore atteso coincide con quello dei parametri che stima:
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</p>
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<p>
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<Latex>{r`\lim_{n \to +\infty} E(T_n) = \theta`}</Latex>
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</p>
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</Panel>
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<Panel title={"Consistente in media quadratica"}>
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<p>
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Uno stimatore è <i>consistente in media quadratica</i> se:
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</p>
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<p>
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<Latex>{r`\lim_{n \to +\infty} E((T_n - \theta)^2) = 0`}</Latex>
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</p>
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</Panel>
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<Panel title={"Consistente in probabilità"}>
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<p>
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Uno stimatore è <i>consistente</i> se:
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</p>
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<p>
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<Latex>{r`\forall \epsilon > 0, \lim_{n \to +\infty} P( |T_n - \theta| < \epsilon) = 1`}</Latex>
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</p>
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<p>
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|
<Todo>TODO: verificare che la mia modifica sia corretta</Todo>
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</p>
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</Panel>
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|
<Panel title={"Asintoticamente normale"}>
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<p>
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|
Uno stimatore è <i>asintoticamente normale</i> se:
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</p>
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<p>
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<Latex>{r`\lim_{n \to +\infty} \frac{T_n - E(T_n)}{\sqrt{Var(T_n)}} \sim Nor(0, 1)`}</Latex>
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</p>
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|
</Panel>
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</Split>
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|
<Split title={"Metodo dei momenti"}>
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|
<Panel title={"Metodo dei momenti"}>
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<p>
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|
Si può usare il <i>metodo dei momenti</i> per ottenere uno stimatore di una popolazione <Latex>X</Latex>.
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|
</p>
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|
<p>
|
||||||
|
Lo stimatore di <Latex>{r`\theta`}</Latex> così ottenuto sarà indicato aggiungendo un cappellino e una <Latex>M</Latex> a <Latex>\theta</Latex>: <Latex>{r`\hat{\theta}_M`}</Latex>
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|
</p>
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<p>
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Visto che:
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<ul>
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<li><Latex>{r`\theta = g(E(X))`}</Latex></li>
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<li><Latex>{r`\hat{E(X)} = \overline{X}_n`}</Latex></li>
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||||||
|
</ul>
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<p>
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|
Allora:
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</p>
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<p>
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<Latex>{r`\hat{\theta}_M = g( \overline{X}_n )`}</Latex>
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</p>
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<p>
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|
Se <Latex>{r`\theta`}</Latex> non è esprimibile in termini di <Latex>{r`E(X)`}</Latex>, si possono usare i momenti successivi <Latex>{r`M_n^2`}</Latex>, <Latex>{r`M_n^3`}</Latex>, <Latex>{r`M_n^3`}</Latex>...
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|
</p>
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|
</Panel>
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||||||
|
<Panel title={"Stima di una bernoulliana"}>
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<p>
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<Latex>{r`\hat{p}_M = \overline{X}_n`}</Latex>
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</p>
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|
</Panel>
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||||||
|
<Panel title={"Stima di una poissoniana"}>
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<p>
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<Latex>{r`\hat{\mu}_M = \overline{X}_n`}</Latex>
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</p>
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|
</Panel>
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|
<Panel title={"Stima di una esponenziale"}>
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<p>
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<Latex>{r`\hat{\lambda}_M = \frac{1}{\overline{X}_n}`}</Latex>
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</p>
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|
</Panel>
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|
</Split>
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|
<Split title={"Metodo della verosomiglianza"}>
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||||||
|
<Panel title={"Metodo della massima verosomiglianza"}>
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|
<p>
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||||||
|
Si può usare il <i>metodo della massima verosomiglianza</i> per ottenere uno stimatore di una popolazione <Latex>X</Latex>.
|
||||||
|
</p>
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||||||
|
<p>
|
||||||
|
Lo stimatore di <Latex>{r`\theta`}</Latex> così ottenuto sarà indicato aggiungendo un cappellino e una <Latex>L</Latex> a <Latex>\theta</Latex>: <Latex>{r`\hat{\theta}_L`}</Latex>
|
||||||
|
</p>
|
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<p>
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|
<Todo>TODO: oops, l'ho skippato</Todo>
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</p>
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||||||
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</Panel>
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||||||
|
</Split>
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||||||
|
<Split title={"Intervalli di confidenza"}>
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||||||
|
<Panel title={"Confidenza"}>
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<blockquote>
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||||||
|
"intervallo di confidenza al 95%"
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||||||
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</blockquote>
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<p>
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L'intervallo di valori di <Latex>\theta</Latex> all'interno del quale siamo "più o meno sicuri" si trovi il valore effettivo:
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||||||
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</p>
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<p>
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|
L'intervallo di confidenza a N della stima <Latex>{r`\hat{Z}`}</Latex> è l'intervallo <Latex>]a, b[</Latex> tale che:
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</p>
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<p>
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<Latex>{r`P( a < Z < b ) = N`}</Latex>
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</p>
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<p>
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|
Può anche essere <b>unilatero</b> nel caso limiti la stima in una sola direzione, positiva o negativa.
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</p>
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</Panel>
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||||||
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</Split>
|
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</div>
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</div>
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||||||
)
|
)
|
||||||
}
|
}
|
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|
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