unimore/triennale-appunti-steffo
unimore/triennale-appunti-steffo
1
Fork 0
mirror of https://github.com/Steffo99/unisteffo.git synced 2024-11-23 00:14:21 +00:00
Code Activity

Commit source

Browse source
This commit is contained in:
Steffo 2020-05-25 19:00:17 +02:00
parent 1c6c74bde0
commit e0544c0a4c
Signed by: steffo
GPG key ID: 896A80F55F7C97F0
10 changed files with 173 additions and 40 deletions
Show stats Download patch file Download diff file Expand all files Collapse all files

2
size-plugin.json
View file

File diff suppressed because one or more lines are too long

4
src/components/OttimizzazioneLineare/Max.js
View file

@ -1,7 +1,7 @@
import style from "./Unbounded.less"; import style from "./Styles.less";
export default function (props) { export default function (props) {
return ( return (
<span class={style.unbounded}>{props.children ? props.children : "unbounded"}</span> <span class={style.max}>{props.children ? props.children : "max"}</span>
); );
} }

4
src/components/OttimizzazioneLineare/Min.js
View file

@ -1,7 +1,7 @@
import style from "./Unbounded.less"; import style from "./Styles.less";
export default function (props) { export default function (props) {
return ( return (
<span class={style.unbounded}>{props.children ? props.children : "unbounded"}</span> <span class={style.min}>{props.children ? props.children : "min"}</span>
); );
} }

17
src/components/OttimizzazioneLineare/Styles.less
View file

@ -1,2 +1,17 @@
@import "../styles/constants.less"; @import "../../styles/constants.less";
.unbounded {
color: @blue;
}
.unfeasible {
color: @red;
}
.min {
color: @cyan;
}
.max {
color: @orange;
}

4
src/components/OttimizzazioneLineare/Unbounded.js
View file

@ -1,7 +1,7 @@
import style from "Unfeasible.less"; import style from "./Styles.less";
export default function (props) { export default function (props) {
return ( return (
<span class={style.unfeasible}>{this.props.children}</span> <span class={style.unbounded}>{props.children ? props.children : "unbounded"}</span>
); );
} }

5
src/components/OttimizzazioneLineare/Unfeasible.js
View file

@ -1,6 +1,7 @@
import style from "./Styles.less";
export default function (props) { export default function (props) {
return ( return (
<div> <span class={style.unfeasible}>{props.children ? props.children : "unfeasible"}</span>
</div>
); );
} }

6
src/components/old/todo.css
View file

@ -1,7 +1,7 @@
.todo { .todo {
border: 4px yellow solid; border: 1px yellow solid;
border-radius: 4px; border-radius: 2px;
padding: 2px; padding: 1px;
background-color: black; background-color: black;
color: yellow; color: yellow;
} }

4
src/index.less
View file

@ -136,3 +136,7 @@ p:first-child {
p:last-child { p:last-child {
margin-bottom: 0; margin-bottom: 0;
} }
b {
color: @accent;
}

23
src/routes/calcoloNumerico.js
View file

@ -13,19 +13,12 @@ export default class CalcoloNumerico extends Component {
return ( return (
<div> <div>
<h1>Calcolo Numerico</h1> <h1>Calcolo Numerico</h1>
<Split title={"Contatti"}> <Split title={"Unimore"}>
<Panel title={"Email della prof.ssa"}> <Panel title={"Email della prof.ssa"}>
<p> <p>
<a href={"mailto:silvia.bonettini@unimore.it"}>silvia.bonettini@unimore.it</a> <a href={"mailto:silvia.bonettini@unimore.it"}>silvia.bonettini@unimore.it</a>
</p> </p>
</Panel> </Panel>
<Panel title={"Ricevimento"}>
<p>
Su appuntamento.
</p>
</Panel>
</Split>
<Split title={"Esame"}>
<Panel title={"Orale"}> <Panel title={"Orale"}>
<p> <p>
E' composto da: E' composto da:
@ -34,10 +27,16 @@ export default class CalcoloNumerico extends Component {
<li>2 domande sugli argomenti teorici</li> <li>2 domande sugli argomenti teorici</li>
<li>1 domanda di implementazione algoritmo in MATLAB <small>(facoltativa per i punteggi migliori del TBL)</small></li> <li>1 domanda di implementazione algoritmo in MATLAB <small>(facoltativa per i punteggi migliori del TBL)</small></li>
</ul> </ul>
<p> </Panel>
Prossimo appello: <Panel title={"Prossimi appelli"}>
<Timer/> <ol>
</p> <li><Timer to={"2020-06-15"}/></li>
<li><Timer to={"2020-06-22"}/></li>
<li><Timer to={"2020-07-06"}/></li>
<li><Timer to={"2020-07-13"}/></li>
<li><Timer to={"2020-07-20"}/></li>
<li><Timer to={"2020-07-27"}/></li>
</ol>
</Panel> </Panel>
</Split> </Split>
<Split title={"Algoritmi"}> <Split title={"Algoritmi"}>

144
src/routes/ottimizzazioneLineare.js
View file

@ -9,6 +9,10 @@ import Plus from "../components/old/plus";
import Code from "../components/old/code"; import Code from "../components/old/code";
import Timer from "../components/old/timer"; import Timer from "../components/old/timer";
import Image from "../components/Image"; import Image from "../components/Image";
import Unfeasible from "../components/OttimizzazioneLineare/Unfeasible";
import Unbounded from "../components/OttimizzazioneLineare/Unbounded";
import Min from "../components/OttimizzazioneLineare/Min";
import Max from "../components/OttimizzazioneLineare/Max";
const r = String.raw; const r = String.raw;
@ -116,6 +120,11 @@ export default class OttimizzazioneLineare extends Component {
La funzione da minimizzare/massimizzare, tipicamente indicata con una <Latex>{r`z`}</Latex> al termine noto. La funzione da minimizzare/massimizzare, tipicamente indicata con una <Latex>{r`z`}</Latex> al termine noto.
</p> </p>
</Panel> </Panel>
<Panel title={"Vincoli"}>
<p>
Le funzioni del sistema che non sono quella obiettivo.
</p>
</Panel>
<Panel title={"Tableu"}> <Panel title={"Tableu"}>
<p> <p>
Un modo per rappresentare sistemi in forma standard, anche noto come <b>matrice equivalente completa</b> del sistema. Un modo per rappresentare sistemi in forma standard, anche noto come <b>matrice equivalente completa</b> del sistema.
@ -189,23 +198,27 @@ export default class OttimizzazioneLineare extends Component {
<Split title={"Simplex"}> <Split title={"Simplex"}>
<Panel title={"Cos'è?"}> <Panel title={"Cos'è?"}>
<p> <p>
Un algoritmo per massimizzare efficientemente variabili di sistemi lineari, derivato da Gauss-Jordan. Un algoritmo per <Min>minimizzare</Min>/<Max>massimizzare</Max> efficientemente variabili di sistemi lineari, derivato da Gauss-Jordan.
</p> </p>
<Example> <Example>
E' spiegato semplicemente <a href={"https://web.archive.org/web/20200523052252/https://www.cs.cmu.edu/~15451-f17/handouts/simplex.pdf"}>qui</a>. E' spiegato in modo semplice <a href={"https://web.archive.org/web/20200523052252/https://www.cs.cmu.edu/~15451-f17/handouts/simplex.pdf"}>qui</a>, e ci sono dei codici sorgenti di esempio <a href={"https://www.cs.cmu.edu/~15451-f17/handouts/simplexcodes/"}>qui</a>.
</Example> </Example>
</Panel> </Panel>
<Panel title={"I passi"}> <Panel title={"I passi"}>
<ol> <ol>
<li>Trasforma il sistema in <b>forma standard</b>.</li> <li>Trasforma il sistema in <b>forma standard</b>.</li>
<li>Finchè ci sono variabili con coefficienti positivi nella funzione obiettivo: <li>Trova tante variabili <b>linearmente indipendenti</b> quante siano le righe: esse saranno la <i>base iniziale</i>.</li>
<li>Finchè ci sono variabili con coefficienti <Min>positivi</Min>/<Max>negativi</Max> nella funzione obiettivo:
<ol> <ol>
<li><b>Scegli</b> una variabile della funzione obiettivo, chiamandola <i>variabile entrante</i>. <Example>Come? Vedi nel prossimo pannello.</Example></li> <li>
<li>Trova la variabile di base (detta <i>variabile uscente</i>) con il <b>valore minore</b> per il rapporto <Latex>{r`\frac{termine\ noto}{coeff.\ variabile\ entrante}`}</Latex></li> <b>Scegli</b> la prima variabile con coefficiente <Min>positivo</Min>/<Max>negativo</Max> nella funzione obiettivo: essa è la <i>variabile entrante</i>.
<Example>Si potrebbe scegliere qualsiasi variabile, ma scegliendo sempre la prima possibile (<i>Regola di Bland</i>) ci si assicura che l'algoritmo termini.</Example>
</li>
<li>Trova la variabile di base (detta <i>variabile uscente</i>) tramite il rapporto <Latex>{r`\frac{termine\ noto}{coeff.\ variabile\ entrante}`}</Latex>: scegli la variabile con il <b>rapporto minore</b>, assicurandoti che esso sia <b>positivo</b>. Se tutti i rapporti sono negativi, allora il problema è <b><Unbounded/></b>.</li>
<li><b>Riscrivi</b> tutte le funzioni del sistema in termini della variabile entrante.</li> <li><b>Riscrivi</b> tutte le funzioni del sistema in termini della variabile entrante.</li>
</ol> </ol>
</li> </li>
<li>Il <b>termine noto</b> della funzione obiettivo è il tuo risultato.</li> <li>I <b>termini noti dei vincoli</b> sono le coordinate del risultato, mentre il <b>termine noto della funzione obiettivo</b> è il valore <Min>minimizzato</Min>/<Max>massimizzato</Max>.</li>
</ol> </ol>
</Panel> </Panel>
<Panel title={"Sotto forma di tableau"}> <Panel title={"Sotto forma di tableau"}>
@ -213,13 +226,15 @@ export default class OttimizzazioneLineare extends Component {
Se il problema è rappresentato in forma di tableau, allora esso è risolvibile applicando l'algoritmo di Gauss-Jordan, in aggiunta tenendo conto delle regole per la selezione delle variabili entranti e uscenti. Se il problema è rappresentato in forma di tableau, allora esso è risolvibile applicando l'algoritmo di Gauss-Jordan, in aggiunta tenendo conto delle regole per la selezione delle variabili entranti e uscenti.
</p> </p>
</Panel> </Panel>
<Panel title={"Criteri per la variabile entrante"}> </Split>
<ul> <Split>
<li>Coefficiente maggiore nella funzione obiettivo.</li> <Panel title={"Soluzioni di base degenerata"}>
<li>Incremento maggiore della funzione obiettivo.</li> <p>
<li>A caso.</li> Una soluzione con almeno una variabile di valore <Latex>0</Latex>, dovuta a uno o più <b>vincoli ridondanti</b>.
<li><i>Regola di Bland</i>: scegli variabili entranti e uscenti con indice minore (ovvero, prendi le prime possibili). <Example>È usato nella teoria perchè impedisce i cicli infiniti!</Example></li> </p>
</ul> <p>
Senza <b>Regola di Bland</b> e in presenza di vincoli ridondanti si rischia di trovarsi a fare pivot infiniti.
</p>
</Panel> </Panel>
<Panel title={"Esempio"}> <Panel title={"Esempio"}>
<Example> <Example>
@ -233,10 +248,109 @@ export default class OttimizzazioneLineare extends Component {
<Split title={"Metodo delle due fasi"}> <Split title={"Metodo delle due fasi"}>
<Panel title={"Metodo delle due fasi"}> <Panel title={"Metodo delle due fasi"}>
<p> <p>
Un estensione del Simplex per permettere la risoluzione di problemi con termini noti negativi. Un estensione del Simplex per permettere la risoluzione di problemi la cui origine non è una soluzione ammissibile.
</p> </p>
<p> <p>
Prevede l'introduzione di un <b>problema ausiliario</b>. Prevede l'introduzione di un <i>problema ausiliario</i>, le cui variabili sono dette <i>artificiali</i> e sono solitamente rappresentate come <Latex>{r`y_n`}</Latex>.
</p>
<Example>
E' spiegato in modo semplice <a href={"https://web.archive.org/web/20200523052252/https://www.cs.cmu.edu/~15451-f17/handouts/simplex.pdf"}>qui</a>.
</Example>
</Panel>
<Panel title={"Procedimento"}>
<ol>
<li>Crea un nuovo tableau, <b>aggiungendo variabili artificiali</b> in modo da avere una base ammissibile.</li>
<li>Sostituisci la vecchia funzione obiettivo con una nuova che <b>minimizzi la somma</b> di tutte le variabili artificiali.</li>
<li><u>Fase 1</u>: <b>Risolvi</b> il nuovo problema con il metodo Simplex.</li>
<li>Se il Simplex termina con ancora <b>variabili artificiali nella base</b>, allora il problema è <b><Unfeasible/></b>.</li>
<li>Una volta che le variabili artificiali sono fuori base, <b>elimina</b> le loro colonne e la nuova funzione obiettivo.<br/></li>
<li>Riporta il tableau in forma base compiendo operazioni per <b>azzerare i coefficienti</b> delle variabili di base nella funzione obiettivo.</li>
<li><u>Fase 2</u>: <b>Risolvi</b> il tableau con il metodo Simplex.</li>
</ol>
</Panel>
</Split>
<Split title={"Dualità"}>
<Panel title={"Rilassamento"}>
<p>
Una versione semplificata di un problema nella quale si <b>ignorano</b> uno o più vincoli.
</p>
</Panel>
<Panel title={"Rilassamento di Lagrange"}>
<p>
Un rilassamento che permette di misurare <b>di quanto i vincoli vengono violati</b>.
</p>
<p>
I vincoli vengono aggiunti alla funzione obiettivo assieme a un moltiplicatore, solitamente rappresentato con <Latex>{r`u_n`}</Latex>.
</p>
<Example>
<p>
Il sistema:
</p>
<Latex inline={false}>{r`
\begin{cases}
z = 3 x_1 + 5 x_2\\
2 x_1 + 3 x_2 \geq 12\\
- x_1 + 3 x_2 \geq 3\\
x_1 \geq 0\\
x_2 \geq 0
\end{cases}
`}</Latex>
<p>
diventa:
</p>
<Latex inline={false}>{r`
\begin{cases}
z_{LR} = 3 x_1 + 5 x_2 + u_1 ( 12 - 2 x_1 - 3 x_2 ) + u_2 ( 3 + x_1 - 3 x_2 )\\
x_1 \geq 0\\
x_2 \geq 0
\end{cases}
`}</Latex>
</Example>
</Panel>
<Panel title={"Duale"}>
<p>
Il sistema che <b><Min>massimizza</Min>/<Max>minimizza</Max> i moltiplicatori di rilassamento</b> di un qualsiasi sistema, detto <i>primale</i>.
</p>
<p>
Si dimostra che la sua soluzione (se esiste) è <b>uguale</b> alla soluzione del problema primale.
</p>
</Panel>
<Panel title={"In termini matriciali"}>
<p>
Possiamo <b>trasporre</b> il tableau e sostituire le variabili <Latex>{r`x_n`}</Latex> con variabili <Latex>{r`u_n`}</Latex> per ottenere il sistema duale!
</p>
<p>
I maggiori e minori dei vincoli diventeranno maggiori e minori delle variabili e viceversa.
</p>
</Panel>
<Panel title={"Feasibility del duale"}>
<ul>
<li>Se un problema ha una <b>soluzione finita</b>, allora anche il suo duale la avrà.</li>
<li>Se un problema è <b><Unfeasible/></b>, allora il suo duale potrà essere <Unfeasible/> oppure <Unbounded/>.</li>
<li>Se un problema è <b><Unbounded/></b>, allora il suo duale sarà certamente <Unfeasible/>.</li>
</ul>
</Panel>
</Split>
<Split>
<Panel title={"Lemma di Farkas"}>
<p>
<Todo>TODO: una complicata dimostrazione per dire varie cose. Probabilmente si riesce a saltare se non si dà l'orale...</Todo>
</p>
</Panel>
<Panel title={"Dualità forte"}>
<p>
Il teorema che dimostra l'equivalenza tra primale e duale.
</p>
<p>
<Todo>TODO: Anche qui c'è una lunga dimostrazione...</Todo>
</p>
</Panel>
<Panel title={"Dualità debole"}>
<p>
Il teorema che dimostra che il valore della funzione obiettivo del duale (di un qualsiasi tableau) è sempre <Min>minore o uguale</Min>/<Max>maggiore o uguale</Max> alla soluzione del corrispettivo primale.
</p>
<p>
<Todo>TODO: Dimostrazione cortina, ma sembra complicata.</Todo>
</p> </p>
</Panel> </Panel>
</Split> </Split>