diff --git a/src/routes/CalcoloNumerico/03_Interpolazione.js b/src/routes/CalcoloNumerico/03_Interpolazione.js index 31a0889..23a3fc7 100644 --- a/src/routes/CalcoloNumerico/03_Interpolazione.js +++ b/src/routes/CalcoloNumerico/03_Interpolazione.js @@ -12,16 +12,83 @@ export default function (props) {

- Si vuole trovare una funzione in grado di approssimarne un altra, di cui si conoscono però solo alcuni punti. + Si vuole trovare una funzione in grado di approssimarne un'altra, di cui si conoscono però solo alcuni punti.

È utile in un sacco di casi! Ad esempio, quando si vuole scalare un'immagine. +

+ I punti sono detti nodi {r`(x_i, y_i)`}, mentre la funzione costruita su di essi è detta interpolante {r`g`}: +

+ {r`g(x_i) = y_i`} +

+ Dato un insieme di punti, esistono infinite funzioni interpolanti. +

+ + +

+ Il teorema fondamentale dell'algebra dice che esiste una sola interpolante polinomiale che interpola un dato insieme di punti. +

+

+ Con n+1 punti, l'interpolante sarà al massimo di grado n, e viene detta {r`p_n`}. +

+

+ La sua forma canonica sarà: +

+ {r`p_n(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots + a_n x^n`}
- TODO +

+ È possibile scrivere la forma canonica come matrice: +

+ {r`A \cdot x = b`} +

+ Costruiamo la matrice di Vandermonde: +

+ {r` + A = + \begin{pmatrix} + 1 & x_0 & x_0^2 & \dots & x_0^n\\\\ + 1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^n\\\\ + 1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^n\\\\ + \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\\\ + 1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^n + \end{pmatrix} + `} +

+ Costruiamo il vettore delle incognite: +

+ {r` + x = + \begin{pmatrix} + a_0\\\\ + a_1\\\\ + a_2\\\\ + \vdots\\\\ + a_n + \end{pmatrix} + `} +

+ Costruiamo il vettore dei termini noti: +

+ {r` + b = + \begin{pmatrix} + y_0\\\\ + y_1\\\\ + y_2\\\\ + \vdots\\\\ + y_n + \end{pmatrix} + `} + + Per trovare il polinomio di interpolazione è sufficiente risolvere il problema! + +

+ È efficace perchè una volta calcolati i coefficienti essi valgono per tutti i punti, ma ha come svantaggio che la matrice di Vandermonde è spesso malcondizionata. +

TODO